أهداف الدرس
- أعرّف القطعة الموجهة وأحدّد نقطة بدايتها ونقطة نهايتها وطولها واتجاهها.
- أوجد متجه الموضع لقطعة موجهة في المستوى الإحداثي.
- أتعرّف تكافؤ قطعتين موجهتين وأستنتج متوازي الأضلاع الناتج عنه.
- أكتب المتجه بمركبتيه وأحسب معياره وقياس الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.
- أميّز متجه الوحدة والمتجهين المتساويين والمتجهين المتعاكسين.
- أضرب متجهًا في عدد حقيقي وأستخدم خواص المتجهات في إثبات استقامة ثلاث نقاط.
- جمع المتجهات وطرحها.
- الضرب الداخلي.
- استخدام الضرب الداخلي ومركبات (إحداثيات) المتجهات لحل مسائل هندسية.
الشرح خطوة بخطوة
الموضع محفوظ على هذا الجهاز.
المقطع 1 من 9مشروع الوحدة:3:20
مقاطع الدرس
0 من 9 مكتملمشروع الوحدة:(ص 167)
- مقدمة المشروع: استخدم الفيزيائيون والمهندسون المتجهات خاصة في النصف الثاني من القرن التاسع عشر وفي بداية القرن العشرين. بالنسبة إليهم، المتجهات هي قوى وانتقالات وسرعات وحقول كهربائية وحقول مغناطيسية.
- الأهداف: عند إقلاع الطائرات تتعرض لتيارات هوائية قد تغير في اتجاهها.
- سوف ندرس في هذا المشروع تأثير هذه التيارات على مسار الطائرة.
- اللوازم: أوراق رسم، آلة حاسبة، جهاز إسقاط (Data Show)، حاسوب.
- أسئلة حول التطبيق:
- تبلغ سرعة طيران إحدى الطائرات في الهواء الساكن 850 km/h .
- عند انطلاقها باتجاه الشرق واجهت هواء بسرعة 50 km/h اتجاهه 40° من الجنوب إلى الغرب.
- a عبّر عن كلٍّ من المتجهين بزوج مرتّب لكي تنطلق الطائرة باتجاه الشرق.
- b أوجد مجموع المتجهين وطول المتجه الناتج.
- c قم بزيارة لإحدى شركات الطيران واسأل أحد الطيارين عن كيفية حساب الاتجاه المناسب للطائرة أثناء الإقلاع وتأثير الهواء على ذلك ثم اسأله عن السرعة الأرضية للطائرة.
التقرير: اكتب تقريرًا مفصّلًا يبيّن كيف استفدت من دروس هذه الوحدة ومن لقائك مع قائد الطائرة لتنفيذ المشروع. ادعم تقريرك بعرض على الحاسوب أو بواسطة جهاز الإسقاط (Data show) لتبيّن عملك بشكل أوضح.(ص 167)
أين أنت الآن (المعارف السابقة المكتسبة)
تعلمت الهندسة الإحداثية وقوانينها.
تعلمت إحداثيات النقطة في المستوي.
تعلمت الجذور التربيعية.
تعلمت النسب المثلثية ومقلوباتها.
أضف إلى معلوماتك
ساهم الفلكي وليم هاملتون William Hamilton في تطوير حساب المتجهات. وهو أول من استخدم سنة 1843 تعبير متجه «Vector» وهو كلمة مشتقة من اللاتينية وتعني «الذي ينقل».
كذلك استخدم الرسام شفروي (1786 − 1899) «Chevreuil» معادلة تسمح بتركيب أكثر من ألف لون انطلاقًا من الألوان: الأزرق b، الأحمر r، الأخضر g:
b < mb⃗ > + r < mr⃗ > + g < mg⃗ > = 0⃗حيث b, r, g نسب الألوان الثلاث للحصول على اللون الجديد m.
الكميات القياسية والكميات المتجهة — Scalar Quantities and Oriented Quantities(ص 169)
تقسم الكميات إلى نوعين:
«كميات قياسية» (عددية): هي كميات يلزم لتعريفها مقدار عددي ووحدة قياس.
مثل: الحرارة — المسافة — العمر — الحجم — الزمن — الكتلة.
فمثلًا طول مسطرة يساوي
30 cm«كميات متجهة»: هي كميات يلزم لتعريفها مقدار عددي واتجاه.
مثل: السرعة — العجلة — الإزاحة — القوة — الوزن.
فمثلًا إذا قلنا أن سيارة تحركت بسرعة
60 km/hفقط فهذا لا يتمم المعنى لأن تحركها قد يكون شمالًا أو في أي اتجاه آخر، وتمثّل مثل هذه الكميات «بقطعة موجهة».
«القطعة الموجهة» لها «نقطة بداية» P و«نقطة نهاية» Q .
PQ⃗ويمثّل هذا الرمز «طول القطعة الموجهة» PQ⃗ أي المسافة بين نقطة البداية P ونقطة النهاية Q .
‖PQ⃗‖«اتجاه» PQ⃗ هو من P إلى Q .
القطعة الموجهة QP⃗ لها طول PQ⃗ نفسه ولكن في «الاتجاه المعاكس» أي من Q إلى P .
متجه الموضع — Position Vector(ص 170)
تعريف: AB⃗ قطعة موجهة في المستوى الإحداثي
حيث
A(xA , yA) ، B(xB , yB)متجه الموضع لهذه القطعة هو القطعة الموجهة
OM⃗حيث
M(xB − xA , yB − yA)
مثال (1): ليكن
A(2 , −1) ، B(7 , 3) ، C(4 , 2) ، M(3 , −2)a عيّن الزوج المرتب الذي يمثل متجه الموضع لكل من:
AB⃗ ، BC⃗ ، CA⃗b إذا كان متجه الموضع OM⃗ يمثّل القطعة الموجهة AE⃗ ، فأوجد إحداثيات E .
