منصة المنقذ التعليمية

أهداف الدرس

أتعرف الجذور التربيعية والتكعيبية.
أبسط التعبيرات الجذرية.
أجمع التعبيرات الجذرية وأطرحها.
أضرب التعبيرات الجذرية وأقسمها.
أستخدم المرافق لكتابة كسر بصورة كسر مقامه عدد نسبي.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 530:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 4الوحدة الأولى: الأعداد الحقيقية — Real Numbers0:56

مقاطع الدرس

0 من 4 مكتمل

الوحدة الأولى: الأعداد الحقيقية — Real Numbers(ص 11)

١ مقدمة المشروع: أثناء العمل على هذا المشروع سوف ترسم مثلثات قائمة الزاوية بمعلومية طول كل من ضلعي الزاوية القائمة، ثم تطبق قانون فيثاغورث لإيجاد طول الوتر.
٢ الهدف: إيجاد قيمة √٢، √٣، √٥ دون استخدام الآلة الحاسبة.
٣ اللوازم: مسطرة، فرجار، زاوية قائمة.
٤ أسئلة حول التطبيق: أ) ارسم مثلثاً قائم الزاوية، متطابق الضلعين، طول كل من ضلعي زاويته القائمة ١ سم. أوجد طول الوتر بتطبيق قانون فيثاغورث، ثم باستخدام المسطرة. ماذا تستنتج؟ √٢ ≃ ... ب) ارسم مثلثاً قائم الزاوية، طول ضلعي الزاوية القائمة ١ سم، √٢ سم. أوجد طول الوتر بتطبيق قانون فيثاغورث، ثم باستخدام المسطرة. ماذا تستنتج؟ √٣ ≃ ... جـ) بالطريقة نفسها أوجد قيمة √٤، √٥، ...
٥ التقرير: ضع تقريراً مفصلاً تبين فيه كيف استخدمت الهندسة لإيجاد قيمة تقريبية لـ √٢ و√٣، ... ثم ضع ملصقاً يبين الأشكال التي رسمتها.

١–١ الجذور والتعبيرات الجذرية والعمليات عليها
(١–١–أ) الجذور والتعبيرات الجذرية
(١–١–ب) تبسيط التعبيرات الجذرية
(١–١–جـ) جمع وطرح التعبيرات الجذرية
(١–١–د) ضرب وقسمة التعبيرات الجذرية
(١–١–هـ) المرافق واستخدامه
١–٢ الأسس النسبية وخواصها
(١–٢–أ) الأسس النسبية
(١–٢–ب) خواص الأسس النسبية

أين أنت الآن: تعرفت الأعداد الحقيقية.
تعرفت الجذور التربيعية.
استخدمت الآلة الحاسبة لإيجاد الجذور التربيعية.
ماذا سوف تتعلم؟ الجذور والتعبيرات الجذرية.
تبسيط التعبيرات الجذرية.
جمع وطرح التعبيرات الجذرية.
ضرب وقسمة التعبيرات الجذرية.
إيجاد المرافق واستخدامه.
كتابة عدد حقيقي بالصورة الجذرية.
كتابة عدد حقيقي بالصورة الأسية.

مفهوم

أضف إلى معلوماتك: المعكوس الضربي لكل عدد حقيقي موجب أكبر من واحد هو عدد حقيقي موجب أصغر من واحد. إذاً يوجد أعداد حقيقية موجبة أصغر من واحد بقدر ما يوجد أعداد حقيقية موجبة أكبر من واحد.(ص 12)

المصطلحات الأساسية: الجذر التربيعي – الجذر التكعيبي – الجذر النوني – المرافق – دليل الجذر – الصورة الجذرية – المجذور – الصورة الأسية.(ص 12)

١–١ الجذور والتعبيرات الجذرية والعمليات عليها — Roots and Radical Expressions and Operations(ص 13)

١ مساحة مربع طول ضلعه ٤ أمتار هي٤ × ٤ = ١٦ متراً مربعاً
٢ أ) مساحة مربع هي ٦٤ متراً مربعاً. أوجد طول ضلعه. ب) استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد طول ضلع مربع مساحته ٧٢ متراً مربعاً.
٣ ما حجم مكعب إذا كان طول ضلعه ٥ أمتار؟
٤ ما طول ضلع مكعب إذا كان حجمه يساوي ٢٧ متراً مكعباً؟

بما أن:٥² = (−٥)² = ٢٥
فإن العددين ٥ و−٥ هما الجذران التربيعيان للعدد ٢٥.
بما أن:(+٥)³ = +١٢٥
فإن العدد (+٥) هو الجذر التكعيبي للعدد (+١٢٥).
وأيضاً:(−٥)³ = −١٢٥
فإن العدد (−٥) هو الجذر التكعيبي للعدد (−١٢٥).
وبالتالي: لكل عدد حقيقي موجب جذران تربيعيان أحدهما موجب والآخر سالب.
لكل عدد حقيقي جذر تكعيبي واحد.

