مراجعة سريعة: الرياضيات

اختصار المنهج · قبل الامتحان

مراجعة سريعة: الرياضيات

ملخص كل درس وأفكاره الرئيسية وأسئلته المهمة في صفحة واحدة. اطبعها واحفظها.

كتاب الطالب· Student's Book

الوحدة 1الجبر وحل المعادلات

الدرس 1: دالة القيمة المطلقة

  • الصورة الأساسية لدالة القيمة المطلقة 𝑓(x) = |x|، مجالها ومجالها المقابل ℝ، ومداها [0 , ∞).
  • رأس منحنى الدالة 𝑓(x) = |ax + b| + c هو النقطة (−b/a , c)، ومعادلة محور التماثل x = −b/a.
  • مدى الدالة [c , ∞) إذا كان المنحنى مفتوحًا للأعلى، و(−∞ , c] إذا كان مفتوحًا للأسفل (عند وجود إشارة سالبة أمام القيمة المطلقة).
  • الإزاحة الأفقية لمنحنى 𝑓(x) = |x + a|: جهة اليمين إذا كانت a < 0، وجهة اليسار إذا كانت a > 0، بمقدار |a| وحدة.
  • الإزاحة الرأسية لمنحنى 𝑓(x) = |x| + a: للأعلى إذا كانت a > 0، وللأسفل إذا كانت a < 0، بمقدار |a| وحدة.
  • الانسحاب المركب يجمع بين إزاحة أفقية ثم إزاحة رأسية، مثل 𝑓(x) = |x − 4| + 2.
  • الانعكاس في محور السينات: 𝑓(x) = −|x| هو انعكاس للدالة الأساسية g(x) = |x|، ويجب أن يكون أول خطوة عند وجود إشارة سالبة.
  • من خواص القيمة المطلقة: |x| ≥ 0 ، |a . b| = |a| . |b| ، |a + b| ≤ |a| + |b| ، |a|² = a² ، √(x²) = |x|.

الزبدة: منحنى دالة القيمة المطلقة على شكل حرف V، ورأسها هو أدنى نقطة فيها (أو أعلى نقطة عند الانعكاس). · أي دالة قيمة مطلقة تُبنى من الدالة الأساسية g(x) = |x| بثلاث عمليات: انعكاس، إزاحة أفقية، إزاحة رأسية، وترتيبها مهم عند وجود انعكاس. · الصورة القياسية 𝑓(x) = |ax + b| + c تعطي مباشرة رأس المنحنى (−b/a , c) ومحور التماثل والمدى دون الحاجة لرسم كامل.

الأسئلة المهمة (7)
عرّف الصورة الأساسية لدالة القيمة المطلقة واذكر مكوناتها.
𝑓: ℝ ⟶ ℝ , 𝑓(x) = |x|؛ المجال ℝ، المجال المقابل ℝ، وقاعدة الاقتران 𝑓(x) = |x|.
اذكر خواص التمثيل البياني للدالة الأساسية 𝑓(x) = |x|.
اتحاد شعاعين من نقطة بداية واحدة على شكل V، رأس المنحنى (0 , 0) وعنده أصغر قيمة، متماثل حول محور الصادات (دالة زوجية)، ومداها [0 , ∞).
كيف نوجد رأس المنحنى ومحور التماثل ومدى الدالة 𝑓(x) = |ax + b| + c؟
رأس المنحنى (−b/a , c)، محور التماثل x = −b/a، والمدى [c , ∞) إذا كانت مفتوحة للأعلى أو (−∞ , c] إذا كانت مفتوحة للأسفل (بإشارة سالبة أمام القيمة المطلقة).
اذكر قاعدة الإزاحة الأفقية لمنحنى 𝑓(x) = |x + a| عن الدالة الأساسية g(x) = |x|.
إزاحة أفقية مقدارها |a| وحدة: جهة اليمين إذا كانت a سالبة، وجهة اليسار إذا كانت a موجبة.
اذكر قاعدة الإزاحة الرأسية لمنحنى 𝑓(x) = |x| + a عن الدالة الأساسية g(x) = |x|.
إزاحة رأسية مقدارها |a| وحدة: للأعلى إذا كانت a موجبة، وللأسفل إذا كانت a سالبة.
ما ترتيب التحويلات الهندسية عند وجود انعكاس في الدالة 𝑓(x) = −|x + b| + c؟
أولًا الانعكاس في محور السينات للدالة الأساسية، ثم الإزاحة الأفقية، ثم الإزاحة الرأسية، ثم تحديد الرأس ومحور التماثل.
علّل: الإشارة السالبة خارج القيمة المطلقة في 𝑓(x) = −|ax + b| + c لا تؤثر على موضع رأس المنحنى، لكنها تجعله مفتوحًا للأسفل.
لأن رأس المنحنى يُحسب من شرط ax + b = 0 بغض النظر عن الإشارة الخارجية، لكن الإشارة السالبة تجعل كل قيم الدالة أصغر من أو تساوي c، فيفتح المنحنى للأسفل ومداه (−∞ , c].

الدرس 2: حل معادلة القيمة المطلقة

  • معادلة القيمة المطلقة تتضمن تعبيرًا جبريًّا داخل رمز القيمة المطلقة، وتُحل بتحويلها إلى معادلتين لا تحتويان على رمز القيمة المطلقة.
  • لحل |x| = A: إن كان A > 0 فحلان S.S = {A , −A}، وإن كان A = 0 فحل وحيد S.S = {0}، وإن كان A < 0 فلا حل S.S = ∅.
  • لحل |ax + b| = |cx + d|: إما باستخدام الخاصية |a| = |b| ⇔ a = b أو a = −b، أو بتربيع الطرفين.
  • لحل |ax + b| = cx + d: نوجد أولًا شرط الحل cx + d ≥ 0، ثم نحل الحالتين ونتحقق من كل حل بمقارنته بشرط الحل، ونرفض ما لا يحققه.
  • من خواص القيمة المطلقة المهمة في الحل: |a . b| = |a| . |b| ، |x − a| = |a − x| ، |x| = |−x| ، |a| ≥ 0 ، √(x²) = |x|.
  • مجموعة الحل S.S تمثّل جميع قيم المتغير التي تجعل المعادلة صحيحة.

الزبدة: كل معادلة قيمة مطلقة تتحول إلى حالتين: العبارة داخل القيمة المطلقة موجبة، أو سالبة. · عندما يحتوي الطرف الآخر من المعادلة على المتغير (cx + d)، لا بد من التحقق من شرط الحل قبل قبول أي إجابة. · القيمة المطلقة لا تكون سالبة أبدًا؛ فإذا ساوت المعادلة عددًا سالبًا مباشرة فلا حل لها.

الأسئلة المهمة (6)
عرّف معادلة القيمة المطلقة.
معادلة تتضمن تعبيرًا جبريًّا داخل رمز القيمة المطلقة، ويمكن تحويلها إلى معادلتين لا تحتويان على رمز القيمة المطلقة بجعل العبارة داخلها موجبة مرة وسالبة مرة أخرى.
اذكر حالات حل المعادلة |x| = A الثلاث.
إذا كانت A > 0 فللمعادلة حلان x = A، x = −A. إذا كانت A = 0 فحل وحيد x = 0. إذا كانت A < 0 فلا يوجد حل S.S = ∅.
اذكر طريقتين لحل معادلة على الصورة |ax + b| = |cx + d|.
باستخدام خواص القيمة المطلقة (|a| = |b| ⇔ a = b أو a = −b)، أو بتربيع الطرفين ثم حل المعادلة الناتجة.
علّل: عند حل معادلة على الصورة |ax + b| = cx + d يجب التحقق من شرط الحل.
لأن القيمة المطلقة دائمًا غير سالبة، فلا بد أن يكون الطرف الأيمن cx + d ≥ 0 حتى يكون الحل الناتج مقبولًا؛ وأي حل لا يحقق هذا الشرط يُرفض.
اذكر خاصيتين من خواص القيمة المطلقة تُستخدمان في حل المعادلات.
|a . b| = |a| . |b| و|x − a| = |a − x|، إلى جانب خواص أخرى مثل |a| ≥ 0 و|x| = |−x|.
ما مجموعة حل المعادلة |x + 4| + 23 = 17؟ ولماذا؟
S.S = ∅، لأن |x + 4| = 17 − 23 = −6، والقيمة المطلقة لا تساوي عددًا سالبًا أبدًا.

الدرس 3: حل معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد (جبريًّا وبيانيًّا)

  • لحل معادلة تربيعية بيانيًّا: نضع المعادلة بالصورة ax² + bx + c = 0، نرسم منحنى 𝑓(x) = ax² + bx + c، ونجد نقاط تقاطعه مع محور السينات.
  • عدد نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات يحدد عدد حلول المعادلة: نقطتان (حلّان مختلفان)، نقطة واحدة (حلّان متساويان)، لا يوجد تقاطع (لا حل حقيقي).
  • القانون العام لحل المعادلة التربيعية: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.
  • المميز Δ = b² − 4ac يحدد عدد الحلول الحقيقية دون حل المعادلة: Δ > 0 (حلّان مختلفان)، Δ = 0 (حلّان متساويان)، Δ < 0 (لا يوجد حل حقيقي).
  • عندما يكون b = 0 يبسط القانون إلى x = ±√(−4ac) / 2a.
  • عندما يكون Δ = 0 يكون الحل الوحيد للمعادلة x = −b/2a.
  • تُستخدم المعادلة التربيعية في حل مسائل حياتية مثل الأعداد المتتالية ومسائل المساحات والأبعاد، مع رفض القيم السالبة غير المنطقية للأبعاد.

الزبدة: حل المعادلة التربيعية بيانيًّا يعتمد على إيجاد نقاط تقاطع منحنى الدالة التربيعية مع محور السينات. · المميز Δ = b² − 4ac هو مفتاح معرفة عدد حلول المعادلة التربيعية دون حلها. · القانون العام x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a يحل أي معادلة تربيعية مهما تعذّر تحليلها. · في المسائل الحياتية نرفض الحلول التي تخالف طبيعة المسألة، كالأبعاد السالبة.

الأسئلة المهمة (7)
اذكر خطوات حل معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد بيانيًّا.
1) ضع المعادلة على الصورة ax²+bx+c=0. 2) افرض 𝑓(x)=ax²+bx+c وارسم منحناها. 3) عيّن نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات؛ إحداثياتها السينية هي حلول المعادلة.
عرّف مميز المعادلة التربيعية، واذكر رمزه.
هو المقدار b² − 4ac في المعادلة ax²+bx+c=0، ويرمز له بالرمز Δ، وهو الذي يحدد عدد الحلول الحقيقية للمعادلة ونوع جذريها دون حلها.
اكتب القانون العام لحل المعادلة التربيعية.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
علّل: إذا كان مميز المعادلة التربيعية أقل من الصفر فلا يوجد لها حل حقيقي.
لأن القانون العام يتضمن الجذر التربيعي للمميز √Δ، والجذر التربيعي لعدد سالب غير معرّف في مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ.
متى يكون للمعادلة التربيعية حلّان حقيقيان متساويان؟ وما قيمة الحل في هذه الحالة؟
عندما يكون المميز Δ = 0، وتكون قيمة الحل الوحيد x = −b/2a.
عددان فرديان متتاليان مجموع مربعيهما 34، فما العددان؟
بفرض العدد الأول x والثاني x+2: x²+(x+2)²=34 ⇒ x²+2x−15=0 ⇒ (x−3)(x+5)=0 ⇒ x=3 أو x=−5. العددان 3, 5 أو −5, −3.
متى يكون منحنى الدالة التربيعية 𝑓(x)=ax²+bx+c مفتوحًا للأسفل؟
عندما يكون المعامل الرئيسي a عددًا سالبًا (a < 0).

الدرس 4: مجموع وناتج ضرب جذري المعادلة التربيعية وتكوين المعادلة بمعلومية جذريها

  • مجموع جذري المعادلة التربيعية ax²+bx+c=0 هو ℓ+m = −b/a، وحاصل ضرب الجذرين هو ℓ.m = c/a.
  • يمكن إيجاد مجموع الجذرين وحاصل ضربهما دون حل المعادلة، بمجرد معرفة a, b, c.
  • إذا عُلم جذرا معادلة تربيعية ℓ, m فإن المعادلة تكون على الصورة x² − (ℓ+m)x + (ℓ.m) = 0، أو (x−ℓ)(x−m) = 0.
  • لأي معادلة تربيعية جذراها ℓ, m يوجد عدد غير منتهٍ من المعادلات المكافئة لها بنفس الجذرين، على الصورة k[x²−(ℓ+m)x+(ℓ.m)]=0.
  • عندما b=0 يكون الجذران نظيرين جمعيين (مجموعهما صفر)، وعندما c=a يكون الجذران نظيرين ضربيين (حاصل ضربهما 1).
  • يمكن تكوين معادلة تربيعية جديدة جذراها مرتبطان بجذري معادلة معلومة (مثل 2ℓ, 2m أو ℓ², m²) باستخدام مجموع وحاصل ضرب الجذرين الأصليين.
  • من الصيغ المفيدة: ℓ²+m² = (ℓ+m)²−2ℓ.m، وl−m = √(b²−4ac)/a.

الزبدة: مجموع وحاصل ضرب جذري المعادلة التربيعية يُحسبان مباشرة من معاملاتها (−b/a وc/a) دون الحاجة لحل المعادلة. · معرفة مجموع وحاصل ضرب جذرين تكفي لتكوين المعادلة التربيعية التي هما جذراها: x²−(مجموع الجذرين)x+(حاصل ضرب الجذرين)=0. · لكل زوج من الجذرين عدد غير منتهٍ من المعادلات التربيعية المكافئة، بضرب المعادلة في ثابت k ≠ 0.

الأسئلة المهمة (7)
اكتب علاقة مجموع جذري المعادلة ax²+bx+c=0 وحاصل ضرب جذريها بمعاملاتها.
مجموع الجذرين = −b/a، وحاصل ضرب الجذرين = c/a.
إذا عُلم جذرا معادلة تربيعية ℓ, m فما الصورة العامة لهذه المعادلة؟
x² − (ℓ+m)x + (ℓ.m) = 0، ويمكن كتابتها أيضًا (x−ℓ)(x−m) = 0.
علّل: يوجد عدد غير منتهٍ من المعادلات التربيعية لها نفس الجذرين.
لأن ضرب طرفي المعادلة x²−(ℓ+m)x+(ℓ.m)=0 في أي ثابت k≠0 لا يغيّر جذريها، فتنتج الصورة k[x²−(ℓ+m)x+(ℓ.m)]=0 لعدد غير منتهٍ من قيم k.
متى يكون جذرا المعادلة التربيعية نظيرين جمعيين؟ ومتى يكونان نظيرين ضربيين؟
نظيران جمعيان عندما b=0 (مجموعهما صفر). نظيران ضربيان عندما c=a (حاصل ضربهما 1).
إذا كان ℓ, m جذرا المعادلة 2x²−8x+5=0، أوجد قيمة ℓ²+m².
ℓ+m=4، ℓ.m=5/2، فـ ℓ²+m² = (4)² − 2(5/2) = 16−5 = 11.
عددان حقيقيان مجموعهما 2 وحاصل ضربهما −35، أوجد العددين.
المعادلة x²−2x−35=0، بالتحليل (x−7)(x+5)=0، فالعددان 7, −5.
اذكر كيف تُكوّن معادلة تربيعية جذراها 2ℓ, 2m إذا عُلم مجموع وحاصل ضرب الجذرين الأصليين ℓ, m.
مجموع الجذرين الجديد = 2(ℓ+m)، وحاصل ضربهما = 4(ℓ.m)، ثم نكوّن المعادلة x² − (2ℓ+2m)x + (2ℓ.2m) = 0.

الدرس 5: حل متباينة من الدرجة الثانية

  • لحل متباينة تربيعية بالتحليل: أضع الصورة القياسية، أحللها إلى عاملين، ثم أطبق خواص حاصل الضرب (a.b ≥ 0 أو a.b ≤ 0).
  • لدراسة إشارة الدالة الخطية g(x) = ax + b: أجد الجذر x = −b/a، وتكون الإشارة مماثلة لإشارة a يمين الجذر ومخالفة له يساره.
  • لدراسة إشارة الدالة التربيعية 𝑓(x) = ax² + bx + c أستخدم المميز Δ: إذا Δ > 0 فالإشارة بين الجذرين تخالف إشارة a وخارجهما تتبعه؛ إذا Δ = 0 فالإشارة تتبع a في كل مكان ما عدا عند الجذر؛ إذا Δ < 0 فالإشارة تتبع a على كامل خط الأعداد.
  • لحل متباينة على صورة (ax + b)² < c مع c سالب: الحل ∅. ولحل صورة x² < عدد موجب: نأخذ الجذر التربيعي ونستخدم خاصية القيمة المطلقة.
  • الحالات الخاصة: x² < 0 حلها ∅، x² ≤ 0 حلها {0}، x² ≥ 0 حلها ℝ، x² > 0 حلها ℝ − {0}.
  • مجموعة حل المتباينة التربيعية تُكتب على صورة فترة، وتُمثَّل على خط الأعداد.

الزبدة: حل المتباينة التربيعية يعني إيجاد قيم x التي يكون عندها منحنى الدالة أعلى أو أسفل محور السينات. · إشارة الدالة التربيعية تتحدد من قيمة المميز Δ (عدد الجذور الحقيقية) ومن إشارة معامل x². · القيمة المطلقة تربط بين متباينة على صورة تربيع بسيط (ax + b)² ومتباينة خطية بسيطة.

الأسئلة المهمة (7)
ما معنى حل متباينة من الدرجة الثانية؟
هو إيجاد جميع قيم x التي يكون عندها منحنى الدالة أعلى محور السينات (إذا كانت الدالة موجبة) أو أسفله (إذا كانت سالبة)، وتُكتب مجموعة الحل على صورة فترة.
اذكر خطوات دراسة إشارة الدالة الخطية g(x) = ax + b.
أضع g(x) = 0 فأجد x = −b/a، أحدد هذا العدد على خط الأعداد، ثم تكون إشارة g(x) مماثلة لإشارة a يمين العدد −b/a ومخالفة لها يساره.
اذكر خطوات دراسة إشارة الدالة التربيعية 𝑓(x) = ax² + bx + c.
أوجد المعادلة 𝑓(x) = 0 وأحسب Δ = b² − 4ac. إذا Δ > 0 (جذران مختلفان) فالإشارة تخالف a بين الجذرين وتتبعه خارجهما. إذا Δ = 0 (جذر مضاعف) فالإشارة تتبع a في كل مكان ما عدا عند الجذر. إذا Δ < 0 (لا جذور حقيقية) فالإشارة تتبع a على طول خط الأعداد.
ما الفرق بين حل معادلة الدرجة الثانية وحل متباينة الدرجة الثانية في متغير واحد؟
حل معادلة الدرجة الثانية عادة قيم معدودة (نقاط على خط الأعداد)، بينما حل متباينة الدرجة الثانية مجموعة من القيم (فترة) تحقق المتباينة.
ما علاقة دراسة إشارة الدالة التربيعية بحل متباينات الدرجة الثانية؟
دراسة إشارة الدالة التربيعية تحدد الفترات التي تكون فيها الدالة موجبة أو سالبة أو تساوي صفرًا، وهذه الفترات نفسها هي مجموعة حل المتباينة المناظرة (سواء كانت >، <، ≥، أو ≤).
أوجد مجموعة حل كل من المتباينتين: x² < 0 و x² ≥ 0.
x² < 0 حلها ∅ لأنه لا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب. x² ≥ 0 حلها ℝ لأن مربع أي عدد حقيقي أكبر من أو يساوي الصفر دائمًا.
اكتشف الخطأ: تقول نور إن المتباينة −x² + 2x − 7 < 0 لا حلول لها. بيّن خطأها وصححه.
بضرب طرفي المتباينة في −1 (مع عكس الاتجاه): x² − 2x + 7 > 0. مميزها Δ = 4 − 28 = −24 < 0 وa = 1 > 0، فالمقدار موجب لكل x ∈ ℝ، أي إن −x² + 2x − 7 < 0 صحيحة لكل عدد حقيقي، فمجموعة الحل هي ℝ وليست ∅ كما قالت نور.

الوحدة 2الهندسة المستوية

الدرس 1: التناسب

  • النسبة مقارنة بين كميتين من النوع نفسه، تُكتب a:b أو a/b؛ والتناسب تساوي نسبتين أو أكثر.
  • خاصية الضرب التقاطعي: a/b = c/d ⟺ a.d = b.c (حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين).
  • من a/b = c/d ينتج: b/a = d/c، وa/c = b/d، وc/a = d/b.
  • إذا كان a/b = c/d = k فإن a = bk, c = dk؛ وهذا الافتراض يبسّط حل المسائل الجبرية على التناسب.
  • في مجموعة نسب متساوية، مجموع المقدمات على مجموع التوالي (كلها أو بعضها) يساوي أيًّا من النسب الأصلية.
  • التناسب المتسلسل: a, b, c في تناسب متسلسل ⟺ a/b = b/c ⟺ b² = a.c، وb هو الوسط المتناسب = ± √(a.c).
  • في تناسب متسلسل من أربعة حدود a/b = b/c = c/d = k فإن c = dk، b = dk²، a = dk³.

الزبدة: التناسب أداة لربط عدة نسب بثابت مشترك k يسهّل حل المعادلات الجبرية. · الوسط المتناسب بين عددين (نفس الإشارة) له قيمتان: موجبة وسالبة، لأن للجذر التربيعي إشارتين. · عند حل تناسب متسلسل من عدة حدود يجب التحقق من توافق الحل مع جميع النسب المعطاة معًا، لا مع جزء منها فقط، تجنبًا للحلول الزائدة.

الأسئلة المهمة (7)
عرّف النسبة والتناسب.
النسبة: مقارنة بين كميتين من النوع نفسه ولهما نفس وحدة القياس، تكتب a:b أو a/b. التناسب: تساوي نسبتين أو أكثر.
اذكر خاصية الضرب التقاطعي، ووضح المقصود بطرفي التناسب ووسطيه.
إذا كان a/b = c/d فإن a.d = b.c (حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين). في a/b = c/d يسمى a, d طرفي التناسب، ويسمى b, c وسطي التناسب.
إذا كان a/b = c/d، اذكر ثلاث نسب أخرى يمكن استنتاجها من هذه العلاقة.
يمكن استنتاج: b/a = d/c (قلب النسبتين)، وa/c = b/d (تبديل الوسطين)، وc/a = d/b (تبديل الطرفين والوسطين معًا).
عرّف التناسب المتسلسل، واكتب العلاقة بين حدوده الثلاثة.
a, b, c في تناسب متسلسل إذا وفقط إذا كان a/b = b/c، أي b² = a.c، حيث b هو الوسط المتناسب = ± √(a.c).
أوجد الوسط المتناسب بين العددين 9 و16.
b = ± √((9)(16)) = ± √144 = ± 12.
فكر معي: طالب استنتج a:b:c = 2:3:5 مباشرة من المعادلة 2a = 3b = 5c. بيّن لماذا هذا خطأ واذكر الطريقة الصحيحة.
كتابة النسبة من معاملات المعادلة مباشرة (2:3:5) خطأ لأنها تعكس علاقة عكسية لا طردية. الطريقة الصحيحة: القسمة على المضاعف المشترك الأصغر (30): a/15 = b/10 = c/6، فتكون a:b:c = 15:10:6.
فكر معي: عند حل قيمة x في التناسب المتسلسل 6, x, 54, 162، حلّ فهد باستخدام 6/x = 54/162 فحصل على x = 18، وحلّ إبراهيم باستخدام 6/x = x/54 فحصل على x = ± 18. أي الحلّين صحيح؟ ولماذا؟
الإجابة الصحيحة الوحيدة x = 18. لأن x = −18 لا يحقق النسبة الثالثة المعطاة 54/162 = 1/3 الموجبة (بينما −18/54 = −1/3)، فهو حل زائد ناتج عن استخدام إبراهيم لجزء فقط من المعطيات (الحدود الثلاثة الأولى) دون التحقق من توافقه مع النسبة الرابعة.

