منصة المنقذ التعليمية

أهداف الدرس

أعرّف القيمة المعيارية وأبيّن الحاجة إليها عند المقارنة بين مجموعتين مختلفتين.
أحسب القيمة المعيارية z لقيمة مفردة باستخدام المتوسط الحسابي والانحراف المعياري.
أقارن بين قيمتين من مجموعتين مختلفتين بالقيم المعيارية وأحكم أيهما أفضل.
أفسّر إشارة القيمة المعيارية موجبة كانت أو سالبة.
أوظّف مقاييس الوحدة كلها في تحليل موقف حياتي واتخاذ قرار.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 160:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 3القيمة المعيارية — Standardized Value2:13

مقاطع الدرس

0 من 3 مكتمل

القيمة المعيارية — Standardized Value(ص 221)

دعنا نفكر ونتناقش: قد يحصل طالب خلال السنة الدراسية على درجات مختلفة في كل مادة كما أنه من الممكن أن يحصل على الدرجة نفسها في أكثر من مادة.
والسؤال: كيف يقيم الطالب هذه الدرجة في كل مادة مع بقية الدرجات؟
للإجابة عن هذا السؤال تستخدم القيمة المعيارية.

(ص 221)

تعريف

القيمة المعيارية هي مؤشر يدل على انحراف قيمة مفردة من بيانات عن المتوسط الحسابي وذلك باستخدام الانحراف المعياري لقيم هذه البيانات.
إذا كان المطلوب مقارنة قيمتين لمفردتين مختلفتين تنتمي كل منهما إلى مجموعة محددة فإنه لا يكفي إحصائيًّا مقارنة قيم هذه المفردات ببعضها بعضًا بل يجب الأخذ بعين الاعتبار المتوسط الحسابي لكل مجموعة من البيانات وانحرافها المعياري.
ويتطلب منا هذا الأمر تحويل القيم المقاسة بوحدات قياس عادية إلى قيم معيارية مناظرة بعدد من الانحرافات المعيارية، وذلك باستخدام القاعدة:
القيمة المعيارية = (قيمة المفردة − المتوسط الحسابي) / الانحراف المعياري
z = (x − x̄)/σ

(ص 221)

مثال

مثال (1): في أحد الاختبارات نال أحد الطلاب درجة 16 من 20 في مادة الرياضيات حيث المتوسط الحسابي 13 والانحراف المعياري 5 ونال أيضًا 16 من 20 في مادة الكيمياء حيث المتوسط الحسابي 14 والانحراف المعياري 4.
ما القيمة المعيارية للدرجة 16 مقارنة مع درجات كل مادة؟ أيهما أفضل؟
الحل: القيمة المعيارية للدرجة 16 في مادة الرياضيات:
z₁ = (x − x̄)/σ = (16 − 13)/5 = 0.6
القيمة المعيارية للدرجة 16 في مادة الكيمياء:
z₂ = (x − x̄)/σ = (16 − 14)/4 = 0.5
∵ 0.5 < 0.6
القيمة المعيارية للدرجة 16 في مادة الرياضيات أفضل من القيمة المعيارية للدرجة 16 في مادة الكيمياء.
∴
وبالتالي الدرجة 16 في مادة الرياضيات أفضل من الدرجة 16 في مادة الكيمياء.

(ص 221)

مثال

مثال (2): في نتيجة نهاية العام الدراسي حصلت الطالبة موضي على 64 درجة في مادة اللغة العربية حيث المتوسط الحسابي 69 والانحراف المعياري 8. وحصلت على 48 درجة في مادة الجغرافيا حيث المتوسط الحسابي 56 والانحراف المعياري 10.
في أي المادتين كانت موضي أفضل؟
الحل: لتحديد المادة التي كانت فيها موضي أكثر تحصيلًا نحول الدرجات الفعلية إلى قيم معيارية:
القيمة المعيارية للدرجة 64 في مادة اللغة العربية:
z₁ = (x − x̄)/σ = (64 − 69)/8 = −0.625
القيمة المعيارية للدرجة 48 في مادة الجغرافيا:
z₂ = (x − x̄)/σ = (48 − 56)/10 = −0.8
∵ −0.625 > −0.8
القيمة المعيارية للطالبة في مادة اللغة العربية أفضل من القيمة المعيارية في مادة الجغرافيا.
∴
أداء الطالبة موضي في مادة اللغة العربية أفضل من أدائها في مادة الجغرافيا.
∴

