منصة المنقذ التعليمية

أهداف الدرس

أوجد الجذور التربيعية والتكعيبية للأعداد الحقيقية.
أبسّط التعبيرات الجذرية وأجري العمليات عليها.
أستخدم المرافق لإخلاء المقام من الجذور.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 80:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 1تمرّن ١–١ — الجذور والتعبيرات الجذرية والعمليات عليها1:34

مقاطع الدرس

0 من 1 مكتمل

تمرّن ١–١ — الجذور والتعبيرات الجذرية والعمليات عليها(ص 9)

قاعدة

تذكّر من كتاب الطالب (PDF١٣–١٤): لكل عدد حقيقي موجب جذران تربيعيان أحدهما موجب والآخر سالب. ولكل عدد حقيقي جذر تكعيبي واحد. عند تبسيط الجذر التربيعي لمربع عدد نستخدم القيمة المطلقة.(ص 9)

مثال

نكتب الكسر مربعاً كاملاً.
٣٦/٢٥ = (٦/٥)²
الجذر الموجب.
√(٣٦/٢٥) = ٦/٥
الجذران متعاكسان.
٦/٥ ، −٦/٥

(ص 9)

مثال

نكتب المجذور مربعاً.
√(٤س⁶) = √((٢س³)²)
نستخدم القيمة المطلقة.
= ٢|س³|
س² غير سالب.
= ٢س²|س|

(ص 10)

مثال

نضرب في مرافق المقام.
٤/(٣√٣ − ٢) = (٤(٣√٣ + ٢))/((٣√٣ − ٢)(٣√٣ + ٢))
نستخدم فرق مربعين.
= (١٢√٣ + ٨)/(٢٧ − ٤)
نبسّط المقام.
= (١٢√٣ + ٨)/٢٣

(ص 11)

مثال

نوجد الجذر التكعيبي أولاً.
∛٢٧ = ٣
نعوض في حاصل الضرب.
(١ − ∛٢٧)(١ + ∛٢٧) = (١ − ٣)(١ + ٣)
نستخدم فرق مربعين.
= ١ − ٩
الناتج.
= −٨

(ص 12)

مثال

نبسّط الطول.
١٢√١٨ = ٣٦√٢
المحيط.
٢(٣٦√٢ + ٩√٢) = ٩٠√٢ م
المساحة.
٣٦√٢ × ٩√٢ = ٦٤٨ م²

(ص 13)

مثال

نخلي المقام من الجذور.
س = ٢/(√٥ + ١) = (√٥ − ١)/٢
نعوض ونربع.
س² − ١ = (٦ − ٢√٥)/٤ − ١
نوحد المقام ونختصر.
= (١ − √٥)/٢

(ص 13)

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

3 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 3

المسألة · الكتاب ص 11
المجموعة أ (٥) ب — إخلاء مقام ٤/(٣√٣ − ٢)
المعطيات
1. ٤/(٣√٣ − ٢)من هنا
1. ٤/(٣√٣ − ٢) = (٤(٣√٣ + ٢))/((٣√٣ − ٢)(٣√٣ + ٢))
  نضرب في مرافق المقام.
المعلم: نَبْدَأُ بِالْمِقْدَارِ الْمُعْطَى وَنُطَبِّقُ الْقَاعِدَةَ الْمَكْتُوبَةَ أَمَامَكَ. نَحْفَظُ قِيمَةَ التَّعْبِيرِ وَنَرَاعِي الْأَقْوَاسَ وَالْإِشَارَاتِ فِي هَذِهِ الْخُطْوَةِ.
الخطوة 1 من 3

الملخص

للعدد الموجب جذران تربيعيان متعاكسان، وللعدد السالب لا توجد جذور تربيعية حقيقية.
الجذر التكعيبي لعدد سالب سالب.
نستخرج المربعات أو المكعبات الكاملة قبل جمع الجذور المتشابهة.
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام لإخلائه من الجذور.

