منصة المنقذ التعليمية

أهداف الدرس

أحسب نهايات محددة عندما x → ±∞.
أميز النهايات غير المحددة عندما x → a.
أحدد الخطوط المقاربة الرأسية والأفقية.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 620:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 3نهايات تشتمل على −∞، ∞ — Limits Involving −∞, ∞1:14

مقاطع الدرس

0 من 3 مكتمل

نهايات تشتمل على −∞، ∞ — Limits Involving −∞, ∞(ص 28)

سوف تتعلم
نهايات محددة عندما
x → ±∞
نهايات غير محددة عندما
x → a
الخطوط المقاربة الرأسية والأفقية.

(ص 28)

المفردات والمصطلحات
نهاية محددة — Finite Limit
خط مقارب أفقي — Horizontal Asymptote
خط مقارب رأسي — Vertical Asymptote

(ص 28)

معلومة: من الأزل إلى الأبد
الأزل: استمرار الوجود في أزمنة غير متناهية من الماضي.
الأبد: استمرار الوجود في أزمنة غير متناهية في المستقبل.

(ص 28)

مثال

دعنا نفكر ونتناقش
لتكن الدوال التالية:
𝑓(x) = 1/x
g(x) = x² + 1
a) أكمل الجدول التالي:
x 𝑓(x) = 1/x g(x) = x² + 1
−100 |
−3 000 |
−60 000 |
100 |
3 000 |
60 000 |
b) استنتج قيم الدوال الواردة أعلاه عندما تأخذ x قيمًا موجبة كبيرة جدًّا وعندما تأخذ x قيمًا سالبة صغيرة جدًّا.

x	𝑓(x) = 1/x	g(x) = x² + 1
−100	\|
−3 000	\|
−60 000	\|
100	\|
3 000	\|
60 000	\|

(ص 28)

مثال

حل النشاط — من التعويض في الدالتين
x 𝑓(x) g(x)
−100 −1/100 10 001
−3 000 −1/3 000 9 000 001
−60 000 −1/60 000 3 600 000 001
100 1/100 10 001
3 000 1/3 000 9 000 001
60 000 1/60 000 3 600 000 001
تقترب قيم 𝑓 من0، بينما تكبر قيم g بلا حدود في الحالتين.

x	𝑓(x)	g(x)
−100	−1/100	10 001
−3 000	−1/3 000	9 000 001
−60 000	−1/60 000	3 600 000 001
100	1/100	10 001
3 000	1/3 000	9 000 001
60 000	1/60 000	3 600 000 001

(ص 28)

أوّلًا: نهايات محددة عندما x → ±∞ — Finite Limits as x → ±∞(ص 28)

إذا كانت x تأخذ قيمًا كبيرة جدًّا أي أن قيم x تكبر بلا حدود (تتحرّك مبتعدة كثيرًا جهة اليمين على خط الأعداد) فإننا نقول x → ∞.(ص 28)

وإذا كانت x تأخذ قيمًا صغيرة جدًّا أي أن قيم x تصغر بلا حدود (تتحرّك مبتعدة كثيرًا جهة اليسار على خط الأعداد) فإننا نقول x → −∞.(ص 28)

تعريف (3)
لتكن 𝑓 دالة معرّفة في الفترة (a, ∞) فإن:
limx→∞ 𝑓(x) = L
يعني أن قيم 𝑓(x) تقترب باطراد من L عندما x تؤول إلى ∞.

تعريف (4)
لتكن 𝑓 دالة معرّفة في الفترة (−∞, a) فإن:
limx→−∞ 𝑓(x) = L
يعني أن قيم 𝑓(x) تقترب باطراد من L عندما x تؤول إلى −∞.

في الشكل (1) من بيان الدالة 𝑓 نجد أن:
𝑓(x) = 1/x
عندما x → ∞ فإن 𝑓(x) → 0، ونعبّر عن ذلك رياضيًّا:
limx→∞ 𝑓(x) = limx→∞ (1/x) = 0
وعندما x → −∞ فإن 𝑓(x) → 0، ونعبّر عن ذلك رياضيًّا:
limx→−∞ 𝑓(x) = limx→−∞ (1/x) = 0
أي أنه:
limx→±∞ (1/x) = 0

نظرية (7)
لتكن 𝑓:
𝑓(x) = 1/x
فإن:
limx→∞ (1/x) = 0
limx→−∞ (1/x) = 0

مثال

تدريب
الشكل يمثّل بيان الدالة 𝑓:
𝑓(x) = 3/x²
أكمل ما يلي:
limx→∞ (3/x²) = ..........
limx→−∞ (3/x²) = ..........