الدرس 2: تشابه المضلعات

  • المضلعان متشابهان إذا تساوت قياسات زواياهما المتناظرة وتناسبت أطوال أضلاعهما المتناظرة معًا (تعميم 1).
  • كل مضلعين متطابقين متشابهان، ونسبة التشابه بينهما تساوي 1 (تعميم 2)، لكن العكس ليس صحيحًا دائمًا.
  • تشابه المضلعات علاقة متعدية: إذا شابه A المضلع B وشابه B المضلع C فإن A يشابه C (تعميم 3).
  • الشكلان الهندسيان متشابهان إذا كان أحدهما تكبيرًا أو تصغيرًا أو مطابقًا للآخر.
  • نسبة التشابه = النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين = النسبة بين محيطي الشكلين المتشابهين.
  • مربع نسبة التشابه = النسبة بين مساحتي الشكلين المتشابهين.
  • إذا كانت نسبة تشابه المضلع A إلى المضلع B تساوي k: فـ k>1 تكبير، و0<k<1 تصغير، وk=1 تطابق.

الزبدة: التشابه يحتاج شرطين معًا: تساوي الزوايا المتناظرة وتناسب الأضلاع المتناظرة، لا يكفي أحدهما وحده. · نسبة التشابه تنتقل مباشرة إلى نسبة المحيطين، لكنها تُربَّع عند حساب نسبة المساحتين. · التطابق حالة خاصة من التشابه، تتحقق عندما تكون نسبة التشابه مساوية 1.

الأسئلة المهمة (7)
عرّف تشابه المضلعين، واذكر شرطيه.
مضلعان لهما العدد نفسه من الأضلاع يكونان متشابهين إذا تساوت قياسات زواياهما المتناظرة، وتناسبت أطوال أضلاعهما المتناظرة معًا.
ما نسبة التشابه؟
هي النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين في مضلعين متشابهين.
علّل: كل مضلعين متطابقين متشابهان.
لأن قياسات زواياهما المتناظرة متساوية، والنسبة بين كل ضلعين متناظرين فيهما تساوي 1، وهذان هما شرطا التشابه.
اذكر نص تعميم تعدي التشابه.
إذا كان المضلع A يشابه المضلع B، وكان المضلع B يشابه المضلع C، فإن المضلع A يشابه المضلع C.
ما العلاقة بين نسبة التشابه ومحيطي شكلين متشابهين؟
النسبة بين محيطي الشكلين المتشابهين تساوي نسبة التشابه نفسها.
ما العلاقة بين نسبة التشابه ومساحتي شكلين متشابهين؟
النسبة بين مساحتي الشكلين المتشابهين تساوي مربع نسبة التشابه.
متى يكون المضلع A تصغيرًا للمضلع B؟
عندما تكون نسبة تشابه المضلع A إلى المضلع B (k) محصورة بين 0 و1، أي 0 < k < 1.

الدرس 3: تشابه المثلثات

  • تشابه المثلثات حالة خاصة من تشابه المضلعات، ويكفي التحقق من شرط واحد فقط لإثباته، لأن الشرط الآخر يتحقق تلقائيًا.
  • نظرية (1): تطابق زاويتين في مثلث مع زاويتين في مثلث آخر يكفي لإثبات تشابههما.
  • إذا تطابقت زاويتان في مثلثين فإن الزاوية الثالثة تتطابق تلقائيًا.
  • نظرية (2): تناسب أطوال الأضلاع الثلاثة المتناظرة في مثلثين يكفي لإثبات تشابههما.
  • نظرية (3): تطابق زاوية واحدة مع تناسب طولي الضلعين المحددين لها يكفي لإثبات تشابه المثلثين.
  • من أدوات إثبات تطابق الزوايا: الزوايا المشتركة، والزوايا المتقابلة بالرأس، والزوايا الناتجة عن خطين متوازيين وقاطع لهما.
  • طريقة المرآة تطبيق عملي على تشابه المثلثات، وتعتمد على تساوي زاوية السقوط وزاوية الانعكاس، لقياس ارتفاعات ومسافات يصعب قياسها مباشرة.

الزبدة: لإثبات تشابه مثلثين، يكفي أحد الشروط الثلاثة: تطابق زاويتين (نظرية 1)، أو تناسب الأضلاع الثلاثة (نظرية 2)، أو تطابق زاوية مع تناسب ضلعيها (نظرية 3). · الزوايا المشتركة والمتقابلة بالرأس والناتجة عن التوازي هي أدوات أساسية لإثبات تطابق الزوايا في براهين التشابه. · تشابه المثلثات أداة عملية لحساب أطوال أو ارتفاعات يصعب قياسها بشكل مباشر، كما في طريقة المرآة.

الأسئلة المهمة (7)
اذكر نص نظرية (1) لتشابه المثلثين.
يتشابه المثلثان إذا تطابقت زاويتان في أحد المثلثين مع زاويتين في المثلث الآخر.
اذكر نص نظرية (2) لتشابه المثلثين.
يتشابه المثلثان إذا تناسبت أطوال أضلاعهما المتناظرة.
اذكر نص نظرية (3) لتشابه المثلثين.
يتشابه المثلثان إذا طابقت زاوية في أحدهما زاوية في المثلث الآخر، وتناسب طولا الضلعين المحددين لهاتين الزاويتين.
علّل: يكفي شرط واحد لإثبات تشابه مثلثين، مع أن تشابه المضلعات عمومًا يحتاج شرطين معًا.
لأن تشابه المثلثات حالة خاصة من تشابه المضلعات، وتحقق أحد الشرطين (تساوي زاويتين متناظرتين أو تناسب الأضلاع المتناظرة) في المثلث يستلزم تحقق الشرط الآخر تلقائيًا معه.
ماذا ينتج إذا تطابقت زاويتان في مثلث مع زاويتين في مثلث آخر؟
تطابق الزاوية الثالثة في المثلث الأول مع الزاوية الثالثة في المثلث الآخر تلقائيًا، ويكون المثلثان متشابهين.
كيف تُستخدم فكرة تشابه المثلثات في قياس ارتفاع مبنى بطريقة المرآة؟
توضع مرآة بين الشخص والمبنى، وبما أن زاوية السقوط تساوي زاوية الانعكاس يتكون مثلثان متشابهان: مثلث ارتفاع الشخص وبعده عن المرآة، ومثلث ارتفاع المبنى وبعد المرآة عنه، فيُستخدم التناسب بينهما لإيجاد ارتفاع المبنى.
ماذا نعني بعبارة (بالتوازي والتناظر)؟
نعني وجود مستقيمين متوازيين وقاطع لهما وزاويتان في وضع تناظر.

الدرس 4: التشابه في المثلثات القائمة الزاوية

  • العمود المرسوم من رأس القائمة على الوتر في مثلث قائم الزاوية يقسمه إلى مثلثين متشابهين، وكل منهما يشابه المثلث الأصلي.
  • نظرية إقليدس الأولى: (AD)² = DC × DB، حيث AD العمود المرسوم على الوتر.
  • نظرية إقليدس الثانية: (AB)² = BD × BC، و(AC)² = CD × CB، و(AB) × (AC) = (AD) × (BC).
  • AD وسط متناسب بين BD و DC؛ AB وسط متناسب بين BC و BD؛ AC وسط متناسب بين BC و CD.
  • نظرية فيثاغورث تُستنتج بجمع طرفي علاقتي نظرية إقليدس الثانية: (AB)² + (AC)² = (BC)².
  • إقليدس عالم رياضيات يُلقَّب بأبي الهندسة، ومؤلف كتاب «العناصر».

الزبدة: كل عمود من رأس الزاوية القائمة على الوتر يفتح باب التشابه الثلاثي: المثلث الأصلي ومثلثاه الفرعيان متشابهة جميعًا. · نظريتا إقليدس أداتان لحساب أطوال أضلاع المثلث القائم دون قياس مباشر، بربط الوتر بقطعتيه. · نظرية فيثاغورث حالة خاصة تنتج من جمع علاقتي نظرية إقليدس الثانية.

الأسئلة المهمة (6)
اذكر نص نظرية إقليدس الأولى (نتيجة 1).
مربع طول العمود المرسوم من رأس القائمة على الوتر في مثلث قائم الزاوية يساوي ناتج ضرب طولي القطعتين المستقيمتين اللتين ينقسم إليهما الوتر بهذا العمود: (AD)² = DC × DB.
اذكر نص نظرية إقليدس الثانية (نتيجة 2) بأجزائها الثلاثة.
إذا كان ABC قائم الزاوية في A و AD ⊥ BC فإن: (AB)² = BD × BC، و(AC)² = CD × CB، و(AB) × (AC) = (AD) × (BC).
ما المقصود بالوسط المتناسب (الهندسي)؟ ومن هو الوسط المتناسب بين BD و DC في المثلث القائم؟
الوسط المتناسب بين طولين هو الطول الذي يحقق أن مربعه يساوي حاصل ضربهما. في مثلث قائم الزاوية، AD هو الوسط المتناسب بين BD و DC لأن (AD)² = BD × DC.
اذكر خطوات النشاط الاستكشافي الذي يثبت أن العمود من رأس القائمة على الوتر يقسم المثلث إلى ثلاثة مثلثات متشابهة.
قص مستطيل عند قطره لتكوين مثلث قائم الزاوية ABC، ثم رسم BD ⊥ AC داخله، فينتج مثلثان DAB و DCB. تُثبت العلاقات الثلاث: ABC يشابه DAB، وABC يشابه DCB، وDCB يشابه DAB.
علّل: يمكن استخدام نظرية إقليدس لإثبات نظرية فيثاغورث.
لأن جمع علاقتي نظرية إقليدس الثانية: (AB)² = BD×BC و(AC)² = CD×BC ينتج (AB)² + (AC)² = BC×(BD+CD) = BC×BC = (BC)²، وهي نظرية فيثاغورث.
إذا كان DC = 9، DB = 16 في مثلث قائم الزاوية في A، أوجد طولي AD و AC.
AD = 12 (لأن (AD)² = 9×16 = 144)، وAC = 15 (لأن BC = 25، و(AC)² = 9×25 = 225).

الدرس 5: التناسبات والمثلثات المتشابهة

  • نظرية المستقيم الموازي: مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين يقسمهما إلى أجزاء أطوالها متناسبة، وعكسها صحيح.
  • نظرية طاليس: مستقيمان يقطعان ثلاث مستقيمات متوازية أو أكثر، ينتج عنهما قطع مستقيمة متناسبة على القاطعين، لكن عكسها ليس صحيحًا بالضرورة.
  • نظرية منصف الزاوية في مثلث: منصّف زاوية رأس المثلث يقسم القاعدة المقابلة إلى جزأين نسبتهما تساوي نسبة طولي الضلعين الآخرين، أي AB/AC = BD/DC.
  • عند مقارنة ضلع كامل بجزء ضلع في التناسب يجب الانتباه للتناظر الصحيح بين الأطوال، كما في خطأ إبراهيم عند إيجاد BC.
  • يقتصر تطبيق نظرية منصف الزاوية في هذا الدرس على المنصّف الداخلي فقط.

الزبدة: التوازي داخل المثلث (نظرية المستقيم الموازي) ينتج تناسبًا بين أجزاء الضلعين المقطوعين، وعكس هذه النظرية صحيح. · نظرية طاليس تعمم فكرة التناسب على أي عدد من المستقيمات المتوازية، لكن تساوي النسب وحده لا يثبت التوازي. · نظرية منصف الزاوية تربط طولي ضلعي المثلث بالجزأين الناتجين عن تقسيم القاعدة بالمنصّف.

الأسئلة المهمة (6)
اذكر نص نظرية المستقيم الموازي لأحد أضلاع مثلث، وعكسها.
إذا وازى مستقيم أحد أضلاع مثلث وقطع ضلعيه الآخرين، فإنه يقسم هذين الضلعين إلى أجزاء أطوالها متناسبة. وعكسها صحيح: إذا كانت الأجزاء متناسبة فالمستقيم يوازي الضلع الثالث.
اذكر نص نظرية طاليس.
إذا قطع مستقيمان ثلاث مستقيمات متوازية أو أكثر، فإن أطوال القطع المستقيمة الناتجة على أحد القاطعين تكون متناسبة مع أطوال القطع الناتجة على القاطع الآخر.
اذكر نص نظرية منصف الزاوية في مثلث.
إذا نصّفت زاوية رأس مثلث الداخلة، قسم المنصّف قاعدة المثلث إلى جزئين النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين للمثلث.
علّل: طريقة إبراهيم في حساب BC غير صحيحة رغم أنه استخدم نسبة صحيحة لإيجاد AD.
لأنه قارن ED (ضلع كامل في المثلث الصغير) بالجزء EB بدلًا من الضلع الكامل AB؛ النسبة الصحيحة هي ED/BC = AE/AB وليس AE/EB، فحصل على BC خاطئ (18 بدلًا من 24).
هل عكس نظرية طاليس صحيح دائمًا؟ وضّح بمثال من الدرس.
لا. مثال الكتاب: مستقيمات L، M، N غير متوازية لكن AB/BC = 3/6 = 1/2 وED/DF = 2/4 = 1/2 (النسبتان متساويتان) دون أن تكون المستقيمات متوازية.
في مثلث ABC، AD ينصّف الزاوية A، إذا كان AB = 6، AC = 4، BC = 8، أوجد DB وDC.
DB/DC = AB/AC = 6/4 = 3/2، وDB+DC = 8، فيكون DB = 4.8، DC = 3.2.

كتاب الطالب· Student's Book

الوحدة 1الوحدة الأولى: الأعداد الحقيقية

الدرس 1: الجذور والتعبيرات الجذرية والعمليات عليها

  • لكل عدد حقيقي موجب جذران تربيعيان أحدهما موجب والآخر سالب، ولكل عدد حقيقي جذر تكعيبي واحد.
  • الجذر التكعيبي يعكس التكعيب، والجذر التربيعي لمربع عدد حقيقي يساوي قيمته المطلقة.
  • يبسط المجذور بإخراج عوامل المربعات أو المكعبات الكاملة، وبأصغر دليل ممكن.
  • يجمع ويطرح التعبيران الجذريان بعد التأكد من تشابههما: دليل الجذر نفسه والمجذور نفسه.
  • تطبق خواص الضرب والقسمة مع مراعاة مجال الجذور وعدم انعدام المقام.
  • يستخدم مرافق المقام بإجراء الضرب نفسه في البسط والمقام، ثم التبسيط.

الزبدة: التبسيط يسبق الحكم على تشابه الجذور. · دليل الجذر يحدد نوع القوة الكاملة التي نبحث عنها. · المرافق يجعل حاصل الضرب عدداً نسبياً ويحافظ استعماله الصحيح على قيمة الكسر.

الأسئلة المهمة (6)
ما الفرق بين عدد الجذور التربيعية والتكعيبية للعدد الحقيقي الموجب؟
له جذران تربيعيان أحدهما موجب والآخر سالب، وجذر تكعيبي واحد.
لماذا تظهر القيمة المطلقة عند تبسيط √(س²)؟
لأن رمز الجذر التربيعي يدل على القيمة غير السالبة، لذلك √(س²) = |س| لكل س حقيقي.
متى يكون تعبيران جذريان متشابهين؟
عندما يكون لهما دليل الجذر نفسه والمجذور نفسه بعد التبسيط.
لماذا لا نجمع √٢٧ و√١٢ قبل التبسيط؟
نبسطهما إلى ٣√٣ و٢√٣ ليتضح تشابههما، ثم نجمع المعاملين.
كيف نجعل مقام كسر جذري عدداً نسبياً؟
نضرب بسط الكسر ومقامه في مرافق المقام، ثم نطبق خواص الضرب ونجمع الحدود المتشابهة.
ما الخطوة الأولى عند إيجاد قيمة تعبير بدلالة قيمة جذرية معطاة؟
نعوض المتغير بالقيمة المعطاة مع المحافظة على الأقواس والأسس، ثم نبسط ونستخدم المرافق إذا بقي جذر في المقام.

الدرس 2: الأسس النسبية وخواصها

  • دليل الجذر يصبح مقاماً للأس عند التحويل إلى الصورة الأسية.
  • الجذر النوني لقوة من الرتبة نفسها يساوي القيمة المطلقة للعدد إذا كان الدليل زوجياً، ويساوي العدد إذا كان الدليل فردياً.
  • في ضرب قوتين للأساس نفسه نجمع الأسين، وفي القسمة نطرح الأسين.
  • في قوة القوة نضرب الأسين، ونوزع القوة على عاملي الضرب أو طرفي القسمة وفق الشروط.
  • الأس السالب يعبر عن مقلوب القوة ذات الأس الموجب المقابل.
  • عند التطبيقات نلتزم المعطيات والوحدات، ونوضح أي اختلاف مطبوع بين السؤال والحل.

الزبدة: الصورتان الجذرية والأسية تعبيران عن القيمة نفسها ضمن شروطهما. · اختيار خاصية الأسس يسبق إجراء الحساب. · التحقق من المجال والمقام جزء من الحل.

الأسئلة المهمة (5)
كيف يرتبط دليل الجذر بالأس النسبي؟
يصير دليل الجذر مقاماً للأس؛ فالجذر التربيعي يقابل الأس١/٢، والتكعيبي١/٣.
ما أثر كون دليل الجذر زوجياً أو فردياً عند أخذ جذر قوة كاملة من الرتبة نفسها؟
للدليل الزوجي نأخذ القيمة المطلقة، وللفردي نأخذ العدد نفسه.
كيف تحوّل ٢٥^(٣/٢) إلى الصورة الجذرية؟
٢٥^(٣/٢) = (√٢٥)³ = ٥³ = ١٢٥.
ما قاعدة ضرب قوتين لهما الأساس نفسه؟
نجمع الأسين مع بقاء الأساس كما هو، ضمن شروط كون القيم حقيقية.
لماذا لا يتضاعف طول السور أربع مرات حين تتضاعف مساحة الملعب أربع مرات؟
لأن العلاقة تتضمن الجذر التربيعي؛ جذر أربعة يساوي اثنين، فيصبح طول السور مثلي طوله السابق.

كتاب الطالب· Student's Book

الوحدة 1الوحدة الأولى: الأعداد الحقيقية

الدرس 1: الجذور والتعبيرات الجذرية

  • لكل عدد حقيقي موجب جذران تربيعيان أحدهما موجب والآخر سالب، ولكل عدد حقيقي جذر تكعيبي حقيقي واحد.
  • العدد السالب ليس له جذر تربيعي حقيقي، أما جذره التكعيبي فموجود وسالب.
  • إذا كان A³ = B فإن A = ∛B، حيث 3 «دليل الجذر» وB «المجذور»، و∛x³ = x لكل x ∈ ℝ.
  • شروط «أبسط صورة»: لا عوامل أسّها ≥ دليل الجذر، ولا جذر في المقام، ولا كسر تحت الجذر، ودليل الجذر أصغر ما يمكن.
  • √x² = |x| دائمًا، بينما ∛x³ = x بلا قيمة مطلقة.
  • لا نجمع التعبيرات الجذرية ولا نطرحها إلا إذا تشابهت في دليل الجذر والمجذور معًا، بعد وضعها في أبسط صورة.
  • √(x • y) = √x • √y و√(x/y) = √x/√y لكل x , y ∈ ℝ⁺ ∪ {0} مع y ≠ 0، والخاصيتان نفساهما للجذر التكعيبي لكل x , y ∈ ℝ.
  • لجعل المقام عددًا نسبيًّا نضرب بسط الكسر ومقامه في «المرافق»، والمرافق ليس وحيدًا.

الزبدة: التبسيط في الجذور معناه تحليل المجذور إلى مربعات كاملة أو مكعبات كاملة ثم سحبها خارج الجذر. · الجذر التربيعي يفرض شرط عدم السالبية ويظهر القيمة المطلقة، أما الجذر التكعيبي فيقبل جميع الأعداد الحقيقية بلا قيمة مطلقة. · المرافق أداة لتحويل مقام غير نسبي إلى مقام نسبي دون تغيير قيمة الكسر.

الأسئلة المهمة (8)
عرّف «الجذر التكعيبي» للعدد B، وحدّد «دليل الجذر» و«المجذور».
إذا كان A³ = B فإن A = ∛B وتقرأ الجذر التكعيبي للعدد B، حيث 3 هو دليل الجذر وB هو المجذور.
كم جذرًا تربيعيًّا حقيقيًّا وكم جذرًا تكعيبيًّا حقيقيًّا لكل من: عدد موجب، الصفر، عدد سالب؟
العدد الموجب: جذران تربيعيان وجذر تكعيبي واحد. الصفر: جذر تربيعي واحد وجذر تكعيبي واحد. العدد السالب: لا جذر تربيعي حقيقي وجذر تكعيبي واحد.
اذكر شروط كون التعبير الجذري في «أبسط صورة».
ألا يكون للمجذور عوامل مرفوعة لقوة أكبر من أو تساوي دليل الجذر، وألا يكون المقام جذرًا، وألا يكون المجذور كسرًا، وأن يكون دليل الجذر أصغر عدد صحيح موجب ممكن.
علّل: نكتب √(4x⁶) = |2x³| ولا نكتبها 2x³ مباشرة.
لأن √x² = |x| لكل x حقيقي، وقد يكون x سالبًا فيصير 2x³ سالبًا بينما الجذر التربيعي لا يكون سالبًا؛ فتكون النتيجة 2x³ إذا كان x ≥ 0 و−2x³ إذا كان x < 0.
متى يكون التعبيران الجذريان متشابهين؟ ولماذا يجب التبسيط قبل الحكم؟
يكونان متشابهين عندما يكون لهما دليل الجذر نفسه والمجذور نفسه. ويجب وضعهما في أبسط صورة أولًا لأن التشابه قد لا يظهر قبل التبسيط، مثل √27 و√12.
عرّف «المترافقين»، وأعطِ مثالًا من الكتاب.
إذا كان x, y تعبيرين جذريين يمثلان أعدادًا غير نسبية وكان ناتج ضرب x في y عددًا نسبيًّا فإن x, y مترافقان؛ مثل (3 + √2) و(3 − √2) لأن حاصل ضربهما 9 − 2 = 7 وهو عدد نسبي.
كيف نكتب الكسر 3/∛5 بحيث يكون المقام عددًا نسبيًّا؟
نضرب بسط الكسر ومقامه في ∛5² وهو مرافق المقام، فيصير المقام ∛5³ = 5، والناتج 3∛25/5.
علّل: √−4 ∉ ℝ.
لأن العدد السالب ليس له جذر تربيعي حقيقي؛ فلا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب.

الدرس 2: الأسس النسبية

  • دليل الجذر في الصورة الجذرية يصبح مقامًا للأس في الصورة الأسية، فـ x^(1/n) = ⁿ√x.
  • إذا كان بسط الأس غير الواحد فإن x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ) = (ⁿ√x)ᵐ بشرط أن يكون m/n في أبسط صورة.
  • تعريف الجذر النوني: إذا كان b = ⁿ√a عددًا حقيقيًّا فإن a = bⁿ حيث n ∈ ℤ⁺ و n ≥ 2.
  • ⁿ√(xⁿ) = |x| إذا كان n زوجيًّا، و ⁿ√(xⁿ) = x إذا كان n فرديًّا.
  • قوانين الأسس النسبية هي قوانين الأسس نفسها: bᵐ • bⁿ = bᵐ⁺ⁿ ، (bᵐ)ⁿ = bᵐ·ⁿ ، (a • b)ⁿ = aⁿ • bⁿ ، b⁻ⁿ = 1/bⁿ ، bᵐ/bⁿ = bᵐ⁻ⁿ ، (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.
  • قوانين الجذور النونية: ⁿ√x • ⁿ√y = ⁿ√(x • y) ، و ⁿ√x/ⁿ√y = ⁿ√(x/y) بشرط y ≠ 0 ، و ⁿ√(ᵐ√x) = ᵐ·ⁿ√x.
  • لضرب الجذور النونية أو قسمتها يمكن استعمال الصورة الأسية أو قوانين الجذور النونية، والنتيجة واحدة.

الزبدة: الجذر والأس النسبي وجهان لشيء واحد: المقام هو دليل الجذر، والبسط هو أس المجذور. · الدليل الزوجي يفرض القيمة المطلقة، أما الدليل الفردي فلا. · كل مسألة في هذا الدرس تُحل بطريقتين: قوانين الأسس أو قوانين الجذور النونية.

