الرياضيات

الوحدة 1: الوحدة الأولى: النهايات والاتصال

الدرس 6نظريات الاتصال

من كتاب الطالبالرياضيات — الصف الثاني عشر (علمي) — الفصل الدراسي الأول · من صفحة 55

أهداف الدرس

  • أطبق نظريات الاتصال.
  • أتعرف الدوال المتصلة.
  • أكون الدالة المركبة وأبحث اتصالها.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 360:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 1نظريات الاتصال4:52

مقاطع الدرس

0 من 1 مكتمل

نظريات الاتصال(ص 55)

  1. نظريات الاتصال — Continuous Theorems
  2. سوف تتعلم
  3. نظريات الاتصال.
  4. دوال متصلة.
  5. الدوال المركبة.
  6. اتصال الدوال المركبة.
  7. المفردات والمصطلحات:
  8. دالة متصلة — Continuous Function
  9. دالة مركبة — Composite Function
  1. دعنا نفكر ونتناقش
  2. لتكن الدالة f:
  3. f(x) = x³ − 3x² + 2x
  4. والدالة g:
  5. g(x) = |x − 2|
  6. والدالة q:
  7. q(x) = x² − 5
  8. 1 ابحث اتصال كل من f ، g عند
  9. x = 2
  10. 2 ابحث اتصال كل من
  11. f · q ، f + q
  12. عند
  13. x = 2
  14. 3 لتكن h:
  15. h(x) = f(x)/g(x)
  16. a اكتب h دون استخدام رمز القيمة المطلقة.
  17. b هل الدالة h متصلة عند
  18. x = 2
  19. ؟ ولماذا؟
  1. نظرية (14): خواصّ الدوالّ المتّصلة — Properties of Continuous Functions
  2. إذا كانت f ، g دالتين متصلتين عند
  3. x = c
  4. ، فإنّ الدوال التالية هي دوالّ متّصلة عند
  5. x = c
  6. 1 الجمع:
  7. f + g
  8. 2 الطرح:
  9. f − g
  10. 3 الضرب في ثابت:
  11. k · f ، k ∈ ℝ
  12. 4 الضرب:
  13. f · g
  14. 5 القسمة:
  15. f/g ، g(c) ≠ 0
  1. دوال متّصلة — Continuous Functions
  2. 1 الدالة f:
  3. f(x) = k
  4. حيث k ثابت متصلة عند كل
  5. c ∈ ℝ
  6. 2 الدالة كثيرة الحدود متصلة عند كل
  7. c ∈ ℝ
  8. 3 الدالة الحدودية النسبية
  9. f/g
  10. متصلة عند كل عدد حقيقي c في مجالها أي
  11. c ∈ D
  12. 4 الدالة f:
  13. f(x) = |x|
  14. متصلة عند كل
  15. c ∈ ℝ
  16. 5 الدوال المثلثية الأساسية متصلة عند كل عدد حقيقي c في مجالها أي
  17. c ∈ D
  1. معلومة
  2. تمثّل الأفعوانيّة خطًّا متّصلًا لمسار العربة.
من المصدر الأصلي — PDF55
من المصدر الأصلي — PDF55
  1. مثال (1)
  2. ابحث اتصال الدالة f عند
  3. x = c
  4. في كل مما يلي:
  5. a
  6. f(x) = x² + |x| ، c = −1
  7. b
  8. f(x) = sin x − cos x ، c = π/2
  1. الحل — a
  2. لتكن الدالة g:
  3. g(x) = x²
  4. الدالة h:
  5. h(x) = |x|
  6. الدالة g دالة كثيرة حدود متصلة عند
  7. x = −1
  8. الدالة h دالة مطلق x متصلة عند
  9. x = −1