(ص 29)

نظرية (8)
لتكن 𝑓:
𝑓(x) = k/xⁿ
n ∈ ℤ⁺
k ∈ ℝ
limx→∞ (k/xⁿ) = 0
limx→−∞ (k/xⁿ) = 0
فمثلًا:
limx→∞ (−2/x³) = 0
limx→−∞ (5/x⁴) = 0

تبقى النظريات(2)،(4)، (6 a,c) صحيحة عند إيجاد lim_{x→∞} 𝑓(x) وكذلك عند إيجاد lim_{x→−∞} 𝑓(x).(ص 29)

مثال

مثال (1): أوجد النهايات التالية إن أمكن:
a)
limx→∞ (1/(x + 4))
b)
limx→−∞ ((x + 5)/(x² + 25))
c)
limx→∞ (6x³/(5 − 7x³))

(ص 30)

الحل — a
1/(x + 4) = 1/(x(1 + 4/x)) = (1/x) × (1/(1 + 4/x))
limx→∞ (1/(x + 4)) = limx→∞ ((1/x) × (1/(1 + 4/x)))
limx→∞ (1/x) = 0
limx→∞ (4/x) = 0
limx→∞ (1 + 4/x) = limx→∞ 1 + limx→∞ (4/x) = 1 + 0 = 1
تحقّق من أن نهاية المقام غير صفر.
1 ≠ 0

تابع الحل — a
limx→∞ (1/(x + 4)) = limx→∞ (1/x) × limx→∞ (1/(1 + 4/x))
= limx→∞ (1/x) × (limx→∞ 1)/(limx→∞ (1 + 4/x))
= 0 × (1/(1 + 0)) = 0

الحل — b
(x + 5)/(x² + 25) = (x(1 + 5/x))/(x²(1 + 25/x²))
= (1 + 5/x)/(x(1 + 25/x²))
= (1/x) × ((1 + 5/x)/(1 + 25/x²))
x ≠ 0
limx→−∞ ((x + 5)/(x² + 25)) = limx→−∞ ((1/x) × ((1 + 5/x)/(1 + 25/x²)))
limx→−∞ (1/x) = 0
limx→−∞ (5/x) = 0
limx→−∞ (25/x²) = 0

تابع الحل — b
limx→−∞ (1 + 25/x²) = limx→−∞ 1 + limx→−∞ (25/x²) = 1 + 0 = 1
1 ≠ 0
limx→−∞ (25/x²) = 0
تحقّق أن نهاية المقام غير صفر.
limx→−∞ ((x + 5)/(x² + 25)) = limx→−∞ (1/x) × (limx→−∞ (1 + 5/x))/(limx→−∞ (1 + 25/x²))
limx→−∞ (1/x) = 0
limx→−∞ (5/x) = 0
limx→−∞ (1 + 5/x) = limx→−∞ 1 + limx→−∞ (5/x) = 1 + 0 = 1
limx→−∞ ((x + 5)/(x² + 25)) = 0 × (1/1) = 0

الحل — c
6x³/(5 − 7x³) = 6x³/(x³(5/x³ − 7)) = 6/(5/x³ − 7)
x ≠ 0
limx→∞ (6x³/(5 − 7x³)) = limx→∞ (6/(5/x³ − 7))
limx→∞ (5/x³) = 0
limx→∞ (5/x³ − 7) = limx→∞ (5/x³) − limx→∞ 7 = 0 − 7 = −7
−7 ≠ 0
تحقّق من أن نهاية المقام غير صفر.

