أهداف الدرس
- أعرّف الضرب الداخلي لمتجهين وأحسبه بالتعريف وبالمركبات.
- أستنتج تعامد متجهين من كون ضربهما الداخلي يساوي صفرًا.
- أستنتج توازي متجهين وأوجد مركبة مجهولة بشرط التوازي.
- أطبّق خواص الضرب الداخلي في فكّ الأقواس وتبسيط المقادير.
- أوجد قياس الزاوية المحددة بمتجهين باستخدام قانون جيب التمام للضرب الداخلي.
- أحلّ مسائل حياتية وهندسية بالضرب الداخلي.
الشرح خطوة بخطوة
الموضع محفوظ على هذا الجهاز.
المقطع 1 من 5الضرب الداخلي لمتجهين — Scalar Product5:36
مقاطع الدرس
0 من 5 مكتملالضرب الداخلي لمتجهين — Scalar Product(ص 188)
نرمز للزاوية المحددة بالمتجهين A⃗ ، B⃗ بالرمز
(A⃗ , B⃗)وكذلك نرمز للزاوية المحددة بالمتجهين < AC⃗ > ، < BD⃗ > بالرمز
(AC⃗ , BD⃗)
في المستوى الإحداثي لأي متجهين غير صفريين A⃗ ، B⃗
ناتج «الضرب الداخلي» لهما ويرمز له بالرمز A⃗ • B⃗ يساوي ناتج ضرب طولي المتجهين في جيب تمام قياس الزاوية المحددة بهما.
أي أن:
A⃗ • B⃗ = ‖A⃗‖ × ‖B⃗‖ × cos(A⃗ , B⃗)حيث
0° ≤ m(A⃗ , B⃗) ≤ 180°
ملاحظة: m(A⃗ , B⃗) تعني قياس الزاوية المحددة بالمتجهين A⃗ ، B⃗
تذكر:
cos θ = المجاور/الوتر
مثال (1): إذا كان
u⃗ = < 3 , 0 > ، v⃗ = < 3 , 3 >فأوجد
u⃗ • v⃗الحل: حيث
u⃗ • v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos(u⃗ , v⃗)‖u⃗‖ = √((3)² + (0)²) = 3 units‖v⃗‖ = √((3)² + (3)²) = √18 = 3√2 unitsقياس الزاوية التي يصنعها المتجهان تساوي 45°
cos(u⃗ , v⃗) = 3/(3√2) = √2/2ومنه
∴ u⃗ • v⃗ = 3(3√2)(√2/2)= 9
مثال (2): ABC مثلث متطابق الأضلاع. M منتصف BC⃗ أوجد:
a
AC⃗ • AB⃗b
MB⃗ • MC⃗c
CM⃗ • CB⃗الحل: a تعريف الضرب الداخلي
AC⃗ • AB⃗ = ‖AC⃗‖ × ‖AB⃗‖ cos(AC⃗ , AB⃗)عوّض
= 4 × 4 × cos 60°= 4 × 4 × 1/2= 8
b
∵ M منتصف BC⃗∴ MB = MC = 2تعريف الضرب الداخلي
∴ MB⃗ • MC⃗ = ‖MB⃗‖ × ‖MC⃗‖ cos(MB⃗ , MC⃗)عوّض
= 2 × 2 × cos(180°)= −4c تعريف الضرب الداخلي
CM⃗ • CB⃗ = ‖CM⃗‖ × ‖CB⃗‖ cos(CM⃗ , CB⃗)عوّض
= 2 × 4 × cos(0°)= 8
قانون: إذا كان
A⃗ = < xA , yA > ، B⃗ = < xB , yB >متجهين في المستوي الإحداثي فإن
A⃗ . B⃗ = xA . xB + yA . yBفإذا كان
A⃗ = < xA , yA >فإن
A⃗ • A⃗ = xA² + yA² = ‖A⃗‖²
نتيجة (1):
A⃗ ⊥ B⃗ ⟺ A⃗ • B⃗ = 0حيث
A⃗ ≠ 0⃗ ، B⃗ ≠ 0⃗
مثال (3): إذا كانت
A(−2 , −3) ، B(1 , 1) ، C(−3 , −1)هي رؤوس المثلث ABC .