الأسئلة المهمة (7)
اكتب العلاقة التي تربط بين الصورة الجذرية والصورة الأسية لعدد.
x^(1/n) = ⁿ√x ، وبصورة أعم x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ) = (ⁿ√x)ᵐ حيث m/n في أبسط صورة.
عرّف «الجذر النوني» للعدد a.
إذا كان a عددًا حقيقيًّا و n ∈ ℤ⁺ ، n ≥ 2 ، وكان ⁿ√a عددًا حقيقيًّا يساوي b حيث b = ⁿ√a ، فإن a = bⁿ.
متى نكتب ⁿ√(xⁿ) = |x| ومتى نكتبها x؟ ولماذا؟
نكتبها |x| إذا كان n عددًا زوجيًّا، ونكتبها x إذا كان n عددًا فرديًّا؛ لأن الجذر ذا الدليل الزوجي لا يكون سالبًا، بينما الجذر ذو الدليل الفردي يحتفظ بإشارة المجذور.
اكتب العدد 25^(3/2) بالصورة الجذرية، مبيّنًا الخطوات.
25^(3/2) = 25^(3 × 1/2) = (25³)^(1/2) = √25³.
اذكر قوانين الجذور النونية الثلاثة.
ⁿ√x • ⁿ√y = ⁿ√(x • y) ، و ⁿ√x/ⁿ√y = ⁿ√(x/y) بشرط y ≠ 0 ، و ⁿ√(ᵐ√x) = ᵐ·ⁿ√x حيث ⁿ√(ᵐ√x) ∈ ℝ.
علّل: يمكن حل ∛16/∛2 بطريقتين مختلفتين والنتيجة واحدة.
لأن الصورة الجذرية والصورة الأسية تعبيران عن الشيء نفسه؛ فالطريقة الأولى تستعمل قانون قسمة الجذور النونية والثانية تستعمل قانون قسمة الأسس، وكلتاهما تعطيان 2.
كيف نُدخل الأس النسبي إلى الآلة الحاسبة؟
نستخدم مفتاح الأس ونضع الأس النسبي بين قوسين؛ فمثلًا 432^(3/5) تُدخل هكذا: 432 ^ (3 ÷ 5).

الدرس 3: حل المعادلات

  • «المعادلة الجذرية» معادلة يكون فيها أس المتغير عددًا نسبيًّا أو يتضمن المجذور متغيرًا.
  • خطوات حل المعادلة الجذرية أربع: افصل الجذر، حدّد شرط الحل، ارفع الطرفين إلى أس مناسب، تأكد من تحقق الشرط.
  • شرط الحل: إذا كان دليل الجذر زوجيًّا فما تحت الجذر ≥ 0 وكل من طرفي المعادلة ≥ 0؛ وإذا كان فرديًّا فما تحت الجذر ينتمي إلى ℝ.
  • رفع طرفي المعادلة إلى قوة قد يُنتج «حلولًا دخيلة» لا تحقق الشرط، فيجب استبعادها.
  • لحل معادلة على صورة x^(m/n) = b نرفع الطرفين إلى الأس n/m، فتظهر القيمة المطلقة إذا كان m زوجيًّا.
  • إذا احتوت المعادلة على جذرين فُصل كل جذر في طرف ثم رُبّع الطرفان.
  • «المعادلة الأسية» تُحل بتوحيد الأساس ثم مساواة الأسّين: إذا كان aᵐ = aⁿ فإن m = n بشرط a ∉ {−1 , 0 , 1}.
  • قد يكون الأس «كثيرة حدود»، فتُساوى كثيرتا الحدود وتُحل المعادلة الناتجة بالتحليل.

الزبدة: الجذر لا يعطي ناتجًا سالبًا، ولهذا يسبق شرطُ الحل الحلَّ نفسه ويحكم عليه. · كل حل نحصل عليه بعد رفع الطرفين إلى قوة يبقى مشكوكًا فيه حتى يُختبر بالشرط. · المعادلة الأسية تُحل بتوحيد الأساس، تمامًا كما تُحل الجذرية بتوحيد الصورة وإزالة الجذر.

الأسئلة المهمة (8)
عرّف «المعادلة الجذرية»، وأعطِ مثالًا ومثالًا مضادًّا من الكتاب.
هي معادلة يكون فيها أس المتغير عددًا نسبيًّا (ليس عددًا صحيحًا) أو يتضمن المجذور متغيرًا؛ فمثلًا 3 + √x = 10 معادلة جذرية، و(x − 2)^(1/2) = 1 معادلة جذرية، أما √3 + x = 1 فليست معادلة جذرية.
اذكر خطوات حل المعادلة الجذرية كما وردت في الكتاب.
الأولى: أفصل الجذر إلى أحد طرفي المعادلة. الثانية: حدد شرط الحل. الثالثة: ارفع طرفي المعادلة إلى أس مناسب يحذف الجذر. الرابعة: تأكد من أن الحل يحقق الشرط.
ما «الحل الدخيل»؟ ومتى يظهر؟ وكيف نتخلص منه؟
هو حل نحصل عليه من المعادلة لكنه لا يحقق شرط الحل. ويظهر عند رفع طرفي المعادلة إلى قوة ما. ونتخلص منه بالخطوة الرابعة، أي بفحص كل حل مع الشرط واستبعاد ما لا يحققه، كما استُبعد x = 4 في مثال (3).
علّل: مجموعة حل المعادلة 6 + √(x − 1) = 3 هي المجموعة الخالية.
لأننا بعد فصل الجذر نحصل على √(x − 1) = −3، والجذر التربيعي موجب أو صفر ولا يساوي عددًا سالبًا، فلا توجد قيمة لـ x تحقق المعادلة.
اكتب الخاصية المستخدمة في حل المعادلات الأسية، وشرطها.
ليكن a عددًا حقيقيًّا حيث a ∉ {−1 , 0 , 1} و m , n عددان صحيحان؛ إذا كان aᵐ = aⁿ فإن m = n.
علّل: استُثنيت الأعداد −1 و0 و1 من أساس المعادلة الأسية.
لأنها تنقض القاعدة؛ فمثلًا 1¹⁷ = 1¹⁸ ولكن 17 ≠ 18، و(−1)¹³ = (−1)³ ولكن 13 ≠ 3، و0⁴ = 0³ ولكن 4 ≠ 3.
كيف نتصرف إذا احتوت المعادلة على جذرين؟
نفصلهما بحيث يحتوي كل طرف في المعادلة على جذر، ثم نحدد شرط الحل من المجذورين معًا، ثم نربّع الطرفين.
في مسألة «المرشد لحل المسائل»: ما نسبة حجم الكرة إلى حجم المكعب المحاط بها؟
حجم المكعب x³، وقطر الكرة هو قطر المكعب AB = x√3 فيكون نصف القطر R = x√3/2، وحجم الكرة ≈ 1.57√3 x³، فتكون النسبة ((1.57) × x³√3)/x³ = 2.72/1 أي حوالي 2.72 ∶ 1.

الوحدة 2الوحدة الثانية: الدوال الحقيقية

الدرس 1: مجال الدالة

  • «العلاقة» هي أي مجموعة من الأزواج المرتبة؛ المساقط الأولى تكوّن «المجال»، والمساقط الثانية تكوّن «المدى» وهو مجموعة جزئية من «المجال المقابل».
  • العلاقة تكون «دالة» عندما يرتبط كل عنصر في المجال بعنصر واحد وفقط من المجال المقابل.
  • «الدالة الحقيقية» هي التي مجالها ومجالها المقابل مجموعتان جزئيتان من الأعداد الحقيقية.
  • «اختبار المستقيم الرأسي»: إذا تقاطع كل مستقيم رأسي مع بيان العلاقة بنقطة واحدة على الأكثر فالعلاقة دالة.
  • «مجال الدالة» هو مجموعة قيم x الحقيقية التي ينتج عنها قيم حقيقية لـ y.
  • مجال كثيرة الحدود هو ℝ، ومجال الدالة النسبية ℝ عدا أصفار المقام، ومجال الجذر ذي الدليل الزوجي يشترط g(x) ≥ 0، والجذر ذو الدليل الفردي مجاله مجال g.
  • مجال المجموع والفرق والضرب هو تقاطع مجالي الدالتين، ومجال القسمة هو التقاطع نفسه بعد حذف أصفار المقام.

الزبدة: الدالة قيد على العلاقة: لكل مدخل مخرج واحد فقط، لا أكثر ولا أقل. · إيجاد المجال معناه جمع كل الشروط التي تمنع الرياضيات من الانهيار: لا جذر لعدد سالب بدليل زوجي، ولا قسمة على صفر. · عند تركيب دالتين نأخذ تقاطع المجالين ثم نستبعد أصفار المقام.

الأسئلة المهمة (8)
عرّف «الدالة»، ومتى تسمى «دالة حقيقية»؟
عندما يكون كل عنصر (عدد) في المجال مرتبطًا بعنصر (عدد) واحد وفقط من المجال المقابل، فإن العلاقة تسمى دالة. وتسمى دالة حقيقية إذا كان مجالها والمجال المقابل مجموعتين جزئيتين من الأعداد الحقيقية.
ما الفرق بين «المجال المقابل» و«المدى»؟
المجال المقابل هو المجموعة الثانية كاملة، أما المدى فهو مجموعة المساقط الثانية للأزواج المرتبة فقط، أي العناصر التي اقترنت فعلًا، وهو مجموعة جزئية من المجال المقابل.
اذكر نص «اختبار المستقيم الرأسي».
إذا تقاطع كل مستقيم رأسي مع بيان علاقة ما بنقطة واحدة على الأكثر، فإن هذه العلاقة تكون دالة.
علّل: العلاقة r₁ في مثال توضيحي (1) لا تمثل دالة.
لأن العنصر 6 من المجال لم يقترن بعنصر من المجال المقابل، وشرط الدالة أن يقترن كل عنصر من المجال بعنصر واحد وفقط.
علّل: العلاقة r₄ في مثال توضيحي (1) لا تمثل دالة حقيقية.
لأن العنصر 3 من المجال يقترن بعنصرين من المجال المقابل هما 2 و4، وشرط الدالة عنصر واحد وفقط.
اذكر قاعدة مجال الدالة 𝑓(x) = ⁿ√(g(x)) في حالتي n الزوجي والفردي.
إذا كان n عددًا زوجيًّا فمجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي تحقق الشرط g(x) ≥ 0. وإذا كان n عددًا فرديًّا فمجالها هو مجال الدالة g.
أوجد مجال الدالة h(x) = (x + 2)/(x − 4) موضّحًا الخطوات.
الدالة نسبية، والبسط والمقام كثيرتا حدود مجالهما ℝ. ولإيجاد أصفار المقام: x − 4 = 0 ومنه x = 4. إذن مجال h = ℝ/{4} أو (−∞ , 4) ∪ (4 , ∞).
أوجد مجال الدالة v(x) = √(3x − 4)/(x − 2).
مجال البسط يتطلب 3x − 4 ≥ 0 أي x ≥ 4/3 فمجاله [4/3 , ∞)، والمقام كثيرة حدود مجالها ℝ وأصفاره {2}. فيكون مجال v = [4/3 , ∞)/{2} أو [4/3 , 2) ∪ (2 , ∞).

الدرس 2: الدوال التربيعية ونمذجتها

  • الصورة العامة للدالة التربيعية: 𝑓(x) = ax² + bx + c حيث a,b,c ∈ ℝ و a ≠ 0 ؛ فيها ax² «حد من الدرجة الثانية»، و bx «حد من الدرجة الأولى»، و c «حد مطلق (ثابت)».
  • أكبر أس لمتغير ما في الدالة التربيعية هو (2)، وتكون الدالة خطية إذا كان أكبر أس لمتغير فيها هو (1)؛ ولمعرفة النوع نكتب الدالة بالصورة العامة أولًا بالتوزيع بالضرب وجمع الحدود المتشابهة.
  • تمثل الدالة التربيعية بيانيًّا بمنحنى متماثل حول المستقيم الرأسي المار برأس المنحنى، ويسمى شكله «قطعًا مكافئًا» (parabola)، والإحداثي السيني للرأس x = −b⁄2a وهو معادلة «محور التماثل».
  • لنمذجة بيانات جدول بدالة تربيعية: نفرض 𝑓(x) = ax² + bx + c ، ونعوّض بثلاثة أزواج مرتبة من الجدول فينتج نظام ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل يحل بطريقة الحذف أو التعويض أو بآلة حاسبة، ثم نتحقق بالتعويض ببقية الأزواج.

الزبدة: الدالة تربيعية إذا أمكن كتابتها بالصورة 𝑓(x) = ax² + bx + c بشرط a ≠ 0 ؛ والحكم على نوعها يكون بعد ردّها إلى هذه الصورة لا من شكلها الظاهر. · النمذجة تعني إيجاد ثوابت الدالة a و b و c من أزواج الجدول، فتتحول أرقام الجدول إلى دالة تتنبأ بقيم لم ترد فيه.

الأسئلة المهمة (5)
ما الصورة العامة للدالة التربيعية؟ وما اسم كل حد من حدودها؟
الصورة العامة هي 𝑓(x) = ax² + bx + c حيث a,b,c ∈ ℝ و a ≠ 0. والحد ax² يسمى «حدًّا من الدرجة الثانية»، والحد bx يسمى «حدًّا من الدرجة الأولى»، والحد c يسمى «حدًّا مطلقًا (ثابتًا)».
كيف تميّز بين الدالة الخطية والدالة التربيعية؟
بأكبر أس للمتغير بعد كتابة الدالة بالصورة العامة: أكبر أس لمتغير ما في الدالة التربيعية هو (2)، وتكون الدالة خطية إذا كان أكبر أس لمتغير فيها هو (1). فإن كانت الدالة على صورة أقواس مضروبة نفتح الأقواس بالتوزيع بالضرب ثم نجمع الحدود المتشابهة، ثم نحكم.
ما شكل التمثيل البياني للدالة التربيعية؟ وما محور التماثل؟
تمثل الدالة التربيعية بيانيًّا بمنحنى متماثل حول المستقيم الرأسي الذي يمر برأس المنحنى، ويسمى شكل المنحنى «قطعًا مكافئًا» (parabola). والإحداثي السيني لرأس هذا المنحنى x = −b⁄2a وهو معادلة المستقيم الرأسي الذي يسمى «محور التماثل».
اذكر الإجراءات اللازمة لحل ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل.
لحل ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل يمكن استخدام طريقة الحذف أو طريقة التعويض. تقوم طريقة التعويض على عزل أحد المجاهيل في إحدى المعادلات والتعويض عن هذا المجهول بما يساويه في المعادلتين الباقيتين، وهكذا نحصل على نظام معادلتين بمجهولين يسهل حلّه. أما طريقة الحذف فتقوم على استخدام العمليات الأربع على المعادلات بحيث يتم إلغاء أحد المجاهيل وينتج من ذلك نظام معادلتين بمجهولين.
علّل: لا يكفي أن نعوّض بزوجين مرتبين من الجدول لنجد الدالة التربيعية التي تنمذج بياناته.
لأن الدالة التربيعية 𝑓(x) = ax² + bx + c فيها ثلاثة ثوابت مجهولة هي a و b و c، والزوجان يعطيان معادلتين فقط، والنظام الناتج لا يكفي لتعيين ثلاثة مجاهيل. لذلك اختار الكتاب في كل نشاط ثلاثة أزواج مرتبة ليكوّن نظام ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل، ثم تحقق من صحة الدالة بالتعويض ببقية الأزواج.

الدرس 3: الدوال التربيعية والقطوع المكافئة

  • «رأس القطع المكافئ» هو أعلى (أو أدنى) نقطة في القطع المكافئ؛ فإن كانت أعلى نقطة فللدالة عندها «قيمة عظمى» وفتحة القطع لأسفل، وإن كانت أدنى نقطة فللدالة عندها «قيمة صغرى» وفتحة القطع لأعلى.
  • «محور التماثل (التناظر)» يقسم القطع المكافئ إلى جزئين متطابقين، ومعادلته x = x₁ حيث x₁ الإحداثي السيني لنقطة رأس القطع، وكل نقطتين متناظرتين تقعان على البعد نفسه منه.
  • معادلة الدالة التي تمثل قطعًا مكافئًا رأسه (0, 0) هي y = ax² ، ومحور تماثله x = 0 ، ولإيجاد a نستخدم إحداثيات نقطة على المنحنى غير نقطة الرأس.
  • يتغير «اتساع القطع المكافئ» تبعًا لتغير معامل حد الدرجة الثانية؛ فكلما زادت قيمة المعامل ضاق القطع المكافئ.
  • المعادلة y = a(x − h)² + k ، حيث a ≠ 0 و h ,k ∈ ℝ ، تسمى «معادلة القطع المكافئ بدلالة إحداثيات رأسه (h, k)» وهي عبارة عن إزاحة لبيان الدالة y = ax² .
  • من المعادلة y = a(x − h)² + k نعرف: الرأس (h, k) ، ومحور التماثل x = h ، والفتحة لأعلى إذا كانت a موجبة ولأسفل إذا كانت a سالبة، والرسم أوسع من y = x² إذا كان | a | < 1 وأضيق منه إذا كان | a | > 1 .

الزبدة: معادلة القطع المكافئ بدلالة إحداثيات رأسه y = a(x − h)² + k تختصر كل خواصه: الرأس ومحور التماثل واتجاه الفتحة والاتساع. · إذا كان رأس القطع نقطة الأصل فمعادلته y = ax² ، وقيمة a تُوجد بالتعويض بإحداثيات أي نقطة على المنحنى غير نقطة الرأس. · إشارة a تحدد اتجاه فتحة القطع ونوع القيمة عند الرأس: a موجبة تعني فتحة لأعلى وقيمة صغرى، و a سالبة تعني فتحة لأسفل وقيمة عظمى.

الأسئلة المهمة (6)
عرّف «رأس القطع المكافئ».
هو أعلى (أو أدنى) نقطة في القطع المكافئ الذي يمثّل الدالة التربيعية بيانيًّا؛ فإن كان أعلى نقطة فللدالة عنده أكبر قيمة وتسمى «قيمة عظمى» وفتحة القطع لأسفل، وإن كان أدنى نقطة فللدالة عنده أصغر قيمة وتسمى «قيمة صغرى» وفتحة القطع لأعلى.
عرّف «محور التماثل (التناظر)» واكتب معادلته.
هو المستقيم الذي يقسم القطع المكافئ إلى جزئين متطابقين، كل جزء صورة للآخر بالانعكاس في المحور، فكل نقطة على القطع تناظرها نقطة أخرى تقع على البعد نفسه من المحور. ومعادلته x = x₁ حيث x₁ الإحداثي السيني لنقطة رأس القطع.
علّل: القطع المكافئ الذي معادلته y = −1⁄2 x² مفتوح إلى أسفل.
لأن معامل حد الدرجة الثانية a = −1⁄2 و −1⁄2 < 0 ، وتكون فتحة القطع المكافئ إلى الأسفل عندما تكون a سالبة.
اذكر المعلومات التي تمدك بها المعادلة y = a(x − h)² + k .
تمدك بأربع معلومات: رأس المنحنى هو النقطة (h, k) ، ومحور التماثل هو الخط x = h ، وفتحة القطع إلى الأعلى عندما تكون a موجبة وإلى الأسفل عندما تكون a سالبة، والرسم يكون أوسع من رسم y = x² إذا كان | a | < 1 وأضيق منه إذا كان | a | > 1 .
كيف يؤثر تغير معامل حد الدرجة الثانية في القطع المكافئ؟
كل القطوع المكافئة لها الشكل العام نفسه، ويتغير «اتساع القطع المكافئ» تبعًا لتغير معامل حد الدرجة الثانية؛ فكلما زادت قيمة المعامل صار القطع أضيق، وكلما صغرت صار أوسع، كما في منحنيات y = 2x² و y = x² و y = 1⁄2 x² .
قارن بين تأثير قيمة a الموجبة وقيمة a السالبة في المعادلة y = a(x − h)² + k .
إذا كانت a موجبة فإن فتحة القطع المكافئ إلى الأعلى ويكون عند الرأس قيمة صغرى للدالة، وإذا كانت a سالبة فإن فتحة القطع المكافئ إلى الأسفل ويكون عند الرأس قيمة عظمى للدالة.

الدرس 4: مقارنة بين صورة معادلة الدالة التربيعية بدلالة إحداثيات رأس المنحنى والصورة العامة (إثرائي)

  • إذا كتبت معادلة الدالة في «الصورة العامة» y = ax² + bx + c ، a ≠ 0 ، فإن الإحداثي السيني «لرأس القطع المكافئ» هو: h = −b/2a .
  • لإيجاد الإحداثي الصادي k عوّض بقيمة الإحداثي السيني h في المعادلة الأصلية ثم بسّط.
  • صورة المعادلة بدلالة إحداثيات رأس المنحنى هي: y = a(x − h)² + k ، a ≠ 0 ، حيث (h, k) إحداثيا الرأس.
  • كل زوج من المعادلتين — الواحدة بالصورة العامة والأخرى بدلالة إحداثيات الرأس — معادلتان متكافئتان، ورسماهما منحنى واحد.
  • محور التماثل يمر برأس القطع المكافئ، ومعادلته: x = −b/2a .
  • للتحويل من صورة الرأس إلى الصورة العامة: أوجد حاصل ضرب القوسين، ثم استخدم خاصية التوزيع، ثم بسّط.
  • في المسائل الحياتية: القيمة العظمى (أكبر مساحة أو أعلى ربح) تتحقق عند رأس المنحنى، فالسعر أو البعد هو x = −b/2a ، وقيمة العظمى هي قيمة الدالة عند هذه النقطة.

الزبدة: الصورة العامة والصورة بدلالة إحداثيات رأس المنحنى وجهان لمعادلة واحدة، والجسر بينهما هو h = −b/2a ثم التعويض لإيجاد k. · رأس القطع المكافئ ليس مفهومًا نظريًا فقط: عنده تتحقق أكبر مساحة وأعلى ربح في المسائل الحياتية. · إذا عُلم الرأس وعُلمت الصورة العامة، أمكنك إيجاد المعاملات إما بالتعويض وحل النظام، وإما بالمقارنة بين الصورتين.

الأسئلة المهمة (6)
كيف تجد الإحداثي السيني لرأس منحنى دالة تربيعية مكتوبة بالصورة العامة y = ax² + bx + c ؟
بالقانون h = −b/2a ؛ أي أقسم سالب معامل x على ضعف معامل x² .
كيف تجد الإحداثي الصادي k لرأس المنحنى؟
عوّض بقيمة الإحداثي السيني h في المعادلة الأصلية ثم بسّط، فالناتج هو k . ففي مثال (1) عند h = −2.5 كان k = 2(−2.5)² + 10(−2.5) + 7 = −5.5 .
ما العلاقة بين محور التماثل ورأس القطع المكافئ، وما معادلة محور التماثل للقطع المكافئ y = ax² + bx + c ؟
محور التماثل يمر برأس القطع المكافئ، فمعادلته هي الإحداثي السيني للرأس نفسه: x = −b/2a . فمثلًا محور تماثل y = 2x² + 10x + 7 هو x = −10/2(2) = −2.5 .
كيف تحوّل معادلة من الصورة بدلالة إحداثيات الرأس إلى الصورة العامة؟
أوجد حاصل ضرب القوسين أولًا، ثم استخدم خاصية التوزيع، ثم بسّط. ففي مثال (3): y = 3(x − 1)² + 12 ⇒ y = 3(x² − 2x + 1) + 12 ⇒ y = 3x² − 6x + 3 + 12 ⇒ y = 3x² − 6x + 15 .
لماذا نستخدم رأس القطع المكافئ في مسائل أكبر مساحة وأعلى ربح؟
لأن المساحة أو الربح تُنمذج بدالة تربيعية بيانها قطع مكافئ له قيمة عظمى عند رأس المنحنى، فتتحقق القيمة العظمى عند x = −b/2a ، وقيمة العظمى هي قيمة الدالة عند هذه النقطة.
ما الصيغة التي تربط بين a و b و h والتي توصّلت إليها في فقرة «عمل تعاوني»؟
من أول زوجين حيث a = 1 كانت h = −b/2 ، وبتوسيعها بالزوجين الأخيرين تصبح h = −b/2a .

الدرس 5: المعكوسات ودوال الجذر التربيعي

  • إذا كان (a, b) زوجًا مرتبًا من علاقة r فإن (b, a) زوج مرتب من معكوس هذه العلاقة، ويرمز لمعكوس العلاقة r بالرمز r⁻¹.
  • مدى العلاقة r هو مجال معكوسها، ومجال r هو مدى معكوسها؛ فالمجال والمدى يتبادلان مواقعهما.
  • المستقيم y = x هو خط انعكاس لبيان العلاقة وبيان معكوسها، ولرسم المعكوس اعكس ترتيب كل زوج مرتب.
  • معكوس الدالة الخطية هو دالة خطية أيضًا، ولكن معكوس الدالة عمومًا ربما لا يكون دالة كما في 𝑓(x) = x² + 3.
  • لإيجاد المعكوس جبريًا: عوّض عن 𝑓(x) بـ y ، ثم بدّل x , y ، ثم حل بالنسبة إلى y.
  • المعادلة y = √x دالة جذر تربيعي، مجالها [0, ∞) ومداها [0, ∞).
  • بيان y = √(x − h) + k ينتج من إزاحة بيان y = √x : h موجبة يمينًا و h سالبة يسارًا، و k موجبة إلى الأعلى و k سالبة إلى الأسفل، ويبدأ البيان عند النقطة (h, k).