تابع حل المثال (1) — c
limx→∞ (6/(5/x³ − 7)) = (limx→∞ 6)/(limx→∞ (5/x³ − 7))
نظرية (4).
= 6/(−7) = −6/7

مثال

حاول أن تحل (1): أوجد النهايات التالية إن أمكن:
a)
limx→∞ (1/(x − 2))
b)
limx→−∞ ((x + 2)/(x² + 9))
c)
limx→∞ ((x³ − 3x + 1)/(x³ + 5))

(ص 31)

ثانيًا: نهايات غير محددة (±∞) عندما x → c — Infinite Limits as x → c(ص 31)

لنعتبر على سبيل المثال الدالتين:
𝑓(x) = 1/|x|
g(x) = −1/|x|
والممثلتين بيانيًّا بالمنحنيين المرسومين.

نلاحظ من الشكل (2) أن قيم 𝑓(x) تزداد بلا حدود كلما اقتربت قيم x من الصفر سواء من جهة اليمين أو من جهة اليسار لذلك فإن lim_{x→0} 𝑓(x) غير موجودة لأنها تتزايد بلا حدود.(ص 31)

ونعبّر عن ذلك رياضيًّا بالصيغة:
limx→0 (1/|x|) = ∞
ويجب أن ندرك أن الرمز ∞ لا يعني قيمة معينة. (لا يمثل عددًا حقيقيًّا).
وإنما يفيد أن الدالة 𝑓:
𝑓(x) = 1/|x|
تتزايد بلا حدود عندما x → 0.

وبالمثل نرى أن الدالة g:
g(x) = −1/|x|
الممثلة بيانيًّا بالشكل (3) تتناقص بلا حدود كلما اقتربت قيم x من الصفر سواء من جهة اليمين أو من جهة اليسار أي عندما x → 0، أي أن lim_{x→0} g(x) غير موجودة لأنها تتناقص بلا حدود.

(ص 31)

ونعبّر عن ذلك رياضيًّا بالصيغة:
limx→0 (−1/|x|) = −∞

مثال

نشاط — الشكل (4)
من شكل (4) قيم 𝑓(x) تتزايد بلا حدود عندما x → −1.
𝑓(x) = 1/|x + 1|
limx→−1 (1/|x + 1|) = ......................

(ص 32)

مثال

نشاط — الشكل (5)
من شكل (5) قيم g(x) تتناقص بلا حدود عندما x → −1.
g(x) = −1/|x + 1|
limx→−1 (−1/|x + 1|) = ......................

(ص 32)

تعريف (5)
1) إذا كانت قيم 𝑓(x) تتزايد بلا حدود عندما تؤول x إلى c فإننا نعبر عن ذلك رياضيًّا بالتالي:
limx→c 𝑓(x) = ∞
2) إذا كانت قيم 𝑓(x) تتناقص بلا حدود عندما تؤول x إلى c فإننا نعبر عن ذلك رياضيًّا بالتالي:
limx→c 𝑓(x) = −∞

نظرية (9)
limx→c 𝑓(x) = ∞ ⇔ (limx→c⁺ 𝑓(x) = ∞ , limx→c⁻ 𝑓(x) = ∞)
limx→c 𝑓(x) = −∞ ⇔ (limx→c⁺ 𝑓(x) = −∞ , limx→c⁻ 𝑓(x) = −∞)

ملاحظات — 1
إذا كان
limx→c 𝑓(x) = ±∞
وكان b عدد حقيقي فإن:
limx→c [𝑓(x) + b] = ±∞

ملاحظات — 2
إذا كان
limx→c 𝑓(x) = ±∞
وكان b عدد حقيقي موجب فإن:
limx→c [b × 𝑓(x)] = ±∞
وإذا كان b عدد حقيقي سالب فإن:
limx→c [b × 𝑓(x)] = ∓∞

ملاحظات — 3
إذا كان:
limx→c 𝑓(x) = ∞
limx→c g(x) = ∞
فإن:
limx→c [𝑓(x) + g(x)] = ∞
limx→c [𝑓(x) × g(x)] = ∞

ملاحظات — 4
إذا كان:
limx→c 𝑓(x) = −∞
limx→c g(x) = −∞
فإن:
limx→c [𝑓(x) + g(x)] = −∞
limx→c [𝑓(x) × g(x)] = ∞