الحل: a متجه الموضع للقطعة AB⃗ يمثّله:
(xB − xA , yB − yA) = (7 − 2 , 3 − (−1)) = (5 , 4)متجه الموضع للقطعة BC⃗ يمثّله:
(xC − xB , yC − yB) = (4 − 7 , 2 − 3) = (−3 , −1)متجه الموضع للقطعة CA⃗ يمثّله:
(xA − xC , yA − yC) = (2 − 4 , −1 − 2) = (−2 , −3)b الزوج المرتب (3 , −2) يمثّل AE⃗ وبفرض أن E(x , y)
يكون متجه الموضع للقطعة الموجهة AE⃗ يمثّله:
(x − 2 , y + 1)من تساوي الأزواج المرتبة:
(x − 2 , y + 1) = (3 , −2)x − 2 = 3 ⟹ x = 5y + 1 = −2 ⟹ y = −3∴ E(5 , −3)
تكافؤ قطعتين موجهتين — Two Equivalent Oriented Segments(ص 171)
تكون قطعتان موجهتان متكافئتان إذا كان لهما الطول نفسه والاتجاه نفسه.
ولكل قطعتين موجهتين متكافئتين متجه الموضع نفسه.
فمثلًا من الشكل المرسوم AB⃗ ، CD⃗ قطعتين موجهتين متكافئتين و OM⃗ متجه الموضع لهما.
مجموعة كل القطع الموجهة المكافئة للقطعة الموجهة PQ⃗ تكوّن «المتجه» PQ⃗ .
ويرمز له بالرمز
< PQ⃗ >حيث طوله واتجاهه هما طول القطعة الموجهة PQ⃗ واتجاهها.
ويوجد عدد لا نهائي من القطع الموجهة لها الطول والاتجاه نفسه.
إذا كان OM⃗ متجه الموضع حيث M(x_M , y_M) ، فيرمز لهذا المتجه بالرمز
M⃗ويكتب على الصورة
M⃗ = < xM , yM >وتسمى x_M ، y_M «مركبتي» المتجه M⃗ .
x_M المركبة الأفقية (السينية)، و y_M المركبة الرأسية (الصادية) للمتجه M⃗ .
مثال (2): إذا كانت
K(−2 , 3) ، L(2 , −4) ، P(0 , 3)فأوجد مركبات كلّ من المتجهات التالية:
< LP⃗ > ، < PK⃗ > ، < KL⃗ >الحل:
< KL⃗ > = < xL − xK , yL − yK > = < 2 − (−2) , −4 − 3 > = < 4 , −7 >∴ المركبة السينية
4المركبة الصادية
−7< PK⃗ > = < xK − xP , yK − yP > = < −2 − 0 , 3 − 3 > = < −2 , 0 >∴ المركبة السينية
−2المركبة الصادية
0< LP⃗ > = < xP − xL , yP − yL > = < 0 − 2 , 3 − (−4) > = < −2 , 7 >∴ المركبة السينية
−2المركبة الصادية
7
طول (معيار) متجه واتجاهه — Length (Magnitude) of a Vector and its Direction(ص 172)
تعريف: لكل متجه
U⃗ = < x , y >معيار (طول) يرمز له بالرمز
‖U⃗‖ويعطى بالعلاقة:
‖U⃗‖ = √(x² + y²)يحدد اتجاه المتجه U⃗ بالزاوية الموجهة θ التي يصنعها المتجه مع الاتجاه الموجب لمحور السينات
حيث
0° ≤ θ < 360°
إذا كانت α زاوية الإسناد للزاوية θ فإن:
θ = { α : x > 0 و y > 0 ، 180° − α : x < 0 و y > 0 ، 180° + α : x < 0 و y < 0 ، 360° − α : x > 0 و y < 0 }وتحدد زاوية الإسناد α بالعلاقة:
tan α = |y/x|
ملاحظة: يمكن أن تكون قياسات الزوايا بالتقدير الستيني أو التقدير الدائري.
للتحويل بين القياسين الستيني والدائري نستخدم المعادلة
α/180 = β/πحيث α بالدرجات، و β بالراديان.
استخدام الآلة الحاسبة: مثال لإيجاد قياس الزاوية θ إذا كانت
tan θ = 3/2اضغط على shift ثم tan فيظهر على الشاشة
tan⁻¹ثم أدخل
3/2يظهر على الشاشة
56.30993247اضغط على المفتاح ° ′ ″ فيظهر على الشاشة
56° 18′ 35.76″
مثال (3): لكل من المتجهات التالية ارسم متجه الموضع ثم أوجد طول (معيار) المتجه وقياس الزاوية θ التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور السينات. (استخدم آلتك الحاسبة).
a
u⃗ = < 2 , 3 >b
v⃗ = < −√2 , 2 >c
w⃗ = < 1 , −3 >d
t⃗ = < −3 , −1 >الحل: a
u⃗ = < 2 , 3 >‖u⃗‖ = √((2)² + (3)²) = √13 unitsنفرض أن θ هو قياس الزاوية التي يصنعها u⃗ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات وزاوية الاسناد α .