(ص 222)

المرشد لحل المسائل(ص 223)

مثال

في سوق العمل، ثمة شركتان تعملان في المجال نفسه. الرواتب الشهرية المدفوعة بالدينار لموظفي كل شركة مبينة على الجدولين الآتيين:
الراتب في الشركة (a) 600 700 1 200 1 750 2 250
التكرار 13 4 1 1 1
الراتب في الشركة (b) 700 800 1 100 1 300 1 500
التكرار 13 4 1 1 1
1 بالنظر إلى الجدولين، أيّ الشركتين تبدو أفضل من حيث الرواتب؟
2 a احسب المتوسط الحسابي x̄ ، ȳ للرواتب في كل جدول.
b هل تحققت من التوقعات التي وضعتها في السؤال 1؟ اشرح.
c هل إيجاد المتوسط الحسابي يكفي وحده لمقارنة الرواتب الشهرية في الشركتين؟
3 احسب الانحراف المعياري σ₁ ، σ₂ لرواتب الموظفين في كل شركة. ماذا تستنتج؟

الراتب في الشركة (a)	600	700	1 200	1 750	2 250
التكرار	13	4	1	1	1

الراتب في الشركة (b)	700	800	1 100	1 300	1 500
التكرار	13	4	1	1	1

(ص 223)

مثال

الحل: 1 نلاحظ أن الرواتب الصغيرة والتي تكرارها 13 , 4 على الترتيب في الشركة(b) أفضل من تلك التي في الشركة(a)
ولكن الرواتب الكبيرة والتي تكرارها 1 , 1 , 1 على الترتيب في الشركة(a) أفضل من تلك التي في الشركة(b)،
وبالتالي رواتب العاملين في الشركة(b) أفضل، لكن رواتب الإداريين في الشركة(a) أفضل.
2 a المتوسط الحسابي لرواتب الموظفين في الشركة (a):
x̄ = 790 KD
المتوسط الحسابي لرواتب الموظفين في الشركة (b):
ȳ = 810 KD
b يبدو من خلال النتائج الحسابية أن المتوسط الحسابي للرواتب في الشركة(b) أفضل من المتوسط الحسابي للرواتب في الشركة(a).
c لا تكفي معرفة المتوسط الحسابي عند المقارنة بين الرواتب لوجود قيم متطرفة في الجدولين.

(ص 223)

مثال

3 الانحراف المعياري للرواتب في الشركة (a):
σ₁ ≈ 431.45
الانحراف المعياري للرواتب في الشركة (b):
σ₂ ≈ 218.86
نستنتج أن الرواتب للموظفين في الشركة(b) تتقارب من المتوسط الحسابي أكثر ممّا تتقارب رواتب الموظفين في الشركة(a).
والملاحظ أن
σ₁ ≈ 2σ₂

(ص 224)

مثال

مسألة إضافية: في أحد الاختبارات، أراد الأستاذ المقارنة بين درجات مجموعتين من الطلاب حيث النهاية العظمى 10 درجات. يبين الجدول التالي ما يلي:
مجموعة (a) 8 3 7 3 5 7 9 6 8 3 3 8 6 9
مجموعة (b) 6 7 3 5 6 6 8 4 7 9 6 7 5 6
1 أوجد لكل مجموعة المتوسط الحسابي.
2 كوّن جدولًا تكراريًّا لكل مجموعة، ثم أوجد: σ₁ الانحراف المعياري للمجموعة(a)، σ₂ الانحراف المعياري للمجموعة(b). ماذا تستنتج؟ اشرح.