  10. ∴ دالة الجمع f حيث
  11. f(x) = g(x) + h(x)
  12. هي دالة متصلة عند
  13. x = −1
  14. (نظرية)
  1. الحل — b
  2. لتكن الدالة g:
  3. g(x) = sin x
  4. الدالة h:
  5. h(x) = cos x
  6. الدالة g دالة مثلثية متصلة عند
  7. x = π/2
  8. الدالة h دالة مثلثية متصلة عند
  9. x = π/2
  10. ∴ الدالة f حيث
  11. f(x) = g(x) − h(x)
  12. متصلة عند
  13. x = π/2
  14. (نظرية)
  1. حاول أن تحل — 1
  2. ابحث اتصال الدالة f عند
  3. x = c
  4. في كل مما يلي:
  5. a
  6. f(x) = x² − 4x + 3 + |x| ، c = 3
  7. b
  8. f(x) = (tan x)/(x + 1) ، c = π/4
  1. مثال (2)
  2. ابحث اتصال الدالة f:
  3. f(x) = (x − 2)/(x² + 9) − 1/x
  4. عند
  5. x = 3
  1. الحل — مثال (2)
  2. لتكن الدالة g:
  3. g(x) = (x − 2)/(x² + 9)
  4. الدالة h:
  5. h(x) = 1/x
  6. الدالة g دالة حدودية نسبية متصلة عند
  7. x = 3
  8. (لأن المقام لا يساوي الصفر عند
  9. x = 3
  10. ).
  11. الدالة h دالة حدودية نسبية متصلة عند
  12. x = 3
  13. (لأن المقام لا يساوي الصفر عند
  14. x = 3
  15. ).
  16. ∴ دالة الطرح f حيث
  17. f(x) = g(x) − h(x)
  18. هي دالة متصلة عند
  19. x = 3
  20. (نظرية)
  1. حاول أن تحل — 2
  2. ابحث اتصال الدالة f:
  3. f(x) = (x² − 1)/(x² + 1) − (2x)/(x − 2)
  4. عند
  5. x = 1
  1. اتصال الدوال الجذرية عند نقطة — نظرية (15)
  2. a الدالة الجذرية
  3. y = ⁿ√x
  4. متصلة عند كل
  5. x = c : c ∈ ℝ⁺
  6. ، n عدد صحيح زوجي موجب،
  7. ومتصلة عند كل
  8. x = c : c ∈ ℝ
  9. ، n عدد صحيح فردي أكبر من 1.
  10. b إذا كانت g دالة متصلة عند
  11. x = c
  12. وكانت
  13. g(c) > 0
  14. فإن الدالة:
  15. f(x) = √g(x)
  16. متصلة عند
  17. x = c
  1. مثال (3)
  2. ابحث اتصال كل من الدالتين التاليتين عند العدد المبيّن:
  3. a
  4. f(x) = ∛x/(x² + 1) ، x = 1
  5. b
  6. f(x) = √(x + 3) ، x = −1
  1. الحل — a
  2. لتكن الدالة g:
  3. g(x) = ∛x
  4. الدالة h:
  5. h(x) = x² + 1
  6. g دالة جذرية حيث
  7. n = 3
  8. (عدد صحيح فردي) متصلة عند
  9. x = 1
  10. (نظرية)
  11. h دالة كثيرة حدود متصلة عند
  12. x = 1
  13. وحيث إن
  14. h(1) = 2 ، 2 ≠ 0
  15. ∴ الدالة f حيث
  16. f(x) = g(x)/h(x)
  17. متصلة عند
  18. x = 1
  1. الحل — b
  2. نفرض أن g:
  3. g(x) = x + 3
  4. حيث
  5. x ≥ −3
  6. g دالة متصلة عند
  7. x = −1
  8. وحيث إن
  9. g(−1) = 2 ، 2 > 0
  10. ∴ الدالة f حيث
  11. f(x) = √g(x) = √(x + 3)
  12. متصلة عند
  13. x = −1
  14. (نظرية)
  1. حاول أن تحل — 3
  2. ابحث اتصال كل من الدالتين التاليتين عند