a اكتب كلًّا من المتجهين < CA⃗ > ، < CB⃗ > بدلالة متجهي الوحدة i⃗ ، j⃗ .
b أوجد قيمة
< CA⃗ > • < CB⃗ >c أثبت أن المثلث ABC قائم في Ĉ
الحل: a
< CA⃗ > = < −2 − (−3) , −3 − (−1) > = < 1 , −2 >إحداثيات المتجه
< CA⃗ > = i⃗ − 2j⃗< CB⃗ > = < 1 − (−3) , 1 − (−1) > = < 4 , 2 >إحداثيات المتجه
< CB⃗ > = 4i⃗ + 2 j⃗b قانون الضرب الداخلي
< CA⃗ > • < CB⃗ > = 1 × 4 + (−2) × 2 = 0c
∵ < CA⃗ > • < CB⃗ > = 0∴ < CA⃗ > ⊥ < CB⃗ >ومنه قياس الزاوية (CA⃗ ، CB⃗) يساوي 90° وبالتالي المثلث ABC قائم في Ĉ
مثال (4): إذا كان
A⃗ = < −2 , 3 > ، B⃗ = < 1 , y >وكان
A⃗ ⊥ B⃗فأوجد قيمة y
∵ A⃗ ⊥ B⃗∴ A⃗ • B⃗ = 0xA • xB + yA • yB = 0(−2)(1) + (3)(y) = 0−2 + 3y = 0y = 2/3
نتيجة (2):
A⃗ // B⃗ ⟺ A⃗ = k B⃗حيث
A⃗ ≠ 0⃗ ، B⃗ ≠ 0⃗ملاحظة:
A⃗ // B⃗ ⟺ xA • yB − xB yAحيث:
A⃗ ≠ 0⃗ ، B⃗ ≠ 0⃗ ، A⃗ = < xA , yA > ، B⃗ = < xB , yB >
مثال (5): a أثبت أن:
A⃗ // B⃗ حيث A⃗ = < −7 , 5 > ، B⃗ = < 14 , −10 >الحل — طريقة أولى:
xA/x_B = −7/14 = −1/2 ، yA/y_B = 5/−10 = −1/2∴ A⃗ = −(1/2) B⃗ ⟹ A⃗ = k B⃗∴ A⃗ // B⃗طريقة ثانية:
xA • yB − xB • yA = (−7)(−10) − 14 × 5 = 70 − 70 = 0∴ A⃗ // B⃗
b إذا كان
A⃗ = < 6 , −8 > ، B⃗ = < 2 , y > حيث A⃗ // B⃗فأوجد قيمة y
طريقة أولى:
∵ A⃗ // B⃗ ∴ A⃗ = k B⃗< 6 , −8 > = k < 2 , y >= < 2k , ky >∴ 6 = 2k ⟹ k = 3−8 = ky ⟹ −8 = 3y ⟹ y = −8/3طريقة ثانية:
xA • yB − xB • yA = 06y − 2(−8) = 06y − 16 = 0y = −16/6 = −8/3
خواص الضرب الداخلي — Properties of Scalar Product(ص 192)
A⃗ ، B⃗ ، C⃗ ثلاثة متجهات غير صفرية في المستوى، k عدد حقيقي.