tan α = |y/x| = |3/2| = 3/2باستخدام الآلة الحاسبة
α ≈ 56° 18′ 35.76″∵ x > 0 ، y > 0 ∴ θ = α∴ θ ≈ 56° 18′ 35.76″
b
v⃗ = < −√2 , 2 >‖v⃗‖ = √((−√2)² + (2)²) = √6 unitsنفرض أن θ هو قياس الزاوية التي يصنعها v⃗ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات وأن زاوية الإسناد α
tan α = |y/x| = |2/(−√2)| = +√2باستخدام الآلة الحاسبة
∴ α ≈ 54° 44′ 8.2″∵ x < 0 ، y > 0 ∴ θ = 180° − α∴ θ ≈ 125° 15′ 51.8″
c
w⃗ = < 1 , −3 >‖w⃗‖ = √(1 + (−3)²) = √10 unitsنفرض أن θ هو قياس الزاوية التي يصنعها w⃗ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات وأن زاوية الإسناد α
tan α = |y/x| = |−3/1| = 3∴ α ≈ 71° 33′ 54.18″∵ x > 0 ، y < 0 ∴ θ = 360° − αباستخدام الآلة الحاسبة
∴ θ ≈ 288° 26′ 5.32″
d
t⃗ = < −3 , −1 >‖t⃗‖ = √((−3)² + (−1)²) = √10 unitsنفرض أن θ هو قياس الزاوية التي يصنعها t⃗ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات وأن زاوية الإسناد α
tan α = |y/x| = |−1/−3| = 1/3∴ α ≈ 18° 26′ 5.82″∵ x < 0 ، y < 0 ∴ θ = 180° + α∴ θ ≈ 198° 26′ 5.82″
ملاحظة: 1 المتجه
u⃗ = < x , 0 >هو متجه موضع بدايته نقطة الأصل
O(0 , 0)ونهايته
M(x , 0)ومعياره
|x|وحدة طول.
إذا كانت x > 0 ، فإن قياس الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور السينات هو
θ = 0أما إذا كانت x < 0 ، فإن قياس الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور السينات هو
θ = π
2 المتجه
v⃗ = < 0 , y >هو متجه موضع بدايته نقطة الأصل ونهايته
N(0 , y)ومعياره
|y|وحدة طول.
فإذا كانت y > 0 ، فإن قياس الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور السينات هو
θ = π/2أما إذا كانت y < 0 ، فإن قياس الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور السينات هو
θ = 3π/2
3 المتجه < 0 , 0 > هو متجه معياره صفر وليس له اتجاه معلوم ويرمز له بالرمز
0⃗معلومة: المتجه
i⃗ = < 1 , 0 >هو متجه الوحدة الأساسي في اتجاه محور السينات.
معلومة: المتجه
j⃗ = < 0 , 1 >هو متجه الوحدة الأساسي في اتجاه محور الصادات.
معلومة: لكل نقطة A في المستوى يكون AA⃗ متجهًا صفريًا.
متجه الوحدة — The Unit Vector(ص 175)
تعريف: المتجه
U⃗ = < x , y >هو متجه وحدة إذا كان معياره يساوي الوحدة أي أن:
‖U⃗‖ = √(x² + y²) = 1فمثلًا
< 4/5 , 3/5 >< −1 , 0 >< 0 , 1 >< 1 , 0 >هي متجهات وحدة.
مثال (4): إذا كان
u⃗ = < 2/√5 , y >فأوجد قيمة y بحيث يصبح u⃗ متجه وحدة.
الحل: يكون u⃗ متجه وحدة عندما:
‖u⃗‖ = √(x² + y²) = 1√((2/√5)² + y²) = 1بتربيع طرفي المعادلة
4/5 + y² = 1y² = 1 − 4/5y² = 1/5∴ y = 1/√5 أو y = −1/√5
تساوي متجهين — Two Equal Vectors(ص 176)
ليكن:
A⃗ = < xA , yA > ، B⃗ = < xB , yB >A⃗ = B⃗ ⟺ xA = xB ، yA = yBونلاحظ أن المتجهات المتساوية لها نفس الطول ونفس الاتجاه.
مثال (5): إذا كانت
S(−1 , 6) ، R(−4 , 2) ، P(3 , 4) ، O(0 , 0)في المستوى الإحداثي فأثبت أن:
< RS⃗ > = < OP⃗ >الحل: نوجد المركبات السينية والمركبات الصادية لكل من المتجهين:
< RS⃗ > = < xS − xR , yS − yR > = < −1 − (−4) , 6 − 2 > = < 3 , 4 >< OP⃗ > = < xP − xO , yP − yO > = < 3 − 0 , 4 − 0 > = < 3 , 4 >للمتجهين المركبات نفسها
∵المتجهان متساويان:
∴ < RS⃗ > = < OP⃗ >
مثال (6): ليكن المتجهان
A⃗ = < 2x + 1 , 3y − 1 > ، B⃗ = < 3 , 2 >حيث x ، y عددان حقيقيان.
أوجد قيمتا x , y اللتين تحققان
A⃗ = B⃗الحل:
A⃗ = B⃗ ⟹ 2x + 1 = 3 ، 3y − 1 = 22x + 1 = 3 ⟹ 2x = 2 ⟹ x = 13y − 1 = 2 ⟹ 3y = 3 ⟹ y = 1∴ x = 1 ، y = 1
المتجه المعاكس — The Opposite Vector(ص 177)
إذا كان
u⃗ = < a , b >فإن المتجه
v⃗ = < −a , −b >هو «المتجه المعاكس» لـ u⃗
مركبات المتجه المعاكس هي المعكوس الجمعي لمركبات المتجه.