  3. x = −2
  4. a
  5. f(x) = ∛x/(x² + 4)
  6. b
  7. f(x) = √(x² − 4x + 3)
  1. الدالة المركبة — Composite Function
  2. إذا كانت كل من f ، g دالة حقيقية فإننا سنرى من خلال بعض الأمثلة أننا نستطيع تعيين دالة جديدة تنتج من تركيب الدالتين f ، g إذا توفرت بعض الشروط.
  3. لنأخذ على سبيل المثال الدالتين الحقيقيتين:
  4. f : {1,2,3,4} → ℝ
  5. حيث:
  6. f(x) = x − 1
  7. g : {0,1,2,3} → ℝ
  8. g(x) = 3x + 1
  1. تركيب الدالتين
  2. واضح أن:
  3. تحت تأثير الدالة الأولى f
  4. 1 → 1 − 1 = 0
  5. 2 → 2 − 1 = 1
  6. 3 → 3 − 1 = 2
  7. 4 → 4 − 1 = 3
  8. تحت تأثير الدالة الثانية g
  9. 0 → 3 × 0 + 1 = 1
  10. 1 → 3 × 1 + 1 = 4
  11. 2 → 3 × 2 + 1 = 7
  12. 3 → 3 × 3 + 1 = 10
  13. وإذا فرضنا دالة ثالثة تعمل عمل الدالتين f ، g معًا (f ثم g) لوجدنا أنه تحت تأثير هذه الدالة الجديدة:
من المصدر الأصلي — PDF58
من المصدر الأصلي — PDF58
  1. رمز الدالة المركبة
  2. نرمز للدالة الجديدة بالرمز
  3. (g ∘ f)
  4. وتقرأ g بعد f
  5. ويكون:
  6. (g ∘ f)(x) = g(f(x))
  7. (g ∘ f)(1) = g(f(1)) = g(0) = 1
  8. (g ∘ f)(2) = g(f(2)) = g(1) = 4
  9. (g ∘ f)(3) = g(f(3)) = g(2) = 7
  10. (g ∘ f)(4) = g(f(4)) = g(3) = 10
  11. لاحظ أن: مدى الدالة الأولى f هو مجال الدالة الثانية g وإلا لما أمكن تعيين
  12. (g ∘ f)
  13. .
  1. وعمومًا:
  2. إذا كانت كل من f ، g دالتين حقيقيتين وكان مدى الدالة f مجموعة جزئية من مجال الدالة g فإنه يتعين دالة مركبة h:
  3. h(x) = (g ∘ f)(x) = g(f(x))
  4. ستقتصر دراستنا على الدوال القابلة للتركيب.
  1. مثال (4)
  2. الدالتان f ، g معرّفتان على ℝ كما يلي:
  3. f(x) = 1 + x ، g(x) = x² − 1
  4. أوجد:
  5. a
  6. (g ∘ f)(x)
  7. b
  8. (g ∘ f)(2)
  9. c
  10. (f ∘ g)(x)
  11. d
  12. (f ∘ g)(2)
  1. الحل — مثال (4)
  2. a
  3. (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = (f(x))² − 1 = (1 + x)² − 1 = x² + 2x
  4. حل آخر
  5. (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(1 + x) = (1 + x)² − 1 = 1 + 2x + x² − 1 = x² + 2x
  6. b
  7. (g ∘ f)(2) = (2)² + 2(2) = 8
  8. c
  9. (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 1 + g(x) = 1 + x² − 1 = x²
  10. حل آخر
  11. (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x² − 1) = 1 + x² − 1 = x²
  12. d
  13. (f ∘ g)(2) = (2)² = 4
  1. حاول أن تحل — 4
  2. إذا كانت f ، g معرّفتان على ℝ كما يلي:
  3. f(x) = 2x + 3 ، g(x) = x² + 3
  4. أوجد:
  5. a
  6. (g ∘ f)(x)
  7. b
  8. (g ∘ f)(−1)