ملاحظات — 5
إذا كان:
limx→c 𝑓(x) = −∞
limx→c g(x) = ∞
فإن:
limx→c [𝑓(x) × g(x)] = −∞

نظرية (10)
إذا كان n عدد صحيح زوجي موجب فإن:
limx→c (1/(x − c)ⁿ) = ∞
إذا كان n عدد صحيح فردي موجب فإن:
1)
limx→c⁺ (1/(x − c)ⁿ) = ∞
2)
limx→c⁻ (1/(x − c)ⁿ) = −∞
حيث
c ∈ ℝ

تمثيل نظرية (10)
limx→2 (1/(x − 2)⁶) = ∞
limx→2⁺ (1/(x − 2)⁷) = ∞
limx→2⁻ (1/(x − 2)⁷) = −∞

مثال

مثال (2): أوجد إن أمكن:
limx→2 (1/|x − 2|)

(ص 33)

الحل
1/|x − 2| = {1/(x − 2):x > 2−1/(x − 2):x < 2
limx→2⁺ (1/|x − 2|) = limx→2⁺ (1/(x − 2)) = ∞
(1) — نظرية.
limx→2⁻ (1/|x − 2|) = limx→2⁻ (−1/(x − 2))
= limx→2⁻ (−1 × (1/(x − 2)))

تابع حل المثال (2)
limx→2⁻ (1/(x − 2)) = −∞
−1 < 0
نظرية.
limx→2⁻ (−1 × (1/(x − 2))) = ∞
(2) — استخدم ملاحظة (2).
من (1)، (2):
limx→2 (1/|x − 2|) = ∞

مثال

حاول أن تحل (2): أوجد إن أمكن:
limx→−1 (3/|x + 1|)

(ص 34)

تعريف (6): الخط المقارب (المحاذي) الأفقي — Definition of Horizontal Asymptote
الخط
y = b
يسمى خط مقارب أفقي لمنحنى الدالة
y = 𝑓(x)
إذا توفر أحد الشرطين التاليين أو كلاهما:
limx→∞ 𝑓(x) = b
أو
limx→−∞ 𝑓(x) = b

بالنظر إلى بيان الدالة 𝑓:
𝑓(x) = 1/x
نلاحظ أن:
limx→∞ (1/x) = 0
limx→−∞ (1/x) = 0
ونقول إن الخط المستقيم
y = 0
هو خط مقارب أفقي (أو محاذي أفقي) لمنحنى الدالة 𝑓. (الشكل (6)).

وكذلك بالنظر إلى بيان الدالة g:
g(x) = 2 + 1/x
نلاحظ أن:
limx→∞ (2 + 1/x) = 2
limx→−∞ (2 + 1/x) = 2
ونقول إن الخط المستقيم
y = 2
هو خط مقارب أفقي لمنحنى الدالة g. (الشكل (7)).

ونلاحظ أنه إذا كان
limx→∞ g(x) = limx→−∞ g(x)
فإن الخط المقارب الأفقي وحيد وهو
y = b
.

(ص 34)

قد يكون لمنحنى الدالة أكثر من خط مقارب أفقي. فمثلًا:
لمنحنى الدالة h:
h(x) = x/√(x² + 1)
في الشكل المقابل خطان مقاربان أفقيان هما:
y = 1
y = −1
لاحظ أن: (الشكل (8))
h(x) = x/(|x|√(1 + 1/x²))

ملاحظة: ستقتصر دراستنا على المحاذيات الأفقية لدوال الحدوديات النسبية.(ص 34)

تعريف (7): الخط المقارب (المحاذي) الرأسي — Definition of Vertical Asymptote
الخط
x = a
يسمى خط مقارب رأسي لمنحنى الدالة
y = 𝑓(x)
إذا توفر على الأقل أحد الشروط التالية:
limx→a⁻ 𝑓(x) = ∞
limx→a⁺ 𝑓(x) = ∞
limx→a 𝑓(x) = ∞
limx→a⁻ 𝑓(x) = −∞
limx→a⁺ 𝑓(x) = −∞
limx→a 𝑓(x) = −∞

بالنظر إلى بيان الدالة 𝑓:
𝑓(x) = 1/x
نلاحظ أن:
limx→0⁻ (1/x) = −∞
limx→0⁺ (1/x) = +∞
ونقول إن الخط المستقيم
x = 0
هو خط مقارب (محاذي) رأسي لمنحنى الدالة 𝑓. (الشكل (9)).