المتجه < BA⃗ > هو متجه معاكس للمتجه < AB⃗ >
< AB⃗ > = − < BA⃗ >
مثال (7): في الشكل المقابل أوجد: a متجهين متساويين. b متجهين متعاكسين.
الحل: a من الرسم المقابل يبدو أن CD⃗ ، LG⃗ متساويان.
للتحقق نبدأ أولًا بقراءة إحداثيات كل من النقاط C, L, D, G ثم نوجد مركبات كل من المتجهين
< CD⃗ > ، < LG⃗ >∵ C(1 , 1) ، D(2 , 3)∴ < CD⃗ > = < xD − xC , yD − yC > = < 1 , 2 >∵ L(3 , 1) ، G(4 , 3)∴ < LG⃗ > = < xG − xL , yG − yL > = < 1 , 2 >∴ < CD⃗ > = < LG⃗ >
b من الشكل يبدو أن
< AB⃗ > ، < HE⃗ >متعاكسان. نكرر الخطوات التي اتبعت في a .
∵ A(1 , 3) ، B(2 , 1)< AB⃗ > = < xB − xA , yB − yA > = < 1 , −2 >∵ E(3 , 3) ، H(4 , 1)∴ < HE⃗ > = < xE − xH , yE − yH > = < −1 , 2 >مركبات < AB⃗ > هي المعكوس الجمعي لمركبات < HE⃗ >
∴نستنتج أن المتجهين < AB⃗ > ، < HE⃗ > متعاكسان.
∴
ضرب متجه في عدد حقيقي — Multiplying a Vector by a Real Number(ص 178)
u⃗ متجه غير صفري، k عدد حقيقي غير صفري
(k ∈ ℝ*)إن ناتج ضرب المتجه u⃗ بالعدد k هو متجه ونرمز إليه بـ
ku⃗∵ u⃗ = < x , y > ∴ ku⃗ = < kx , ky >
ملاحظة: إذا كان
u⃗ = 0⃗أو
k = 0فإن
ku⃗ = 0⃗والعكس صحيح.
يكون للمتجهين u⃗ ، ku⃗ «الاتجاه نفسه» إذا كان k > 0
ويكون ku⃗ في «الاتجاه المعاكس للمتجه» u⃗ إذا كان k < 0
تعطى العلاقة بين طولي المتجهين u⃗ ، ku⃗ كالتالي:
‖ku⃗‖ = |k| ‖u⃗‖
تذكّر: تمثل |k| القيمة المطلقة للعدد الحقيقي k .
وتعرف كما يلي:
|k| = kk > 00k = 0−kk < 0
خواص: 1 يكون للمتجهين غير الصفريين < CD⃗ > ، < AB⃗ > الاتجاه نفسه إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي «موجب» k يحقق
< AB⃗ > = k < CD⃗ >2 يكون للمتجهين غير الصفريين < CD⃗ > ، < AB⃗ > اتجاهين متعاكسين إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي «سالب» k يحقق
< AB⃗ > = k < CD⃗ >3 تكون النقاط A, B, C على استقامة واحدة إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي غير صفري k يحقق
< AB⃗ > = k < AC⃗ >
مثال (8): إذا كان
A⃗ = < −1 , 2 >فأوجد: a 2A⃗ ، b −A⃗ ، c 0.5A⃗
الحل: a
2A⃗ = < 2(−1) , 2(2) > = < −2 , 4 >b
−A⃗ = < −(−1) , −(2) > = < 1 , −2 >c
0.5A⃗ = < 0.5(−1) , 0.5(2) > = < −0.5 , 1 >
مثال (9): باستخدام خواص المتجهات أثبت أن النقاط
A(2 , 3) ، B(−2 , 5) ، C(10 , −1)على استقامة واحدة.
الحل: لكي نثبت أن النقاط A, B, C على استقامة واحدة نحدد أحد المتجهات وليكن AB⃗ ثم نبحث عن متجه آخر يساوي
k < AB⃗ >حيث k عدد حقيقي غير صفري.
< AB⃗ > = < xB − xA , yB − yA > = < −2 − 2 , 5 − 3 >= < −4 , 2 >نختبر المتجه
< AC⃗ >< AC⃗ > = < xC − xA , yC − yA > = < 10 − 2 , −1 − 3 >= < 8 , −4 >∵ < AC⃗ > = −2 < AB⃗ >أي أن
< AC⃗ > = k < AB⃗ >النقاط A, B, C على استقامة واحدة.
∴
مثال (10): ABC مثلث
a ارسم
< CC₁⃗ > بحيث < CC₁⃗ > = 3 < CA⃗ >b ارسم
< AB₁⃗ > بحيث < AB₁⃗ > = −2 < AB⃗ >الحل: a
< CC₁⃗ > = 3 < CA⃗ >عدد موجب
∵ k = 3لهما الاتجاه نفسه.
∴ < CC₁⃗ > ، < CA⃗ >C نقطة مشتركة
⟸ C₁ ∈ CA⃗إذن C₁, A, C على استقامة واحدة
∴نرسم على CA⃗ النقطة C₁ بحيث إن
‖CC₁⃗‖ = 3‖CA⃗‖فيكون < CC₁⃗ > في نفس اتجاه < CA⃗ >
b
< AB₁⃗ > = −2 < AB⃗ >عدد سالب
∵ k = −2لهما اتجاهان متعاكسان
∴ < AB₁⃗ > ، < AB⃗ >A نقطة مشتركة
∵∴ B₁ ∈ BA⃗|k| = 2نرسم على BA⃗ النقطة B₁ بحيث إن
‖AB₁⃗‖ = 2‖AB⃗‖فيكون < AB₁⃗ > في اتجاه معاكس للمتجه < AB⃗ >
حل المسائل على السبورة
شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.