  9. c
  10. (f ∘ g)(x)
  11. d
  12. (f ∘ g)(−1)
  1. نستنتج من مثال (4) أن:
  2. (g ∘ f)(x) ≠ (f ∘ g)(x)
  3. إلّا في بعض الحالات الخاصة.
  1. مثال (5)
  2. لتكن:
  3. f(x) = √x ، g(x) = x⁴ + 2
  4. أوجد:
  5. a
  6. (f ∘ g)(x)
  7. b
  8. (f ∘ g)(0)
  9. c
  10. (g ∘ f)(x)
  11. d
  12. (g ∘ f)(0)
  1. الحل — مثال (5)
  2. a
  3. (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = √g(x) = √(x⁴ + 2)
  4. b
  5. (f ∘ g)(0) = √((0)⁴ + 2) = √2
  6. c
  7. (g ∘ f)(x) = (f(x))⁴ + 2 = (√x)⁴ + 2 = x² + 2
  8. d
  9. (g ∘ f)(0) = (0)² + 2 = 2
  10. لاحظ أن مجال f هو
  11. [0,∞)
  12. وأن مدى g:
  13. [2,∞)
  14. هو مجموعة جزئية من مجال f
  15. مجال g هو ℝ
  16. ∴ مدى f هو مجموعة جزئية منه
  1. حاول أن تحل — 5
  2. لتكن:
  3. f(x) = √(1 + x²) ، g(x) = 3/(x² + 4)
  4. أوجد:
  5. a
  6. (f ∘ g)(x)
  7. b
  8. (g ∘ f)(√3)
  1. اتصال الدوالّ المركّبة عند نقطة — Continuity of Composite Functions at a Point
  2. نظرية (16): اتصال الدوال المركّبة
  3. إذا كانت f متّصلة عند c ، و g متّصلة عند f(c) فإن الدالّة المركّبة g ∘ f متّصلة عند c.
  4. أي أن نهاية g(f(x)) عندما
  5. x → c
  6. هي g(f(c)) بمعنى
  7. limx→c g(f(x)) = g(f(c))
من المصدر الأصلي — PDF60
من المصدر الأصلي — PDF60
  1. مثال (6)
  2. لتكن:
  3. f(x) = x² + 5 ، g(x) = √x
  4. ابحث اتصال الدالة
  5. g ∘ f
  6. عند
  7. x = −2
  1. الحل — مثال (6)
  2. f دالة متصلة عند
  3. x = −2
  4. (1)
  5. f(−2) = 9
  6. g دالة متصلة عند كل
  7. x ∈ ℝ⁺
  8. ∴ g دالة متصلة عند
  9. x = 9
  10. أي أن g دالة متصلة عند
  11. x = f(−2)
  12. (2)
  13. من (2) ، (1) نجد أن
  14. g ∘ f
  15. متصلة عند
  16. x = −2
  1. حاول أن تحل — 6
  2. لتكن:
  3. f(x) = |x|/(x + 2) ، g(x) = 2x + 3
  4. ابحث اتصال الدالة
  5. f ∘ g
  6. عند
  7. x = 1
  1. مثال (7)
  2. لتكن:
  3. f(x) = |x² − 5x + 6|
  4. ابحث اتصال الدالة f عند
  5. x = 2
  1. الحل — مثال (7)
  2. نفرض أن:
  3. g(x) = |x| ، h(x) = x² − 5x + 6
  4. فنجد أن:
  5. f(x) = (g ∘ h)(x)
  6. g(h(x)) = |x² − 5x + 6|
  7. h دالة متصلة عند
  8. x = 2
  9. (1)
  10. h(2) = 4 − 10 + 6 = 0
  11. g دالة متصلة عند
  12. x = 0
  13. أي أن g دالة متصلة عند
  14. x = h(2)
  15. (2)
  16. من (2) ، (1) نجد أن
  17. g ∘ h
  18. متصلة عند
  19. x = 2
  20. ∴ الدالة f متصلة عند
  21. x = 2
  1. حاول أن تحل — 7
  2. لتكن:
  3. f(x) = |x² − 3x + 2|
  4. ابحث اتصال الدالة f عند
  5. x = 0