بالنظر إلى بيان الدالة 𝑓:
𝑓(x) = 1/(x − 2)
نلاحظ أن:
limx→2⁻ (1/(x − 2)) = −∞
limx→2⁺ (1/(x − 2)) = +∞
ونقول إن الخط المستقيم
x = 2
هو خط مقارب رأسي لمنحنى الدالة 𝑓. (الشكل (10)).
نلاحظ أن
x = 2
هو صفر المقام.

بالنظر إلى بيان الدالة 𝑓:
𝑓(x) = 3/((x + 2)(x − 1))
نلاحظ أن:
x = 1
،
x = −2
هما مقاربان (محاذيان) رأسيان لمنحنى الدالة 𝑓. (الشكل (11)).
ونلاحظ أيضًا أن 1، −2 هما صفرا المقام.

ملاحظة
إذا كانت الدالة
𝑓(x) = g(x)/h(x)
حيث h، g كثيرتي حدود وليس بينهما عوامل مشتركة، فإن لكل صفر c لدالة المقام h يكون المستقيم
x = c
خطًّا مقاربًا رأسيًّا (أو محاذيًا رأسيًّا).
أما في حالة وجود عوامل مشتركة بين h، g فيكون المحاذي الرأسي عند صفر (أصفار) المقام بعد التبسيط.

(ص 35)

مثال

مثال (3): أوجد إن أمكن معادلات الخطوط المقاربة الرأسية والخطوط المقاربة الأفقية لكل مما يلي:
a)
g(x) = 1/(x² − 4)
b)
h(x) = (x − 1)/(x² − 3x + 2)

(ص 36)

الحل — a
x² − 4 = (x − 2)(x + 2)
صفرا المقام هما: −2، 2 وليست أصفارًا للبسط.
المستقيمان
x = −2
،
x = 2
هما المقاربان الرأسيان لمنحنى الدالة g.

المقارب الأفقي — a
limx→∞ g(x) = limx→∞ ((1/x²)/(1 − 4/x²))
= (limx→∞ (1/x²))/(limx→∞ 1 − limx→∞ (4/x²))
= 0/(1 − 0) = 0
المستقيم
y = 0
هو خط مقارب أفقي لمنحنى g.

الحل — b
x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2)
h(x) = (x − 1)/(x² − 3x + 2)
نضع h(x) في أبسط صورة.
= (x − 1)/((x − 1)(x − 2))
= 1/(x − 2)
x ≠ 1
2 صفرًا للمقام وليس من أصفار البسط.
المستقيم
x = 2
خط مقارب رأسي لمنحنى h.

المقارب الأفقي — b
limx→∞ (1/(x − 2)) = limx→∞ ((1/x)/(1 − 2/x))
= (limx→∞ (1/x))/(limx→∞ 1 − limx→∞ (2/x))
= 0/(1 − 0) = 0
المستقيم
y = 0
هو خط مقارب أفقي المنحنى h.

مثال

حاول أن تحل (3): أوجد إن أمكن معادلات الخطوط المقاربة الرأسية والخطوط المقاربة الأفقية لمنحنيات الدوال التالية:
a)
𝑓(x) = (x − 3)/(x² − 9)
b)
𝑓(x) = 1/x²
c)
𝑓(x) = 2x/(x − 3)

(ص 36)

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

3 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 3

المسألة · الكتاب ص 30
أوجد النهاية التالية إن أمكن: lim_{x→∞} (6x³/(5 − 7x³)).
المعطيات
1. 6x³/(5 − 7x³)من هنا
1. 6x³/(5 − 7x³) = 6x³/(x³(5/x³ − 7))
المعلم: نُخْرِجُ مُكَعَّبَ الْمُتَغَيِّرَةِ عَامِلًا مُشْتَرَكًا مِنَ الْمَقَامِ. هَذَا يَجْعَلُ الْعَامِلَ نَفْسَهُ ظَاهِرًا فِي الْبَسْطِ وَالْمَقَامِ، وَيُسَاعِدُنَا عَلَى تَبْسِيطِ الْكَسْرِ قَبْلَ حِسَابِ النِّهَايَةِ.
الخطوة 1 من 4