العدد الحقيقي عدد الجذور التربيعية عدد الجذور التكعيبية
موجب ٢ ١
صفر ١ ١
سالب ٠ ١

العدد الحقيقي	عدد الجذور التربيعية	عدد الجذور التكعيبية
موجب	٢	١
صفر	١	١
سالب	٠	١

(ص 13)

إذا كان:أ³ = ب
فإن:أ = ∛ب
هو «الجذر التكعيبي» للعدد ب، ٣ هو «دليل الجذر»، ب هو «المجذور».

الجذر التكعيبي للعدد ب — دليل الجذر — المجذور(ص 13)

انتبه

(∛س)³ = س
∛(س³) = س

(ص 13)

مثال

الجذر التكعيبي للعدد (−٨) هو ∛(−٨).
اكتب (−٨) على صورة مكعب كامل
∛(−٨) = ∛((−٢)³)
∛(س³) = س لكل س عدد حقيقي
= −٢
∴ ∛(−٨) = −٢

(ص 14)

مثال

الجذر التكعيبي للعدد ١٢٥ هو ∛١٢٥.
اكتب (١٢٥) على صورة مكعب كامل
∛١٢٥ = ∛(٥³)
∛(س³) = س لكل س عدد حقيقي
= ٥

(ص 14)

متى يكون التعبير الجذري في أبسط صورة؟ يكون التعبير الجذري في أبسط صورة عندما:
لا يكون للمجذور عوامل مرفوعة لقوة أكبر من أو تساوي دليل الجذر مثل: ∛(س⁵ ص⁷).
لا يوجد جذر في المقام مثل ٣/√٢ أو √٢/√٥.
لا يكون المجذور كسراً مثل √(٣/٥).
يكون دليل الجذر أصغر عدد صحيح موجب ممكن مثل ¹²√٦٤ ليس في أبسط صورة.
لأن:¹²√٦٤ = ¹²√(٢⁶) = ٢^(٦/١٢) = ٢^(١/٢) = √٢

انتبه

كل مقدار يتضمن جذوراً يسمى تعبيراً جذرياً.
عندما يكون دليل الجذر يساوي ٢ فلا يكتب.
الجذر التربيعي لـ س يكتب √س حيث س ≥ ٠.
لكل س عدد حقيقي.
√(س²) = |س|

(ص 14)

مثال

اكتب ٤س⁶ على صورة مربعات كاملة
√(٤س⁶) = √(٢² × (س³)²)
سⁿ × صⁿ = (س × ص)ⁿ
= √((٢ × س³)²)
√(س²) = |س|
= |٢ × س³|
= ٢|س³| = ٢س²|س|

(ص 15)

مثال

اكتب ٨س³ على صورة مكعبات كاملة
∛(٨س³) = ∛(٢³س³)
سⁿ × صⁿ = (س × ص)ⁿ
= ∛((٢س)³)
∛(س³) = س
= ٢س

(ص 15)

مثال

اكتب ١٦س⁴ص⁶ على صورة مكعبات كاملة
√(١٦س⁴ص⁶) = √((٤)²(س²)²(ص³)²)
سⁿ × صⁿ = (س × ص)ⁿ
= √((٤س²ص³)²)
√(س²) = |س|
= |٤س²ص³|
= ٤س²|ص³|
= ٤س²ص²|ص|

(ص 15)

انتبه

تنبيه إلى خطأ في تعليق الكتاب: في مثال (٢) جـ طُبع «على صورة مكعبات كاملة»، والخطوات المكتوبة تحوّل العوامل إلى مربعات كاملة؛ لأن الجذر تربيعي.(ص 15)

لجمع وطرح التعبيرات الجذرية يجب أن تكون «متشابهة».
«يكون التعبيران الجذريان متشابهين عندما يكون لهما دليل الجذر نفسه والمجذور نفسه».
يجب وضع التعبيرات الجذرية في أبسط صورة مما يسمح لنا بمعرفة ما إذا كانت متشابهة أم لا.
لاحظ أن: ٥√٣، ٢√٣ تعبيران جذريان متشابهان.
٨√س، −٣√س (س ≥ ٠) تعبيران جذريان متشابهان.
√٢٧، √١٢ تعبيران جذريان متشابهان (لماذا؟)

٥√٣، ٣√٥ تعبيران جذريان غير متشابهين.
٨√س، −٣√ص (س ≥ ٠، ص ≥ ٠) تعبيران جذريان غير متشابهين.
تذكر: نتعامل مع التعبيرات الجذرية المتشابهة مثل تعاملنا مع الحدود الجبرية المتشابهة.

مثال

اجمع
٣√٥ + ٤√٥ = (٣ + ٤)√٥
= ٧√٥

(ص 16)

مثال

اكتب على صورة مربعات كاملة
√٢٧ + ٣√١٢ − √٧٥ = √(٣² × ٣) + ٣√(٢² × ٣) − √(٥² × ٣)
√(س²) = س، س ≥ ٠
= ٣√٣ + ٣ × ٢√٣ − ٥√٣
اجمع
= ٣√٣ + ٦√٣ − ٥√٣
= ٤√٣

(ص 16)

مثال (٤): أوجد الناتج في أبسط صورة:(ص 16)