مجموعة (a)	8	3	7	3	5	7	9	6	8	3	3	8	6	9

مجموعة (b)	6	7	3	5	6	6	8	4	7	9	6	7	5	6

(ص 224)

مخطط تنظيمي للوحدة السادسة(ص 225)

مخطط تنظيمي للوحدة السادسة: الجبر المتقطع (الإحصاء)(ص 225)

انتبه

ملخص: المجتمع الإحصائي هو مجموعة كل المفردات (الوحدات) قيد الدراسة ولها خصائص مشتركة.
المتغير هو الصفة (أو الصفات) محور الدراسة في مجتمع إحصائي معين.
الحصر الشامل هو عملية جمع بيانات جميع مفردات المجتمع الإحصائي محل الدراسة.
المعاينة هي عملية اختيار جزء من مفردات المجتمع بطريقة مدروسة تجعل هذه المفردات تمثل المجتمع وتحقق أهداف الدراسة.
تصنف البيانات إلى نوعين: كيفي وكمي.
العينة هي جزء من المجتمع الإحصائي يتم اختيارها عشوائيًّا بطريقة علمية كي تمثل هذا المجتمع أفضل تمثيل بأقل كلفة ممكنة.
العينة العشوائية البسيطة هي عينة حيث إن كل مفردة منها لها الفرصة نفسها في الظهور وتمثل المجتمع الإحصائي الذي أخذت منه.

(ص 225)

انتبه

العينة العشوائية الطبقية هي عينة تتكون من عينات عشوائية بسيطة وتستخدم في مجتمع إحصائي مكون من مجموعات لا تتقاطع مع بعضها بعضًا.
لإيجاد العينة العشوائية الطبقية نوجد أوّلًا:
a
كسر المعاينة = حجم العينة / حجم المجتمع الإحصائي = m/n
b
حجم العينة من كل طبقة = كسر المعاينة × حجم الطبقة المناظرة
العينة العشوائية المنتظمة هي عينة تقسم المجتمع الإحصائي إلى فترات متساوية الطول وعددها يساوي حجم العينة
ويكون
طول الفترة = حجم المجتمع الإحصائي / حجم العينة

(ص 226)

انتبه

تستخدم الجداول التكرارية في تحديد عدد ظهور كل قيمة في البيانات.
نستخدم التكرار النسبي لمقارنة ظهور كل قيمة بالنسبة إلى مجموع قيم البيانات.
نستخدم النسبة المئوية لظهور كل قيمة لمعرفة نسبتها المئوية من الكل.
توفر التمثيلات البيانية بالقطاعات الدائرية معرفة حجم كل قيمة بالنسبة إلى الكل.
يبيّن المدرج التكراري حجم كل فئة مقارنة ببقية الفئات ويساعد على إيجاد قيمة تقريبية للمنوال.
المدى = القيمة العظمى من البيانات − القيمة الصغرى من البيانات

(ص 226)

انتبه

المتوسط الحسابي:
x̄ = (∑ n_i x_i)/(∑ n_i)
التباين:
v = (n∑i=1 n_i (x_i − x̄)²)/(n∑i=1 n_i)
حيث n_i التكرار، و x̄ = المتوسط الحسابي.
الانحراف المعياري:
σ = √v
يؤشر الانحراف المعياري إلى تشتت البيانات عن المتوسط الحسابي، كلما كان أصغر كان التشتت أقل.
القيمة المعيارية
= (x − x̄)/σ
توفر القيمة المعيارية مقارنة قيمة معينة بقية القيم في عدد من البيانات.
نستخدم القاعدة التجريبية:
[x̄ − σ , x̄ + σ] ، [x̄ − 2σ , x̄ + 2σ] ، [x̄ − 3σ , x̄ + 3σ]
لإيجاد عدد القيم من البيانات في كل فئة والنسبة المئوية لهذه القيم.