الملخص

نهاية k/xⁿ عند x → ±∞ تساوي0 إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا وk عددًا حقيقيًا.
الرمز∞ لا يمثل عددًا حقيقيًا؛ يصف التزايد بلا حدود.
نهاية الدالة غير المحددة من الجهتين تتطلب اتفاق السلوك من اليمين واليسار.
الضرب في ثابت سالب يعكس إشارة اللانهاية، والموجب يحفظها.
الخط y = b مقارب أفقي إذا اقتربت الدالة منb عند إحدى جهتي اللانهاية أو كلتيهما.
الخط x = a مقارب رأسي إذا كانت إحدى النهايات عندa تساوي∞ أو−∞.
تحدد المقاربات الرأسية لدالة نسبية من أصفار المقام بعد اختصار العوامل المشتركة.

الأفكار الرئيسية

قارن سلوك الدالة عند نقطة بسلوكها عند اللانهاية، فهما سؤالان مختلفان.
لا تتعامل مع∞ كعدد حقيقي؛ هو وصف لسلوك غير محدود.
بسّط الدالة النسبية قبل تقرير مقارباتها الرأسية.

الأسئلة المهمة

لماذا لا تعد∞ عددًا حقيقيًا؟

لأنها تعبر عن التزايد بلا حدود ولا تمثل قيمة معينة.

الكتاب صفحة 31

متى تكون نهايةk/xⁿ عند اللانهاية صفرًا؟

إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا وk عددًا حقيقيًا.

الكتاب صفحة 29

ما الفرق بين المقارب الأفقي والرأسي؟

الأفقي تحدده نهاية محددة عند اللانهاية، والرأسي تحدده نهاية غير محدودة عند نقطة.

الكتاب صفحة 35

هل كل صفر للمقام الأصلي يعطي مقاربًا رأسيًا؟

لا؛ نختصر العوامل المشتركة أولًا، ثم نبحث أصفار المقام المبسط.

الكتاب صفحة 35

ما أثر ضرب دالة تتزايد بلا حدود في ثابت سالب؟

يصبح سلوكها تناقصًا بلا حدود، فتنعكس إشارة اللانهاية.

الكتاب صفحة 33

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

أوجد lim_{x→−∞} ((x + 5)/(x² + 25)).

متوسط

أوجد lim_{x→−1} (3/|x + 1|).

متوسط

أوجد المقاربين الرأسي والأفقي للدالة 2x/(x − 3).

متوسط

مصطلحات الدرس

نهاية محددة: اقتراب قيم الدالة باطراد من عدد حقيقيL عندما تؤول المتغيرة إلى∞ أو−∞.
خط مقارب أفقي: مستقيم y = b تتحقق عنده نهاية الدالةb في إحدى جهتي اللانهاية على الأقل.
خط مقارب رأسي: مستقيم x = a تكون عنده إحدى النهايات الجانبية أو الثنائية∞ أو−∞.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 13 تمرينًا.

دعنا نفكر ونتناقش — aلتكن 𝑓(x) = 1/x، g(x) = x² + 1. أكمل الجدول التالي للقيم −100، −3 000، −60 000، 100، 3 000، 60 000.(ص 28)

قيم 𝑓 بالترتيب: −1/100، −1/3 000، −1/60 000، 1/100، 1/3 000، 1/60 000. قيم g: 10 001، 9 000 001، 3 600 000 001، 10 001، 9 000 001، 3 600 000 001.

دعنا نفكر ونتناقش — bاستنتج قيم الدوال الواردة أعلاه عندما تأخذ x قيمًا موجبة كبيرة جدًّا وعندما تأخذ x قيمًا سالبة صغيرة جدًّا.(ص 28)

تقترب 𝑓(x) من0 في الحالتين؛ وتتزايد g(x) بلا حدود في الحالتين لأن مربع x يكبر موجبًا.

تدريب — النهاية عند∞الشكل يمثّل بيان الدالة 𝑓(x) = 3/x². أكمل: lim_{x→∞} (3/x²) = ..........(ص 29)

0؛ بحسب نظرية (8).