مثال

اكتب ١٢٥ على صورة مكعب كامل
٢∛٣ + ٥∛٣٧٥ = ٢∛٣ + ٥∛(١٢٥ × ٣)
∛(س³) = س
= ٢∛٣ + ٥∛(٥³ × ٣)
= ٢∛٣ + ٥ × ٥∛٣
بسّط
= ٢∛٣ + ٢٥∛٣
= ٢٧∛٣

(ص 17)

مثال

اكتب ١٦، ٤٩ على صورة مربعات كاملة
٣√٣٢ − √٩٨ = ٣√(١٦ × ٢) − √(٤٩ × ٢)
√(س²) = س، س ≥ ٠
= ٣√(٤² × ٢) − √(٧² × ٢)
= ٣ × ٤√٢ − ٧√٢
بسّط
= ١٢√٢ − ٧√٢
= ٥√٢

(ص 17)

مثال

اكتب ٩، ٢٥، ٣٦ على صورة مربعات كاملة
√١٨ + √٥٠ − √٧٢ = √(٩ × ٢) + √(٢٥ × ٢) − √(٣٦ × ٢)
√(س²) = س، س ≥ ٠
= √(٣² × ٢) + √(٥² × ٢) − √(٦² × ٢)
= ٣√٢ + ٥√٢ − ٦√٢
بسّط
= ٢√٢

(ص 17)

مثال

اكتب ٦٤، ٢٧، ١٢٥ على صورة مربعات كاملة
∛١٢٨ + ∛٥٤ − ٢∛٢٥٠ = ∛(٦٤ × ٢) + ∛(٢٧ × ٢) − ٢∛(١٢٥ × ٢)
∛(س³) = س
= ∛(٤³ × ٢) + ∛(٣³ × ٢) − ٢∛(٥³ × ٢)
= ٤∛٢ + ٣∛٢ − ٢ × ٥∛٢
بسّط
= −٣∛٢

(ص 17)

انتبه

تنبيه إلى تعليق الكتاب: في مثال (٤) د طُبع «على صورة مربعات كاملة»، بينما العوامل ٦٤، ٢٧، ١٢٥ كُتبت مكعبات كاملة، ودليل الجذر ٣.(ص 17)

(١–١–د) ضرب وقسمة التعبيرات الجذرية — Multiplication and Division of Radical Expressions(ص 18)

√(س²) = |س| = س
(√س)² = س
√س × √ص = √(س × ص)
ص ≠ ٠√س/√ص = √(س/ص)

∛(س³) = س
(∛س)³ = س
∛س × ∛ص = ∛(س × ص)
ص ≠ ٠∛س/∛ص = ∛(س/ص)

مثال

اكتب ٧٢، س³ على صورة مربعات كاملة
√(٧٢س³) = √(٦² × ٢ × س² × س)
√(س × ص) = √س × √ص حيث س ≥ ٠، ص ≥ ٠
= √(٦² × س²) × √(٢ × س)
√(س²) = |س|
= ٦|س| × √(٢س)
|س| = س لأن س ≥ ٠
= ٦س√(٢س)

(ص 18)

مثال

اكتب ٨٠، ن⁵ على صورة مكعبات كاملة
∛(٨٠ن⁵) = ∛(٢³ × ١٠ × ن³ × ن²)
∛(س × ص) = ∛س × ∛ص لكل س، ص أعداد حقيقية
= ∛(٢³ × ن³) × ∛(١٠ن²)
∛(س³) = س لكل س عدد حقيقي
= ٢ن∛(١٠ن²)

(ص 18)

مثال

√س × √ص = √(س × ص) حيث س ≥ ٠، ص ≥ ٠
√٢ × √٨ = √(٢ × ٨)
اضرب
= √١٦
بسّط
= ٤

(ص 19)

مثال

∛س × ∛ص = ∛(س × ص)
∛(٥س³ص⁴) × ∛(٥٤س²ص³) = ∛(٥س³ص⁴ × ٥٤س²ص³)
اكتب على صورة مكعبات كاملة
= ∛(٥س³ص³ص × ٢ × ٣³ × س² × ص³)
= ∛(١٠ × ٣³ × س³ × ص³ × ص³ × س² × ص)
∛(س × ص) = ∛س × ∛ص
= ∛(٣³س³(ص²)³) × ∛(١٠س²ص)
∛(س³) = س
= ٣سص²∛(١٠س²ص)

(ص 19)

مثال

∛س/∛ص = ∛(س/ص) حيث ص ≠ ٠
∛٣٢/∛(−٤) = ∛(٣٢/(−٤))
اقسم
= ∛(−٨)
اكتب −٨ على صورة مكعب كامل
= ∛((−٢)³)
∛(س³) = س
= −٢

(ص 19)

مثال

∛س/∛ص = ∛(س/ص) حيث ص ≠ ٠
∛(١٦٢س⁵)/∛(٣س²) = ∛((١٦٢س⁵)/(٣س²))
اقسم
= ∛(٥٤س³)
اكتب ٥٤ على صورة مكعب كامل
= ∛(٢ × ٣³ × س³)
∛(س × ص) = ∛س × ∛ص
= ∛٢ × ∛(٣³س³)
∛(س³) = س
= ٣س∛٢

(ص 20)