(ص 226)

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

3 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 3

المسألة · الكتاب ص 221
طالب نال 16 من 20 في الرياضيات (المتوسط 13 والانحراف المعياري 5) ونال 16 من 20 في الكيمياء (المتوسط 14 والانحراف المعياري 4). أي الدرجتين أفضل؟
المعطيات
1. الرياضيات: x = 16 ، x̄ = 13 ، σ = 5
2. الكيمياء: x = 16 ، x̄ = 14 ، σ = 4من هنا
3. z = (x − x̄)/σ
1. z₁ = (16 − 13)/5
  قانون القيمة المعيارية
المعلم: لا تُقارِنِ الدَّرَجَتَيْنِ مُباشَرَةً، فَهُما سِتَّ عَشْرَةَ وَسِتَّ عَشْرَةَ. حَوِّلْ كُلَّ دَرَجَةٍ إِلَى قِيمَةٍ مِعْيارِيَّةٍ. اِبْدَأْ بِالرِّياضِيّاتِ: اِطْرَحِ المُتَوَسِّطَ ثُمَّ اقْسِمْ عَلَى الاِنْحِرافِ.
الخطوة 1 من 5

الملخص

القيمة المعيارية هي مؤشر يدل على انحراف قيمة مفردة من بيانات عن المتوسط الحسابي وذلك باستخدام الانحراف المعياري لقيم هذه البيانات.
عند مقارنة قيمتين لمفردتين مختلفتين لا يكفي إحصائيًّا مقارنة القيمتين مباشرة، بل يجب الأخذ بعين الاعتبار المتوسط الحسابي لكل مجموعة وانحرافها المعياري.
القاعدة: القيمة المعيارية = (قيمة المفردة − المتوسط الحسابي) ÷ الانحراف المعياري ، أي z = (x − x̄)/σ .
القيمة المعيارية الموجبة تعني أن قيمة المفردة أعلى من المتوسط الحسابي، والسالبة تعني أنها أقل منه.
كلما كبرت القيمة المعيارية كان أداء المفردة أفضل بالنسبة إلى مجموعتها، حتى لو كانت سالبة (فالأقرب إلى الصفر أفضل).
في مثال (1): z₁ = (16 − 13)/5 = 0.6 و z₂ = (16 − 14)/4 = 0.5 ، ومنه الدرجة 16 في الرياضيات أفضل.
في مثال (2): z₁ = (64 − 69)/8 = −0.625 و z₂ = (48 − 56)/10 = −0.8 ، و −0.625 > −0.8 فأداؤها في اللغة العربية أفضل.
لا تكفي معرفة المتوسط الحسابي وحده عند المقارنة لوجود قيم متطرفة، ولذلك يُضاف إليه الانحراف المعياري ثم القيمة المعيارية.

الأفكار الرئيسية

القيمة المعيارية تُلغي وحدات القياس وتحوّل كل درجة إلى «كم انحرافًا معياريًّا فوق المتوسط أو تحته»، فتصير المقارنة بين مادتين مختلفتين ممكنة.
إشارة z تخبرك بالموقع من المتوسط، ومقدارها يخبرك بالمسافة عنه مقيسة بالانحراف المعياري.
مقاييس الوحدة تُبنى بعضها فوق بعض: المتوسط ثم الانحراف المعياري ثم القيمة المعيارية والقاعدة التجريبية، وكل مقياس يسدّ نقصًا في الذي قبله.

الأسئلة المهمة

عرّف القيمة المعيارية واكتب قاعدتها.

هي مؤشر يدل على انحراف قيمة مفردة من بيانات عن المتوسط الحسابي وذلك باستخدام الانحراف المعياري لقيم هذه البيانات. وقاعدتها: القيمة المعيارية = (قيمة المفردة − المتوسط الحسابي) ÷ الانحراف المعياري ، أي z = (x − x̄)/σ .