الزبدة: المعكوس يعكس الترتيب فقط: ما كان مدخلًا صار مخرجًا، ولذلك يتبادل المجال والمدى وينعكس البيان حول المستقيم y = x. · لكل علاقة معكوس، لكن هذا المعكوس ليس دالة دائمًا؛ وتقييد مجال الدالة الأصلية هو الذي يجعل معكوسها دالة. · دالة الجذر التربيعي y = √(x − h) + k ليست دالة جديدة، بل هي دالة المرجع y = √x بعد إزاحة أفقية ورأسية.

الأسئلة المهمة (8)
عرّف معكوس العلاقة r كما ورد في الكتاب.
إذا كانت r علاقة تصل بين عنصر a من مجال r وعنصر b من مدى r فإن معكوس العلاقة r يصل من b إلى a؛ أي إذا كان (a, b) زوجًا مرتبًا من العلاقة r فإن (b, a) زوج مرتب من معكوس هذه العلاقة، ويرمز له بالرمز r⁻¹.
ما العلاقة بين مجال العلاقة ومدى معكوسها؟
مدى العلاقة r هو مجال معكوس هذه العلاقة، ومجال r هو مدى معكوسها.
علّل: العلاقة S في المثال التوضيحي تمثل دالة بينما معكوسها لا يمثل دالة.
العلاقة S تمثل دالة لأن كل عنصر من المجال يقترن بعنصر واحد فقط من المجال المقابل، بينما معكوس S لا يمثل دالة لأن العنصر (1) من المجال يقترن بعنصرين من المجال المقابل.
اذكر خطوات إيجاد معكوس الدالة جبريًا.
إذا كانت الدالة تستخدم الرمز 𝑓(x) عوّض عن 𝑓(x) بـ y ، ثم بدّل بين متغيري الدالة x , y ، ثم حل المعادلة بالنسبة إلى y ؛ فتكون المعادلة الناتجة هي معكوس الدالة.
أوجد معكوس الدالة 𝑓(x) = x² + 3 ثم ناقش: هل المعكوس دالة؟
نعوض عن 𝑓(x) بـ y فتصير y = x² + 3 ، ثم نبدل x , y فتصير x = y² + 3 ، ثم x − 3 = y² ، ثم y = ± √(x − 3). ومعكوس الدالة ربما لا يكون دالة، لأن معكوس القطع المكافئ قطع مكافئ مفتوح لليمين وتوجد قيمتان لـ y لبعض قيم x. أما عند x ≥ 0 فالمعكوس y = √(x − 3) وهو دالة، وعند x ≤ 0 فالمعكوس y = −√(x − 3) وهو دالة أيضًا.
ما مجال الدالة y = √x ومداها؟ ولماذا؟
المجال [0, ∞) لأن الدالة معرفة فقط بالنسبة إلى صفر وإلى القيم الموجبة لـ x أي عندما x ≥ 0 ، والمدى [0, ∞) لأن y ≥ 0 وهي قيم الدالة عند المجال المعطى.
كيف تحصل على بيان الدالة y = √(x + 3) − 4 من بيان دالة المرجع y = √x ؟
بإزاحة بيان الدالة y = √x ثلاث وحدات إلى اليسار لأن h = −3 سالبة، وأربع وحدات إلى الأسفل لأن k = −4 سالبة، فيبدأ البيان عند النقطة (−3, −4).
ما دور المستقيم y = x في رسم معكوس العلاقة؟
المستقيم y = x هو خط انعكاس لبيان العلاقة وبيان معكوسها؛ فكل نقطة في أحد البيانين تقابلها نقطة في الآخر منعكسة حول هذا المستقيم.

الدرس 6: حل المتباينات

  • لحل متباينة من الدرجة الثانية في متغير واحد: نكتب المعادلة المناظرة، ونحللها إلى عوامل أولية، ونجد أصفارها، ثم نكوّن الجدول ونقرأ منه مجموعة الحل.
  • عند ضرب طرفي متباينة في عدد سالب نعكس علاقة الترتيب، ويمكنك ضرب طرفي المتباينة في (−1) للسهولة حين يكون معامل x² سالبًا.
  • لحل متباينة تتضمن حدوديات نسبية: ننقل كل الحدود إلى طرف واحد ونوحّد المقام حتى تصير المتباينة كسرًا واحدًا مقارنًا بالصفر، ثم نحدد أصفار البسط وأصفار المقام ونستخدم الجدول.
  • الحدوديات النسبية غير معرّفة عند أصفار المقام، فتُكتب في الجدول «غير معرفة» عند تلك القيم وتُستبعد من مجموعة الحل.
  • من المهم جدًا تحديد أصفار المقام قبل الاختصار، كما في مثال (7) حيث بقيت x = 3 مستبعدة بعد اختصار العامل (x − 3) فكانت مجموعة الحل (2, ∞)/{3} = (2, 3) ∪ (3, ∞).
  • مجال الدالة الجذرية هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي تحقق شرط أن يكون المقدار تحت الجذر ≥ 0، فتتحول المسألة إلى متباينة تُحل بالجدول.
  • اتحاد فترتين يُكتب بصورة أخرى: (−∞, a) ∪ (b, ∞) = ℝ /[a, b] ، و(−∞, a] ∪ (b, ∞) = ℝ /(a, b] ، و(−∞, a) ∪ [b, ∞) = ℝ /[a, b) ، و(−∞, a] ∪ [b, ∞) = ℝ /(a, b).
  • في المسائل الحياتية نلتزم بالمجال الواقعي للمتغير، فيبدأ الجدول وينتهي عند طرفي هذا المجال كما في مثال (3) حيث كان x ∈ (0, 10).
  • بيانيًا: 𝑓(x) < y في الفترات التي يقع فيها المنحنى أسفل المستقيم، و𝑓(x) > y حيث يقع فوقه، ونقاط التقاطع هي حلول 𝑓(x) = y.

الزبدة: الجدول هو أداة الدرس الأولى: أصفار العوامل تقسم خط الأعداد إلى فترات، وإشارة الحاصل في كل فترة تحدد مجموعة الحل. · المتباينة النسبية تُحل بالجدول نفسه، لكن أصفار المقام تُستبعد دائمًا لأن الكسر غير معرّف عندها. · مجال الدالة الجذرية مسألة متباينة: ما تحت الجذر يجب أن يكون أكبر من الصفر أو يساويه. · الرسم البياني يعطي مجموعة الحل بالنظر إلى موقع المنحنى من المستقيم، والحل الجبري بالجدول يؤكد النتيجة نفسها.

الأسئلة المهمة (8)
ما خطوات حل متباينة من الدرجة الثانية في متغير واحد كما في الكتاب؟
نكتب المعادلة المناظرة بوضع علامة يساوي بدل علامة المتباينة، ثم نحللها إلى عوامل أولية، ثم نجد أصفار كل عامل، ثم نتبع إشارة كل عامل قبل صفره وبعده، ثم نكوّن الجدول ونقرأ إشارة حاصل الضرب في كل فترة، ونأخذ الفترات التي تحقق المتباينة المطلوبة.
لماذا نعكس علاقة الترتيب عند ضرب طرفي المتباينة في عدد سالب؟
لأن الضرب في عدد سالب يقلب ترتيب العددين على خط الأعداد، فالأكبر يصير أصغر والأصغر يصير أكبر؛ ولذلك يذكّرنا الكتاب: «عند ضرب طرفي متباينة في عدد سالب نعكس علاقة الترتيب»، كما في مثال (2) حين صارت −x² + 7x − 10 ≤ 0 هي x² − 7x + 10 ≥ 0.
لماذا تُستبعد أصفار المقام من مجموعة حل المتباينة النسبية؟
لأن «الحدوديات النسبية غير معرّفة عند أصفار المقام»، فالكسر لا قيمة له عندها؛ ولذلك نكتب في الجدول كلمة «غير معرفة» مكان الإشارة عند تلك القيمة ولا ندخلها في مجموعة الحل، كما في مثال (5) حيث خرجت x = −2 بقوس مفتوح.
كيف تجد مجال الدالة 𝑓(x) = √(x² − 4)؟
مجال الدالة 𝑓 هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي تحقق الشرط x² − 4 ≥ 0. نوجد المعادلة المناظرة x² − 4 = 0 ونحللها (x − 2)(x + 2) = 0 فنجد x = 2 أو x = −2، ثم نكوّن الجدول فنجد أن الحاصل موجب أو صفر على (−∞, −2] ∪ [2, +∞) = ℝ /(−2, 2)، وهو المجال.
ما الصورة الأخرى لكتابة الفترة (−∞, a] ∪ [b, ∞)؟
هي ℝ /(a, b) كما في جدول الكتاب؛ ولاحظ أن القوسين ينقلبان: الطرف المغلق في الصورة الأولى يصير مفتوحًا في الصورة الأخرى.
في مثال (7) لماذا كانت القيمة x = 3 غير مقبولة رغم اختصار العامل (x − 3)؟
لأنها صفر المقام في المتباينة قبل الاختصار، والحدودية النسبية غير معرّفة عندها؛ ولهذا يقول الكتاب: «من المهم جدًا تحديد أصفار المقام قبل الاختصار»، فكانت مجموعة الحل (2, ∞)/{3} = (2, 3) ∪ (3, ∞).
كيف تقرأ من الرسم البياني مجموعة حل المتباينة 𝑓(x) < y؟
نحدد أولًا نقطتي تقاطع المستقيم مع المنحنى، ثم نأخذ الفترات التي يقع فيها المنحنى أسفل المستقيم. ففي مثال (8) قطع المستقيم y = 5 المنحنى في (−4, 5) و(2, 5)، ونلاحظ أن 𝑓(x) < 5 ∀ x ∈ (−4, 2).
في مثال (3) لماذا كان المجال الواقعي للمتغير x هو (0, 10)؟
لأن المحيط 20 m فيكون L + W = 10 m، وإذا كان أحد البعدين x فالبعد الآخر 10 − x، والبعدان طولان موجبان، فيلزم 0 < x < 10 أي x ∈ (0, 10)؛ ولذلك كوّن الكتاب الجدول من 0 إلى 10 لا من −∞ إلى +∞.

الوحدة 3الوحدة الثالثة: كثيرات الحدود

الدرس 1: دوال القوى ومعكوساتها

  • دوال القوى هي الدوال التي على الشكل y = axⁿ ، a ≠ 0 ، n ∈ ℤ⁺ ، ويمكن كتابتها أيضًا على الصورة 𝑓(x) = axⁿ .
  • بيان الدوال التي على الصورة y = axⁿ حيث n عدد زوجي موجب و a ≠ 0 يشبه بيان y = x² و y = x⁴ ، وبيانها حيث n عدد فردي موجب يشبه بيان y = x³ .
  • تكون الدالة y = 𝑓(x) التي مجالها D دالة زوجية إذا وفقط إذا كان ∀x ∈ D ، −x ∈ D و 𝑓(−x) = 𝑓(x) .
  • تكون الدالة y = 𝑓(x) التي مجالها D دالة فردية إذا وفقط إذا كان ∀x ∈ D ، −x ∈ D و 𝑓(−x) = −𝑓(x) .
  • المحور الصادي هو محور تماثل (تناظر) لبيان كل دالة زوجية، ونقطة الأصل هي نقطة تماثل (تناظر) لبيان كل دالة فردية، وتوجد دوال ليست زوجية وليست فردية.
  • إذا كان (a, b) عنصرًا من العلاقة r فإن (b, a) عنصر من معكوسها r⁻¹ ، ومجال معكوس العلاقة هو مدى العلاقة، والمستقيم y = x خط تناظر بين نقاط العلاقة ونقاط معكوسها.
  • لإيجاد معكوس دالة: اعكس المتغيرين x , y ثم حل بالنسبة إلى y ، وليس بالضرورة أن يكون المعكوس دالة.
  • يرمز لمعكوس الدالة 𝑓 بالرمز 𝑓⁻¹ ، وعندما يقطع مستقيم رأسي المنحنى في موضعين فهذا المنحنى لا يمثل دالة.

الزبدة: زوجية الدالة أو فرديتها سؤال عن التماثل: المحور الصادي مرآةٌ للزوجية، ونقطة الأصل مركزُ دورانٍ للفردية. · الحكم على الدالة يكون بالحساب (نعوّض عن x بـ −x) أو بالنظر إلى الشكل البياني، والنتيجة واحدة. · الأس الزوجي يبتلع الإشارة السالبة فتبقى الدالة كما هي، والأس الفردي يُخرجها فتنقلب إشارة الدالة كلها. · معكوس الدالة يُوجد بعكس المتغيرين ثم الحل في y ، وقد يخرج معكوسًا ليس دالة إذا ظهرت الإشارتان ± .

الأسئلة المهمة (8)
متى تكون الدالة «دالة قوى»؟ اكتب صورتها العامة بشروطها.
تكون دوال القوى على الشكل: y = axⁿ ، بشرط أن يكون a ≠ 0 وأن يكون n ∈ ℤ⁺ أي عددًا صحيحًا موجبًا. ويمكن كتابتها أيضًا على الصورة 𝑓(x) = axⁿ .
عرّف الدالة الزوجية.
تكون الدالة y = 𝑓(x) التي مجالها D دالة زوجية إذا وفقط إذا كان: (1) ∀x ∈ D ، −x ∈ D . (2) 𝑓(−x) = 𝑓(x) .
عرّف الدالة الفردية.
تكون الدالة y = 𝑓(x) التي مجالها D دالة فردية إذا وفقط إذا كان: (1) ∀x ∈ D ، −x ∈ D . (2) 𝑓(−x) = −𝑓(x) .
ما العلامة البصرية التي تميّز بيان الدالة الزوجية عن بيان الدالة الفردية؟
في مستوى الإحداثيات، المحور الصادي هو محور تماثل (تناظر) لبيان كل دالة زوجية، أما بيان الدالة الفردية فنقطة الأصل هي نقطة تماثل (تناظر) له؛ ويكون لبيان دالة نقطة تماثل إذا دار بيان الدالة بزاوية قياسها 180° حول هذه النقطة وانطبق على نفسه.
علّل: الدالة h(x) = 4 دالة زوجية.
لأنها دالة ثابتة، فمهما عوّضنا عن x تبقى قيمتها 4 ، أي أن h(−x) = 4 = h(x) ، ∀x ، −x ∈ ℝ ، فيتحقق شرطا الزوجية.
علّل: الدالة y = (x + 2)² ليست زوجية وليست فردية.
بفرض أن y = v(x) ، فإن v(−x) = (−x + 2)² ≠ (x + 2)² ، ∀x ، −x ∈ ℝ ، أي v(−x) ≠ v(x) فليست زوجية؛ وكذلك v(−x) ≠ −(x + 2)² أي v(−x) ≠ −v(x) فليست فردية. ∴ الدالة ليست زوجية وليست فردية.
اذكر خطوات إيجاد معكوس الدالة كما في الكتاب، مطبقًا على y = 2x⁴ .
لاحظ أن y ≥ 0 ، ثم اعكس المتغيرين x , y فتصير x = 2y⁴ ، ثم حل بالنسبة إلى المتغير y فتصير x/2 = y⁴ ، ثم أوجد الجذر الرابع لكل من الطرفين فتصير (x/2)^(1/4) = |y| ، x ⩾ 0 ، ومنها ±(x/2)^(1/4) = y . ∴ معكوس y = 2x⁴ هو y = ± ⁴√(x/2) .
متى لا يكون معكوس الدالة دالة؟
بعض العلاقات تعتبر دوال، فإذا كان لدينا دالة فيمكننا إيجاد معكوسها، مع ملاحظة أنه ليس بالضرورة أن يكون المعكوس دالة؛ فمعكوس y = x² هو y = ±√x وهو ليس دالة، لأن المستقيم الرأسي يقطع منحناه في موضعين، وعندما يقطع مستقيم رأسي المنحنى في موضعين فهذا المنحنى لا يمثل دالة.

الدرس 2: الدوال الحدودية

  • الدالة الحدودية (كثيرة الحدود) تنتج من جمع دوال قوى وثوابت أو طرحها، وصورتها العامة P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ حيث n عدد صحيح غير سالب والمعاملات أعداد حقيقية.
  • الصورة العامة هي ترتيب الحدود تنازليًّا بحسب درجاتها بعد جمع كل الحدود المتشابهة.
  • أسماء الحدود في P(x) = 2x³ − 5x² − 2x − 5 هي: 2 المعامل الرئيسي، و x³ حد تكعيبي، و 5x² حد تربيعي، و 2x حد خطي، و 5 حد ثابت.
  • التصنيف بالدرجة: صفرية «ثابتة»، أولى «خطية»، ثانية «تربيعية»، ثالثة «تكعيبية»، رابعة «ذات القوة الرابعة». والتصنيف بعدد الحدود: حد واحد «أحادية»، وحدان «ثنائية»، وثلاثة «ثلاثية»، وأربعة «رباعية».
  • إذا كانت الدالة الحدودية من الدرجة n فإن لها على الأكثر (n + 1) حدًّا.
  • سلوك النهاية يصف امتداد طرفي المنحنى الأيمن والأيسر، وله أربعة نماذج: لأعلى ولأعلى، لأسفل ولأسفل، لأعلى ولأسفل، لأسفل ولأعلى.
  • يعين سلوك النهاية الحد الذي له أعلى درجة: الدرجة الزوجية تجعل الطرفين متفقين والفردية تجعلهما متعاكسين، والمعامل الرئيسي الموجب يجعل الطرف الأيمن لأعلى والسالب يجعله لأسفل.
  • يمكن نمذجة بيانات الحياة بكثيرة حدود من الدرجة الثالثة أو أكثر بالآلة الحاسبة البيانية، ثم استعمال جدول القيم للتقدير كما في نشاط إنتاج الذهب.

الزبدة: لتصنيف كثيرة حدود تحتاج أمرين فقط بعد كتابتها في الصورة العامة: أعلى درجة فيها، وعدد حدودها. · الحد ذو أعلى درجة وحده يحكم شكل طرفي المنحنى: الدرجة تقرر هل الطرفان متفقان أم متعاكسان، وإشارة المعامل الرئيسي تقرر اتجاه الطرف الأيمن. · كثيرة الحدود ليست تمرينًا مجردًا؛ فهي نموذج يقدّر بيانات حقيقية مثل إنتاج العالم من الذهب.

الأسئلة المهمة (7)
عرّف الدالة الحدودية (كثيرة الحدود) كما في الكتاب، واكتب صورتها العامة.
عندما تجمع دوال قوى وثوابت أو تطرحها فإنك تحصل على دالة حدودية (دالة كثيرة الحدود)، وصورتها العامة P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ حيث n عدد صحيح غير سالب و aₙ , aₙ₋₁ , aₙ₋₂ ... , a₀ أعدادًا حقيقية.
ما المقصود بالصورة العامة لكثيرة الحدود؟
هي ترتيب حدود كثيرة الحدود تنازليًّا بحسب درجاتها بعد جمع كل الحدود المتشابهة؛ فمثلًا −7x + 5x⁴ صورتها العامة 5x⁴ − 7x.
بكم طريقة تصنف كثيرة الحدود؟ اذكرهما مع مثال.
تصنف بطريقتين: بأعلى درجة لها، وبعدد الحدود التي تحتويها. فمثلًا 3x² + 5x − 2 من الدرجة الثانية فتسمى تربيعية، ولها ثلاثة حدود فتسمى ثلاثية.
علّل: كثيرة الحدود من الدرجة n لها على الأكثر (n + 1) حدًّا.
لأن الصورة العامة تبدأ بالحد ذي الدرجة n ثم تتنازل درجة درجة حتى الحد الثابت الذي درجته صفر، فالدرجات الممكنة هي n ، n − 1 ، ... ، 1 ، 0 وعددها (n + 1) حدًّا.
ما سلوك النهاية؟ وكم نموذجًا له لكثيرة حدود؟
سلوك النهاية لمنحنى دالة يصف امتداد طرفيه الأيمن والأيسر، وتوجد أربعة نماذج لسلوك النهاية لكثيرة حدود وهي: لأعلى ولأعلى، لأسفل ولأسفل، لأعلى ولأسفل، لأسفل ولأعلى.
أي الحدود يعين سلوك النهاية لكثيرة الحدود؟
الحد الذي له أعلى درجة في كثيرة الحدود؛ فدرجته (زوجية أم فردية) تحدد هل الطرفان متفقان أم متعاكسان، وإشارة معامله الرئيسي تحدد اتجاه الطرف الأيمن.
كيف تنمذج بيانات واقعية بكثيرة حدود كما في نشاط إنتاج الذهب؟
تستخدم آلة حاسبة بيانية، وتدخل البيانات بحيث يمثل 0 السنة الأولى (1975)، وتختار نموذجًا من الدرجة الرابعة، فتعطيك الآلة المعاملات فتكتب المعادلة 𝑓(x) = 0.0009033x⁴ − 0.05193x³ + 0.959x² − 3.899x + 38.86 ، ثم تستخدم جدول القيم لتقدير القيمة المطلوبة مثل 𝑓(13) ≈ 61.96.

الدرس 3: العوامل الخطية لكثيرات الحدود

  • عوامل كثيرة الحدود هي المقادير التي إذا ضُربت أعطت كثيرة الحدود نفسها، وعندما نصل بالتحليل إلى عوامل خطية ينتهي التحليل.
  • للانتقال من صورة العوامل إلى «الصورة العامة» نضرب الأقواس ثم نجمع الحدود المتشابهة ونرتب تنازليًّا بحسب الدرجات.
  • للتحليل إلى عوامل نبدأ بإخراج العامل المشترك، ثم نحلل ما بقي، ثم نتحقق بإعادة الضرب.
  • دالة الحجم V = l • w • h ، وكل بُعد من الأبعاد عامل خطي للدالة كثيرة الحدود؛ والمجال الواقعي يُشترط فيه أن تكون كل الأبعاد موجبة.
  • الأجزاء المقطوعة من محور السينات تسمى «أصفار الدالة» لأن قيمة الدالة تساوي صفرًا عندها.
  • إذا كانت الدالة في صورة العوامل فإن خاصية الضرب في الصفر تعطي أصفارها: نساوي كل عامل خطي بالصفر.
  • نظرية العامل: المقدار (x − a) عامل خطي لكثيرة الحدود ⟺ a صفر من أصفار كثيرة الحدود.
  • عندما يتكرر عامل خطي في كثيرة الحدود يتكرر صفر الدالة ويسمى «صفرًا مكررًا».

الزبدة: العوامل والأصفار وجهان لعملة واحدة: من العوامل تعرف الأصفار بخاصية الضرب في الصفر، ومن الأصفار تكتب العوامل بنظرية العامل. · إشارة الصفر معاكسة لإشارة العدد داخل القوس: العامل (x + 3) يعطي الصفر −3 ، والعامل (x − 5) يعطي الصفر 5 . · لرسم بيان تقريبي لكثيرة حدود تكفي ثلاثة أشياء: الأصفار، وسلوك النهاية، وجدول قيم بين الأصفار.