خاصية الإبدال
A⃗ • B⃗ = B⃗ • A⃗خاصية التجميع مع عدد حقيقي غير صفري
A⃗ • (k B⃗) = (k A⃗) • B⃗ = k(A⃗ • B⃗)خاصية توزيع الضرب الداخلي على جمع المتجهات أو طرحها
A⃗ • (B⃗ ± C⃗) = A⃗ • B⃗ ± A⃗ • C⃗
مثال (6): A⃗ ، B⃗ متجهان في المستوي، حيث
‖A⃗‖ = 3 ، ‖B⃗‖ = 2 ، A⃗ • B⃗ = −3أوجد قيمة
(4A⃗ − 3B⃗) • (A⃗ + 2B⃗)الحل:
(4A⃗ − 3B⃗) • (A⃗ + 2B⃗)خاصية التوزيع
= 4A⃗ • A⃗ + 4A⃗ • 2B⃗ − 3B⃗ • A⃗ − 3B⃗ • 2B⃗خاصية التجميع
= 4A⃗ • A⃗ + 8A⃗ • B⃗ − 3B⃗ • A⃗ − 6B⃗ • B⃗خاصية الإبدال
= 4A⃗ • A⃗ + 8A⃗ • B⃗ − 3A⃗ • B⃗ − 6B⃗ • B⃗حيث
A⃗ • A⃗ = ‖A⃗‖²= 4‖A⃗‖² + 5A⃗ • B⃗ − 6‖B⃗‖²عوّض
= 4 × 3² + 5 × (−3) − 6 × 2²= 36 − 15 − 24= −3
قياس الزاوية بين متجهين — Measure of Angle between Two Vectors(ص 193)
لإيجاد قياس الزاوية بين متجهين غير صفريين A⃗ ، B⃗ حيث
A⃗ = < xA , yA > ، B⃗ = < xB , yB >اكتب صيغتي الضرب الداخلي A⃗ • B⃗ :
(1)
A⃗ • B⃗ = xA xB + yA yB(2)
A⃗ • B⃗ = ‖A⃗‖ • ‖B⃗‖ cos(A⃗ , B⃗)∴ ‖A⃗‖ • ‖B⃗‖ • cos(A⃗ , B⃗) = xA xB + yA yB∴ cos(A⃗ , B⃗) = (xA xB + yA yB)/(‖A⃗‖ • ‖B⃗‖)
قانون: إذا كان A⃗ ، B⃗ متجهين وكان
A⃗ ≠ 0⃗ ، B⃗ ≠ 0⃗فإن:
cos(A⃗ , B⃗) = (A⃗ • B⃗)/(‖A⃗‖ • ‖B⃗‖)حيث
0° ≤ m(A⃗ , B⃗) ≤ 180°
مثال (7): إذا كان
‖A⃗‖ = 5 ، ‖B⃗‖ = 6 ، A⃗ • B⃗ = 15فأوجد قياس الزاوية
(A⃗ , B⃗)الحل — قانون:
cos(A⃗ , B⃗) = (A⃗ • B⃗)/(‖A⃗‖ • ‖B⃗‖)عوّض
= 15/(5 × 6) = 1/2∴ m(A⃗ , B⃗) = cos⁻¹(1/2) = 60°
مثال (8): أوجد قياس الزاوية المحددة بالمتجهين:
A⃗ = < 2 , 2√3 > ، B⃗ = < −4 , 4√3 >الحل:
cos(A⃗ , B⃗) = (A⃗ • B⃗)/(‖A⃗‖ • ‖B⃗‖) ، 0° ≤ m(A⃗ , B⃗) ≤ 180°= (xA • xB + yA • yB)/(√(xA² + yA²) √(xB² + yB²))= (2(−4) + 2√3(4√3))/(√((2)² + (2√3)²) √((−4)² + (4√3)²))= (−8 + 24)/((4)(8)) = 16/32 = 1/2∴ m(A⃗ , B⃗) = cos⁻¹(1/2) = 60°
مثال (9): في الشكل المقابل، المثلث ABC محاط بنصف دائرة حيث معادلة الدائرة:
x² + y² = a²a أوجد مركبات كل من المتجهين
BA⃗ ، BC⃗b أوجد BA⃗ • BC⃗ . ما الذي يمكنك استنتاجه حول قياس الزاوية θ؟
الحل: a
BA⃗ = < xA − xB , yA − yB >= < −a − x , 0 − y > = < −a − x , − y >BC⃗ = < xC − xB , yC − yB >= < a − x , 0 − y > = < a − x , − y >b
BA⃗ • BC⃗ = (−a − x)(a − x) + (−y)(−y)= − a² + ax − ax + x² + y²= x² + y² − a²معادلة الدائرة
∵ x² + y² = a²∴ x² + y² − a² = 0أي
BA⃗ • BC⃗ = 0∴ BA⃗ ⊥ BC⃗قياس الزاوية θ يساوي 90°
∴
المرشد لحل المسائل(ص 195)
مستخدمًا معطيات المخطط المقابل، أوجد قياس زاوية ركل الكرة α . (طول المرمى:
B₁B₂ = 7.32 mكيف فكّر عبد العزيز: سأستخدم الضرب الداخلي. بما أنه لا توجد خاصية واحدة تسمح بمعرفة قياس الزاوية لذلك سأستخدم خاصيتين معًا.