الكتاب صفحة 221

لماذا لا تكفي مقارنة القيمتين مباشرة عند المقارنة بين مفردتين من مجموعتين مختلفتين؟

لأنه إذا كان المطلوب مقارنة قيمتين لمفردتين مختلفتين تنتمي كل منهما إلى مجموعة محددة فإنه لا يكفي إحصائيًّا مقارنة قيم هذه المفردات ببعضها بعضًا، بل يجب الأخذ بعين الاعتبار المتوسط الحسابي لكل مجموعة من البيانات وانحرافها المعياري؛ ويتطلب ذلك تحويل القيم المقاسة بوحدات قياس عادية إلى قيم معيارية مناظرة بعدد من الانحرافات المعيارية.

الكتاب صفحة 221

ماذا تعني القيمة المعيارية السالبة؟

تعني أن قيمة المفردة أقل من المتوسط الحسابي لمجموعتها؛ وكلما كانت أقرب إلى الصفر كان الأداء أفضل. ففي مثال (2) كانت z₁ = −0.625 و z₂ = −0.8 ، و −0.625 > −0.8 فكان أداء الطالبة في اللغة العربية أفضل من أدائها في الجغرافيا.

الكتاب صفحة 222

في مسألة المرشد لحل المسائل، لماذا لم يكفِ المتوسط الحسابي للمقارنة بين الشركتين؟

لا تكفي معرفة المتوسط الحسابي عند المقارنة بين الرواتب لوجود قيم متطرفة في الجدولين؛ ولذلك حُسب الانحراف المعياري فكان σ₁ ≈ 431.45 للشركة (a) و σ₂ ≈ 218.86 للشركة (b) ، ومنه نستنتج أن رواتب الموظفين في الشركة (b) تتقارب من المتوسط الحسابي أكثر ممّا تتقارب رواتب الموظفين في الشركة (a) .

الكتاب صفحة 224

اذكر من الملخص قوانين المتوسط الحسابي والتباين والانحراف المعياري والقيمة المعيارية.

المتوسط الحسابي x̄ = (∑ n_i x_i)/(∑ n_i) ، والتباين v = (∑ n_i (x_i − x̄)²)/(∑ n_i) حيث n_i التكرار، والانحراف المعياري σ = √v ، والقيمة المعيارية = (x − x̄)/σ .

الكتاب صفحة 226

ماذا يؤشر الانحراف المعياري بحسب الملخص؟

يؤشر الانحراف المعياري إلى تشتت البيانات عن المتوسط الحسابي، وكلما كان أصغر كان التشتت أقل.

الكتاب صفحة 226

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

طالب نال 15 في مادة متوسطها 14 وانحرافها المعياري 3.8 ، ونال 15 في مادة أخرى متوسطها 13 وانحرافها المعياري 7.8 . أوجد القيمتين المعياريتين وحدّد أيهما أفضل.

صعب

في توزيع متوسطه 50 وانحرافه المعياري 8 ، أوجد القيمة المعيارية للدرجة 42 ثم فسّرها.

صعب

اشرح لماذا تُعدّ القيمة المعيارية أعدل من الدرجة الخام عند المقارنة بين مادتين مختلفتين.

صعب

ارجع إلى المخطط التنظيمي والملخص، واكتب بترتيبها المقاييس التي درستها في الوحدة السادسة مبيّنًا ما يضيفه كل مقياس على سابقه.

صعب

مصطلحات الدرس

قيمة معيارية Standardized Value: مؤشر يدل على انحراف قيمة مفردة من بيانات عن المتوسط الحسابي باستخدام الانحراف المعياري لقيم هذه البيانات، ويُعطى بالقاعدة z = (x − x̄)/σ .
قيمة متطرفة: قيمة بعيدة جدًّا عن بقية القيم في البيانات، ووجودها يجعل المتوسط الحسابي وحده غير كافٍ للمقارنة، كما في جدولَي رواتب الشركتين.
المتوسط الحسابي: مقياس تمركز القيم، x̄ = (∑ n_i x_i)/(∑ n_i) .
الانحراف المعياري: مقياس تشتت القيم عن المتوسط الحسابي، σ = √v ، وكلما كان أصغر كان التشتت أقل.
المدى: القيمة العظمى من البيانات − القيمة الصغرى من البيانات.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 4 تمرينًا.