مثال

√س/√ص = √(س/ص) حيث ص ≠ ٠
√(٢٥٦س³)/√(٣٢س) = √((٢٥٦س³)/(٣٢س))
اقسم
= √(٨س²)
اكتب ٨س² على صورة مربعات كاملة
= √(٢(٢س)²)
√(س²) = |س|
= |٢س|√٢
= ٢√٢|س|
حيث س > ٠
= ٢√٢س

(ص 20)

مثال

(أ + ب)² = أ² + ٢أب + ب²
(٤ + √٣)² = ١٦ + ٨√٣ + ٣
جمع الحدود المتشابهة
= ١٩ + ٨√٣

(ص 21)

مثال

(أ +ب)(أ −ب) = أ² − ب²
(٤ + √٣)(٤ − √٣) = ١٦ − ٣
= ١٣

(ص 21)

مثال

(٦ + √٣)(٢ − √٢) = ١٢ − ٦√٢ + ٢√٣ − √٦

(ص 21)

√٢ يسمى مرافق لـ √٢، لأن:√٢ × √٢ = ٢
(عدد نسبي).
٣ + √٢ يسمى مرافق لـ ٣ − √٢، لأن:(٣ + √٢) × (٣ − √٢) = ٩ − ٢ = ٧
(عدد نسبي).
∛٢٥ يسمى مرافق لـ ∛٥، لأن:∛٥ × ∛٢٥ = ∛(٥³) = ٥
(عدد نسبي).

تعريف

إذا كان س، ص تعبيران جذريان يمثلان أعداداً غير نسبية، وكان ناتج ضرب س في ص عدداً نسبياً فإن س، ص مترافقان.(ص 21)

انتبه

معلومة رياضية: √أ + √ب، √أ − √ب مقداران مترافقان.(ص 21)

قاعدة

يمكن إعادة كتابة كسر يحوي مقامه جذوراً تربيعية أو جذوراً تكعيبية بصورة كسر مقامه عدد نسبي، وذلك بضرب بسط الكسر ومقامه في «مرافق المقام».(ص 21)

مثال

اضرب بسط الكسر ومقامه في مرافق المقام
(١ + √٢)/√٣ = ((١ + √٢)/√٣) × (√٣/√٣)
خاصية التوزيع
= (√٣ + √٣ × √٢)/(√٣)²
بسّط
= (√٣ + √٦)/٣
المقام عدد صحيح
∴ (١ + √٢)/√٣ = (√٣ + √٦)/٣

(ص 22)

مثال

اضرب بسط الكسر ومقامه في مرافق المقام
(√٢ − ١)/(٣ − √٢) = ((√٢ − ١)/(٣ − √٢)) × ((٣ + √٢)/(٣ + √٢))
(أ −ب)(أ +ب) = أ² − ب²
= (٣√٢ + √٢ × √٢ − ٣ − √٢)/(٣² − (√٢)²)
بسّط
= (٣√٢ + ٢ − ٣ − √٢)/(٩ − ٢)
= (٢√٢ − ١)/٧

(ص 22)

مثال

اكتب القانون
ط = ك × س²
اقسم طرفي المعادلة على ك؛ ك ≠ ٠
س² = ط/ك
س > ٠
س = √(ط/ك)

(ص 23)

مثال

س = √(ط/ك)
√(أ/ب) = √أ/√ب حيث أ > ٠، ب > ٠
س = √ط/√ك
اضرب بسط الكسر ومقامه في مرافق المقام
س = (√ط/√ك) × (√ك/√ك)
س = √(ط × ك)/ك

(ص 23)

مثال

عوّض س بقيمتها
((س + ١)²(٣س − ٢))/(٧س − ٤) = (((√٢ − ١ + ١)²)(٣(√٢ − ١) − ٢))/(٧(√٢ − ١) − ٤)
بسّط
= ((√٢)²(٣√٢ − ٥))/(٧√٢ − ١١)
اضرب بسط الكسر ومقامه في مرافق المقام
= (٢(٣√٢ − ٥)(٧√٢ + ١١))/((٧√٢ − ١١)(٧√٢ + ١١))
خاصية التوزيع
= (٢(٤٢ + ٣٣√٢ − ٣٥√٢ − ٥٥))/((٧√٢)² − (١١)²)
جمع الحدود المتشابهة
= (٢(−١٣ − ٢√٢))/(٩٨ − ١٢١)
= (−٢(١٣ + ٢√٢))/(−٢٣)
بسّط
= (٢٦ + ٤√٢)/٢٣

(ص 24)

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

11 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 11

المسألة · الكتاب ص 14
أوجد الجذر التكعيبي لكل عدد مما يلي: −٨
المعطيات
1. ∛(−٨)من هنا
1. ∛(−٨)
المعلم: نَبْحَثُ عَنْ عَدَدٍ إِذَا ضَرَبْنَاهُ فِي نَفْسِهِ ثَلَاثَ مَرَّاتٍ حَصَلْنَا عَلَى سَالِبِ ثَمَانِيَةٍ. إِشَارَةُ الْجَذْرِ التَّكْعِيبِيِّ هُنَا سَالِبَةٌ.
الخطوة 1 من 4

الملخص

لكل عدد حقيقي موجب جذران تربيعيان أحدهما موجب والآخر سالب، ولكل عدد حقيقي جذر تكعيبي واحد.
الجذر التكعيبي يعكس التكعيب، والجذر التربيعي لمربع عدد حقيقي يساوي قيمته المطلقة.
يبسط المجذور بإخراج عوامل المربعات أو المكعبات الكاملة، وبأصغر دليل ممكن.
يجمع ويطرح التعبيران الجذريان بعد التأكد من تشابههما: دليل الجذر نفسه والمجذور نفسه.
تطبق خواص الضرب والقسمة مع مراعاة مجال الجذور وعدم انعدام المقام.
يستخدم مرافق المقام بإجراء الضرب نفسه في البسط والمقام، ثم التبسيط.