أولًا: التحضير — بعد متطابقة فيثاغورث
(LB₁)² = 20² + 10² = 500LB₁ ≈ 22.36 m(LB₂)² = 20² + (10 + 7.32)² ≃ 700LB₂ ≈ 26.46 m
ثانيًا: الضرب الداخلي — طريقة أولى
LB₁⃗ • LB₂⃗ = (LA⃗ + AB₁⃗) • (LA⃗ + AB₂⃗)= (LA)² + O⃗ + AB₁ • AB₂= (LA)² + AB₁ × AB₂= 400 + 10 × 17.32= 573.2ثالثًا: الضرب الداخلي — طريقة ثانية
LB₁⃗ • LB₂⃗ = LB₁ • LB₂ • cos(α)573.2 = 22.36 × 26.46 • cos(α)∴ cos α = 573.2/(22.36 × 26.46) = 0.9688α ≈ 14° 21′يبلغ قياس زاوية ركل الكرة حوالى
14° 21′
مخطط تنظيمي للوحدة الخامسة(ص 196)
ملخص: للقطعة الموجهة اتجاه وقياس.
القطعة الموجهة OM⃗ التي بدايتها نقطة الأصل ونهايتها M(x , y) تسمى متجه الموضع ويمثلها الزوج المرتب (x , y) .
إذا كانت AB⃗ قطعة موجهة و OM⃗ متجه الموضع لهذه القطعة فإن
M(xB − xA , yB − yA)المتجه هو مجموعة كل القطع الموجهة المتكافئة والتي أحدها متجه الموضع.
يكون متجهان متساويين إذا كانت القطعتان الموجهتان المناظرتان لهما متكافئتين.
المتجهان ⟨a,b⟩ ، ⟨c,d⟩ متساويان إذا وفقط إذا
a = c ، b = dA⃗ ، B⃗ متجهان متوازيان إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي
k ≠ 0 يحقق A⃗ = k B⃗تكون النقاط A, B, C على استقامة واحدة إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي
k ≠ 0 يحقق AB⃗ = k AC⃗
جمع متجهين:
AB⃗ + BC⃗ = AC⃗و
AB⃗ + AC⃗ = AD⃗حيث ABCD هو متوازي أضلاع.
A⃗ + B⃗ = B⃗ + A⃗(A⃗ + B⃗) + C⃗ = A⃗ + (B⃗ + C⃗) = A⃗ + B⃗ + C⃗A⃗ + (−A⃗) = 0⃗ ، A⃗ + 0⃗ = A⃗إذا كان
A⃗ = ⟨xA , yA⟩ ، B⃗ = ⟨xB , yB⟩ ، k عدد حقيقيk A⃗ = ⟨kxA , kyA⟩A⃗ + B⃗ = ⟨xA + xB , yA + yB⟩و
A⃗ = B⃗ إذا وفقط إذا xA = xB ، yA = yBA⃗ ، B⃗ متوازيان إذا وفقط إذا
xA • yB − xA • yB = 0
A⃗ • B⃗ = ‖A⃗‖ • ‖B⃗‖ cos(A⃗ , B⃗) = xA xB + yA yBإذا
A⃗(x , y)فإن
‖A⃗‖ = √(x² + y²) ، ‖A⃗‖² = x² + y²cos(A⃗ , B⃗) = (A⃗ • B⃗)/(‖A⃗‖ • ‖B⃗‖)إذا كان
A(xA , yA) ، B(xB , yB)فإن
AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²)
حل المسائل على السبورة
شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.
المسألة · الكتاب ص 190
إذا كانت A(−2 , −3) , B(1 , 1) , C(−3 , −1) رؤوس المثلث ABC فأثبت أن المثلث قائم في Ĉ .
المعطيات
- A(−2 , −3) ، B(1 , 1) ، C(−3 , −1)من هنا
- مركبات المتجه: نهاية ناقص بداية
- A⃗ ⊥ B⃗ ⟺ A⃗ • B⃗ = 0
- < CA⃗ > = < −2 − (−3) , −3 − (−1) > = < 1 , −2 >مركبات المتجه
المعلم: الرَّأْسُ المَشْكُوكُ فِيهِ هُوَ سِي، فَاجْعَلْهُ نُقْطَةَ البِدايَةِ لِلْمُتَّجِهَيْنِ. اُحْسُبْ سِي إِيه بِقاعِدَةِ نِهايَةٍ ناقِصَ بِدايَةٍ، وَانْتَبِهْ لِطَرْحِ السّالِبِ.