الأسئلة المهمة (7)
كيف تتحقق من أن (x − 3) و(x + 2) و(x − 1) عوامل لكثيرة الحدود x³ − 2x² − 5x + 6 ؟
نضرب العوامل الثلاثة ونبسّط: (x − 3)(x + 2) = x² − x − 6 ، ثم (x² − x − 6)(x − 1) = x³ − 2x² − 5x + 6 ، فبما أن الناتج هو كثيرة الحدود نفسها فهي عوامل لها.
ما العلاقة بين الحدود الثابتة لعوامل كثيرة الحدود وعوامل الحد الثابت فيها؟
كل حد ثابت في العوامل هو عامل من عوامل الحد الثابت لكثيرة الحدود؛ ففي المثال الحدود الثابتة هي −3 و2 و−1 وكلها من عوامل العدد 6 (وعوامل 6 هي ±1 ، ±2 ، ±3 ، ±6)، وحاصل ضربها (−3)(2)(−1) = 6 وهو الحد الثابت نفسه.
ما «أصفار الدالة»؟ ولماذا سميت بهذا الاسم؟
هي الأجزاء المقطوعة من محور السينات في بيان الدالة، وسميت بذلك لأن قيمة الدالة تساوي صفرًا عند هذه الأجزاء.
اذكر نص خاصية الضرب في الصفر، وكيف نستعملها لإيجاد أصفار دالة مكتوبة في صورة العوامل.
تنص خاصية الضرب في الصفر على أنه عندما يساوي ناتج الضرب صفرًا، فإن أحد العوامل على الأقل يجب أن يساوي صفرًا. ولإيجاد الأصفار نساوي كل عامل خطي بالصفر ونحل، كما في مثال (4): x − 2 = 0 أو x + 1 = 0 أو x + 3 = 0 فتكون الأصفار 2 و−1 و−3.
اذكر نص نظرية العامل كما في الكتاب، ثم طبّقها على العامل (x + 3).
نظرية العامل: المقدار (x − a) هو عامل خطي لكثيرة الحدود ⟺ a صفر من أصفار كثيرة الحدود. فمثلًا (x + 3) عاملًا خطيًّا لكثيرة الحدود ⟺ −3 صفر لها.
متى يكون صفر الدالة «صفرًا مكررًا»؟
عندما يكرر عامل خطي في كثيرة الحدود، فإن صفر الدالة يكرر أيضًا ويسمى في هذه الحالة «صفر مكرر»؛ كما في مثال (5) حيث تكرر العامل (x − 3) مرتين فتكرر الصفر 3.
اذكر المفاهيم الأربعة المتكافئة المرتبطة بنظرية العامل كما يعرضها الكتاب على كثيرة الحدود x² + 3x − 4 .
1) (x = +1) حل للمعادلة x² + 3x − 4 = 0 . 2) (+1) جزء مقطوع من محور السينات لمنحنى الدالة y = x² + 3x − 4 . 3) (+1) صفر من أصفار الدالة y = x² + 3x − 4 . 4) (x − 1) عامل من عوامل كثيرة حدود x² + 3x − 4 . وهذه الأفكار متكافئة، بمعنى أنك إذا علمت إحداها فسوف تعلم الكل.

الدرس 4: قسمة كثيرات الحدود

  • قسمة كثيرات الحدود مشابهة لقسمة الأعداد: عندما يكون الباقي صفرًا يكون المقسوم عليه وناتج القسمة من عوامل المقسوم.
  • في «القسمة المطولة» نتبع الخطوات نفسها المستخدمة في قسمة الأعداد الكلية: اقسم، ثم اضرب، ثم اطرح، ثم أنزل الحد التالي.
  • صيغة التحقق: ناتج القسمة × المقسوم عليه + الباقي = المقسوم.
  • إذا كان المقسوم من الدرجة n والمقسوم عليه من الدرجة الأولى فإن ناتج القسمة من الدرجة (n − 1) حيث n ≥ 1.
  • الحد الناقص في المقسوم يُكتب بمعامل صفر، مثل x³ + 64 = x³ + 0x² + 0x + 64.
  • «القسمة التركيبية» تُستعمل عند القسمة على عامل خطي (x − a): نهمل المتغيرات والأسس، ونستخدم صفر العامل الخطي a، ونجمع بدلًا من الطرح.
  • الأعداد الناتجة من القسمة التركيبية هي معاملات ناتج القسمة في الصورة العامة، وآخر عدد فيها هو الباقي.
  • «نظرية الباقي»: إذا قسمت كثيرة الحدود 𝑓(x) من الدرجة n ≥ 1 على (x − a) حيث a ثابت، فإن باقي القسمة هو 𝑓(a).

الزبدة: الباقي هو المفتاح: إذا كان صفرًا فالمقسوم عليه عامل، وإذا لم يكن صفرًا فليس عاملًا. · القسمة التركيبية اختصار للقسمة المطولة، ولا تُستعمل إلا إذا كان المقسوم عليه عاملًا خطيًّا، وصفره يؤخذ بعكس إشارة الحد الثابت. · نظرية الباقي تختصر القسمة كلها إلى تعويض واحد: 𝑓(a) هو الباقي.

الأسئلة المهمة (7)
ما العلاقة بين باقي القسمة وعوامل المقسوم؟
عندما يكون الباقي صفرًا، فإن المقسوم عليه وناتج القسمة هما من عوامل المقسوم. أما إذا كان الباقي لا يساوي صفرًا، فإن المقسوم عليه وناتج القسمة لا يكونا من عوامل المقسوم.
اذكر خطوات القسمة المطولة لكثيرات الحدود كما يستعملها الكتاب في مثال (1).
اقسم الحد الأول من المقسوم على الحد الأول من المقسوم عليه، ثم اضرب الناتج في المقسوم عليه، ثم اطرح، ثم أنزل الحد التالي، وتُكرَّر الدورة حتى تصبح درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه.
كيف نتحقق من صحة ناتج القسمة المطولة؟
نضرب ناتج القسمة في المقسوم عليه ونضيف الباقي فينتج المقسوم؛ ففي مثال (1) الفرع b: (x + 5)(x − 2) + (−2) = x² + 3x − 12.
ما درجة ناتج القسمة إذا كان المقسوم من الدرجة n والمقسوم عليه من الدرجة الأولى؟
ناتج القسمة من الدرجة (n − 1) حيث n ≥ 1.
متى نستعمل القسمة التركيبية؟ وما الذي نهمله فيها؟
نستعملها عندما نقسم على عامل خطي على الصورة (x − a)، وفيها تهمل كل المتغيرات والأسس من المقسوم ويستخدم صفر العامل الخطي a، ويتم إجراء عملية الجمع بدلًا من الطرح خلال العمليات.
كيف نحدد صفر المقسوم عليه في القسمة التركيبية؟
نعكس إشارة الحد الثابت في المقسوم عليه؛ ففي (x + 2) يكون الصفر −2 ، وفي (x + 3) يكون الصفر −3 ، وفي (x − 2) يكون الصفر 2 .
اذكر نص نظرية الباقي، وبيّن كيف استعملها الكتاب في مثال (7).
نظرية الباقي: إذا قسمت كثيرة الحدود 𝑓(x) من الدرجة n ≥ 1 على (x − a) حيث a ثابت، فإن باقي القسمة هو 𝑓(a). وفي مثال (7) عوّض الكتاب بـ x = −4 في 𝑓(x) = x⁴ − 5x² + 4x + 12 فنتج 172 وهو باقي القسمة على (x + 4)، ثم تحقق من ذلك بالقسمة التركيبية.

الدرس 5: حل معادلات كثيرات الحدود

  • الإحداثيات السينية لنقاط تقاطع بياني طرفي المعادلة هي حلول المعادلة؛ وإذا نُقلت كل الحدود إلى طرف واحد صارت الحلول هي الأجزاء المقطوعة من محور السينات.
  • التحليل يحوّل كثيرة الحدود من مجموع (أو فرق) حدود إلى ناتج ضرب عوامل، فتُحلّ بخاصية الضرب في الصفر أو بنظرية العامل.
  • ابدأ دائمًا بإخراج العامل المشترك الأعلى، ولا تنسَ الحل الذي ينتج عنه.
  • لا يلزم تحليل المعادلة التكعيبية تحليلًا كاملًا: متى أوجدت عاملًا استعملت القانون العام لحل المعادلة التربيعية الباقية.
  • التحليل بالتقسيم: نقسم الحدود إلى مجموعتين بحيث يظهر عامل مشترك بينهما ثم نأخذه عاملًا مشتركًا.
  • نظرية الأصفار النسبية الممكنة: مجموعة الأصفار النسبية الممكنة هي {a/b} حيث a عامل من عوامل الحد الثابت و b عامل من عوامل المعامل الرئيسي.
  • نتحقق من الأصفار الممكنة بنظرية الباقي، ثم نقسم على العامل الذي وجدناه ونحل ناتج القسمة.
  • إذا كان مجموع معاملات حدودية يساوي الصفر فإن 1 هو أحد أصفار الحدودية و(x − 1) أحد عواملها.

الزبدة: كل طرق هذا الدرس تصبّ في فكرة واحدة: حوّل المعادلة إلى ناتج ضرب عوامل يساوي صفرًا، ثم ساوِ كل عامل بالصفر. · الرسم البياني يعطي الحلول النسبية بسرعة، والتحليل ونظرية الأصفار النسبية الممكنة تعطيها بدقة تامة. · الأصفار النسبية الممكنة قائمة قصيرة نجرّب منها، ونظرية الباقي هي أداة التجريب.

الأسئلة المهمة (7)
كيف نستخدم الرسم البياني لإيجاد مجموعة حل معادلة كثيرة حدود؟
نمثّل طرفي المعادلة بيانيًّا على الشبكة نفسها، فتكون الإحداثيات السينية لنقاط التقاطع هي حلول المعادلة؛ أو ننقل كل الحدود إلى طرف واحد فتكون الحلول هي الأجزاء المقطوعة من محور السينات.
ماذا يحدث لشكل كثيرة الحدود عند تحليلها؟
تتحول من مجموع (أو فرق) حدود إلى ناتج ضرب عوامل؛ فمثلًا x² − 4x − 12 تصير (x + 2)(x − 6).
متى تستعمل القانون العام في حل معادلة تكعيبية؟
لا يتوجب عليك أحيانًا تحليل معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة تحليلًا كاملًا لحلها؛ فمتى أوجدت عاملًا يمكنك استخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية الباقية، كما في مثال (2).
اشرح طريقة التحليل بالتقسيم كما في مثال (3).
نجعل أحد الطرفين يساوي الصفر، ثم نقسم الحدود إلى مجموعتين ونخرج من كل مجموعة عاملها المشترك حتى يظهر قوس مشترك بينهما، ثم نأخذ هذا القوس عاملًا مشتركًا، ثم نحلل ما بقي ونستخدم خاصية الصفر.
اذكر نظرية الأصفار النسبية الممكنة.
بفرض أن 𝑓(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ ; aₙ ≠ 0 حيث aₙ , aₙ₋₁ , ... , a₀ أعداد صحيحة، فتكون مجموعة الأصفار النسبية الممكنة لـ 𝑓(x) هي {a/b : a عامل من عوامل الحد الثابت a₀ ، b عامل من عوامل المعامل الرئيسي aₙ}.
متى تظهر أهمية نظرية الأصفار النسبية الممكنة؟ وكيف نتحقق من الأصفار؟
تظهر أهميتها إذا أردنا معرفة أصفار حدودية ولا يمكننا استخدام طريقة التحليل أو التقسيم؛ ونخمّن الأصفار النسبية الممكنة بالنظرية ثم نتحقق من هذه الأصفار باستخدام نظرية الباقي.
ما الفائدة العملية للمعلومة: «إذا كان مجموع معاملات حدودية يساوي الصفر»؟
إذا كان مجموع معاملات حدودية يساوي الصفر فإن 1 هو أحد أصفار الحدودية و(x − 1) أحد عواملها؛ فتبدأ بها مباشرة بدل تجريب كل الأصفار الممكنة.

الوحدة 4الوحدة الرابعة: الدوال الأسية والدوال اللوغاريتمية

الدرس 1: استكشاف النماذج الأسية

  • الدالة الأسية صورتها y = abˣ ، حيث ∀x ∈ ℝ ، و a ∈ ℝ* عدد ثابت، و b ∈ ℝ⁺ − {1} هو الأساس.
  • عندما تكون b > 1 فإن الدالة تمثل نموًا أسيًا، وتكون b هي عامل النمو.
  • عندما تكون 0 < b < 1 فإن الدالة تمثل تضاؤلًا أسيًا، وتكون b هي عامل التضاؤل.
  • لنمذجة التغير السكاني بالدالة y = abˣ نوجد عامل النمو من المعادلة b = 1 + I ، حيث I معدل التغير، وقد يكون معدل تزايد أو معدل تناقص.
  • قيمة الثابت a تُوجد بالتعويض عن x بالصفر في سنة البدء، لأن أي عدد غير صفري مرفوع للأس صفر يساوي واحدًا.
  • لكتابة دالة أسية بمعلومية نقطتين نعوّض بكل نقطة في y = abˣ ، ثم نعزل a من المعادلة الأولى ونعوّض في الثانية فنجد b ثم a.
  • النسبة المئوية للتغير = (مقدار التغير)/(القيمة الابتدائية) × 100% ، ومقدار التغير = القيمة النهائية − القيمة الابتدائية.
  • في انخفاض القيمة يكون معدل التغير I سالبًا، فيكون عامل الانخفاض b = 1 + I أقل من واحد، مثل b = 1 − 0.15 = 0.85.

الزبدة: الفرق بين النمو والتضاؤل في الدالة الأسية لا يُقرأ من الثابت a بل من الأساس b وحده: أكبر من واحد نمو، وبين الصفر والواحد تضاؤل. · كل مسألة نمذجة في هذا الدرس تُحلّ بثلاث خطوات: أوجد b من معدل التغير، ثم a من سنة البدء عندما x = 0 ، ثم عوّض عن x بعدد السنوات. · الدالة الأسية تصف تغيّرًا نسبته ثابتة لا فرقه ثابت؛ ولذلك لا يكون رسمها خطًا مستقيمًا بل منحنًى.

الأسئلة المهمة (7)
عرّف الدالة الأسية كما وردت في الكتاب، مع ذكر شروط ثابتها وأساسها.
هي الدالة y = abˣ ، حيث ∀x ∈ ℝ ، و a ∈ ℝ* (عدد ثابت)، و b ∈ ℝ⁺ − {1} (الأساس)؛ وتسمى دالة أسية.
متى تمثل الدالة الأسية نموًا أسيًا ومتى تمثل تضاؤلًا أسيًا؟
عندما تكون b > 1 فإن الدالة تمثل نموًا أسيًا وتكون b هي عامل النمو، وعندما تكون 0 < b < 1 فإن الدالة تمثل تضاؤلًا أسيًا وتكون b هي عامل التضاؤل.
اذكر المعادلة التي تُوجد بها عامل النمو من معدل التغير، وبيّن نوعي معدل التغير.
عامل النمو b = 1 + I ، حيث I معدل التغير؛ ومعدل التغير I قد يكون معدل تزايد أو معدل تناقص.
علّل: عند التعويض عن x بالصفر في الدالة y = a(1.0244)ˣ نحصل مباشرة على قيمة الثابت a.
لأن أي عدد غير صفري مرفوع للأس صفر يساوي واحدًا، فيصبح y = a × 1 = a ، أي أن a هو عدد السكان في سنة البدء.
اكتب قانون النسبة المئوية للتغير ومقدار التغير كما في الكتاب.
النسبة المئوية للتغير = (مقدار التغير)/(القيمة الابتدائية) × 100% ، علمًا أن مقدار التغير = القيمة النهائية − القيمة الابتدائية.
كيف تُوجد دالة أسية بالصورة y = abˣ يمر بيانها بنقطتين معلومتين؟
نعوّض بإحداثيي النقطة الأولى في y = abˣ فنحصل على معادلة، ونعزل منها a ، ثم نعوّض بإحداثيي النقطة الثانية فنحصل على معادلة ثانية، ونعوّض فيها عن a فنجد b بخاصية قسمة الأسس، ثم نرجع لنجد a.
علّل: في مثال انخفاض قيمة السيارة كان عامل الانخفاض 0.85 وليس 1.15.
لأن معدل التغير هنا معدل تناقص فإشارته سالبة، I = − 0.15 ، وعامل الانخفاض b = 1 + I = 1 − 0.15 = 0.85 ، وهو أقل من الواحد فيدل على تضاؤل.

الدرس 2: الدوال الأسية وتمثيلها بيانيًّا

  • بيان الدالة y = b⁻ˣ ينتج من انعكاس بيان y = bˣ في المحور الصادي، حيث b > 0 و b ≠ 1 .
  • بيان الدالة y = −bˣ ينتج من انعكاس بيان y = bˣ في المحور السيني.
  • بيان الدالة y = −b⁻ˣ ينتج من انعكاس بيان y = −bˣ في المحور الصادي.
  • التمثيل البياني للدالة y = a(b)ˣ⁻ʰ + k هو انسحاب لبيان y = abˣ بمقدار h وحدة أفقيًّا و k وحدة رأسيًّا.
  • إشارة h مقلوبة: (x + 2) تعني h = −2 أي انسحابًا وحدتين إلى اليسار.
  • بعض الدوال الأسية على الصورة y = abʳˣ حيث r ثابت لا يساوي الصفر.
  • فترة نصف العمر لمادة مشعة هي الوقت الذي تستغرقه المادة في تضاؤل أو تحلل نصفها، وتُنمذج بالدالة y = a(1/2)^(x/نصف العمر) .
  • e عدد غير نسبي يساوي تقريبًا 2.71828 ، وهو القيمة التي تقترب منها (1 + 1/x)ˣ كلما كبرت x ، وتُستخدم الدوال الأسية التي أساسها e لوصف النمو أو التضاؤل المستمر.

الزبدة: الإشارة السالبة أمام الدالة تعكسها في المحور السيني، والأس السالب يعكسها في المحور الصادي. · الثابتان h و k لا يغيّران شكل المنحنى بل موضعه فقط: h يحرّكه أفقيًّا و k رأسيًّا. · كل دالة أسية تمر بنقطة ثابتة يحددها الثابت a ، وهي (0, a) لأن أي أساس مرفوع للأس صفر يساوي واحدًا.

الأسئلة المهمة (6)
ما العلاقة بين بياني الدالتين y = bˣ و y = b⁻ˣ ؟
بيان الدالة y = b⁻ˣ حيث b ≠ 1 , b > 0 ينتج من انعكاس لبيان الدالة y = bˣ في المحور الصادي.
ما العلاقة بين بياني الدالتين y = bˣ و y = −bˣ ؟
بيان الدالة y = −bˣ حيث b ≠ 1 , b > 0 ينتج من انعكاس لبيان الدالة y = bˣ في المحور السيني.
ماذا يمثل التمثيل البياني للدالة y = a(b)ˣ⁻ʰ + k بالنسبة إلى دالة المرجع y = abˣ ؟
هو انسحاب لبيان الدالة y = abˣ بمقدار h وحدة أفقيًّا و k وحدة رأسيًّا.
كيف تقرأ مقدار الانسحاب في الدالة y₂ = 8(1/2)ˣ⁺² + 3 ؟
نكتبها على الصورة y = a(b)ˣ⁻ʰ + k فيكون h = −2 و k = 3 ، أي انسحاب وحدتين إلى جهة اليسار و3 وحدات إلى الأعلى.
عرّف فترة نصف العمر لمادة مشعة، واكتب الدالة التي تنمذج بقاء 100 mg من التكنيشيوم نصف عمره 6 ساعات.
فترة نصف العمر لمادة مشعة هو الوقت الذي تستغرقه المادة في تضاؤل أو تحلل نصفها. والدالة هي y = 100(1/2)^((1/6)x) حيث x عدد الساعات المستغرق و(1/6)x عدد أنصاف العمر.
ما العدد e ؟ ومن أول من استخدم رمزه؟
e هو القيمة التي تقترب منها قيم y في الدالة y = (1 + 1/x)ˣ كلما أخذت x قيمًا أكبر فأكبر، وهو عدد غير نسبي يساوي تقريبًا 2.71828 . وأول من استخدم الرمز e هو الرياضي السويسري أويلر في العام 1748، وقد عرّف الدالة الأسية على أنها معكوس دالة اللوغاريتم الطبيعي.

الدرس 3: الدوال اللوغاريتمية وتمثيلها بيانيًّا

  • مقياس ريختر يقيس قوة الزلازل بالصورة الأسية، فكل درجة إضافية تعني طاقة منطلقة أكبر بمقدار 30 ضعفًا.
  • في الصورة الأسية y = bˣ يكون b الأساس و x الأس و y الناتج؛ وللحصول على x بمعلومية b و y نستخدم «الصورة اللوغاريتمية» x = log_b y .
  • التعريف: ∀y ∈ ℝ⁺ , b ∈ ℝ⁺ − {1} يتعين عدد حقيقي x بحيث يكون y = bˣ ⟺ log_b y = x .
  • الأساس 1 مستثنى لأن 1ⁿ = 1 دائمًا، فيكون log₁y غير معيّن لأنه ليس وحيدًا.
  • لإيجاد قيمة لوغاريتم نكتبه في صورة أسية ثم نوحّد الأساس في الطرفين ونساوي بين الأسّين.
  • log x هو اللوغاريتم المعتاد ذو الأساس 10، أي log₁₀x تكتب log x .
  • الدوال اللوغاريتمية هي معكوسات الدوال الأسية، وبياناهما انعكاس أحدهما للآخر في المستقيم y = x .
  • مجال الدالة اللوغاريتمية هو قيم x التي تجعل ما تحت اللوغاريتم موجبًا تمامًا.
  • التمثيل البياني للدالة y = log_b(x − h) + k هو انسحاب لبيان دالة المرجع y = log_b x بمقدار h وحدة أفقيًّا و k وحدة رأسيًّا.

الزبدة: اللوغاريتم أس: log_b y هو الأس الذي إذا رُفع إليه الأساس b نتج العدد y . · كل ما تعرفه عن الدوال الأسية ينعكس حرفيًّا على اللوغاريتمات، لأن كل واحدة معكوس الأخرى. · شرط المجال في كل دالة لوغاريتمية واحد: ما تحت اللوغاريتم أكبر من الصفر تمامًا.

الأسئلة المهمة (7)
كيف يقيس مقياس ريختر قوة الزلازل؟
يقيسها باستخدام الصورة الأسية؛ فالزلزال الذي تبلغ قوته 5 درجات طاقته المنطلقة تساوي 30 × الطاقة المنطلقة من الزلزال الذي قوته 4 درجات، أي أن كل درجة إضافية تضاعف الطاقة 30 مرة.
اكتب تعريف اللوغاريتم كما في الكتاب.
∀y ∈ ℝ⁺ , b ∈ ℝ⁺ − {1} يتعين عدد حقيقي x بحيث يكون y = bˣ ⟺ log_b y = x .
لماذا يُستثنى الأساس 1 من تعريف اللوغاريتم؟
لأن 1 = 1¹ = 1² = 1³ = ... = 1ⁿ ، وهذا يعني أن log₁1¹ = 1 و log₁1² = 2 وهكذا؛ ولذلك log₁y غير معيّن لأنه ليس وحيدًا.
ما اللوغاريتم المعتاد؟ وكيف يُكتب؟
log x هو اللوغاريتم المعتاد ذو الأساس 10 ، أي log₁₀x تكتب log x ؛ فمثلًا log₁₀4 = log 4 .
ما شرط مجال الدالة اللوغاريتمية؟ وطبّقه على y = log₅(6x) .
مجالها هو قيم x التي تجعل ما تحت اللوغاريتم موجبًا تمامًا. ففي y = log₅(6x) يكون 6x > 0 ⟹ x > 0 ، فمجال الدالة (0 , +∞).
ما العلاقة بين بياني y = 10ˣ و y = log x ؟
كل من المنحنيين انعكاس للآخر في الخط المستقيم y = x ، لأن كلًّا من الدالتين معكوس للأخرى؛ فالنقطتان (0, 1) و(1, 10) تنتميان إلى بيان y = 10ˣ ، بينما (1, 0) و(10, 1) تنتميان إلى بيان y = log x .
ماذا يمثل بيان الدالة y = log_b(x − h) + k بالنسبة إلى دالة المرجع؟
هو انسحاب لبيان دالة المرجع y = log_b x بمقدار h وحدة أفقيًّا و k وحدة رأسيًّا؛ فإذا كانت h سالبة كان الانسحاب إلى اليسار، وإذا كانت k سالبة كان الانسحاب إلى الأسفل.

الدرس 4: خواص اللوغاريتمات

  • خاصية الضرب: log_b(mn) = log_b m + log_b n .
  • خاصية القسمة: log_b(m/n) = log_b m − log_b n .
  • خاصية القوى: log_b mᵏ = k log_b m حيث k ∈ ℝ .
  • الخواص الثلاث تشترط ∀m, n, b ∈ ℝ⁺ و b ≠ 1 ، وأن يكون للّوغاريتمات الأساس نفسه.
  • انتبه: log_b(m + n) ≠ log_b m + log_b n إلا في حالات خاصة ونادرة حيث m + n = m × n .
  • ملاحظات مختصرة: log_b 1 = 0 ، و log_b b = 1 ، و log_b bᵐ = m .
  • مستوى شدة الصوت L = 10 × log(I/I₀) بوحدة الديسيبل (dB) ، حيث I شدة الصوت بالواتس/متر مربع و I₀ عتبة السمع = 10⁻¹² .
  • لأن المقياس لوغاريتمي، فتخفيض شدة الصوت إلى النصف لا ينقص المستوى إلا حوالى 3 dB .