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

3 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 3

  1. المسألة · الكتاب ص 59

    أوجد(g∘f)(x) و(g∘f)(2).

    المعطيات

    1. f(x)=1+x ، g(x)=x²−1من هنا
    1. (g ∘ f)(x) = g(f(x))

    المعلم: نُطَبِّقُ الدَّالَّةَ الدَّاخِلِيَّةَ أَوَّلًا. رَاجِعِ الْمُعْطَى وَاتْبَعْ مَا كُتِبَ عَلَى السَّبُّورَةِ خُطْوَةً خُطْوَةً.

    الخطوة 1 من 4

الملخص

  • مجموع وفرق وحاصل ضرب دالتين متصلتين دالة متصلة.
  • القسمة تتطلب مقامًا غير صفري عند النقطة.
  • كثيرة الحدود والقيمة المطلقة متصلتان على ℝ.
  • رتبة الجذر ومجاله يحددان مواضع الاتصال.
  • في التركيب نطبق الدالة الداخلية أولًا.
  • التركيب ليس تبديليًا عمومًا.
  • اتصال التركيب يستلزم اتصال الخارجية عند صورة النقطة.

الأفكار الرئيسية

  1. ابدأ بالمجال قبل استخدام نظريات الاتصال.
  2. ترتيب تطبيق الدالتين يغيّر الناتج.
  3. لا تستبدل قيمة النقطة بقيمة الصورة عند فحص الدالة الخارجية.

الأسئلة المهمة

ما خواص العمليات على الدوال المتصلة؟

الجمع والطرح والضرب والضرب في ثابت والقسمة إذا لم ينعدم المقام.

الكتاب صفحة 55

ما معنى الدالة المركبة؟

تطبيق الدالة الداخلية ثم الخارجية.

الكتاب صفحة 58

هل يساويg∘f دائمًاf∘g؟

لا، إلا في بعض الحالات الخاصة.

الكتاب صفحة 59

ما شرط اتصال التركيب؟

اتصال الداخلية عند النقطة والخارجية عند صورتها.

الكتاب صفحة 60

كيف نفحص اتصال دالة جذرية؟

نفحص اتصال ما داخل الجذر وشروط تعريف الجذر.

الكتاب صفحة 57

اختبار الدرس

أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.

سؤال 1
1

أي شرط إضافي يلزم لاتصال خارج قسمة دالتين متصلتين عند c؟

متوسط
سؤال 2
2

ما معنى(g∘f)(x)؟

متوسط
سؤال 3
3

إذا f(x)=1+x وg(x)=x²−1، فما(g∘f)(2)؟

متوسط
سؤال 4
4

أي الدوال متصلة عند كل عدد حقيقي؟

متوسط
سؤال 5
5

تركيب الدوال تبديلي دائمًا.

متوسط
سؤال 6
6

مجموع دالتين متصلتين عند c متصل عند c.

متوسط
سؤال 7
7

اذكر شرطي نظرية اتصال g∘f عند c.

متوسط
سؤال 8
8

لماذا |x²−5x+6| متصلة عند2؟

متوسط

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

سؤال 1
1

إذا f(x)=x+2 وg(x)=x²، أوجد(g∘f)(x).

متوسط
سؤال 2
2

ابحث اتصال1/(x²+1) عند0.

متوسط
سؤال 3
3

إذا f(x)=x²+1 وg(x)=√x، ابحث اتصالg∘f عند0.

متوسط

مصطلحات الدرس

دالة متصلة
دالة تحقق شروط الاتصال عند النقطة.
دالة مركبة
دالة تنتج من تطبيق دالة ثم أخرى.
خواص الاتصال
قواعد تبين استمرار الاتصال تحت عمليات محددة.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 17 تمرينًا.

دعنا نفكر — 1ابحث اتصال كل من f ، g عند x = 2، حيث f(x)=x³−3x²+2x وg(x)=|x−2|.(ص 55)

متصلتان؛ f كثيرة حدود وg قيمة مطلقة لدالة متصلة.