الخطوة 1 من 4
الملخص
- A⃗ • B⃗ = ‖A⃗‖ × ‖B⃗‖ × cos(A⃗ , B⃗) حيث 0° ≤ m(A⃗ , B⃗) ≤ 180° ، وناتج الضرب الداخلي عدد لا متجه.
- بالمركبات: A⃗ • B⃗ = x_A x_B + y_A y_B ، و A⃗ • A⃗ = x_A² + y_A² = ‖A⃗‖² .
- نتيجة (1): A⃗ ⊥ B⃗ ⟺ A⃗ • B⃗ = 0 حيث A⃗ ≠ 0⃗ و B⃗ ≠ 0⃗ .
- نتيجة (2): A⃗ // B⃗ ⟺ A⃗ = k B⃗ ، ويكافئها بالمركبات أن يكون x_A • y_B − x_B y_A مساويًا صفرًا.
- خواص الضرب الداخلي: الإبدال، والتجميع مع عدد حقيقي غير صفري، وتوزيع الضرب الداخلي على جمع المتجهات أو طرحها.
- قانون الزاوية: cos(A⃗ , B⃗) = (A⃗ • B⃗)/(‖A⃗‖ • ‖B⃗‖) .
- cos 0° = 1 و cos 60° = 1/2 و cos 90° = 0 و cos 180° = −1 ، وهي أكثر القيم استعمالًا في مسائل الضرب الداخلي.
- المسافة بين نقطتين: AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²) .
الأفكار الرئيسية
- الضرب الداخلي يترجم الزاوية إلى عدد: فإذا كان موجبًا فالزاوية حادة، وإذا كان صفرًا فهي قائمة، وإذا كان سالبًا فهي منفرجة.
- لكل ضرب داخلي صيغتان — واحدة بالمركبات وأخرى بالطولين وجيب التمام — والمساواة بينهما هي مفتاح إيجاد الزاوية.
- أصعب المسائل تُحلّ بحساب المقدار نفسه بطريقتين مختلفتين ثم المساواة بين الناتجين، كما في مسألة زاوية ركل الكرة.
الأسئلة المهمة
عرّف الضرب الداخلي لمتجهين، واذكر صيغتيه.
في المستوى الإحداثي لأي متجهين غير صفريين A⃗ و B⃗ ، ناتج الضرب الداخلي لهما ويرمز له بالرمز A⃗ • B⃗ يساوي ناتج ضرب طولي المتجهين في جيب تمام قياس الزاوية المحددة بهما: A⃗ • B⃗ = ‖A⃗‖ × ‖B⃗‖ × cos(A⃗ , B⃗) حيث 0° ≤ m(A⃗ , B⃗) ≤ 180° . وبالمركبات: A⃗ • B⃗ = x_A x_B + y_A y_B .
الكتاب صفحة 188
ما شرط تعامد متجهين غير صفريين؟
نتيجة (1): A⃗ ⊥ B⃗ ⟺ A⃗ • B⃗ = 0 حيث A⃗ ≠ 0⃗ و B⃗ ≠ 0⃗ .
الكتاب صفحة 189
ما شرط توازي متجهين غير صفريين؟
نتيجة (2): A⃗ // B⃗ ⟺ A⃗ = k B⃗ حيث A⃗ ≠ 0⃗ و B⃗ ≠ 0⃗ ؛ وبالمركبات يكون x_A • y_B − x_B y_A مساويًا صفرًا.
الكتاب صفحة 191
اذكر خواص الضرب الداخلي.
لثلاثة متجهات غير صفرية A⃗ و B⃗ و C⃗ في المستوى و k عدد حقيقي: خاصية الإبدال A⃗ • B⃗ = B⃗ • A⃗ ، وخاصية التجميع مع عدد حقيقي غير صفري A⃗ • (kB⃗) = (kA⃗) • B⃗ = k(A⃗ • B⃗) ، وخاصية توزيع الضرب الداخلي على جمع المتجهات أو طرحها A⃗ • (B⃗ ± C⃗) = A⃗ • B⃗ ± A⃗ • C⃗ .