حاول أن تحل 1جاءت إحدى درجات طالب في مادة الفيزياء 15 حيث المتوسط الحسابي 14 والانحراف المعياري 3.8 وفي مادة الكيمياء 15 حيث المتوسط الحسابي 13 والانحراف المعياري 7.8 . ما القيمة المعيارية للدرجة 15 مقارنة مع درجات كل مادة؟ أيهما أفضل؟(ص 222)

القيمة المعيارية للدرجة 15 في مادة الفيزياء: z₁ = (x − x̄)/σ = (15 − 14)/3.8 = 1/3.8 ≈ 0.263 . القيمة المعيارية للدرجة 15 في مادة الكيمياء: z₂ = (x − x̄)/σ = (15 − 13)/7.8 = 2/7.8 ≈ 0.256 . ∵ 0.256 < 0.263 ∴ القيمة المعيارية للدرجة 15 في مادة الفيزياء أفضل من القيمة المعيارية للدرجة 15 في مادة الكيمياء. وبالتالي الدرجة 15 في مادة الفيزياء أفضل من الدرجة 15 في مادة الكيمياء.

حاول أن تحل 2يسكن خالد في المدينة A حيث إن طول قامته 180cm والمتوسط الحسابي لأطوال قامات الرجال في هذه المدينة 174cm مع انحراف معياري 12cm . أما صالح فيسكن في المدينة B حيث إن طول قامته 172cm والمتوسط الحسابي لأطوال قامات الرجال في هذه المدينة 165cm مع انحراف معياري 15 . أي منهما طول قامته أفضل من الآخر مقارنة مع أطوال الرجال في كل مدينة؟(ص 222)

القيمة المعيارية لطول قامة خالد في المدينة A : z₁ = (x − x̄)/σ = (180 − 174)/12 = 6/12 = 0.5 . القيمة المعيارية لطول قامة صالح في المدينة B : z₂ = (x − x̄)/σ = (172 − 165)/15 = 7/15 ≈ 0.467 . ∵ 0.467 < 0.5 ∴ القيمة المعيارية لطول قامة خالد أفضل من القيمة المعيارية لطول قامة صالح. وبالتالي طول قامة خالد أفضل مقارنة مع أطوال الرجال في مدينته من طول قامة صالح مقارنة مع أطوال الرجال في مدينته.

المرشد لحل المسائلشركتان تعملان في المجال نفسه، ورواتب موظفي كل منهما مبينة في جدولين. 1 بالنظر إلى الجدولين، أيّ الشركتين تبدو أفضل من حيث الرواتب؟ 2 a احسب المتوسط الحسابي x̄ ، ȳ للرواتب في كل جدول. b هل تحققت من التوقعات التي وضعتها في السؤال 1؟ اشرح. c هل إيجاد المتوسط الحسابي يكفي وحده لمقارنة الرواتب الشهرية في الشركتين؟ 3 احسب الانحراف المعياري σ₁ ، σ₂ لرواتب الموظفين في كل شركة. ماذا تستنتج؟(ص 223)