المسألة · الكتاب ص 174
ارسم متجه الموضع للمتجه v⃗ = < −√2 , 2 > ثم أوجد طول (معيار) المتجه وقياس الزاوية θ التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.
المعطيات
- v⃗ = < −√2 , 2 >من هنا
- ‖U⃗‖ = √(x² + y²)
- tan α = |y/x|
- ‖v⃗‖ = √((−√2)² + (2)²) = √6 unitsقانون المعيار
المعلم: اِبْدَأْ بِالمِعْيارِ. رَبِّعِ المُرَكِّبَتَيْنِ: مُرَبَّعُ سالِبِ جَذْرِ اثْنَيْنِ يُساوِي اثْنَيْنِ، وَمُرَبَّعُ اثْنَيْنِ يُساوِي أَرْبَعَةً، وَالمَجْمُوعُ سِتَّةٌ.
الخطوة 1 من 5
الملخص
- الكمية القياسية يلزم لتعريفها مقدار عددي ووحدة قياس، والكمية المتجهة يلزم لتعريفها مقدار عددي واتجاه.
- متجه الموضع للقطعة الموجهة AB⃗ هو OM⃗ حيث M(x_B − x_A , y_B − y_A) ؛ أي: نهاية ناقص بداية.
- قطعتان موجهتان متكافئتان إذا كان لهما الطول نفسه والاتجاه نفسه، ولهما متجه الموضع نفسه، والشكل ABDC عندئذ متوازي أضلاع.
- المتجه هو مجموعة غير منتهية من القطع الموجهة المتكافئة والتي أحدها متجه الموضع، ويكتب M⃗ = < x_M , y_M > .
- معيار المتجه ‖U⃗‖ = √(x² + y²) ، واتجاهه بالزاوية θ حيث 0° ≤ θ < 360° ، وتحدد زاوية الإسناد بالعلاقة tan α = |y/x| .
- θ = α في الربع الأول، و 180° − α في الثاني، و 180° + α في الثالث، و 360° − α في الرابع.
- متجه الوحدة معياره يساوي الوحدة، والمتجهان متساويان إذا تساوت مركباتهما، والمتجه المعاكس مركباته المعكوس الجمعي لمركبات المتجه.
- ku⃗ = < kx , ky > ، و ‖ku⃗‖ = |k| ‖u⃗‖ ، والاتجاه نفسه إذا k > 0 ومعاكس إذا k < 0 ، والنقاط A, B, C على استقامة واحدة إذا وجد k غير صفري يحقق < AB⃗ > = k < AC⃗ > .
الأفكار الرئيسية
- المتجه ليس قطعة واحدة بل مجموعة لا نهائية من القطع الموجهة المتكافئة، فالموضع لا يهم وإنما الطول والاتجاه.
- مركبتا المتجه تُحسبان دائمًا بقاعدة «نهاية ناقص بداية»، ومنهما يُحسب الطول بفيثاغورس ويُحدَّد الاتجاه بزاوية الإسناد.
- ضرب المتجه في عدد حقيقي يغيّر الطول بمقدار |k| ، ويحفظ الاتجاه إذا كان k موجبًا ويعكسه إذا كان سالبًا.
الأسئلة المهمة
ما الفرق بين الكمية القياسية والكمية المتجهة؟ مع مثالين لكل منهما.
الكميات القياسية (العددية) هي كميات يلزم لتعريفها مقدار عددي ووحدة قياس، مثل الحرارة والمسافة والعمر والحجم والزمن والكتلة. والكميات المتجهة هي كميات يلزم لتعريفها مقدار عددي واتجاه، مثل السرعة والعجلة والإزاحة والقوة والوزن.
الكتاب صفحة 169
عرّف متجه الموضع، وكيف تجده للقطعة الموجهة AB⃗ ؟
القطعة الموجهة OM⃗ التي بدايتها نقطة الأصل ونهايتها M(x , y) تسمى متجه الموضع ويمثّلها الزوج المرتب (x , y) . وإذا كانت AB⃗ قطعة موجهة حيث A(x_A , y_A) و B(x_B , y_B) فإن متجه الموضع لها هو OM⃗ حيث M(x_B − x_A , y_B − y_A) .
الكتاب صفحة 170
متى تكون قطعتان موجهتان متكافئتين؟ وماذا نستنتج عن الشكل ABDC ؟
تكون قطعتان موجهتان متكافئتين إذا كان لهما الطول نفسه والاتجاه نفسه، ولكل قطعتين موجهتين متكافئتين متجه الموضع نفسه. وإذا كانت AB⃗ ، CD⃗ متكافئتين فإن الشكل ABDC هو متوازي أضلاع حيث النقاط A, B, C, D ليست على استقامة واحدة.
الكتاب صفحة 171
عرّف المتجه، وما مركبتاه؟
المتجه هو مجموعة غير منتهية من القطع الموجهة المتكافئة والتي أحدها متجه الموضع. وإذا كان OM⃗ متجه الموضع حيث M(x_M , y_M) فيكتب M⃗ = < x_M , y_M > ، وتسمى x_M ، y_M مركبتي المتجه: x_M المركبة الأفقية (السينية) و y_M المركبة الرأسية (الصادية).