دعنا نفكر — 2ابحث اتصال كل من f · q ، f + q عند x = 2، حيث q(x)=x²−5.(ص 55)

متصلتان بخواص ضرب وجمع الدوال المتصلة.

دعنا نفكر — 3aلتكن h(x)=f(x)/g(x). اكتب h دون استخدام رمز القيمة المطلقة.(ص 55)

h(x)={x(x−1):x>2 ، −x(x−1):x<2}، ولا تعرف عند2.

دعنا نفكر — 3bهل الدالة h متصلة عند x = 2؟ ولماذا؟(ص 55)

لا؛ غير معرفة عند2، كما أن نهايتها اليمنى2 واليسرى−2.

حاول أن تحل — 1aابحث اتصال الدالة f(x)=x²−4x+3+|x| عند c=3.(ص 56)

متصلة؛ مجموع دالتين متصلتين.

حاول أن تحل — 1bابحث اتصال الدالة f(x)=(tan x)/(x+1) عند c=π/4.(ص 56)

متصلة؛ البسط والمقام متصلان والمقام π/4+1 لا يساوي صفرًا.

حاول أن تحل — 2ابحث اتصال الدالة f(x)=(x²−1)/(x²+1)−(2x)/(x−2) عند x=1.(ص 56)

متصلة؛ المقامان عند1 هما2 و−1، وكلاهما غير صفر.

حاول أن تحل — 3aابحث اتصال الدالة f(x)=∛x/(x²+4) عند x=−2.(ص 57)

متصلة؛ الجذر التكعيبي متصل والمقام قيمته8 غير صفر.

حاول أن تحل — 3bابحث اتصال الدالة f(x)=√(x²−4x+3) عند x=−2.(ص 57)

متصلة؛ كثيرة الحدود داخل الجذر متصلة وقيمتها15 موجبة.

حاول أن تحل — 4aإذا كانت f(x)=2x+3،g(x)=x²+3، أوجد(g∘f)(x).(ص 59)

4x²+12x+12

حاول أن تحل — 4bإذا كانت f(x)=2x+3،g(x)=x²+3، أوجد(g∘f)(−1).(ص 59)

4

حاول أن تحل — 4cإذا كانت f(x)=2x+3،g(x)=x²+3، أوجد(f∘g)(x).(ص 59)

2x²+9

حاول أن تحل — 4dإذا كانت f(x)=2x+3،g(x)=x²+3، أوجد(f∘g)(−1).(ص 59)

11

حاول أن تحل — 5aلتكن f(x)=√(1+x²)،g(x)=3/(x²+4). أوجد(f∘g)(x).(ص 60)

√(1+9/(x²+4)²)

حاول أن تحل — 5bلتكن f(x)=√(1+x²)،g(x)=3/(x²+4). أوجد(g∘f)(√3).(ص 60)

3/8

حاول أن تحل — 6لتكن f(x)=|x|/(x+2)،g(x)=2x+3. ابحث اتصال الدالة f∘g عند x=1.(ص 61)

متصلة؛ g متصلة عند1 وقيمتها5، وf متصلة عند5 لأن مقامها7 غير صفر.

حاول أن تحل — 7لتكن f(x)=|x²−3x+2|. ابحث اتصال الدالة f عند x=0.(ص 61)

متصلة؛ تركيب كثيرة حدود متصلة مع القيمة المطلقة المتصلة.

صفحات الكتاب

صفحات هذا الدرس من كتاب الطالب الرسمي كما هي، صفحات 55 إلى 61.

صفحة 55صفحة 55صفحة 56صفحة 56صفحة 57صفحة 57صفحة 58صفحة 58صفحة 59صفحة 59صفحة 60صفحة 60صفحة 61صفحة 61

المصدر: الرياضيات — الصف الثاني عشر (علمي) — الفصل الدراسي الأول

  • ص 55: «دوال متّصلة»
  • ص 58: «ستقتصر دراستنا على الدوال القابلة للتركيب.»
  • ص 59: «إلّا في بعض الحالات الخاصة.»