الأفكار الرئيسية

نبدأ بتبسيط كل جذر قبل إجراء العمليات.
شروط إشارة المتغير تحدد الحاجة إلى القيمة المطلقة.
المرافق يحوّل حاصل الضرب إلى عدد نسبي.

الأسئلة المهمة

كيف نبسّط جذر مربع تعبير حقيقي؟

نستخدم القيمة المطلقة؛ فمثلاً √(٩س²) = ٣|س|.

الكتاب صفحة 10

لماذا نضرب في المرافق؟

لإخلاء المقام من الجذور دون تغيير قيمة الكسر؛ نضرب البسط والمقام في التعبير نفسه.

الكتاب صفحة 11

كيف نجمع الجذور؟

نبسّط كل جذر ثم نجمع معاملات الجذور المتشابهة فقط.

الكتاب صفحة 11

كيف نحسب محيط مستطيل أبعاده جذرية؟

نبسّط الأبعاد ثم نضرب مجموع الطول والعرض في٢، كما في سؤال الملعب.

الكتاب صفحة 13

متى يمكن إخراج س من √(س²) دون قيمة مطلقة؟

حين تكون س غير سالبة؛ أما دون شرط على إشارتها فالناتج |س|.

الكتاب صفحة 10

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

بسّط √٤٥ + ٢√٢٠.

متوسط

اجعل مقام ٣/(√٥ + ٢) نسبياً.

متوسط

مستطيل طوله ٥√٣ وعرضه ٢√٣. أوجد محيطه ومساحته.

صعب

مصطلحات الدرس

المجذور: العدد أو التعبير الواقع تحت رمز الجذر.
دليل الجذر: العدد الذي يحدد رتبة الجذر.
المرافق: تعبير جذري نضربه في التعبير المعطى فيكون الناتج عدداً نسبياً.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 14 تمرينًا.

المجموعة أ — (١)أوجد إن أمكن الجذور التربيعية الحقيقية لكل من الأعداد التالية:(أ) ٨١(ب) −٣٦ (جـ) ٢٫٢٥(د) ١(هـ) ٨²(و) ٣٦/٢٥(ز) (−١٠٠)²(ح) ١٨/٣٢(ط) ٧⁴(ص 9)

(أ) ٨١ = ٩²؛ الجذران: ٩، −٩.(ب) لا جذور تربيعية حقيقية للعدد السالب −٣٦. (جـ) ٢٫٢٥ = (١٫٥)²؛ الجذران: ١٫٥، −١٫٥.(د) ١ = ١²؛ الجذران: ١، −١.(هـ) √(٨²) = ٨؛ الجذران: ٨، −٨.(و) √(٣٦/٢٥) = ٦/٥؛ الجذران: ٦/٥، −٦/٥.(ز) √((−١٠٠)²) = |−١٠٠| = ١٠٠؛ الجذران: ١٠٠، −١٠٠.(ح) ١٨/٣٢ = ٩/١٦؛ الجذران: ٣/٤، −٣/٤.(ط) √(٧⁴) = ٧² = ٤٩؛ الجذران: ٤٩، −٤٩.

المجموعة أ — (٢)أوجد الجذر التكعيبي لكل من الأعداد التالية:(أ) ٨(ب) ٠ (جـ) ٦٤(د) −١٠٠٠(هـ) ٠٫٠٢٧(و) ١٢٥/٢١٦(ز) ٢٧ × ٣٤٣(ح) −١/٥١٢(ط) −٠٫٢١٦(ص 9)

(أ) ∛٨ = ∛(٢³) = ٢.(ب) ∛٠ = ٠. (جـ) ∛٦٤ = ∛(٤³) = ٤.(د) ∛(−١٠٠٠) = ∛((−١٠)³) = −١٠.(هـ) ∛٠٫٠٢٧ = ∛((٠٫٣)³) = ٠٫٣.(و) ∛(١٢٥/٢١٦) = ∛(٥³/٦³) = ٥/٦.(ز) ∛(٢٧ × ٣٤٣) = ∛(٣³ × ٧³) = ٣ × ٧ = ٢١.(ح) ∛(−١/٥١٢) = ∛((−١/٨)³) = −١/٨.(ط) ∛(−٠٫٢١٦) = ∛((−٠٫٦)³) = −٠٫٦.