الكتاب صفحة 171
كيف تحدد قياس الزاوية θ التي يصنعها متجه مع الاتجاه الموجب لمحور السينات؟
نجد أولًا زاوية الإسناد α من العلاقة tan α = |y/x| ، ثم ننظر إلى إشارتي المركبتين: θ = α عندما x > 0 و y > 0 ، و θ = 180° − α عندما x < 0 و y > 0 ، و θ = 180° + α عندما x < 0 و y < 0 ، و θ = 360° − α عندما x > 0 و y < 0 ، حيث 0° ≤ θ < 360° .
الكتاب صفحة 172
ما شرط أن تكون النقاط A, B, C على استقامة واحدة بدلالة المتجهات؟
تكون النقاط A, B, C على استقامة واحدة إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي غير صفري k يحقق < AB⃗ > = k < AC⃗ > .
الكتاب صفحة 179
اختبار الدرس
أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.
الواجب
أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.
مصطلحات الدرس
- عدد قياسي Scalar Number
- الكميات القياسية (العددية) هي كميات يلزم لتعريفها مقدار عددي ووحدة قياس، مثل الحرارة والمسافة والعمر والحجم والزمن والكتلة.
- القطعة الموجهة Oriented Segment
- قطعة لها نقطة بداية P ونقطة نهاية Q ، طولها ‖PQ⃗‖ هو المسافة بين نقطة البداية ونقطة النهاية، واتجاهها من P إلى Q .
- متجه الموضع Position Vector
- القطعة الموجهة OM⃗ التي بدايتها نقطة الأصل ونهايتها M(x , y) ، ويمثّلها الزوج المرتب (x , y) .
- قطعتان موجهتان متكافئتان Two Equivalent Oriented Segments
- قطعتان موجهتان لهما الطول نفسه والاتجاه نفسه، ولهما متجه الموضع نفسه.
- متجه Vector
- مجموعة غير منتهية من القطع الموجهة المتكافئة والتي أحدها متجه الموضع، ويكتب M⃗ = < x_M , y_M > .
- طول المتجه Length of the Vector
- المعيار ‖U⃗‖ للمتجه U⃗ = < x , y > ويعطى بالعلاقة ‖U⃗‖ = √(x² + y²) .
- متجه الوحدة The Unit Vector
- المتجه U⃗ = < x , y > الذي معياره يساوي الوحدة، أي ‖U⃗‖ = √(x² + y²) = 1 .
- متجه معاكس Opposite Vector
- إذا كان u⃗ = < a , b > فإن v⃗ = < −a , −b > هو المتجه المعاكس له، ومركباته المعكوس الجمعي لمركبات المتجه، و < AB⃗ > = − < BA⃗ > .
تمارين الكتاب كاملة
كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 19 تمرينًا.
مشروع الوحدة — أسئلة حول التطبيق aتبلغ سرعة طيران إحدى الطائرات في الهواء الساكن 850 km/h. عند انطلاقها باتجاه الشرق واجهت هواء بسرعة 50 km/h اتجاهه 40° من الجنوب إلى الغرب. عبّر عن كلٍّ من المتجهين بزوج مرتّب لكي تنطلق الطائرة باتجاه الشرق.(ص 167)
نجعل الاتجاه الموجب لمحور السينات نحو الشرق والاتجاه الموجب لمحور الصادات نحو الشمال. متجه الطائرة في الهواء الساكن وهي متجهة شرقًا: < 850 , 0 > . أما متجه الهواء فطوله 50 واتجاهه 40° من الجنوب إلى الغرب كما في شكل الكتاب، فمركبته السينية غربية سالبة ومركبته الصادية جنوبية سالبة: < −50 sin 40° , −50 cos 40° > = < −32.14 , −38.30 > تقريبًا.
مشروع الوحدة — أسئلة حول التطبيق bأوجد مجموع المتجهين وطول المتجه الناتج.(ص 167)
نجمع المتجهين مركبةً مركبةً: < 850 , 0 > + < −32.14 , −38.30 > = < 817.86 , −38.30 > تقريبًا. ثم نوجد طول المتجه الناتج بقانون المعيار ‖U⃗‖ = √(x² + y²) فيكون ‖U⃗‖ = √((817.86)² + (−38.30)²) = √670362 ≈ 818.76 km/h . أي إن السرعة الأرضية للطائرة تقل قليلًا عن سرعتها في الهواء الساكن، وتنزاح قليلًا نحو الجنوب.
مشروع الوحدة — أسئلة حول التطبيق cقم بزيارة لإحدى شركات الطيران واسأل أحد الطيارين عن كيفية حساب الاتجاه المناسب للطائرة أثناء الإقلاع وتأثير الهواء على ذلك ثم اسأله عن السرعة الأرضية للطائرة.(ص 167)
نشاط عملي: يزور الطالب إحدى شركات الطيران ويسأل أحد الطيارين عن كيفية حساب الاتجاه المناسب للطائرة عند الإقلاع وعن تأثير الهواء عليه وعن السرعة الأرضية، ثم يضمّن نتائج اللقاء في التقرير المطلوب في الخطوة 5 من المشروع.
فلنعمل معًا — 1في الشكل المقابل، القطع المستقيمة المتساوية الطول مبيّنة. حدّد ثلاثة متوازي أضلاع في الشكل.(ص 169)
من علامات التساوي في الشكل: AB = BC = FD ، و AF = FE = BD ، و FB = DE = CD . فالأشكال الثلاثة هي: ABDF (لأن AB ∥ FD و AB = FD ، و AF ∥ BD و AF = BD) ، و BCDF (لأن BC ∥ FD و BC = FD ، و BF ∥ CD و BF = CD) ، و FBDE (لأن FB ∥ ED و FB = ED ، و BD ∥ FE و BD = FE) .