الزبدة: اللوغاريتم يحوّل الضرب إلى جمع، والقسمة إلى طرح، والأس إلى معامل؛ وهذا سر قوته في الحساب. · شرط تطبيق الخواص أن يكون الأساس نفسه في كل اللوغاريتمات؛ فإن اختلفت الأساسات لم تصلح الخواص. · تحليل العدد إلى عوامل بسيطة (2 و3 و5) هو المفتاح لحساب لوغاريتمه من قيم محفوظة قليلة.

الأسئلة المهمة (6)
اذكر خواص اللوغاريتمات الثلاث بشروطها.
∀m, n, b ∈ ℝ⁺ , b ≠ 1 : خاصية الضرب log_b(mn) = log_b m + log_b n ، وخاصية القسمة log_b(m/n) = log_b m − log_b n ، وخاصية القوى log_b mᵏ = k log_b m حيث k ∈ ℝ .
هل log_b(m + n) = log_b m + log_b n ؟ علّل.
لا. ينبّه الكتاب إلى أن log_b(m + n) ≠ log_b m + log_b n إلا في حالات خاصة ونادرة حيث m + n = m × n ؛ فخاصية الضرب تخصّ حاصل الضرب لا المجموع.
اذكر الملاحظات الثلاث المختصرة عن اللوغاريتمات.
log_b 1 = 0 ، و log_b b = 1 ، و log_b bᵐ = m ، حيث m , b عددان حقيقيان موجبان و b ≠ 1 .
كيف نحسب log 600 من القيم log 2 و log 3 و log 5 ؟
نحلل 600 إلى عوامل أولية: 600 = 2³ × 3 × 5² ، ثم بخاصية الضرب log 600 = log 2³ + log 3 + log 5² ، ثم بخاصية القوى = 3log 2 + log 3 + 2log 5 ≈ 3(0.301) + 0.477 + 2(0.699) ≈ 2.778 .
عرّف شدة الصوت ومستوى شدة الصوت، واكتب العلاقة بينهما.
شدة الصوت هي كثافة طاقة الصوت على مساحة معينة وتحسب بقسمة طاقة الصوت على المساحة، وتقاس بالواتس/متر مربع. ومستوى شدة الصوت يعطى بالعلاقة L = 10 × log(I/I₀) ويقاس بالديسيبل (dB) ، حيث I₀ عتبة السمع وتساوي 10⁻¹² .
لماذا لا ينخفض مستوى شدة الصوت إلا 3 dB تقريبًا عند تخفيض الشدة إلى النصف؟
لأن الفرق L₁ − L₂ = (10)log(I/I₀) − (10)log(0.5 I/I₀) ، وبخاصية الضرب يختصر حد log(I/I₀) فيبقى (−10)log 0.5 ≈ 3.01 . فالفرق لا يعتمد على الشدة الأصلية بل على النسبة وحدها، لأن المقياس لوغاريتمي.

الدرس 5: المعادلات الأسية واللوغاريتمية

  • لحل معادلة أسية على الصورة bᵏˣ = a نأخذ لوغاريتم كل من طرفي المعادلة ثم نستعمل خاصية القوى.
  • الخاصية الأساس: ∀a, b ∈ ℝ⁺ , m ∈ ℝ⁺ − {1} فإن a = b ⟺ log_m a = log_m b .
  • المعادلات الجذرية تُحل أيضًا باللوغاريتمات: نكتب الجذر أسًّا نسبيًّا ثم نأخذ لوغاريتم الطرفين.
  • قاعدة تغيير الأساس: ∀m, b, c ∈ ℝ⁺ , b ≠ 1 , c ≠ 1 فإن log_b m = (log_c m)/(log_c b) .
  • يمكن حل معادلة أسية بأخذ اللوغاريتم بأساس هو أساس الأس نفسه، ثم استخدام قاعدة تغيير الأساس.
  • يمكن أيضًا حل المعادلات الأسية بيانيًّا بقراءة الإحداثي السيني لنقطة تقاطع بياني الطرفين.
  • كل معادلة تتضمن تعبيرًا لوغاريتميًّا تسمى معادلة لوغاريتمية، وتُكتب على الصورة log_b y = x حيث ∀y, b ∈ ℝ⁺ و b ≠ 1 .
  • في المعادلات اللوغاريتمية يجب إيجاد مجال التعريف (شرط الحل) أولًا، أو التحقق من القيم الناتجة، ورفض ما خرج عن المجال.

الزبدة: إذا كان المجهول في الأس فخذ لوغاريتم الطرفين؛ وإذا كان داخل اللوغاريتم فاكتب الصورة الأسية. · قاعدة تغيير الأساس تحرّرك من قيد الآلة الحاسبة: أي لوغاريتم يمكن حسابه بلوغاريتمين أساسهما 10 . · الحل الجبري وحده لا يكفي في المعادلات اللوغاريتمية؛ المجال هو الذي يقرر أي الجذور مقبول.

الأسئلة المهمة (6)
كيف نحل معادلة أسية على الصورة bᵏˣ = a ؟
نأخذ لوغاريتم كل من طرفي المعادلة، ثم نستعمل خاصية القوى لإنزال الأس معاملًا، فتصير المعادلة خطية في المتغير، ثم نحلها ونستعمل الآلة الحاسبة.
اكتب الخاصية التي تجيز أخذ لوغاريتم طرفي المعادلة.
∀a , b ∈ ℝ⁺ , m ∈ ℝ⁺ − {1} فإن a = b ⟺ log_m a = log_m b .
اذكر قاعدة تغيير الأساس بشروطها، وطبّقها على log₃7 .
∀m , b , c ∈ ℝ⁺ , b ≠ 1 , c ≠ 1 فإن log_b m = (log_c m)/(log_c b) . فمثلًا log₃7 = (log₂7)/(log₂3) = (log₅7)/(log₅3) = (log 7)/(log 3) .
كيف نحل معادلة أسية بيانيًّا؟
نمثّل بيان طرفي المعادلة على المستوى نفسه، فيكون الإحداثي السيني لنقطة تقاطع المنحنيين هو حل المعادلة؛ ففي 3²ˣ = 5 نقطة التقاطع (0.732 , 5) فالحل 0.732 تقريبًا.
ما المعادلة اللوغاريتمية؟ وما الخطوة التي لا يجوز إغفالها عند حلها؟
كل معادلة تتضمن تعبيرًا لوغاريتميًّا تسمى معادلة لوغاريتمية ويمكن وضعها على الصورة log_b y = x حيث ∀y, b ∈ ℝ⁺ و b ≠ 1 . ولا يجوز إغفال إيجاد مجال التعريف (شرط الحل) أو التحقق من القيم الناتجة، لأن بعض الجذور الجبرية تكون خارج المجال فتُرفض.
لماذا رُفض الجذر −10√3 في حل المعادلة 2log x − log 3 = 2 ؟
لأن مجال المعادلة هو (0 , ∞) بما أن log x يشترط x > 0 ، والقيمة −10√3 ∉ (0 , ∞) ؛ فيكون الحل الوحيد x = 10√3 .

الدرس 6: اللوغاريتم الطبيعي

  • الدالة y = eˣ لها معكوس هو y = log_e x ويسمى دالة اللوغاريتم الطبيعي ورمزه y = ln x .
  • بيانا y = eˣ و y = ln x كل منهما انعكاس للآخر في المستقيم y = x .
  • تطبق خواص اللوغاريتمات المعتادة على اللوغاريتم الطبيعي أيضًا: ln(mn) = ln m + ln n ، و ln(m/n) = ln m − ln n ، و ln mᵏ = k ln m .
  • علاقات أساسية: ln e = 1 ، و ln eᵏ = k ، و e^(ln k) = k .
  • لحل معادلة أسية أساسها e نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لطرفيها، فيختفي ln e لأنه يساوي واحدًا.
  • لحل معادلة لوغاريتمية طبيعية نعيد كتابتها في الصورة الأسية بالأساس e ، بعد إيجاد المجال.
  • الدالة y = Pe^(mx) تنمذج النمو المستمر، حيث P القيمة الابتدائية و m معدل التزايد السنوي و x عدد السنوات.
  • لعكس النموذج y = Pe^(mx) وإيجاد x بدلالة y نقسم على P ثم نأخذ اللوغاريتم الطبيعي ثم نقسم على m .

الزبدة: اللوغاريتم الطبيعي هو ببساطة لوغاريتم أساسه e ، فكل ما تعرفه عن اللوغاريتمات ينطبق عليه. · ln e = 1 هي السر الذي يجعل ln الأداة الأنسب لكل معادلة أساسها e . · في مسائل النمو نبني النموذج من نقطتين، ثم نستعمله للتنبؤ، ثم نعكسه للتحقق.

الأسئلة المهمة (6)
ما اللوغاريتم الطبيعي؟ وما رمزه؟
الدالة y = eˣ لها معكوس هو y = log_e x ويسمى دالة اللوغاريتم الطبيعي ورمزه y = ln x ، وتقرأ y تساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ x .
هل تنطبق خواص اللوغاريتمات على اللوغاريتم الطبيعي؟ اكتب الخواص الثلاث بدلالة ln .
نعم، تطبق خواص اللوغاريتمات المعتادة على اللوغاريتم الطبيعي أيضًا: ln(mn) = ln m + ln n (خاصية الضرب)، و ln(m/n) = ln m − ln n (خاصية القسمة)، و ln mᵏ = k ln m (خاصية القوى).
لماذا نستخدم اللوغاريتم الطبيعي تحديدًا مع المعادلات التي أساسها e ؟
لأن ln e = 1 ، فعند أخذ اللوغاريتم الطبيعي لطرفي المعادلة وتطبيق خاصية القوى يختفي ln e ويبقى الأس وحده، فتصير المعادلة خطية بسيطة كما في مثالي (1) و(4).
كيف نحل معادلة لوغاريتمية طبيعية مثل ln(3x + 5) = 4 ؟
نوجد المجال أولًا: 3x + 5 > 0 ⟹ x > −5/3 ، ثم نعيد كتابة المعادلة في الصورة الأسية 3x + 5 = e⁴ ، ثم نطرح ونقسم فنحصل على x = (e⁴ − 5)/3 ≈ 16.53 .
اكتب الدالة التي تنمذج زيادة عدد مشتركي الإنترنت من 360 مليونًا سنة 2000 إلى 2 260 مليونًا سنة 2011.
نستخدم y = Pe^(mx) ونعوّض y بـ 2 260 و P بـ 360 و x بـ 11 ، فنحصل على 2 260 = 360 e^(11m) ، وبقسمة الطرفين على 360 ثم أخذ اللوغاريتم الطبيعي: m = (ln(2 260/360))/11 = 0.167 . فالدالة هي y = 360 e^(0.167x) ومعدل التزايد السنوي 16.7% .
كيف نوجد x بدلالة y في النموذج y = 360 e^(0.167x) ؟
نقسم طرفي المعادلة على 360 فنحصل على y/360 = e^(0.167x) ، ثم نطبق اللوغاريتم الطبيعي على الطرفين فينتج ln(y/360) = 0.167x ، ثم نقسم على 0.167 فيكون x = (ln(y/360))/0.167 .

الوحدة 5الوحدة الخامسة: المتجهات

الدرس 1: المتجه في المستوى

  • الكمية القياسية يلزم لتعريفها مقدار عددي ووحدة قياس، والكمية المتجهة يلزم لتعريفها مقدار عددي واتجاه.
  • متجه الموضع للقطعة الموجهة AB⃗ هو OM⃗ حيث M(x_B − x_A , y_B − y_A) ؛ أي: نهاية ناقص بداية.
  • قطعتان موجهتان متكافئتان إذا كان لهما الطول نفسه والاتجاه نفسه، ولهما متجه الموضع نفسه، والشكل ABDC عندئذ متوازي أضلاع.
  • المتجه هو مجموعة غير منتهية من القطع الموجهة المتكافئة والتي أحدها متجه الموضع، ويكتب M⃗ = < x_M , y_M > .
  • معيار المتجه ‖U⃗‖ = √(x² + y²) ، واتجاهه بالزاوية θ حيث 0° ≤ θ < 360° ، وتحدد زاوية الإسناد بالعلاقة tan α = |y/x| .
  • θ = α في الربع الأول، و 180° − α في الثاني، و 180° + α في الثالث، و 360° − α في الرابع.
  • متجه الوحدة معياره يساوي الوحدة، والمتجهان متساويان إذا تساوت مركباتهما، والمتجه المعاكس مركباته المعكوس الجمعي لمركبات المتجه.
  • ku⃗ = < kx , ky > ، و ‖ku⃗‖ = |k| ‖u⃗‖ ، والاتجاه نفسه إذا k > 0 ومعاكس إذا k < 0 ، والنقاط A, B, C على استقامة واحدة إذا وجد k غير صفري يحقق < AB⃗ > = k < AC⃗ > .

الزبدة: المتجه ليس قطعة واحدة بل مجموعة لا نهائية من القطع الموجهة المتكافئة، فالموضع لا يهم وإنما الطول والاتجاه. · مركبتا المتجه تُحسبان دائمًا بقاعدة «نهاية ناقص بداية»، ومنهما يُحسب الطول بفيثاغورس ويُحدَّد الاتجاه بزاوية الإسناد. · ضرب المتجه في عدد حقيقي يغيّر الطول بمقدار |k| ، ويحفظ الاتجاه إذا كان k موجبًا ويعكسه إذا كان سالبًا.

الأسئلة المهمة (6)
ما الفرق بين الكمية القياسية والكمية المتجهة؟ مع مثالين لكل منهما.
الكميات القياسية (العددية) هي كميات يلزم لتعريفها مقدار عددي ووحدة قياس، مثل الحرارة والمسافة والعمر والحجم والزمن والكتلة. والكميات المتجهة هي كميات يلزم لتعريفها مقدار عددي واتجاه، مثل السرعة والعجلة والإزاحة والقوة والوزن.
عرّف متجه الموضع، وكيف تجده للقطعة الموجهة AB⃗ ؟
القطعة الموجهة OM⃗ التي بدايتها نقطة الأصل ونهايتها M(x , y) تسمى متجه الموضع ويمثّلها الزوج المرتب (x , y) . وإذا كانت AB⃗ قطعة موجهة حيث A(x_A , y_A) و B(x_B , y_B) فإن متجه الموضع لها هو OM⃗ حيث M(x_B − x_A , y_B − y_A) .
متى تكون قطعتان موجهتان متكافئتين؟ وماذا نستنتج عن الشكل ABDC ؟
تكون قطعتان موجهتان متكافئتين إذا كان لهما الطول نفسه والاتجاه نفسه، ولكل قطعتين موجهتين متكافئتين متجه الموضع نفسه. وإذا كانت AB⃗ ، CD⃗ متكافئتين فإن الشكل ABDC هو متوازي أضلاع حيث النقاط A, B, C, D ليست على استقامة واحدة.
عرّف المتجه، وما مركبتاه؟
المتجه هو مجموعة غير منتهية من القطع الموجهة المتكافئة والتي أحدها متجه الموضع. وإذا كان OM⃗ متجه الموضع حيث M(x_M , y_M) فيكتب M⃗ = < x_M , y_M > ، وتسمى x_M ، y_M مركبتي المتجه: x_M المركبة الأفقية (السينية) و y_M المركبة الرأسية (الصادية).
كيف تحدد قياس الزاوية θ التي يصنعها متجه مع الاتجاه الموجب لمحور السينات؟
نجد أولًا زاوية الإسناد α من العلاقة tan α = |y/x| ، ثم ننظر إلى إشارتي المركبتين: θ = α عندما x > 0 و y > 0 ، و θ = 180° − α عندما x < 0 و y > 0 ، و θ = 180° + α عندما x < 0 و y < 0 ، و θ = 360° − α عندما x > 0 و y < 0 ، حيث 0° ≤ θ < 360° .
ما شرط أن تكون النقاط A, B, C على استقامة واحدة بدلالة المتجهات؟
تكون النقاط A, B, C على استقامة واحدة إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي غير صفري k يحقق < AB⃗ > = k < AC⃗ > .

الدرس 2: جمع المتجهات وطرحها

  • علاقة شال: لأي ثلاث نقاط في المستوى < LM⃗ > + < MN⃗ > = < LN⃗ > ، وتستعمل عندما يكون المتجهان متتابعين.
  • إكمال متوازي الأضلاع: إذا اشترك المتجهان في نقطة البداية فمجموعهما هو القطر الخارج من تلك النقطة.
  • إذا لم يشترك المتجهان في بداية ولم يتتابعا فننقل أحدهما إلى بداية الآخر بمتجه مساوٍ له ثم نكمل متوازي الأضلاع.
  • خواص الجمع: الإبدال، العنصر المحايد 0⃗ ، التجميع، المعكوس الجمعي، الحذف، والتوزيع مع عدد حقيقي غير الصفر.
  • جبريًا: A⃗ + B⃗ = < x_A + x_B , y_A + y_B > .
  • الطرح جمعٌ للمعاكس: A⃗ − B⃗ = A⃗ + (−B⃗) = < x_A − x_B , y_A − y_B > .
  • في المثلث ABC : < AB⃗ > − < AC⃗ > = < CB⃗ > .
  • كل متجه u⃗ = < x , y > يكتب بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين على الصورة u⃗ = x i⃗ + y j⃗ .

الزبدة: جمع متجهين ليس جمع أطوال بل تركيب مسارين: علاقة شال تحذف النقطة الوسطى، ومتوازي الأضلاع يجمع متجهين خارجين من نقطة واحدة. · كل عمليات الطرح تُردّ إلى جمع المتجه المعاكس، وكل الحسابات الجبرية تُردّ إلى جمع المركبات وطرحها. · متجها الوحدة i⃗ و j⃗ يجعلان كل متجه في المستوى مجموع مضاعفَيهما، فتتحول المتجهات إلى معادلات جبرية بسيطة.

الأسئلة المهمة (6)
ما علاقة شال؟ ومتى تستعملها؟
لأي ثلاث نقاط في المستوى: < LM⃗ > + < MN⃗ > = < LN⃗ > . وتستعمل عندما تكون نهاية المتجه الأول هي بداية المتجه الثاني، فيكون المجموع هو المتجه الواصل من بداية الأول إلى نهاية الثاني.
كيف تجمع متجهين لهما نقطة بداية مشتركة؟
نستخدم إكمال متوازي الأضلاع: نرسم < LM⃗ > = A⃗ و < LC⃗ > = B⃗ ، ثم N هي النقطة التي تكمل متوازي الأضلاع MLCN ، فيكون A⃗ + B⃗ = < LN⃗ > .
اذكر خواص عملية جمع المتجهات في المستوي.
خاصية الإبدال A⃗ + B⃗ = B⃗ + A⃗ ، وخاصية العنصر المحايد A⃗ + 0⃗ = 0⃗ + A⃗ = A⃗ ، وخاصية التجميع A⃗ + B⃗ + C⃗ = (A⃗ + B⃗) + C⃗ = A⃗ + (B⃗ + C⃗) ، وخاصية المعكوس الجمعي A⃗ + (−A⃗) = (−A⃗) + A⃗ = 0⃗ ، وخاصية الحذف A⃗ + C⃗ = B⃗ + C⃗ ⇒ A⃗ = B⃗ ، وخاصية التوزيع مع عدد حقيقي غير الصفر K(A⃗ + B⃗) = KA⃗ + KB⃗ .
كيف نحصل على ناتج طرح متجه من متجه؟
نحصل على ناتج طرح المتجه B⃗ من المتجه A⃗ بجمع المتجه A⃗ إلى المتجه المعاكس للمتجه B⃗ ، أي A⃗ − B⃗ = A⃗ + (−B⃗) ، وجبريًا A⃗ − B⃗ = < x_A − x_B , y_A − y_B > .
عرّف متجهي الوحدة الأساسيين i⃗ و j⃗ .
المتجه i⃗ = < 1 , 0 > الذي إحدى قطعه الموجهة متجه الموضع الذي نهايته النقطة (1 , 0) يسمى متجه الوحدة الأساسي في اتجاه المحور السيني، والمتجه j⃗ = < 0 , 1 > الذي إحدى قطعه الموجهة متجه الموضع الذي نهايته النقطة (0 , 1) يسمى متجه الوحدة الأساسي في اتجاه المحور الصادي.
أثبت أن < AB⃗ > − < AC⃗ > = < CB⃗ > في المثلث ABC .
< AB⃗ > − < AC⃗ > = < AB⃗ > + < (−AC⃗) > بطرح المتجهات، و < CA⃗ > = − < AC⃗ > فتصبح = < AB⃗ > + < CA⃗ > ، وبخاصية الإبدال = < CA⃗ > + < AB⃗ > ، وبعلاقة شال = < CB⃗ > .

الدرس 3: الضرب الداخلي

  • A⃗ • B⃗ = ‖A⃗‖ × ‖B⃗‖ × cos(A⃗ , B⃗) حيث 0° ≤ m(A⃗ , B⃗) ≤ 180° ، وناتج الضرب الداخلي عدد لا متجه.
  • بالمركبات: A⃗ • B⃗ = x_A x_B + y_A y_B ، و A⃗ • A⃗ = x_A² + y_A² = ‖A⃗‖² .
  • نتيجة (1): A⃗ ⊥ B⃗ ⟺ A⃗ • B⃗ = 0 حيث A⃗ ≠ 0⃗ و B⃗ ≠ 0⃗ .
  • نتيجة (2): A⃗ // B⃗ ⟺ A⃗ = k B⃗ ، ويكافئها بالمركبات أن يكون x_A • y_B − x_B y_A مساويًا صفرًا.
  • خواص الضرب الداخلي: الإبدال، والتجميع مع عدد حقيقي غير صفري، وتوزيع الضرب الداخلي على جمع المتجهات أو طرحها.
  • قانون الزاوية: cos(A⃗ , B⃗) = (A⃗ • B⃗)/(‖A⃗‖ • ‖B⃗‖) .
  • cos 0° = 1 و cos 60° = 1/2 و cos 90° = 0 و cos 180° = −1 ، وهي أكثر القيم استعمالًا في مسائل الضرب الداخلي.
  • المسافة بين نقطتين: AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²) .

الزبدة: الضرب الداخلي يترجم الزاوية إلى عدد: فإذا كان موجبًا فالزاوية حادة، وإذا كان صفرًا فهي قائمة، وإذا كان سالبًا فهي منفرجة. · لكل ضرب داخلي صيغتان — واحدة بالمركبات وأخرى بالطولين وجيب التمام — والمساواة بينهما هي مفتاح إيجاد الزاوية. · أصعب المسائل تُحلّ بحساب المقدار نفسه بطريقتين مختلفتين ثم المساواة بين الناتجين، كما في مسألة زاوية ركل الكرة.

الأسئلة المهمة (6)
عرّف الضرب الداخلي لمتجهين، واذكر صيغتيه.
في المستوى الإحداثي لأي متجهين غير صفريين A⃗ و B⃗ ، ناتج الضرب الداخلي لهما ويرمز له بالرمز A⃗ • B⃗ يساوي ناتج ضرب طولي المتجهين في جيب تمام قياس الزاوية المحددة بهما: A⃗ • B⃗ = ‖A⃗‖ × ‖B⃗‖ × cos(A⃗ , B⃗) حيث 0° ≤ m(A⃗ , B⃗) ≤ 180° . وبالمركبات: A⃗ • B⃗ = x_A x_B + y_A y_B .
ما شرط تعامد متجهين غير صفريين؟
نتيجة (1): A⃗ ⊥ B⃗ ⟺ A⃗ • B⃗ = 0 حيث A⃗ ≠ 0⃗ و B⃗ ≠ 0⃗ .
ما شرط توازي متجهين غير صفريين؟
نتيجة (2): A⃗ // B⃗ ⟺ A⃗ = k B⃗ حيث A⃗ ≠ 0⃗ و B⃗ ≠ 0⃗ ؛ وبالمركبات يكون x_A • y_B − x_B y_A مساويًا صفرًا.
اذكر خواص الضرب الداخلي.
لثلاثة متجهات غير صفرية A⃗ و B⃗ و C⃗ في المستوى و k عدد حقيقي: خاصية الإبدال A⃗ • B⃗ = B⃗ • A⃗ ، وخاصية التجميع مع عدد حقيقي غير صفري A⃗ • (kB⃗) = (kA⃗) • B⃗ = k(A⃗ • B⃗) ، وخاصية توزيع الضرب الداخلي على جمع المتجهات أو طرحها A⃗ • (B⃗ ± C⃗) = A⃗ • B⃗ ± A⃗ • C⃗ .
اكتب قانون قياس الزاوية بين متجهين وبيّن كيف اشتُقّ.
cos(A⃗ , B⃗) = (A⃗ • B⃗)/(‖A⃗‖ • ‖B⃗‖) حيث 0° ≤ m(A⃗ , B⃗) ≤ 180° . واشتُقّ بمساواة صيغتي الضرب الداخلي: ‖A⃗‖ • ‖B⃗‖ • cos(A⃗ , B⃗) = x_A x_B + y_A y_B ثم عزل جيب التمام.
كيف نثبت بالمتجهات أن الزاوية المرسومة في نصف دائرة قائمة؟
كما في مثال (9): إذا كانت A(−a , 0) و C(a , 0) طرفي القطر و B(x , y) على الدائرة x² + y² = a² ، فإن BA⃗ = < −a − x , −y > و BC⃗ = < a − x , −y > ، ويكون BA⃗ • BC⃗ = x² + y² − a² = 0 ، ومنه BA⃗ ⊥ BC⃗ فقياس الزاوية θ يساوي 90° .