الأفكار الرئيسية

التبسيط يسبق الحكم على تشابه الجذور.
دليل الجذر يحدد نوع القوة الكاملة التي نبحث عنها.
المرافق يجعل حاصل الضرب عدداً نسبياً ويحافظ استعماله الصحيح على قيمة الكسر.

الأسئلة المهمة

ما الفرق بين عدد الجذور التربيعية والتكعيبية للعدد الحقيقي الموجب؟

له جذران تربيعيان أحدهما موجب والآخر سالب، وجذر تكعيبي واحد.

الكتاب صفحة 13

لماذا تظهر القيمة المطلقة عند تبسيط √(س²)؟

لأن رمز الجذر التربيعي يدل على القيمة غير السالبة، لذلك √(س²) = |س| لكل س حقيقي.

الكتاب صفحة 14

متى يكون تعبيران جذريان متشابهين؟

عندما يكون لهما دليل الجذر نفسه والمجذور نفسه بعد التبسيط.

الكتاب صفحة 15

لماذا لا نجمع √٢٧ و√١٢ قبل التبسيط؟

نبسطهما إلى ٣√٣ و٢√٣ ليتضح تشابههما، ثم نجمع المعاملين.

الكتاب صفحة 15

كيف نجعل مقام كسر جذري عدداً نسبياً؟

نضرب بسط الكسر ومقامه في مرافق المقام، ثم نطبق خواص الضرب ونجمع الحدود المتشابهة.

الكتاب صفحة 21

ما الخطوة الأولى عند إيجاد قيمة تعبير بدلالة قيمة جذرية معطاة؟

نعوض المتغير بالقيمة المعطاة مع المحافظة على الأقواس والأسس، ثم نبسط ونستخدم المرافق إذا بقي جذر في المقام.

الكتاب صفحة 24

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

بسّط √(٤س⁶) وبيّن سبب استعمال القيمة المطلقة.

متوسط

بسّط √١٨ + √٥٠ − √٧٢ بخطوات واضحة.

متوسط

اجعل مقام (√٢ − ١)/(٣ − √٢) عدداً نسبياً.

صعب

مصطلحات الدرس

الجذر التكعيبي: إذا كان أ³ = ب فإن أ = ∛ب هو الجذر التكعيبي للعدد ب.
دليل الجذر: العدد الذي يحدد رتبة الجذر، وهو ٣ في الجذر التكعيبي.
المجذور: العدد أو المقدار داخل علامة الجذر.
التعبير الجذري: كل مقدار يتضمن جذوراً يسمى تعبيراً جذرياً.
التعبيران الجذريان المتشابهان: لهما دليل الجذر نفسه والمجذور نفسه.
المترافقان: تعبيران جذريان يمثلان أعداداً غير نسبية ويكون ناتج ضربهما عدداً نسبياً.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 44 تمرينًا.

مشروع الوحدة — أارسم مثلثاً قائم الزاوية، متطابق الضلعين، طول كل من ضلعي زاويته القائمة ١ سم. أوجد طول الوتر بتطبيق قانون فيثاغورث، ثم باستخدام المسطرة. ماذا تستنتج؟ √٢ ≃ ...(ص 11)

حل توضيحي: مربع طول الوتر = ١² + ١² = ٢، إذن طول الوتر = √٢ سم. القياس يعطي قيمة تقريبية قريبة من ١٫٤١ سم، وتتوقف دقتها على الرسم والمسطرة.

مشروع الوحدة — بارسم مثلثاً قائم الزاوية، طول ضلعي الزاوية القائمة ١ سم، √٢ سم. أوجد طول الوتر بتطبيق قانون فيثاغورث، ثم باستخدام المسطرة. ماذا تستنتج؟ √٣ ≃ ...(ص 11)

حل توضيحي: مربع طول الوتر = ١² + (√٢)² = ٣، إذن طول الوتر = √٣ سم. القياس يعطي قيمة تقريبية قريبة من ١٫٧٣ سم.

مشروع الوحدة — جـ والتقريربالطريقة نفسها أوجد قيمة √٤، √٥، ... ضع تقريراً مفصلاً تبين فيه كيف استخدمت الهندسة لإيجاد قيمة تقريبية لـ √٢ و√٣، ... ثم ضع ملصقاً يبين الأشكال التي رسمتها.(ص 11)

حل توضيحي: نبني مثلثاً ضلعاه القائمان ١ و√٣ فيكون وتره √٤ = ٢. ثم مثلثاً ضلعاه القائمان ١ و٢ فيكون وتره √٥ ≃ ٢٫٢٤. يوضح التقرير تطبيق قانون فيثاغورث ومقارنة القيم المحسوبة بقياس الرسم، ويرفق الطالب الأشكال التي رسمها.