فلنعمل معًا — 2 aأكمل: في الانسحاب الذي يحوّل A إلى B ، يحوّل... إلى...، ويحوّل... إلى... .(ص 169)
في الانسحاب الذي يحوّل A إلى B ، يحوّل B إلى C ، ويحوّل F إلى D ؛ لأن القطع AB و BC و FD متساوية الطول ومتوازية وفي الاتجاه نفسه.
فلنعمل معًا — 2 bأكمل: في الانسحاب الذي يحوّل... إلى...، يحوّل... إلى...، ويحوّل F إلى B .(ص 169)
في الانسحاب الذي يحوّل E إلى D ، يحوّل D إلى C ، ويحوّل F إلى B ؛ لأن القطع ED و DC و FB متساوية الطول ومتوازية وفي الاتجاه نفسه.
فلنعمل معًا — 2 cأكمل: في الانسحاب الذي يحوّل... إلى...، يحوّل F إلى E ويحوّل... إلى... .(ص 169)
في الانسحاب الذي يحوّل A إلى F ، يحوّل F إلى E ويحوّل B إلى D ؛ لأن القطع AF و FE و BD متساوية الطول ومتوازية وفي الاتجاه نفسه.
فلنعمل معًا — 3في السؤال 2 a أكمل النص بعد تبديل B , A .(ص 169)
في الانسحاب الذي يحوّل B إلى A ، يحوّل C إلى B ، ويحوّل D إلى F ؛ فتبديل نقطتي البداية والنهاية يعكس اتجاه الانسحاب ويبقي طوله.
فلنعمل معًا — 4ما العلاقة بين الانسحاب الذي يحوّل E إلى B ثم B إلى F والانسحاب الذي يحول E إلى F ؟(ص 169)
الانسحابان المتتاليان — الذي يحوّل E إلى B ثم الذي يحوّل B إلى F — ناتجهما هو الانسحاب نفسه الذي يحوّل E إلى F مباشرة؛ أي أن تركيب الانسحابين انسحاب واحد من نقطة البداية الأولى إلى نقطة النهاية الأخيرة.
حاول أن تحل 1ليكن: A(1 , −3) , B(2 ,2) , C(2 ,3) , D(−2 , −1) . a عيّن الزوج المرتب الذي يمثّل متجه الموضع لكل من: AB⃗ , BD⃗ . b متجه الموضع DC⃗ يمثّل القطعة الموجهة KD⃗ . أوجد إحداثيات K .(ص 171)
a متجه الموضع للقطعة AB⃗ يمثّله (x_B − x_A , y_B − y_A) = (2 − 1 , 2 − (−3)) = (1 ,5) . ومتجه الموضع للقطعة BD⃗ يمثّله (x_D − x_B , y_D − y_B) = (−2 − 2 , −1 −2) = (−4 , −3) . b متجه الموضع للقطعة DC⃗ يمثّله (x_C − x_D , y_C − y_D) = (2 − (−2) , 3 − (−1)) = (4 ,4) . وبفرض أن K(x , y) يكون متجه الموضع للقطعة KD⃗ هو (x_D − x_K , y_D − y_K) = (−2 − x , −1 − y) . ومن تساوي الأزواج المرتبة: −2 − x = 4 ⟹ x = −6 ، و −1 − y = 4 ⟹ y = −5 . ∴ K(−6 , −5) .
حاول أن تحل 2إذا كانت F(5 , 13) , E(3 , 11) , D(−2 , −7) فأوجد مركبات كل من المتجهات التالية: < DE⃗ > , < ED⃗ > , < EF⃗ > .(ص 172)
< DE⃗ > = < x_E − x_D , y_E − y_D > = < 3 − (−2) , 11 − (−7) > = < 5 , 18 > . < ED⃗ > = < x_D − x_E , y_D − y_E > = < −2 − 3 , −7 − 11 > = < −5 , −18 > . < EF⃗ > = < x_F − x_E , y_F − y_E > = < 5 − 3 , 13 − 11 > = < 2 , 2 > . ونلاحظ أن < ED⃗ > = − < DE⃗ > فهما متعاكسان.
حاول أن تحل 3لكل من المتجهات التالية ارسم متجه الموضع ثم أوجد معيار المتجه وقياس الزاوية θ التي يصنعها المتجه مع الاتجاه الموجب لمحور السينات: a m⃗ = < 2 , 2 > , b n⃗ = < −1 , −2 > , c p⃗ = < −2 , 3 > , d q⃗ = < 1 , −4 > .(ص 174)
a ‖m⃗‖ = √(2² + 2²) = √8 units ، و tan α = |2/2| = 1 ⟹ α = 45° ، و ∵ x > 0 ، y > 0 ∴ θ = α = 45° . b ‖n⃗‖ = √((−1)² + (−2)²) = √5 units ، و tan α = |−2/−1| = 2 ⟹ α ≈ 63° 26′ 5.82″ ، و ∵ x < 0 ، y < 0 ∴ θ = 180° + α ≈ 243° 26′ 5.82″ . c ‖p⃗‖ = √((−2)² + 3²) = √13 units ، و tan α = |3/−2| = 3/2 ⟹ α ≈ 56° 18′ 35.76″ ، و ∵ x < 0 ، y > 0 ∴ θ = 180° − α ≈ 123° 41′ 24.24″ . d ‖q⃗‖ = √(1² + (−4)²) = √17 units ، و tan α = |−4/1| = 4 ⟹ α ≈ 75° 57′ 49.52″ ، و ∵ x > 0 ، y < 0 ∴ θ = 360° − α ≈ 284° 2′ 10.48″ .