المجموعة أ — (٣)بسّط كلّاً من التعبيرات الجذرية التالية:(أ) √(٩س²)(ب) √(٤س⁶) (جـ) √(١٦س⁴)(د) √(٠٫٨١س¹⁶)(هـ) √(س⁸ص¹⁴)(و) √(س³ص⁵)/√(٢٥س) حيث س > ٠، ص ≥ ٠(ز) √((١٦س⁷ص⁹)/س³) حيث س ≠ ٠، ص ≥ ٠(ص 10)

(أ) √(٩س²) = √((٣س)²) = |٣س| = ٣|س|.(ب) √(٤س⁶) = √((٢س³)²) = ٢|س³| = ٢س²|س|. (جـ) √(١٦س⁴) = √((٤س²)²) = ٤س².(د) √(٠٫٨١س¹⁶) = √((٠٫٩س⁸)²) = ٠٫٩س⁸.(هـ) √(س⁸ص¹⁴) = |س⁴ص⁷| = س⁴ص⁶|ص|.(و) √(س³ص⁵)/√(٢٥س) = √(س²ص⁵/٢٥) = (سص²√ص)/٥.(ز) √((١٦س⁷ص⁹)/س³) = √(١٦س⁴ص⁹) = √((٤س²ص⁴)²ص) = ٤س²ص⁴√ص.

المجموعة أ — (٤) أ–وبسّط كلّاً من التعبيرات التالية:(أ) √٨ × √٤٠(ب) (√٢ − √٣)² (جـ) √٧ × (٢√٧ − √٢٨)(د) √٢ × (√٥٠ +٢)(هـ) (٧ + ٢√٣)²(و) √(١٫٦ × ١٠³)/√(٤ × ١٠²)(ص 10)

(أ) √٨ × √٤٠ = √٣٢٠ = √(٦٤ ×٥) = ٨√٥.(ب) (√٢ − √٣)² = ٢ − ٢√٦ + ٣ = ٥ − ٢√٦. (جـ) √٧ × (٢√٧ − √٢٨) = √٧ × (٢√٧ − ٢√٧) = ٠.(د) √٢ × (√٥٠ +٢) = √١٠٠ + ٢√٢ = ١٠ + ٢√٢.(هـ) (٧ + ٢√٣)² = ٤٩ + ٢٨√٣ + ١٢ = ٦١ + ٢٨√٣.(و) √(١٫٦ × ١٠³)/√(٤ × ١٠²) = √(١٦٠٠/٤٠٠) = √٤ = ٢.

المجموعة أ — (٤) ز–يبسّط كلّاً من التعبيرات التالية:(ز) √٧٥ − ٤√١٨ + ٢√٣٢(ح) ٣∛١٦ − ٤∛٥٤ + ∛١٢٨(ط) √(٧³ × ١٢٥ × ٧٠ × ١٥)(ي) √(س³ × ١٠⁴ × ٧٢ × ١٥)/√(س² × ٤٠ × ٢٧) حيث س > ٠(ص 11)

(ز) √٧٥ − ٤√١٨ + ٢√٣٢ = ٥√٣ − ١٢√٢ + ٨√٢ = ٥√٣ − ٤√٢.(ح) ٣∛١٦ − ٤∛٥٤ + ∛١٢٨ = ٦∛٢ − ١٢∛٢ + ٤∛٢ = −٢∛٢.(ط) √(٧³ × ١٢٥ × ٧٠ × ١٥) = √(٧⁴ × ٥⁴ × ٣٠) = ٧² × ٥² × √٣٠ = ١٢٢٥√٣٠.(ي) √(س³ × ١٠⁴ × ٧٢ × ١٥)/√(س² × ٤٠ × ٢٧) = √((س³ × ١٠⁴ × ١٠٨٠)/(س² × ١٠٨٠)) = √(١٠⁴س) = ١٠٠√س.