الكتاب صفحة 192
اكتب قانون قياس الزاوية بين متجهين وبيّن كيف اشتُقّ.
cos(A⃗ , B⃗) = (A⃗ • B⃗)/(‖A⃗‖ • ‖B⃗‖) حيث 0° ≤ m(A⃗ , B⃗) ≤ 180° . واشتُقّ بمساواة صيغتي الضرب الداخلي: ‖A⃗‖ • ‖B⃗‖ • cos(A⃗ , B⃗) = x_A x_B + y_A y_B ثم عزل جيب التمام.
الكتاب صفحة 193
كيف نثبت بالمتجهات أن الزاوية المرسومة في نصف دائرة قائمة؟
كما في مثال (9): إذا كانت A(−a , 0) و C(a , 0) طرفي القطر و B(x , y) على الدائرة x² + y² = a² ، فإن BA⃗ = < −a − x , −y > و BC⃗ = < a − x , −y > ، ويكون BA⃗ • BC⃗ = x² + y² − a² = 0 ، ومنه BA⃗ ⊥ BC⃗ فقياس الزاوية θ يساوي 90° .
الكتاب صفحة 194
اختبار الدرس
أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.
الواجب
أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.
مصطلحات الدرس
- الضرب الداخلي Scalar Product
- ناتج ضرب طولي متجهين غير صفريين في جيب تمام قياس الزاوية المحددة بهما: A⃗ • B⃗ = ‖A⃗‖ × ‖B⃗‖ × cos(A⃗ , B⃗) ، وبالمركبات x_A x_B + y_A y_B .
- قياس الزاوية بين متجهين Measure of Angle Between Two Vectors
- الزاوية المحددة بالمتجهين ويرمز لها (A⃗ , B⃗) ، وتُحسب من cos(A⃗ , B⃗) = (A⃗ • B⃗)/(‖A⃗‖ • ‖B⃗‖) حيث 0° ≤ m(A⃗ , B⃗) ≤ 180° .
- متجه الوحدة Unit Vector
- المتجه الذي معياره يساوي الوحدة، ومنه متجها الوحدة الأساسيان i⃗ = < 1 , 0 > و j⃗ = < 0 , 1 > .
- تعامد متجهين
- A⃗ ⊥ B⃗ ⟺ A⃗ • B⃗ = 0 حيث A⃗ ≠ 0⃗ و B⃗ ≠ 0⃗ (نتيجة 1).
- توازي متجهين
- A⃗ // B⃗ ⟺ A⃗ = k B⃗ حيث A⃗ ≠ 0⃗ و B⃗ ≠ 0⃗ (نتيجة 2)، ويكافئها بالمركبات أن يكون x_A • y_B − x_B y_A مساويًا صفرًا.
- مسقط متجه
- OH⃗ مسقط OB⃗ على OA⃗ ، ويُحصل عليه بإسقاط العمود BH⃗ من B على OA⃗ ، ويكون ‖OA⃗‖ × ‖OH⃗‖ مساويًا للضرب الداخلي OA⃗ • OB⃗ .
تمارين الكتاب كاملة
كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 10 تمرينًا.
دعنا نفكر ونتناقشفي الشكل المقابل: a أوجد ‖OA⃗‖ ، ‖OB⃗‖ . b باستخدام المنقلة أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين < OA⃗ > ، < OB⃗ > . c باستخدام الآلة الحاسبة أوجد قيمة ‖OA⃗‖ × ‖OB⃗‖ × cos θ . d نسقط العمود BH⃗ على OA⃗ ويسمى OH⃗ مسقط OB⃗ على OA⃗ . أوجد قيمة ‖OA⃗‖ × ‖OH⃗‖ وقارنها بما حصلت عليه في c .(ص 188)
من الشكل A(3 ,3) و B(0 ,4) . a ‖OA⃗‖ = √(3² + 3²) = √18 = 3√2 وحدة ، و ‖OB⃗‖ = √(0² + 4²) = 4 وحدات. b بالمنقلة θ = 45° (لأن OA⃗ يصنع 45° مع محور السينات و OB⃗ يقع على محور الصادات، فالفرق 45°). c ‖OA⃗‖ × ‖OB⃗‖ × cos θ = 3√2 × 4 × cos 45° = 3√2 × 4 × (√2/2) = 12 . d مسقط OB⃗ على OA⃗ هو OH⃗ حيث H(2 ,2) ، فيكون ‖OH⃗‖ = √(2² + 2²) = 2√2 ، ومنه ‖OA⃗‖ × ‖OH⃗‖ = 3√2 × 2√2 = 12 . ونستنتج أن القيمتين في c و d متساويتان، وهذا هو معنى الضرب الداخلي.