حاول أن تحل 4إذا كان v⃗ = < x , 12/13 > . فأوجد قيمة x بحيث يصبح v⃗ متجه وحدة.(ص 176)
يكون v⃗ متجه وحدة عندما ‖v⃗‖ = √(x² + y²) = 1 ، أي √(x² + (12/13)²) = 1 . وبتربيع طرفي المعادلة: x² + 144/169 = 1 ⟹ x² = 1 − 144/169 = 25/169 . ∴ x = 5/13 أو x = −5/13 .
حاول أن تحل 5إذا كانت A(0 ,1) , B(1 ,3) , C(3 ,6) , D(4 ,8) في المستوى الإحداثي فأثبت أن: < CD⃗ > = < AB⃗ > .(ص 176)
نوجد المركبات السينية والصادية لكل من المتجهين: < AB⃗ > = < x_B − x_A , y_B − y_A > = < 1 − 0 , 3 − 1 > = < 1 , 2 > ، و < CD⃗ > = < x_D − x_C , y_D − y_C > = < 4 − 3 , 8 − 6 > = < 1 , 2 > . ∵ للمتجهين المركبات نفسها ∴ المتجهان متساويان: < CD⃗ > = < AB⃗ > .
حاول أن تحل 6ليكن المتجهان A⃗ = < −2x + 3 , 4y − 1 > , B⃗ = < −1 , 3 > ، حيث x , y عددان حقيقيان. أوجد قيمتا x , y اللتين تحققان A⃗ = B⃗ .(ص 177)
A⃗ = B⃗ ⟹ −2x + 3 = −1 ، 4y − 1 = 3 . −2x + 3 = −1 ⟹ −2x = −4 ⟹ x = 2 . 4y − 1 = 3 ⟹ 4y = 4 ⟹ y = 1 . ∴ x = 2 ، y = 1 .
حاول أن تحل 7ارسم متجه الموضع للمتجه u⃗ حيث مركباته < 1 , 2 > . من النقطة A(2 , −1) ارسم متجهًا مساويًا للمتجه u⃗ ومتجهًا معاكسًا للمتجه u⃗ واكتب مركباتهما.(ص 178)
متجه الموضع هو القطعة الموجهة OM⃗ من نقطة الأصل O(0 , 0) إلى النقطة M(1 ,2) . المتجه المساوي: نرسم من A(2 , −1) قطعة موجهة AB⃗ لها المركبات نفسها < 1 , 2 > ، فتكون نهايتها B(2 + 1 , −1 +2) = B(3 ,1) ، ومركباتها < 1 , 2 > . المتجه المعاكس: مركباته هي المعكوس الجمعي < −1 , −2 > ، فنرسم من A(2 , −1) القطعة الموجهة AC⃗ التي نهايتها C(2 − 1 , −1 −2) = C(1 , −3) ، ومركباتها < −1 , −2 > .
حاول أن تحل 8إذا كان B⃗ = < 3 , −2 > فأوجد: a 3B⃗ , b −5B⃗ , c (3/2)B⃗ .(ص 179)
a 3B⃗ = < 3(3) , 3(−2) > = < 9 , −6 > . b −5B⃗ = < −5(3) , −5(−2) > = < −15 , 10 > . c (3/2)B⃗ = < (3/2)(3) , (3/2)(−2) > = < 9/2 , −3 > .
حاول أن تحل 9باستخدام خواص المتجهات أثبت أن النقاط K(0 , −1) , L(2 , 3) , M(−2 , −5) على استقامة واحدة.(ص 180)
نحدد أحد المتجهات وليكن KL⃗ ثم نبحث عن متجه آخر يساوي k < KL⃗ > حيث k عدد حقيقي غير صفري. < KL⃗ > = < x_L − x_K , y_L − y_K > = < 2 − 0 , 3 − (−1) > = < 2 , 4 > . نختبر المتجه < KM⃗ > = < x_M − x_K , y_M − y_K > = < −2 − 0 , −5 − (−1) > = < −2 , −4 > . ∵ < KM⃗ > = −1 < KL⃗ > أي أن < KM⃗ > = k < KL⃗ > ∴ النقاط K , L , M على استقامة واحدة.
حاول أن تحل 10ABC مثلث، ارسم < AD⃗ > بحيث < AD⃗ > = 3 < AB⃗ > ، ثم ارسم < BH⃗ > بحيث < BH⃗ > = −(3/2) < BC⃗ > .(ص 180)
رسم < AD⃗ > : ∵ k = 3 عدد موجب ∴ < AD⃗ > ، < AB⃗ > لهما الاتجاه نفسه، و A نقطة مشتركة ⟸ D ∈ AB⃗ ∴ D , A , B على استقامة واحدة. نرسم على AB⃗ النقطة D بحيث إن ‖AD⃗‖ = 3‖AB⃗‖ ، فيكون < AD⃗ > في نفس اتجاه < AB⃗ > . رسم < BH⃗ > : ∵ k = −3/2 عدد سالب ∴ < BH⃗ > ، < BC⃗ > لهما اتجاهان متعاكسان، و B نقطة مشتركة ∴ H ∈ CB⃗ ، و |k| = 3/2 . نرسم على CB⃗ النقطة H بحيث إن ‖BH⃗‖ = (3/2)‖BC⃗‖ ، فيكون < BH⃗ > في اتجاه معاكس للمتجه < BC⃗ > .
صفحات الكتاب
صفحات هذا الدرس من كتاب الطالب الرسمي كما هي، صفحات 167 إلى 180.