الوحدة 6الوحدة السادسة: الجبر المتقطع (الإحصاء)

الدرس 1: المجتمع الإحصائي والمعاينة

  • الإحصاء علم أساسي في الرياضيات التطبيقية يهتم بجمع البيانات وفرزها وتنظيمها وتصنيفها وعرضها وتحليلها واستقراء النتائج لاتخاذ قرارات مناسبة.
  • مراحل البحث الإحصائي أربع: جمع البيانات، ثم عرضها جدوليًّا وبيانيًّا، ثم وصفها وتحليلها، ثم تفسير النتائج واتخاذ قرارات.
  • المجتمع الإحصائي هو مجموعة كل المفردات (الوحدات) قيد الدراسة ولها خصائص مشتركة، وقد يكون منتهيًا أو غير منته، وقد تكون مفرداته بشرية أو غير بشرية.
  • المتغير هو الصفة (أو الصفات) محور الدراسة، وهو يتغير من وحدة إلى أخرى في مجتمع الدراسة.
  • الحصر الشامل هو جمع بيانات جميع مفردات المجتمع، ويتميز بدقة نتائجه، ويعاب عليه ارتفاع الوقت والجهد والتكاليف، ولا يصلح في المجتمعات غير المنتهية ولا حين يؤدي إلى تدمير وحدات الدراسة.
  • المعاينة هي اختيار جزء من مفردات المجتمع بطريقة مدروسة تجعل هذه المفردات تمثل المجتمع وتحقق أهداف الدراسة.
  • البيانات الكيفية نوعان: اسمية ومرتبة؛ والبيانات الكمية نوعان: متقطعة ومستمرة.
  • من طرق جمع البيانات: المشاهدة والملاحظة، والبريد، والمقابلة الشخصية، والأرشيف، ومواقع التواصل، والاستبانة، والهاتف، والوثائق والسجلات، وقواعد البيانات.

الزبدة: كل دراسة إحصائية تبدأ بتعريف واضح لا يحتمل التأويل للمجتمع محل الدراسة ولوحدة الدراسة فيه. · الاختيار بين الحصر الشامل والمعاينة ليس اختيار راحة بل تفرضه طبيعة المجتمع: منته أم غير منته، ومدمِّر للوحدات أم لا. · تصنيف البيانات إلى كيفية وكمية هو الذي يحدد لاحقًا طريقة العرض والتحليل المناسبة.

الأسئلة المهمة (6)
عرّف علم الإحصاء واذكر مراحل البحث الإحصائي.
الإحصاء هو علم أساسي في مجال الرياضيات التطبيقية حيث إنه يهتم بجمع البيانات وفرزها وتنظيمها وتصنيفها وعرضها جدوليًّا أو بيانيًّا وتحليلها واستقراء النتائج بهدف اتخاذ قرارات مناسبة مبنية على استنتاجات. ومراحل البحث الإحصائي هي: جمع البيانات، ثم عرض البيانات (جدوليًّا وبيانيًّا)، ثم وصف البيانات وتحليلها، ثم تفسير النتائج واتخاذ قرارات.
ما المجتمع الإحصائي؟ ومتى يكون منتهيًا ومتى يكون غير منته؟
هو مجموعة كل المفردات (الوحدات) قيد الدراسة ولها خصائص مشتركة، ويمكن أن تكون مفرداته بشرية أو غير بشرية. ويكون منتهيًا إذا كان عدد وحداته محدودًا، وغير منته إذا كان عدد وحداته غير محدود. ويشترط أن يعرّف مجتمع الدراسة تعريفًا محددًا وواضحًا ولا يحمل أي تأويل.
ما المتغير في الدراسة الإحصائية؟ مع مثال.
هو الصفة (أو الصفات) محور الدراسة في مجتمع إحصائي معيّن. فمثلًا في دراسة عن طلاب الصف الحادي عشر في دولة الكويت قد يختلف الطلاب من حيث الفرع أو الجنس أو الجنسية أو الطول أو الوزن أو لون العيون، وهذه الصفة تتغير من وحدة إلى أخرى في مجتمع الدراسة.
ما الحصر الشامل؟ وما مميزاته وعيوبه؟
هو عملية جمع بيانات جميع مفردات المجتمع الإحصائي محل الدراسة. يتميز بدقة نتائجه وخلوه من الأخطاء. ومن عيوبه أنه يتطلب وقت وجهد كبيرين وفرق عمل ونفقات وتكاليف مرتفعة، كما أنه لا يمكن إجراؤه في المجتمعات غير المنتهية، ولا يمكن استخدامه في حالة تدمير جميع وحدات الدراسة.
عرّف المعاينة.
هي عملية اختيار جزء من مفردات المجتمع بطريقة مدروسة تجعل هذه المفردات تمثل المجتمع وتحقق أهداف الدراسة.
قارن بين البيانات الكيفية والبيانات الكمية مع مثالين لكل صنف.
البيانات الكيفية صفاتها اسمية مثل لون العيون ولون الشعر، أو مرتبة مثل المستوى العلمي والدرجات التقديرية. والبيانات الكمية صفاتها متقطعة مثل عدد طلاب الفصل ونقاط مباراة كرة السلة، أو مستمرة مثل أطوال القامات والأوزان ودرجات الحرارة.

الدرس 2: العينات

  • العينة العشوائية جزء من المجتمع الإحصائي يتم اختياره عشوائيًّا بطريقة علمية دون تحيز ليمثل المجتمع أفضل تمثيل بأقل تكلفة ممكنة.
  • في العينة العشوائية البسيطة لكل مفردة من مفردات المجتمع الفرصة نفسها لتكون ضمن العيّنة، وتُختار بجدول الأعداد العشوائية أو بآلات حاسبة متخصصة أو ببرامج إحصائية.
  • عند القراءة من جدول الأعداد العشوائية يُستبعد كل عدد يتجاوز حجم المجتمع وكل عدد مكرر، ثم يُكمَل حتى يكتمل حجم العينة.
  • العينة العشوائية الطبقية تُؤخذ من مجتمع يتكون من مجموعات لا تتقاطع، بأخذ عينة بسيطة من كل مجموعة.
  • كسر المعاينة = حجم العينة / حجم المجتمع الإحصائي = m/n .
  • حجم العينة من كل طبقة = كسر المعاينة × حجم الطبقة المناظرة، ومجموع أحجام الطبقات يساوي حجم العينة.
  • العينة العشوائية المنتظمة تُسحب بنظام ثابت: طول الفترة = حجم المجتمع الإحصائي / حجم العينة .
  • تُسحب المفردة الأولى عشوائيًّا على ألا تزيد عن طول الفترة، ثم يُضاف طول الفترة تباعًا للحصول على باقي المفردات.

الزبدة: العشوائية ليست فوضى: هي طريقة علمية تضمن لكل مفردة الفرصة نفسها، ولذلك يُحدَّد موضع البدء في جدول الأعداد العشوائية بدقة. · كسر المعاينة هو الجسر بين حجم العينة وحجم كل طبقة، فهو يحفظ نسب الطبقات في العينة كما هي في المجتمع. · في العينة المنتظمة تكون العشوائية في المفردة الأولى وحدها، وما بعدها انتظام بإضافة طول الفترة.

الأسئلة المهمة (6)
عرّف العينة العشوائية.
هي جزء من المجتمع الإحصائي يتم اختيارها عشوائيًّا بطريقة علمية دون تحيز كي تمثل هذا المجتمع أفضل تمثيل بأقل تكلفة ممكنة، وتختلف العينة بحسب طبيعة المجتمع الإحصائي محل الدراسة.
ما الشيء الأساس في العينة العشوائية البسيطة؟ وما طرائق اختيارها؟
الشيء الأساس فيها هو أن لكل مفردة من مفردات المجتمع الإحصائي الفرصة نفسها لتكون ضمن العيّنة. وتوجد طرائق متعددة لاختيارها مثل: جدول الأعداد العشوائية، وآلات حاسبة متخصصة، وبرامج إحصائية في الحاسوب مثل IRT و SPSS و Microsoft Excel .
متى نلجأ إلى العينة العشوائية الطبقية؟ واكتب قاعدتيها.
نلجأ إليها عندما يتكون المجتمع الإحصائي من مجموعات لا تتقاطع مع بعضها بعضًا، فنأخذ عينة عشوائية بسيطة من كل مجموعة. والقاعدتان: كسر المعاينة = حجم العينة / حجم المجتمع الإحصائي = m/n ، وحجم العينة من كل طبقة = كسر المعاينة × حجم الطبقة المناظرة.
ما العينة العشوائية المنتظمة؟ وكيف يُوجد طول الفترة؟
هي عينة يتم سحب مفرداتها بحسب نظام ثابت ومنتظم؛ ترقم المفردات ترقيمًا متسلسلًا ثم يقسم المجتمع الإحصائي إلى فترات متساوية الطول بعدد مفردات العينة تسمى فترة المعاينة، وطول الفترة = حجم المجتمع الإحصائي / حجم العينة .
كيف تُسحب مفردات العينة المنتظمة بعد المفردة الأولى؟
يمكن سحب المفردة الأولى بطريقة عشوائية من جدول الأعداد العشوائية أو عن طريق المختبر الإحصائي، ثم تسحب باقي المفردات بطريقة منتظمة بإضافة طول فترة المعاينة على المفردة الأولى للحصول على المفردة الثانية، ثم إضافة طول الفترة على المفردة الثانية للحصول على الثالثة وهكذا.
ماذا نفعل إذا وجدنا في جدول الأعداد العشوائية عددًا أكبر من حجم المجتمع أو عددًا مكررًا؟
نستبعده؛ ففي المثال التوضيحي في صفحة 202 استُبعد العددان 96 و 86 لأنه لا يوجد مقابل لهما في ترقيم الطلاب، ثم أُكمل البحث لإيجاد العددين الآخرين على ألا يكون تكرارًا لما سبق.

الدرس 3: أساليب عرض البيانات

  • البيانات نوعان: كيفية وكمية، ولعرضها طرق متعددة منها الجداول التكرارية والأعمدة والخط المنكسر والنقاط المجمعة والقطاعات الدائرية.
  • تُستخدم القطاعات الدائرية لعرض التوزيع التكراري لبيانات كيفية مقسمة إلى فئات متعددة.
  • التكرار النسبي = تكرار القيمة (أو الفئة) ÷ مجموع التكرارات.
  • النسبة المئوية للتكرار (التكرار المئوي) = التكرار النسبي × 100% ، ومجموع النسب المئوية 100% .
  • قياس الزاوية المركزية لقطاع = التكرار النسبي × 360° ، ومجموع الزوايا 360° .
  • يُستخدم المدرج التكراري والمنحنى التكراري لتمثيل جدول تكراري ذي فئات؛ قاعدة كل مستطيل هي طول الفئة وارتفاعه قيمة تكرارها.
  • مركز الفئة هو نصف مجموع حدّي الفئة، مثل مركز الفئة 15− هو (15 + 20)/2 = 17.5 .
  • يُرسم المنحنى التكراري بوصل النقاط (مركز الفئة , تكرارها) ويُقفل عند البداية والنهاية في مركز فئة تكرارها صفر.

الزبدة: التكرار النسبي هو حجر الأساس: منه يُشتق التكرار المئوي بضربه في 100% وقياس الزاوية بضربه في 360° . · القطاعات الدائرية للبيانات الكيفية، والمدرج والمنحنى التكراريان للبيانات الكمية ذات الفئات؛ فاختيار أسلوب العرض يتبع نوع البيانات. · إقفال المنحنى التكراري عند فئتين طرفيتين تكرارهما صفر يجعل المنحنى منغلقًا على المحور الأفقي، فتمثّل المساحة تحته مجموع التكرارات.

الأسئلة المهمة (6)
اكتب قاعدة قياس الزاوية المركزية لقطاع دائري، وقاعدة التكرار النسبي.
قياس الزاوية المركزية لقطاع = التكرار النسبي × 360° ، حيث التكرار النسبي = تكرار القيمة (أو الفئة) ÷ مجموع التكرارات.
متى نستخدم التمثيل بالقطاعات الدائرية؟
نستخدمه لعرض التوزيع التكراري لبيانات كيفية مقسمة إلى فئات متعددة؛ فتقسّم الدائرة إلى قطاعات عددها يساوي عدد الفئات، ويمثل كل قطاع دائري واحدة من هذه الفئات، وكل قطاع يأخذ لونًا أو تظليلًا مختلفًا عن الآخر.
كيف نحسب النسبة المئوية للتكرار؟
النسبة المئوية للتكرار (التكرار المئوي) = التكرار النسبي × 100% . فمثلًا في مثال (1) تكرار تقدير «جيد» 6 من مجموع 25 ، فيكون 6/25 × 100% = 24% .
ما المدرج التكراري؟ وكيف يُرسم؟
يستخدم المدرج التكراري في تمثيل جدول تكراري ذي فئات بحيث إن كل مستطيل يمثل فئة من الفئات؛ قاعدة المستطيل على الخط الأفقي هي طول الفئة، وارتفاعه الرأسي يساوي قيمة تكرار الفئة.
كيف نوجد مركز الفئة؟ مع مثال.
مركز الفئة هو نصف مجموع حدّيها؛ فمركز الفئة 15− هو (15 + 20)/2 = 17.5 ، ومركز الفئة 50− هو (50 + 55)/2 = 52.5 .
كيف يُرسم المنحنى التكراري من المدرج التكراري؟
نأخذ منتصفات الأضلاع العليا للمستطيلات ثم نصل هذه النقاط بمنحنيات، ونقفل المنحنى التكراري عند البداية في مركز فئة تكرارها صفر، وعند النهاية في مركز فئة تكرارها صفر.

الدرس 4: الانحراف المعياري

  • يمكن قراءة البيانات الإحصائية بزوج مرتب مكون من مقياسين: المتوسط الحسابي مقياسًا لتمركز القيم، والانحراف المعياري مقياسًا لتشتت القيم.
  • المتوسط الحسابي: x̄ = (∑ n_i x_i)/(∑ n_i) ، حيث x_i قيم المتغيرات و n_i تكراراتها.
  • التباين: v = (∑ n_i (x_i − x̄)²)/(∑ n_i) .
  • الانحراف المعياري: σ = √v = √((∑ n_i (x_i − x̄)²)/(∑ n_i)) .
  • في حالة التوزيع التكراري ذي الفئات تمثل x_i مراكز الفئات وتُستخدم القوانين نفسها.
  • كلما كبر الانحراف المعياري دلّ ذلك على تشتت أكبر لقيم البيانات عن المتوسط الحسابي.
  • في مثال العيادة كان x̄ = 28 min و σ ≈ 10.2 ، وهو ما يدل على تشتت كبير لقيم البيانات عن المتوسط.
  • يمكن حساب المتوسط الحسابي والانحراف المعياري مباشرة بالآلة الحاسبة بعد تفعيل عمود التكرارات FREQ في وضع STAT (1 − VAR) .

الزبدة: متوسطان متساويان لا يعنيان بيانات متشابهة: الانحراف المعياري هو الذي يكشف الفرق بين مجموعة متقاربة القيم وأخرى متباعدة. · التباين يجمع مربعات الانحرافات لا الانحرافات نفسها، لأن مجموع الانحرافات عن المتوسط يساوي صفرًا دائمًا؛ والتربيع يزيل الإشارات. · الانحراف المعياري جذر التباين، فيعود إلى وحدة قياس البيانات نفسها، ولذلك يُقارن مباشرة بالمتوسط الحسابي.

الأسئلة المهمة (6)
ما المقياسان اللذان تُقرأ بهما البيانات الإحصائية؟ وما دلالة كل منهما؟
يمكن قراءة البيانات الإحصائية بزوج مرتب مكون من مقياسين مهمين: المتوسط الحسابي وهو مقياس لتمركز القيم في البيانات، والانحراف المعياري وهو مقياس لتشتت القيم في البيانات.
اكتب قانون المتوسط الحسابي وبيّن رموزه.
x̄ = (∑ n_i x_i)/(∑ n_i) ، حيث إن x_i هي قيم المتغيرات في البيانات، و n_i تكرارات المتغيرات في البيانات.
اكتب قانون التباين وقانون الانحراف المعياري.
التباين v = (∑ n_i (x_i − x̄)²)/(∑ n_i) ، والانحراف المعياري σ = √v ، أي σ = √((∑ n_i (x_i − x̄)²)/(∑ n_i)) .
ماذا نستخدم بدل قيم المتغيرات في التوزيع التكراري ذي الفئات؟
ملاحظة هامة في الكتاب: في حالة التوزيع التكراري ذي الفئات x_i تمثل مراكز الفئات ونستخدم نفس القوانين السابقة.
في مثال (1) كان x̄ = 28 min و σ ≈ 10.2 . فسّر هذه النتيجة.
بما أن المتوسط الحسابي x̄ = 28 min والانحراف المعياري σ ≈ 10.2 فهذا يدل على تشتت كبير لقيم البيانات عن المتوسط الحسابي؛ أي أن أوقات المعاينة تتباعد كثيرًا عن المتوسط.
اذكر خطوات إيجاد الانحراف المعياري بالآلة الحاسبة.
نضغط SHIFT ثم MODE (SETUP) ثم 4 (STAT) ثم 1 (ON) لتفعيل عمود التكرارات، ثم MODE ثم 3 (STAT) ثم 1 (1 − VAR) ، ثم نُدخل القيم في عمود X والتكرارات في عمود FREQ ، ثم AC SHIFT 1 (STAT) 4 (VAR) 2 (x̄) = للمتوسط الحسابي، و AC SHIFT 1 (STAT) 4 (VAR) 3 (σx) = للانحراف المعياري.

الدرس 5: القاعدة التجريبية

  • المدى يقيس تشتت قيم البيانات، والانحراف المعياري يقيس تشتتها بالمقارنة مع المتوسط الحسابي.
  • إذا كان الانحراف المعياري صغيرًا تجمّعت القيم حول المتوسط، وإذا كان كبيرًا ابتعدت عنه، ولو تساوى المتوسطان.
  • التوزيع الطبيعي هو توزيع قيم البيانات بشكل متماثل حول المتوسط الحسابي، ومنحناه التكراري يأخذ شكل الجرس.
  • من خواص منحنى التوزيع الطبيعي: أنه ناقوس (جرس) متماثل حول المتوسط، وأن المتوسط والوسيط والمنوال متساوية فيه، وأن طرفيه ينحدران تدريجيًّا ويمتدان إلى ما لانهاية ولا يلتقيان مع المحور الأفقي أبدًا.
  • القاعدة التجريبية: حوالي 68% من القيم تنتمي إلى [x̄ − σ , x̄ + σ] .
  • وحوالى 95% تنتمي إلى [x̄ − 2σ , x̄ + 2σ] ، وحوالى 99.7% تنتمي إلى [x̄ − 3σ , x̄ + 3σ] .
  • النسب التفصيلية على المنحنى من اليسار إلى اليمين: 2.5% ، 13.5% ، 34% ، 34% ، 13.5% ، 2.5% .
  • تُستخدم القاعدة التجريبية لدراسة الجودة في مواقف إحصائية متعددة ولاتخاذ القرارات المناسبة على ضوء هذه الدراسة.

الزبدة: التوزيع الطبيعي يحوّل الانحراف المعياري إلى مسطرة: كل خطوة سيغما واحدة تقتطع نسبة معلومة ثابتة من البيانات. · النسب الست 2.5% و13.5% و34% و34% و13.5% و2.5% تكفي لحل كل أسئلة الدرس بالجمع، دون أي قانون آخر. · خروج قيمة عن الفترة [x̄ − 3σ , x̄ + 3σ] حدث نادر جدًّا، ولذلك يُستدلّ به على أن الادعاء غير صحيح أو أن القيمة غير متوقعة.

الأسئلة المهمة (6)
عرّف التوزيع الطبيعي واذكر خواص منحناه.
التوزيع الطبيعي هو توزيع قيم البيانات بشكل متماثل حول المتوسط الحسابي، والمنحنى التكراري الذي يمثل هذه البيانات يأخذ شكل الجرس. ومن خواصه: أن يكون على شكل ناقوس (جرس) متماثل حول المتوسط الحسابي، وأن تتساوى فيه قيم المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال، وأن ينحدر طرفاه تدريجيًّا ويمتدان إلى ما لانهاية ولا يلتقيان مع المحور الأفقي أبدًا.
انصص القاعدة التجريبية.
إذا كانت لدينا مجموعة بيانات كمية متوسطها الحسابي x̄ وانحرافها المعياري σ ومنحناها التكراري على شكل الجرس، فإن: حوالي 68% من قيم هذه البيانات تنتمي إلى الفترة [x̄ − σ , x̄ + σ] ، وحوالى 95% تنتمي إلى [x̄ − 2σ , x̄ + 2σ] ، وحوالى 99.7% تنتمي إلى [x̄ − 3σ , x̄ + 3σ] .
فيمَ تُستخدم القاعدة التجريبية؟
تستخدم القاعدة التجريبية لدراسة الجودة في مواقف إحصائية متعددة لعينات ذات قيم مفردة محددة، ويمكن اتخاذ القرارات المناسبة على ضوء هذه الدراسة.
اكتب النسب المئوية للمناطق الست على منحنى التوزيع الطبيعي.
من اليسار إلى اليمين: 2.5% بين x̄ − 3σ و x̄ − 2σ ، ثم 13.5% بين x̄ − 2σ و x̄ − σ ، ثم 34% بين x̄ − σ و x̄ ، ثم 34% بين x̄ و x̄ + σ ، ثم 13.5% بين x̄ + σ و x̄ + 2σ ، ثم 2.5% بين x̄ + 2σ و x̄ + 3σ .
في مثال (1) لماذا كان من غير المتوقع أن تصل الأرباح إلى 690 دينارًا؟
لأن المبلغ 690 دينارًا يقع خارج الفترة الأخيرة [20 , 680] والتي تناظر 99.7% من الأرباح، فخروجه عنها يعني أنه من الأحداث النادرة جدًّا.
في مثال (2) كيف حُسبت نسبة البطاريات التي يزيد عمرها عن 50 شهرًا؟
لأن 50 = x̄ − σ ، فالنسبة المطلوبة هي مجموع المناطق الواقعة على يمينها: 34% + 34% + 13.5% + 2.5% = 84% .

الدرس 6: القيمة المعيارية

  • القيمة المعيارية هي مؤشر يدل على انحراف قيمة مفردة من بيانات عن المتوسط الحسابي وذلك باستخدام الانحراف المعياري لقيم هذه البيانات.
  • عند مقارنة قيمتين لمفردتين مختلفتين لا يكفي إحصائيًّا مقارنة القيمتين مباشرة، بل يجب الأخذ بعين الاعتبار المتوسط الحسابي لكل مجموعة وانحرافها المعياري.
  • القاعدة: القيمة المعيارية = (قيمة المفردة − المتوسط الحسابي) ÷ الانحراف المعياري ، أي z = (x − x̄)/σ .
  • القيمة المعيارية الموجبة تعني أن قيمة المفردة أعلى من المتوسط الحسابي، والسالبة تعني أنها أقل منه.
  • كلما كبرت القيمة المعيارية كان أداء المفردة أفضل بالنسبة إلى مجموعتها، حتى لو كانت سالبة (فالأقرب إلى الصفر أفضل).
  • في مثال (1): z₁ = (16 − 13)/5 = 0.6 و z₂ = (16 − 14)/4 = 0.5 ، ومنه الدرجة 16 في الرياضيات أفضل.
  • في مثال (2): z₁ = (64 − 69)/8 = −0.625 و z₂ = (48 − 56)/10 = −0.8 ، و −0.625 > −0.8 فأداؤها في اللغة العربية أفضل.
  • لا تكفي معرفة المتوسط الحسابي وحده عند المقارنة لوجود قيم متطرفة، ولذلك يُضاف إليه الانحراف المعياري ثم القيمة المعيارية.