حاول أن تحل 1إذا كان u⃗ = < 0 , 2 > , v⃗ = < 2 , 2 > فأوجد u⃗ • v⃗ .(ص 188)
بطريقة مثال (1): ‖u⃗‖ = √(0² + 2²) = 2 units ، و ‖v⃗‖ = √(2² + 2²) = √8 = 2√2 units . والزاوية التي يصنعها المتجهان تساوي 45° ، فيكون cos(u⃗ , v⃗) = 2/(2√2) = √2/2 . ∴ u⃗ • v⃗ = 2 × 2√2 × (√2/2) = 4 . وبالمركبات: 0 × 2 + 2 × 2 = 4 .
حاول أن تحل 2ABCDEF مضلع سداسي منتظم محاط بدائرة مركزها O ، حيث طول نصف قطرها 1 cm أوجد: a OA⃗ • OD⃗ ، b OA⃗ • OB⃗ ، c CB⃗ • EF⃗ ، d AB⃗ • DE⃗ ، e OB⃗ • OF⃗ .(ص 189)
طول كل نصف قطر 1 cm وطول كل ضلع 1 cm ، والزاوية المركزية بين كل رأسين متجاورين 60° . a A و D طرفا قطر، فالزاوية بين OA⃗ و OD⃗ تساوي 180° ، ومنه OA⃗ • OD⃗ = 1 × 1 × cos 180° = −1 . b الزاوية بين OA⃗ و OB⃗ تساوي 60° ، ومنه OA⃗ • OB⃗ = 1 × 1 × cos 60° = 1/2 . c CB⃗ و EF⃗ متساويان (لهما الطول نفسه والاتجاه نفسه)، فالزاوية بينهما 0° ، ومنه CB⃗ • EF⃗ = 1 × 1 × cos 0° = 1 . d AB⃗ و DE⃗ متعاكسان، فالزاوية بينهما 180° ، ومنه AB⃗ • DE⃗ = 1 × 1 × cos 180° = −1 . e الزاوية بين OB⃗ و OF⃗ تساوي 120° ، ومنه OB⃗ • OF⃗ = 1 × 1 × cos 120° = −1/2 .
حاول أن تحل 3إذا كانت النقاط A(6 , −1), B(3 ,2), C(2 ,1) : a اكتب كلًّا من المتجهين BA⃗ , BC⃗ بدلالة متجهي الوحدة i⃗ , j⃗ . b أوجد قيمة BA⃗ • BC⃗ . c أثبت أن المثلث ABC قائم في B̂ .(ص 190)
a BA⃗ = < 6 − 3 , −1 − 2 > = < 3 , −3 > ، ومنه BA⃗ = 3i⃗ − 3j⃗ . و BC⃗ = < 2 − 3 , 1 − 2 > = < −1 , −1 > ، ومنه BC⃗ = −i⃗ − j⃗ . b BA⃗ • BC⃗ = 3 × (−1) + (−3) × (−1) = −3 + 3 = 0 . c ∵ BA⃗ • BC⃗ = 0 ∴ BA⃗ ⊥ BC⃗ ، ومنه قياس الزاوية (BA⃗ , BC⃗) يساوي 90° وبالتالي المثلث ABC قائم في B̂ .
حاول أن تحل 4إذا كان A⃗ = < 3 , −1 > , B⃗ = < x , −2 > وكان A⃗ ⊥ B⃗ فأوجد قيمة x .(ص 190)
∵ A⃗ ⊥ B⃗ ∴ A⃗ • B⃗ = 0 ، أي x_A • x_B + y_A • y_B = 0 . (3)(x) + (−1)(−2) = 0 3x + 2 = 0 x = −2/3 .