دعنا نفكر ونتناقش — ٢أ) مساحة مربع هي ٦٤ متراً مربعاً. أوجد طول ضلعه. ب) استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد طول ضلع مربع مساحته ٧٢ متراً مربعاً.(ص 13)

أ) طول الضلع = √٦٤ = ٨ أمتار. ب) طول الضلع = √٧٢ ≃ ٨٫٤٩ أمتار.

دعنا نفكر ونتناقش — ٣ما حجم مكعب إذا كان طول ضلعه ٥ أمتار؟(ص 13)

الحجم = ٥³ = ١٢٥ متراً مكعباً.

دعنا نفكر ونتناقش — ٤ما طول ضلع مكعب إذا كان حجمه يساوي ٢٧ متراً مكعباً؟(ص 13)

طول الضلع = ∛٢٧ = ٣ أمتار.

مثال (1) — أأوجد الجذر التكعيبي لكل عدد مما يلي: −٨(ص 14)

∛(−٨) = ∛((−٢)³) = −٢ ∴ ∛(−٨) = −٢

مثال (1) — بأوجد الجذر التكعيبي لكل عدد مما يلي: ١٢٥(ص 14)

∛١٢٥ = ∛(٥³) = ٥

حاول أن تحل — ١أوجد الجذر التكعيبي لكل عدد مما يلي:أ) −٢٧ب) ٦٤(ص 14)

أ) ∛(−٢٧) = ∛((−٣)³) = −٣. ب) ∛٦٤ = ∛(٤³) = ٤.

مثال (2) — أبسّط كلاً من التعبيرات الجذرية التالية: √(٤س⁶)(ص 15)

√(٤س⁶) = √(٢² × (س³)²) = √((٢ × س³)²) = |٢ × س³| = ٢|س³| = ٢س²|س|

مثال (2) — ببسّط كلاً من التعبيرات الجذرية التالية: ∛(٨س³)(ص 15)

∛(٨س³) = ∛(٢³س³) = ∛((٢س)³) = ٢س

مثال (2) — جـبسّط كلاً من التعبيرات الجذرية التالية: √(١٦س⁴ص⁶)(ص 15)

√(١٦س⁴ص⁶) = √((٤)²(س²)²(ص³)²) = √((٤س²ص³)²) = |٤س²ص³| = ٤س²|ص³| = ٤س²ص²|ص|

حاول أن تحل — ٢بسّط كلاً من التعبيرات الجذرية التالية:أ) √(٩س²ص⁴)ب) ∛(−٢٧س⁶) جـ) √(س⁸ص⁶)(ص 15)

أ) √((٣سص²)²) = |٣سص²| = ٣ص²|س|. ب) ∛((−٣س²)³) = −٣س². جـ) √((س⁴ص³)²) = |س⁴ص³| = س⁴ص²|ص|.

لماذا؟√٢٧، √١٢ تعبيران جذريان متشابهان (لماذا؟)(ص 15)

√٢٧ = ٣√٣، و√١٢ = ٢√٣. بعد التبسيط لهما دليل الجذر نفسه والمجذور نفسه.

مثال (3) — أأوجد الناتج في أبسط صورة في كل مما يلي: ٣√٥ + ٤√٥(ص 16)

٣√٥ + ٤√٥ = (٣ + ٤)√٥ = ٧√٥

مثال (3) — بأوجد الناتج في أبسط صورة في كل مما يلي: √٢٧ + ٣√١٢ − √٧٥(ص 16)

√٢٧ + ٣√١٢ − √٧٥ = √(٣² ×٣) + ٣√(٢² ×٣) − √(٥² ×٣) = ٣√٣ + ٣ × ٢√٣ − ٥√٣ = ٣√٣ + ٦√٣ − ٥√٣ = ٤√٣

حاول أن تحل — ٣أوجد ناتج كل مما يلي في أبسط صورة:أ) √٥ + √٢٠ب) √٤٨ − √٥٠ − √٨(ص 16)

أ) √٥ + ٢√٥ = ٣√٥. ب) ٤√٣ − ٥√٢ − ٢√٢ = ٤√٣ − ٧√٢.