تدريب — النهاية عند−∞أكمل: lim_{x→−∞} (3/x²) = ..........(ص 29)

0؛ بحسب نظرية (8).

حاول أن تحل (1) — aأوجد النهاية إن أمكن: lim_{x→∞} (1/(x − 2)).(ص 31)

0؛ نكتب (1/x)/(1 − 2/x)، فنهاية البسط0 والمقام1.

حاول أن تحل (1) — bأوجد النهاية إن أمكن: lim_{x→−∞} ((x + 2)/(x² + 9)).(ص 31)

0؛ نكتب (1/x) × (1 + 2/x)/(1 + 9/x²)، فتكون النتيجة0 × 1/1.

حاول أن تحل (1) — cأوجد النهاية إن أمكن: lim_{x→∞} ((x³ − 3x + 1)/(x³ + 5)).(ص 31)

1؛ بقسمة البسط والمقام علىx³ نحصل على (1 − 3/x² + 1/x³)/(1 + 5/x³)، ونهايته1.

نشاط — شكل (4)من شكل (4) قيم 𝑓(x) تتزايد بلا حدود عندما x → −1. أكمل lim_{x→−1} (1/|x + 1|).(ص 32)

∞؛ المقام موجب ويقترب من0 في الجهتين.

نشاط — شكل (5)من شكل (5) قيم g(x) تتناقص بلا حدود عندما x → −1. أكمل lim_{x→−1} (−1/|x + 1|).(ص 32)

−∞؛ سالب الكسر السابق.

حاول أن تحل (2)أوجد إن أمكن: lim_{x→−1} (3/|x + 1|).(ص 34)

∞؛ المقام موجب ويؤول إلى0، والبسط3 موجب، وتتفق الجهتان.

حاول أن تحل (3) — aأوجد إن أمكن معادلات الخطوط المقاربة الرأسية والخطوط المقاربة الأفقية لمنحنى 𝑓(x) = (x −3)/(x² −9).(ص 36)

𝑓(x) = 1/(x + 3) معx ≠ 3. الرأسي x = −3؛ والأفقي y = 0. العدد3 ليس موضع مقارب رأسي بعد الاختصار.

حاول أن تحل (3) — bأوجد إن أمكن معادلات الخطوط المقاربة الرأسية والخطوط المقاربة الأفقية لمنحنى 𝑓(x) = 1/x².(ص 36)

الرأسي x = 0 لأن النهاية عنده∞، والأفقي y = 0 لأن النهاية عند±∞ تساوي0.

حاول أن تحل (3) — cأوجد إن أمكن معادلات الخطوط المقاربة الرأسية والخطوط المقاربة الأفقية لمنحنى 𝑓(x) = 2x/(x − 3).(ص 36)

الرأسي x = 3؛ والأفقي y = 2، إذ نكتب 2/(1 − 3/x) ونحسب النهاية عند±∞.

صفحات الكتاب

صفحات هذا الدرس من كتاب الطالب الرسمي كما هي، صفحات 28 إلى 36.

$صفحة 28$ صفحة 28 $صفحة 29$ صفحة 29 $صفحة 30$ صفحة 30 $صفحة 31$ صفحة 31 $صفحة 32$ صفحة 32 $صفحة 33$ صفحة 33 $صفحة 34$ صفحة 34 $صفحة 35$ صفحة 35 $صفحة 36$ صفحة 36

الدرس 2نهايات تشتمل على −∞ ، ∞

أهداف الدرس

الشرح خطوة بخطوة

مقاطع الدرس

نهايات تشتمل على −∞، ∞ — Limits Involving −∞, ∞(ص 28)

أوّلًا: نهايات محددة عندما x → ±∞ — Finite Limits as x → ±∞(ص 28)

ثانيًا: نهايات غير محددة (±∞) عندما x → c — Infinite Limits as x → c(ص 31)

حل المسائل على السبورة

الملخص

الأفكار الرئيسية

الأسئلة المهمة

اختبار الدرس

الواجب

مصطلحات الدرس

تمارين الكتاب كاملة

صفحات الكتاب