حاول أن تحل 5a أثبت أن: A⃗ // B⃗ حيث A⃗ = < 3 , −2 > , B⃗ = < 6 , −4 > . b إذا كان A⃗ = < 7/3 , 2/3 > , B⃗ = < x , 4/5 > ، A⃗ // B⃗ فأوجد x .(ص 191)
a طريقة أولى: x_A/x_B = 3/6 = 1/2 ، و y_A/y_B = −2/−4 = 1/2 ، ∴ A⃗ = (1/2)B⃗ ⟹ A⃗ = k B⃗ ∴ A⃗ // B⃗ . طريقة ثانية: x_A • y_B − x_B • y_A = 3(−4) − 6(−2) = −12 + 12 = 0 ∴ A⃗ // B⃗ . b x_A • y_B − x_B • y_A = 0 ⟹ (7/3)(4/5) − x(2/3) = 0 ⟹ 28/15 = (2/3)x ⟹ x = (28/15)(3/2) = 28/10 = 14/5 .
حاول أن تحل 6A⃗ , B⃗ متجهان في المستوي، حيث ‖A⃗‖ = 3 , ‖B⃗‖ = 4 , A⃗ • B⃗ = 5 . أوجد قيمة (3A⃗ − 2B⃗) • (−A⃗ + 3B⃗) .(ص 192)
بخاصية التوزيع: = −3A⃗ • A⃗ + 9A⃗ • B⃗ + 2B⃗ • A⃗ − 6B⃗ • B⃗ . وبخاصية الإبدال: = −3‖A⃗‖² + 11A⃗ • B⃗ − 6‖B⃗‖² . وبالتعويض: = −3 × 3² + 11 × 5 − 6 × 4² = −27 + 55 − 96 = −68 .
حاول أن تحل 7إذا كان ‖A⃗‖ = 3 , ‖B⃗‖ = 2 , A⃗ • B⃗ = −3√3 فأوجد قياس الزاوية (A⃗ , B⃗) .(ص 193)
cos(A⃗ , B⃗) = (A⃗ • B⃗)/(‖A⃗‖ • ‖B⃗‖) = −3√3/(3 × 2) = −√3/2 . ∴ m(A⃗ , B⃗) = cos⁻¹(−√3/2) = 150° ، وهو ضمن 0° ≤ m(A⃗ , B⃗) ≤ 180° .
حاول أن تحل 8أوجد قياس الزاوية المحددة بالمتجهين: A⃗ = < 6 , 3 > , B⃗ = < 3 , −1 > .(ص 194)
A⃗ • B⃗ = 6 × 3 + 3 × (−1) = 18 − 3 = 15 . ‖A⃗‖ = √(6² + 3²) = √45 = 3√5 ، و ‖B⃗‖ = √(3² + (−1)²) = √10 . cos(A⃗ , B⃗) = 15/(3√5 × √10) = 15/(3√50) = 15/(15√2) = 1/√2 = √2/2 . ∴ m(A⃗ , B⃗) = cos⁻¹(√2/2) = 45° .
المرشد لحل المسائل — مسألة إضافيةفي المربع ABCD، F منتصف CD̄، E منتصف BC̄ . تتقاطع DE̅ ، BF̅ في M . أوجد m(DM̂F) .(ص 195)
نفرض طول ضلع المربع a ونجعل D نقطة الأصل، فتكون D(0 , 0) و C(a , 0) و B(a ,a) و A(0 ,a) ، ومنه F(a/2 , 0) منتصف CD و E(a , a/2) منتصف BC . الزاوية DM̂F هي الزاوية بين الشعاع MD والشعاع MF ، والشعاع MD في اتجاه ED⃗ والشعاع MF في اتجاه BF⃗ . ED⃗ = < 0 − a , 0 − a/2 > = < −a , −a/2 > ، و BF⃗ = < a/2 − a , 0 − a > = < −a/2 , −a > . ED⃗ • BF⃗ = (−a)(−a/2) + (−a/2)(−a) = a²/2 + a²/2 = a² . ‖ED⃗‖ = √(a² + a²/4) = (a√5)/2 ، وكذلك ‖BF⃗‖ = (a√5)/2 . cos(DM̂F) = a²/((a√5/2)(a√5/2)) = a²/(5a²/4) = 4/5 . ∴ m(DM̂F) = cos⁻¹(4/5) ≈ 36° 52′ 11.63″ .
صفحات الكتاب
صفحات هذا الدرس من كتاب الطالب الرسمي كما هي، صفحات 188 إلى 196.