مثال (4) — أ٢∛٣ + ٥∛٣٧٥(ص 17)

٢∛٣ + ٥∛٣٧٥ = ٢∛٣ + ٥∛(١٢٥ ×٣) = ٢∛٣ + ٥∛(٥³ ×٣) = ٢∛٣ + ٥ × ٥∛٣ = ٢∛٣ + ٢٥∛٣ = ٢٧∛٣

مثال (4) — ب٣√٣٢ − √٩٨(ص 17)

٣√٣٢ − √٩٨ = ٣√(١٦ ×٢) − √(٤٩ ×٢) = ٣√(٤² ×٢) − √(٧² ×٢) = ٣ × ٤√٢ − ٧√٢ = ١٢√٢ − ٧√٢ = ٥√٢

مثال (4) — جـ√١٨ + √٥٠ − √٧٢(ص 17)

√١٨ + √٥٠ − √٧٢ = √(٩ ×٢) + √(٢٥ ×٢) − √(٣٦ ×٢) = √(٣² ×٢) + √(٥² ×٢) − √(٦² ×٢) = ٣√٢ + ٥√٢ − ٦√٢ = ٢√٢

مثال (4) — د∛١٢٨ + ∛٥٤ − ٢∛٢٥٠(ص 17)

∛١٢٨ + ∛٥٤ − ٢∛٢٥٠ = ∛(٦٤ ×٢) + ∛(٢٧ ×٢) − ٢∛(١٢٥ ×٢) = ∛(٤³ ×٢) + ∛(٣³ ×٢) − ٢∛(٥³ ×٢) = ٤∛٢ + ٣∛٢ − ٢ × ٥∛٢ = −٣∛٢

حاول أن تحل — ٤أوجد الناتج في أبسط صورة:أ) ٤∛٨ + ٢∛٦٤ب) ٢√٧٥ − √٢٧ جـ) √١٢ + √١٤٧ − √١٠٨د) ∛٣٢٠ − ∛٤٠ − ∛١٣٥(ص 17)

أ) ٤ × ٢ + ٢ × ٤ = ١٦.ب) ٢ × ٥√٣ − ٣√٣ = ٧√٣. جـ) ٢√٣ + ٧√٣ − ٦√٣ = ٣√٣.د) ٤∛٥ − ٢∛٥ − ٣∛٥ = −∛٥.

مثال (5) — أبسّط كلاً من التعبيرين الجذريين التاليين: √(٧٢س³) حيث س ≥ ٠(ص 18)

√(٧٢س³) = √(٦² × ٢ × س² ×س) = √(٦² × س²) × √(٢ ×س) = ٦|س| × √(٢س) = ٦س√(٢س)

مثال (5) — ببسّط كلاً من التعبيرين الجذريين التاليين: ∛(٨٠ن⁵)(ص 18)

∛(٨٠ن⁵) = ∛(٢³ × ١٠ × ن³ × ن²) = ∛(٢³ × ن³) × ∛(١٠ن²) = ٢ن∛(١٠ن²)

حاول أن تحل — ٥بسّط كلاً من التعبيرين الجذريين التاليين:أ) √(٥٠س⁴)ب) ∛(١٨س³)(ص 18)

أ) √(٢٥س⁴ ×٢) = ٥س²√٢.ب) ∛(س³ × ١٨) = س∛١٨.

مثال (6) — أاضرب ثم بسّط كلاً مما يلي: √٢ × √٨(ص 19)

√٢ × √٨ = √(٢ × ٨) = √١٦ = ٤

مثال (6) — باضرب ثم بسّط كلاً مما يلي: ∛(٥س³ص⁴) × ∛(٥٤س²ص³)(ص 19)

∛(٥س³ص⁴) × ∛(٥٤س²ص³) = ∛(٥س³ص⁴ × ٥٤س²ص³) = ∛(٥س³ص³ص × ٢ × ٣³ × س² × ص³) = ∛(١٠ × ٣³ × س³ × ص³ × ص³ × س² × ص) = ∛(٣³س³(ص²)³) × ∛(١٠س²ص) = ٣سص²∛(١٠س²ص)

حاول أن تحل — ٦اضرب ثم بسّط كلاً من التعبيرات الجذرية التالية:أ) ٣√(٧س³) × ٢√(س³ص²) حيث س ≥ ٠ب) ٤∛(س⁴ص) × ٥∛(س²ص)(ص 19)

أ) ٦√(٧س⁶ص²) = ٦س³|ص|√٧؛ لأن س ≥ ٠. ب) ٢٠∛(س⁶ص²) = ٢٠س²∛(ص²).

مثال (7) — أاقسم ثم بسّط كلاً مما يلي: ∛٣٢/∛(−٤)(ص 19)

∛٣٢/∛(−٤) = ∛(٣٢/(−٤)) = ∛(−٨) = ∛((−٢)³) = −٢

مثال (7) — ب∛(١٦٢س⁵)/∛(٣س²)، حيث س ≠ ٠(ص 20)

∛(١٦٢س⁵)/∛(٣س²) = ∛((١٦٢س⁵)/(٣س²)) = ∛(٥٤س³) = ∛(٢ × ٣³ × س³) = ∛٢ × ∛(٣³س³) = ٣س∛٢

مثال (7) — جـ√(٢٥٦س³)/√(٣٢س)، حيث س > ٠(ص 20)

√(٢٥٦س³)/√(٣٢س) = √((٢٥٦س³)/(٣٢س)) = √(٨س²) = √(٢(٢س)²) = |٢س|√٢ = ٢√٢|س| = ٢√٢س

حاول أن تحل — ٧اقسم ثم بسّط كلاً من التعبيرات الجذرية التالية:أ) √٢٤٣/√٢٧ب) √(١٢س⁴)/√(٣س)، حيث س > ٠ جـ) ∛(١٢٨س¹⁵)/∛(٢س²)، حيث س ≠ ٠(ص 20)

أ) √(٢٤٣/٢٧) = √٩ = ٣. ب) √((١٢س⁴)/(٣س)) = √(٤س³) = ٢س√س؛ لأن س > ٠. جـ) ∛((١٢٨س¹⁵)/(٢س²)) = ∛(٦٤س¹³) = ٤س⁴∛س.