الزبدة: القيمة المعيارية تُلغي وحدات القياس وتحوّل كل درجة إلى «كم انحرافًا معياريًّا فوق المتوسط أو تحته»، فتصير المقارنة بين مادتين مختلفتين ممكنة. · إشارة z تخبرك بالموقع من المتوسط، ومقدارها يخبرك بالمسافة عنه مقيسة بالانحراف المعياري. · مقاييس الوحدة تُبنى بعضها فوق بعض: المتوسط ثم الانحراف المعياري ثم القيمة المعيارية والقاعدة التجريبية، وكل مقياس يسدّ نقصًا في الذي قبله.

الأسئلة المهمة (6)
عرّف القيمة المعيارية واكتب قاعدتها.
هي مؤشر يدل على انحراف قيمة مفردة من بيانات عن المتوسط الحسابي وذلك باستخدام الانحراف المعياري لقيم هذه البيانات. وقاعدتها: القيمة المعيارية = (قيمة المفردة − المتوسط الحسابي) ÷ الانحراف المعياري ، أي z = (x − x̄)/σ .
لماذا لا تكفي مقارنة القيمتين مباشرة عند المقارنة بين مفردتين من مجموعتين مختلفتين؟
لأنه إذا كان المطلوب مقارنة قيمتين لمفردتين مختلفتين تنتمي كل منهما إلى مجموعة محددة فإنه لا يكفي إحصائيًّا مقارنة قيم هذه المفردات ببعضها بعضًا، بل يجب الأخذ بعين الاعتبار المتوسط الحسابي لكل مجموعة من البيانات وانحرافها المعياري؛ ويتطلب ذلك تحويل القيم المقاسة بوحدات قياس عادية إلى قيم معيارية مناظرة بعدد من الانحرافات المعيارية.
ماذا تعني القيمة المعيارية السالبة؟
تعني أن قيمة المفردة أقل من المتوسط الحسابي لمجموعتها؛ وكلما كانت أقرب إلى الصفر كان الأداء أفضل. ففي مثال (2) كانت z₁ = −0.625 و z₂ = −0.8 ، و −0.625 > −0.8 فكان أداء الطالبة في اللغة العربية أفضل من أدائها في الجغرافيا.
في مسألة المرشد لحل المسائل، لماذا لم يكفِ المتوسط الحسابي للمقارنة بين الشركتين؟
لا تكفي معرفة المتوسط الحسابي عند المقارنة بين الرواتب لوجود قيم متطرفة في الجدولين؛ ولذلك حُسب الانحراف المعياري فكان σ₁ ≈ 431.45 للشركة (a) و σ₂ ≈ 218.86 للشركة (b) ، ومنه نستنتج أن رواتب الموظفين في الشركة (b) تتقارب من المتوسط الحسابي أكثر ممّا تتقارب رواتب الموظفين في الشركة (a) .
اذكر من الملخص قوانين المتوسط الحسابي والتباين والانحراف المعياري والقيمة المعيارية.
المتوسط الحسابي x̄ = (∑ n_i x_i)/(∑ n_i) ، والتباين v = (∑ n_i (x_i − x̄)²)/(∑ n_i) حيث n_i التكرار، والانحراف المعياري σ = √v ، والقيمة المعيارية = (x − x̄)/σ .
ماذا يؤشر الانحراف المعياري بحسب الملخص؟
يؤشر الانحراف المعياري إلى تشتت البيانات عن المتوسط الحسابي، وكلما كان أصغر كان التشتت أقل.

كتاب الطالب· Student's Book

الوحدة 1الوحدة الأولى: النهايات والاتصال

الدرس 1: النهايات

  • وجود النهاية عند نقطة لا يعتمد على كون الدالة معرّفة عند النقطة نفسها.
  • توجد النهاية من الجهتين إذا وفقط إذا تساوت النهايتان من اليمين واليسار.
  • نهاية الدالة الثابتة هي الثابت نفسه، ونهاية دالة التطابق هي العدد الذي تؤول إليه المتغيرة.
  • تطبق قواعد الجمع والطرح والضرب على النهايات الموجودة، وتشترط القسمة أن تكون نهاية المقام غير صفر.
  • تحسب نهاية كثيرة الحدود بالتعويض، وتحسب نهاية الدالة النسبية بالتعويض إذا كان المقام غير صفر.
  • تستخدم قواعد القوة والجذر مع الشروط المبينة في الكتاب.
  • الصيغة 0/0 غير معينة؛ نستخدم التحليل أو المرافق أو القسمة لإلغاء العامل الصفري المشترك إن وجد.

الزبدة: النهاية تصف سلوك الدالة قرب النقطة، ولا يلزم أن تساوي قيمتها عند النقطة. · اختلاف نهايتي اليمين واليسار يعني عدم وجود النهاية من الجهتين. · التبسيط قبل التعويض يعالج بعض الصيغ غير المعينة مع الحفاظ على شرط الاختصار.

الأسئلة المهمة (5)
هل يلزم أن تكون الدالة معرّفة عند النقطة حتى توجد نهايتها؟
لا؛ تبين أمثلة الكتاب أن النهاية قد توجد والدالة غير معرّفة عند النقطة، أو أن قيمتها عند النقطة تختلف عن النهاية.
ما شرط وجود النهاية من الجهتين؟
أن تكون النهاية من جهة اليمين مساوية للنهاية من جهة اليسار.
متى تستخدم قاعدة القسمة في حساب النهايات؟
عندما توجد نهايتا البسط والمقام وتكون نهاية المقام غير صفر.
ما دلالة الحصول على 0/0 بالتعويض المباشر؟
صيغة غير معينة، وتحتاج إلى تبسيط مناسب مثل التحليل أو القسمة أو الضرب بالمرافق.
لماذا ندرس جهتي الاقتراب في دالة القيمة المطلقة؟
لأن فك القيمة المطلقة يتغير بحسب إشارة ما بداخلها؛ نحسب كل جهة بصيغتها ثم نقارن النهايتين.

الدرس 2: نهايات تشتمل على −∞ ، ∞

  • نهاية k/xⁿ عند x → ±∞ تساوي0 إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا وk عددًا حقيقيًا.
  • الرمز∞ لا يمثل عددًا حقيقيًا؛ يصف التزايد بلا حدود.
  • نهاية الدالة غير المحددة من الجهتين تتطلب اتفاق السلوك من اليمين واليسار.
  • الضرب في ثابت سالب يعكس إشارة اللانهاية، والموجب يحفظها.
  • الخط y = b مقارب أفقي إذا اقتربت الدالة منb عند إحدى جهتي اللانهاية أو كلتيهما.
  • الخط x = a مقارب رأسي إذا كانت إحدى النهايات عندa تساوي∞ أو−∞.
  • تحدد المقاربات الرأسية لدالة نسبية من أصفار المقام بعد اختصار العوامل المشتركة.

الزبدة: قارن سلوك الدالة عند نقطة بسلوكها عند اللانهاية، فهما سؤالان مختلفان. · لا تتعامل مع∞ كعدد حقيقي؛ هو وصف لسلوك غير محدود. · بسّط الدالة النسبية قبل تقرير مقارباتها الرأسية.

الأسئلة المهمة (5)
لماذا لا تعد∞ عددًا حقيقيًا؟
لأنها تعبر عن التزايد بلا حدود ولا تمثل قيمة معينة.
متى تكون نهايةk/xⁿ عند اللانهاية صفرًا؟
إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا وk عددًا حقيقيًا.
ما الفرق بين المقارب الأفقي والرأسي؟
الأفقي تحدده نهاية محددة عند اللانهاية، والرأسي تحدده نهاية غير محدودة عند نقطة.
هل كل صفر للمقام الأصلي يعطي مقاربًا رأسيًا؟
لا؛ نختصر العوامل المشتركة أولًا، ثم نبحث أصفار المقام المبسط.
ما أثر ضرب دالة تتزايد بلا حدود في ثابت سالب؟
يصبح سلوكها تناقصًا بلا حدود، فتنعكس إشارة اللانهاية.

الدرس 3: صيغ غير معينة

  • الصيغة غير المعينة لا تحدد النهاية وحدها.
  • سلوك الحدودية عند اللانهاية يتحدد بحدها الرئيسي.
  • عند تساوي درجتي البسط والمقام نأخذ نسبة المعاملين الرئيسيين.
  • عندما تكون درجة البسط أصغر تكون النهاية صفرًا.
  • النظرية تعمل عند اللانهاية الموجبة والسالبة.
  • عند إخراج x² من الجذر ينتج |x|، فتراعى إشارة x.

الزبدة: تحديد الدرجة والمعامل الرئيسي. · تبسيط الصيغ غير المعينة قبل الحكم. · التعامل الصحيح مع القيمة المطلقة عند اللانهاية.

الأسئلة المهمة (5)
أوجد lim_{x→∞} (5x² + 1)/(2x² − 3).
5/2
أوجد lim_{x→−∞} (x + 1)/(x³ − 2).
0
أوجد lim_{x→∞} (−2x⁴ + x).
−∞
عندما x < 0، ماذا يساوي |x|؟
−x
تعطي الصيغة ∞/∞ قيمة النهاية مباشرة.
خطأ

الدرس 4: نهايات بعض الدوال المثلثية

  • قياس الزوايا بالراديان في هذه النهايات.
  • نهاية sinx/x عند الصفر تساوي1.
  • نهاية tanx/x عند الصفر تساوي1.
  • نستخدم القواعد الجبرية والمثلثية لتحويل التعبير إلى نهاية أساسية.
  • نظرية الإحاطة تتطلب تساوي نهايتي الدالتين الخارجيتين.
  • نهايتا sinx/x وcosx/x عند اللانهاية تساويان0.

الزبدة: تحويل الكسر إلى النهاية الأساسية. · تحديد شروط القسمة والإحاطة. · تمييز الاقتراب من الصفر عن اللانهاية.

الأسئلة المهمة (5)
أوجد lim_{x→0} (sin 3x)/(2x).
3/2
أوجد lim_{x→0} (tan 4x)/x.
4
أوجد lim_{x→0} x² sin(1/x).
0
أوجد lim_{x→∞} (sin x)/x.
0
تطبق النهاية lim_{x→0} (sin x)/x = 1 بقياس الراديان.
صح

الدرس 5: الاتّصال

  • الاتصال يتطلب تعريف القيمة ووجود النهاية ومساواتهما.
  • النهايتان الجانبيتان تحددان وجود النهاية.
  • اختلاف النهاية عن القيمة يسبب انفصالًا قابلًا للإزالة إذا كانت النهاية محددة.
  • القفزة لها نهايتان جانبيتان مختلفتان.
  • الانفصال اللانهائي لا يصلح بتغيير قيمة واحدة.
  • إعادة التعريف تضع قيمة النقطة مساوية للنهاية.

الزبدة: فحص الشروط الثلاثة بالترتيب. · التمييز بين القيمة والنهاية. · تحديد ما إذا كان الانفصال قابلًا للإزالة.

الأسئلة المهمة (5)
إذا كانت قيمة الدالة عند c تساوي2 ونهايتها3، فما الحكم؟
غير متصلة
ما قيمة إعادة التعريف عند x=1 للدالة (x²−1)/(x−1)؟
2
إذا اختلفت نهايتان جانبيتان موجودتان ومحدودتان، فالانفصال:
نتيجة قفزة
ما نوع انفصال1/x² عند الصفر؟
لا نهائي
وجود f(c) وحده يكفي للاتصال.
خطأ

الدرس 6: نظريات الاتصال

  • مجموع وفرق وحاصل ضرب دالتين متصلتين دالة متصلة.
  • القسمة تتطلب مقامًا غير صفري عند النقطة.
  • كثيرة الحدود والقيمة المطلقة متصلتان على ℝ.
  • رتبة الجذر ومجاله يحددان مواضع الاتصال.
  • في التركيب نطبق الدالة الداخلية أولًا.
  • التركيب ليس تبديليًا عمومًا.
  • اتصال التركيب يستلزم اتصال الخارجية عند صورة النقطة.

الزبدة: ابدأ بالمجال قبل استخدام نظريات الاتصال. · ترتيب تطبيق الدالتين يغيّر الناتج. · لا تستبدل قيمة النقطة بقيمة الصورة عند فحص الدالة الخارجية.

الأسئلة المهمة (5)
ما خواص العمليات على الدوال المتصلة؟
الجمع والطرح والضرب والضرب في ثابت والقسمة إذا لم ينعدم المقام.
ما معنى الدالة المركبة؟
تطبيق الدالة الداخلية ثم الخارجية.
هل يساويg∘f دائمًاf∘g؟
لا، إلا في بعض الحالات الخاصة.
ما شرط اتصال التركيب؟
اتصال الداخلية عند النقطة والخارجية عند صورتها.
كيف نفحص اتصال دالة جذرية؟
نفحص اتصال ما داخل الجذر وشروط تعريف الجذر.

كتاب التمارين· Workbook

الوحدة 1الوحدة الأولى: الأعداد الحقيقية

الدرس 1: تمرّن 1-1 — الجذور والتعبيرات الجذرية والعمليات عليها

  • للعدد الموجب جذران تربيعيان متعاكسان، وللعدد السالب لا توجد جذور تربيعية حقيقية.
  • الجذر التكعيبي لعدد سالب سالب.
  • نستخرج المربعات أو المكعبات الكاملة قبل جمع الجذور المتشابهة.
  • نضرب البسط والمقام في مرافق المقام لإخلائه من الجذور.

الزبدة: نبدأ بتبسيط كل جذر قبل إجراء العمليات. · شروط إشارة المتغير تحدد الحاجة إلى القيمة المطلقة. · المرافق يحوّل حاصل الضرب إلى عدد نسبي.

الأسئلة المهمة (5)
كيف نبسّط جذر مربع تعبير حقيقي؟
نستخدم القيمة المطلقة؛ فمثلاً √(٩س²) = ٣|س|.
لماذا نضرب في المرافق؟
لإخلاء المقام من الجذور دون تغيير قيمة الكسر؛ نضرب البسط والمقام في التعبير نفسه.
كيف نجمع الجذور؟
نبسّط كل جذر ثم نجمع معاملات الجذور المتشابهة فقط.
كيف نحسب محيط مستطيل أبعاده جذرية؟
نبسّط الأبعاد ثم نضرب مجموع الطول والعرض في٢، كما في سؤال الملعب.
متى يمكن إخراج س من √(س²) دون قيمة مطلقة؟
حين تكون س غير سالبة؛ أما دون شرط على إشارتها فالناتج |س|.

الدرس 2: تمرّن 1-2 — الأسس النسبية وخواصها

  • مقام الأس النسبي دليل الجذر وبسطه القوة.
  • في ضرب قوتين للأساس نفسه نجمع الأسين، وفي قسمتهما نطرح.
  • الأس السالب يعني مقلوب القوة الموجبة حين يكون الأساس غير صفر.
  • نراعي شروط الجذور الزوجية، ونستخدم القيمة المطلقة عند الحاجة.

الزبدة: توحيد الأساسات يسهّل التبسيط. · وجود إشارة سالبة في الأس يختلف عن وجودها في الأساس. · لا نطبّق خاصية خارج مجال تعريفها.

الأسئلة المهمة (5)
كيف نحول الأس النسبي إلى جذر؟
مقامه دليل الجذر وبسطه القوة، مع مراعاة شروط التعريف.
كيف نبسّط ضرب قوتين للأساس نفسه؟
نجمع الأسين ونبقي الأساس كما هو.
ما معنى الأس السالب؟
نأخذ مقلوب القوة ذات الأس الموجب؛ لا يعني أن الناتج سالب.
ما الخطأ في تحليل المجموعة ب؟
ضرب٣ في٣^(٣/٢) لا يعطي٩^(٣/٢)، بل٣^(٥/٢).
لماذا لا نفصل جذر حاصل ضرب عددين سالبين؟
قاعدة الجذر التربيعي لحاصل الضرب تشترط عاملين غير سالبين في الأعداد الحقيقية.

كتاب التمارين· Workbook

الوحدة 1الوحدة الأولى: الأعداد الحقيقية

الدرس 1: تمرّن 1-1 — الجذور والتعبيرات الجذرية

  • قوانين الجذر التربيعي تشترط √(x²) = |x| و√(x • y) = √x • √y و√(x⁄y) = √x ⁄ √y لكل x , y ∈ ℝ⁺ ∪ {0}، وقوانين الجذر التكعيبي نفسها لكل x , y ∈ ℝ.
  • الجذر التربيعي لعدد سالب غير موجود في ℝ، أمّا الجذر التكعيبي لعدد سالب فموجود ووحيد؛ ولذلك كُتب «إن أمكن» في التمرين (1).
  • اختصر الكسر داخل الجذر قبل أخذ الجذر: √(12⁄147) = √(4⁄49) = 2⁄7 و³√(−375⁄24) = ³√(−125⁄8) = −5⁄2.
  • التعبير في أبسط صورة إذا لم يبقَ عامل أُسّه ≥ دليل الجذر، ولم يكن المقام جذرًا، ولم يكن المجذور كسرًا، وكان الدليل أصغر ما يمكن.
  • الجمع والطرح لا يكونان إلّا بين تعبيرين متشابهين (الدليل نفسه والمجذور نفسه)، ولا يُحكم بالتشابه إلّا بعد التبسيط.
  • لجعل المقام عددًا نسبيًّا نضرب البسط والمقام في مرافق المقام: مرافق √a هو √a، ومرافق (√a − √b) هو (√a + √b)، ومرافق ³√5 هو ³√5².
  • في مسائل التعويض (7) و(8) بسّط قيمة x أوّلًا ثم عوّض؛ وفي (10) ابدأ الحساب من الجذر الأعمق واصعد.

الزبدة: كل تبسيط جذري يبدأ بتحليل المجذور إلى عوامله ثم إخراج ما أُسّه يساوي دليل الجذر. · المرافق هو التعبير الذي إذا ضُرب في المقام أعطى عددًا نسبيًّا، والمرافق ليس وحيدًا. · √(x²) = |x| دائمًا، ولا نحذف القيمة المطلقة إلّا إذا نصّ السؤال على أن x ≥ 0.

الأسئلة المهمة (6)
لماذا كُتب في التمرين (1) «أوجد إن أمكن» بينما لم تُكتب في التمرين (2)؟
لأن التمرين (1) على الجذر التربيعي، والجذر التربيعي لعدد سالب لا وجود له في ℝ، وفي التمرين فرعان مجذورهما سالب هما (g) و(k). أمّا التمرين (2) فعلى الجذر التكعيبي، ولكل عدد حقيقي (موجب أو سالب أو صفر) جذر تكعيبي حقيقي واحد.
متى نكتب √(16x²) = 4x ومتى نكتب 4|x|؟
نكتب 4|x| دائمًا لأن √(x²) = |x|. ولا نكتب 4x إلّا إذا نصّ السؤال على شرط x ≥ 0، كما في الفرع (d) من التمرين (3).
اذكر شروط أن يكون التعبير الجذري في أبسط صورة.
ألّا يكون للمجذور عوامل مرفوعة لقوة أكبر من دليل الجذر أو تساويه، وألّا يكون المقام جذرًا، وألّا يكون المجذور كسرًا، وأن يكون دليل الجذر أصغر عدد صحيح موجب ممكن.
ما مرافق المقام في الكسر 3⁄³√2 ولماذا؟
مرافقه ³√2² = ³√4، لأن ³√2 × ³√4 = ³√8 = 2 وهو عدد نسبي. ولو ضربنا في ³√2 فقط لبقي المقام ³√4 وهو جذر.
بيّن أن (√5 − 2)⁄(√5 + 2) − (9 − 4√5) = 0.
بضرب البسط والمقام في المرافق (√5 − 2) يصير الكسر (√5 − 2)²⁄(5 − 4) = (9 − 4√5)⁄1 = 9 − 4√5، وبطرح (9 − 4√5) منه يكون الناتج صفرًا.
كيف نحسب طول ضلع في مسألة الحجم مثل التمرين الموضوعي (11)؟
نكوّن معادلة الحجم بأبعاد الشكل: 5 • x • x = 40، أي 5x² = 40 ومنها x² = 8، ثم نأخذ الجذر التربيعي الموجب لأن x طول، فيكون x = 2√2 cm.

الدرس 2: تمرّن 1-2 — الأسس النسبية

  • الصورة الجذرية والصورة الأسية وجهان لشيء واحد: x^(1⁄n) = ⁿ√x و x^(m⁄n) = ⁿ√(xᵐ) = (ⁿ√x)ᵐ حيث m⁄n في أبسط صورة.
  • ⁿ√(xⁿ) = |x| إذا كان n زوجيًّا، و ⁿ√(xⁿ) = x إذا كان n فرديًّا؛ ولذلك ⁴√(−81) غير موجود في ℝ بينما ⁵√(−243) = −3.
  • قوانين الأسس النسبية هي نفسها قوانين الأسس الصحيحة: جمع الأسس في الضرب، وطرحها في القسمة، وضربها في قوة القوة، والمقلوب للأس السالب.
  • قوانين الجذور النونية: ⁿ√x • ⁿ√y = ⁿ√(x • y) و ⁿ√x ⁄ ⁿ√y = ⁿ√(x⁄y) و ⁿ√(ᵐ√x) = ^(m • n)√x.
  • حوّل الأس العشري إلى كسر عادي قبل أي خطوة: 1.5 تصير 3⁄2 و3.2 تصير 16⁄5.
  • عند اختلاف دلائل الجذور، الطريق الأسرع هو تحويل كل شيء إلى الصورة الأسية بأساس واحد ثم تطبيق قوانين الأسس.
  • خطأ التمرين (9) هو الخلط بين (a • b)ⁿ = aⁿ • bⁿ الذي يشترط تساوي الأسّين، و bᵐ • bⁿ = b^(m+n) الذي يشترط تساوي الأساسين.

الزبدة: مقام الأس النسبي هو دليل الجذر، وبسطه هو أس المجذور؛ هذه الجملة تحلّ نصف تمارين الدرس. · الدليل الزوجي يفرض القيمة المطلقة ويمنع المجذور السالب، والدليل الفردي لا يفرض شيئًا منهما. · إرجاع كل الأعداد إلى أساس واحد (غالبًا 2 أو 3 أو 5) يجعل التمارين الطويلة تختصر إلى واحد أو صفر.

الأسئلة المهمة (6)
لماذا ⁴√(−81) غير موجود في ℝ بينما ⁵√(−243) موجود؟
لأن دليل الجذر في الأولى زوجي، ولا يوجد عدد حقيقي مرفوع للقوة الرابعة يعطي عددًا سالبًا. أمّا في الثانية فالدليل فردي، و(−3)⁵ = −243، فالجذر موجود ويساوي −3.
كيف نكتب y^(3.2) بالصورة الجذرية؟
نحوّل الأس العشري إلى كسر عادي: 3.2 = 16⁄5، ثم نكتب y^(16⁄5) = ⁵√(y¹⁶) لأن مقام الأس هو دليل الجذر وبسطه أس المجذور.
بيّن أن (2 − ³√8)(2 + ³√8) يساوي صفرًا.
القوسان مترافقان فحاصل ضربهما فرق بين مربعين: 2² − (³√8)². وبما أن ³√8 = 2 يكون الناتج 4 − 4 = 0.
ما الخطأ في الحل: 5 × 5^(1⁄2) = 25^(1⁄2)؟
الخطأ هو استعمال قانون (a • b)ⁿ = aⁿ • bⁿ في موضع لا يجوز فيه، لأنه يشترط تساوي الأسّين وهما هنا مختلفان. والصواب جمع الأسّين لتساوي الأساسين: 5^(1 + 1⁄2) = 5^(3⁄2) = 5√5.
لماذا يساوي التعبير (³√(x⁶) • ⁴√(x⁵)) ⁄ (x³ • ⁸√(x²)) الواحد الصحيح؟
لأن البسط بالصورة الأسية x^(13⁄4) والمقام أيضًا x^(13⁄4)، وبطرح الأسّين يكون الناتج x⁰ = 1 (وx > 0).
متى نضع القيمة المطلقة في ناتج جذر نوني؟
نضعها كلما كان دليل الجذر زوجيًّا ولم يُعطَ شرط يضمن أن المتغير غير سالب، مثل ⁶√(x⁶) = |x| و ⁴√(y⁴) = |y|.