1 نلاحظ أن الرواتب الصغيرة والتي تكرارها 13 , 4 على الترتيب في الشركة(b) أفضل من تلك التي في الشركة(a) ، ولكن الرواتب الكبيرة والتي تكرارها 1 , 1 , 1 على الترتيب في الشركة(a) أفضل من تلك التي في الشركة(b) ، وبالتالي رواتب العاملين في الشركة(b) أفضل، لكن رواتب الإداريين في الشركة(a) أفضل. 2 a المتوسط الحسابي لرواتب الموظفين في الشركة(a): x̄ = ((13 × 600) + (4 × 700) + 1 200 + 1 750 + 2 250)/20 = 15 800/20 = 790 KD . والمتوسط الحسابي لرواتب الموظفين في الشركة(b): ȳ = ((13 × 700) + (4 × 800) + 1 100 + 1 300 + 1 500)/20 = 16 200/20 = 810 KD . b يبدو من خلال النتائج الحسابية أن المتوسط الحسابي للرواتب في الشركة(b) أفضل من المتوسط الحسابي للرواتب في الشركة(a) . c لا تكفي معرفة المتوسط الحسابي عند المقارنة بين الرواتب لوجود قيم متطرفة في الجدولين. 3 الانحراف المعياري للرواتب في الشركة(a): σ₁ ≈ 431.45 ، والانحراف المعياري للرواتب في الشركة(b): σ₂ ≈ 218.86 . نستنتج أن الرواتب للموظفين في الشركة(b) تتقارب من المتوسط الحسابي أكثر ممّا تتقارب رواتب الموظفين في الشركة(a) . والملاحظ أن σ₁ ≈ 2σ₂ .

مسألة إضافيةفي أحد الاختبارات، أراد الأستاذ المقارنة بين درجات مجموعتين من الطلاب حيث النهاية العظمى 10 درجات. مجموعة(a): 8 , 3 , 7 , 3 , 5 , 7 , 9 , 6 , 8 , 3 , 3 , 8 , 6 , 9 ؛ مجموعة(b): 6 , 7 , 3 , 5 , 6 , 6 , 8 , 4 , 7 , 9 , 6 , 7 , 5 , 6 . 1 أوجد لكل مجموعة المتوسط الحسابي. 2 كوّن جدولًا تكراريًّا لكل مجموعة، ثم أوجد σ₁ الانحراف المعياري للمجموعة(a) و σ₂ الانحراف المعياري للمجموعة(b). ماذا تستنتج؟ اشرح.(ص 224)

1 عدد الدرجات في كل مجموعة 14 . مجموع درجات المجموعة(a) = 8+3+7+3+5+7+9+6+8+3+3+8+6+9 = 85 ، فيكون المتوسط الحسابي = 85/14 ≈ 6.07 . مجموع درجات المجموعة(b) = 6+7+3+5+6+6+8+4+7+9+6+7+5+6 = 85 ، فيكون المتوسط الحسابي = 85/14 ≈ 6.07 . فالمتوسطان متساويان. 2 الجدول التكراري للمجموعة(a): الدرجة 3 تكرارها 4 ، والدرجة 5 تكرارها 1 ، والدرجة 6 تكرارها 2 ، والدرجة 7 تكرارها 2 ، والدرجة 8 تكرارها 3 ، والدرجة 9 تكرارها 2 ، ومجموع التكرارات 14 . الجدول التكراري للمجموعة(b): الدرجة 3 تكرارها 1 ، والدرجة 4 تكرارها 1 ، والدرجة 5 تكرارها 2 ، والدرجة 6 تكرارها 5 ، والدرجة 7 تكرارها 3 ، والدرجة 8 تكرارها 1 ، والدرجة 9 تكرارها 1 ، ومجموع التكرارات 14 . وبتطبيق v = (∑ n_i (x_i − x̄)²)/(∑ n_i) : للمجموعة(a): مجموع n_i (x_i − x̄)² ≈ 68.93 ، فيكون v₁ ≈ 4.92 و σ₁ ≈ 2.22 . للمجموعة(b): مجموع n_i (x_i − x̄)² ≈ 30.93 ، فيكون v₂ ≈ 2.21 و σ₂ ≈ 1.49 . الاستنتاج: المتوسط الحسابي نفسه في المجموعتين، ولكن σ₂ أصغر من σ₁ ، أي أن درجات المجموعة(b) تتقارب من المتوسط الحسابي أكثر من درجات المجموعة(a) . فمستوى المجموعة(b) أكثر تجانسًا، بينما تتفاوت درجات المجموعة(a) بين الضعيف والمرتفع. وهذا يبيّن مرة أخرى أن المتوسط الحسابي وحده لا يكفي للمقارنة.