مثال (8) — أبسّط كلاً من التعبيرات الجذرية التالية: (٤ + √٣)²(ص 21)

(٤ + √٣)² = ١٦ + ٨√٣ + ٣ = ١٩ + ٨√٣

مثال (8) — ببسّط كلاً من التعبيرات الجذرية التالية: (٤ + √٣)(٤ − √٣)(ص 21)

(٤ + √٣)(٤ − √٣) = ١٦ − ٣ = ١٣

مثال (8) — جـبسّط كلاً من التعبيرات الجذرية التالية: (٦ + √٣)(٢ − √٢)(ص 21)

(٦ + √٣)(٢ − √٢) = ١٢ − ٦√٢ + ٢√٣ − √٦

حاول أن تحل — ٨بسّط كلاً من التعبيرات الجذرية التالية:أ) (٥ − √٣)²ب) (٧ + √٥)(٣ − √٢) جـ) (٦ − √٥)(٦ + √٥)(ص 21)

أ) ٢٥ − ١٠√٣ + ٣ = ٢٨ − ١٠√٣. ب) ٢١ − ٧√٢ + ٣√٥ − √١٠. جـ) ٣٦ − ٥ = ٣١.

مثال (9) — أاختصر كلاً مما يلي بحيث يكون المقام عدداً نسبياً: (١ + √٢)/√٣(ص 22)

(١ + √٢)/√٣ = ((١ + √٢)/√٣) × (√٣/√٣) = (√٣ + √٣ × √٢)/(√٣)² = (√٣ + √٦)/٣ ∴ (١ + √٢)/√٣ = (√٣ + √٦)/٣

مثال (9) — باختصر كلاً مما يلي بحيث يكون المقام عدداً نسبياً: (√٢ − ١)/(٣ − √٢)(ص 22)

(√٢ −١)/(٣ − √٢) = ((√٢ −١)/(٣ − √٢)) × ((٣ + √٢)/(٣ + √٢)) = (٣√٢ + √٢ × √٢ − ٣ − √٢)/(٣² − (√٢)²) = (٣√٢ + ٢ − ٣ − √٢)/(٩ −٢) = (٢√٢ −١)/٧

حاول أن تحل — ٩اختصر كلاً مما يلي بحيث يكون المقام عدداً نسبياً:أ) (√٣ + √٢)/√٣ب) (٣ − √٢)/(٢ − √٢)(ص 22)

أ) نضرب البسط والمقام في √٣: (٣ + √٦)/٣.ب) نضرب البسط والمقام في ٢ + √٢: (٦ + ٣√٢ − ٢√٢ −٢)/(٤ −٢) = (٤ + √٢)/٢.

مثال (10) — أربط بالحياة: قانون أينشتاين ط = ك × س² يربط بين الطاقة ط والكتلة ك وسرعة الضوء س. أوجد قيمة س بدلالة ط، ك.(ص 23)

ط = ك × س² س² = ط/ك س = √(ط/ك)

مثال (10) — بأعد كتابة إجابتك في أ بحيث يكون المقام خالياً من الجذور.(ص 23)

س = √(ط/ك) س = √ط/√ك س = (√ط/√ك) × (√ك/√ك) س = √(ط × ك)/ك

حاول أن تحل — ١٠القانون ع = (٢ ×ف)/ن² يربط بين العجلة ع، والمسافة ف، والوقت ن لجسم متحرك بعجلة منتظمة.أ) أوجد ن بدلالة ع، ف.ب) أعد كتابة إجابتك في أ بحيث يكون المقام خالياً من الجذور.(ص 23)

أ) ع ن² = ٢ف، ثم ن² = ٢ف/ع، ومنه ن = √(٢ف/ع)، مع اختيار الجذر الموجب للوقت.ب) ن = √(٢ف)/√ع = (√(٢ف) × √ع)/ع = √(٢فع)/ع، حيث ع > ٠ في هذا التعبير، وف ≥ ٠.

مثال (11) — أوجد قيمة التعبير: ((س +١)²(٣س − ٢))/(٧س −٤) حيث س = √٢ − ١. ثم بسّط الناتج.(ص 24)

((س +١)²(٣س − ٢))/(٧س −٤) = (((√٢ − ١ +١)²)(٣(√٢ −١) − ٢))/(٧(√٢ −١) −٤) = ((√٢)²(٣√٢ − ٥))/(٧√٢ − ١١) = (٢(٣√٢ −٥)(٧√٢ + ١١))/((٧√٢ − ١١)(٧√٢ + ١١)) = (٢(٤٢ + ٣٣√٢ − ٣٥√٢ − ٥٥))/((٧√٢)² − (١١)²) = (٢(−١٣ − ٢√٢))/(٩٨ − ١٢١) = (−٢(١٣ + ٢√٢))/(−٢٣) = (٢٦ + ٤√٢)/٢٣