المجموعة أ — (٥)اختصر كلّاً مما يلي بحيث يكون المقام عدداً نسبياً:(أ) (√٥ − √٢)/(√٥ + √٢)(ب) ٤/(٣√٣ −٢) (جـ) √(٨٤/١٢)(د) (٢ − √٧)/(٣ + √٧)(هـ) √(٢٧/٨) × √(٣٢/٥٤)(و) (٢√٣ +١)/(٥ − ٣√٣)(ص 11)

(أ) (√٥ − √٢)/(√٥ + √٢) = ((√٥ − √٢)²)/((√٥)² − (√٢)²) = (٥ − ٢√١٠ +٢)/(٥ −٢) = (٧ − ٢√١٠)/٣.(ب) ٤/(٣√٣ −٢) = (٤(٣√٣ + ٢))/((٣√٣)² − ٢²) = (١٢√٣ +٨)/٢٣. (جـ) √(٨٤/١٢) = √٧؛ مقامه١ عدد نسبي.(د) (٢ − √٧)/(٣ + √٧) = ((٢ − √٧)(٣ − √٧))/(٩ −٧) = (٦ − ٢√٧ − ٣√٧ +٧)/٢ = (١٣ − ٥√٧)/٢.(هـ) √(٢٧/٨) × √(٣٢/٥٤) = √((٢٧ × ٣٢)/(٨ × ٥٤)) = √٢.(و) (٢√٣ +١)/(٥ − ٣√٣) = ((٢√٣ +١)(٥ + ٣√٣))/(٢٥ − ٢٧) = (١٠√٣ + ١٨ + ٥ + ٣√٣)/(−٢) = −(٢٣ + ١٣√٣)/٢.

المجموعة أ — (٦)أوجد قيمة التعبير: س² + س − ٣، إذا كان س = (√٢ − ١)/٢.(ص 11)

س² + س − ٣ = ((√٢ −١)/٢)² + (√٢ −١)/٢ − ٣ = (٣ − ٢√٢)/٤ + (٢√٢ −٢)/٤ − ١٢/٤ = −١١/٤.

المجموعة ب — (١)بسّط كلّاً مما يلي:(أ) √٥٧٦(ب) (√١٨ × √٢)/√١٤٤ (جـ) ٣√٢٧ × ٢√٧٥(د) √(٢٥/٣٢) ÷ √(٩/٨)(هـ) √(١٦س²) + ٣√(٤٩س²) حيث س > ٠(ص 12)

(أ) √٥٧٦ = √(٢٤²) = ٢٤.(ب) √٣٦/١٢ = ٦/١٢ = ١/٢. (جـ) ٣ × ٣√٣ × ٢ × ٥√٣ = ٩٠ × ٣ = ٢٧٠.(د) √((٢٥/٣٢) × (٨/٩)) = √(٢٥/٣٦) = ٥/٦.(هـ) ٤|س| + ٢١|س| = ٢٥س؛ لأن س > ٠.

المجموعة ب — (٢)بسّط كلّاً مما يلي:(أ) ∛(−٨س³)(ب) ∛(٥²) × ∛٥ (جـ) (١ − ∛٢٧)(١ + ∛٢٧)(د) ∛١٦ × ∛٤(ص 12)

(أ) ∛((−٢س)³) = −٢س.(ب) ∛(٥² ×٥) = ∛(٥³) = ٥. (جـ) ١ − (∛٢٧)² = ١ − ٣² = −٨.(د) ∛٦٤ = ٤.

المجموعة ب — (٣) أ–دبسّط كلّاً من التعبيرات الجذرية التالية:(أ) (√٥ +٢)(٣ − ٢√٥)(ب) (٢√٧٢ − ٣√٢) (جـ) (٢√٣ − ٣√٢)(٢√٣ + ٣√٢)(د) ١/(١ − √٥) + ١/(١ + √٥)(ص 12)

(أ) ٣√٥ − ١٠ + ٦ − ٤√٥ = −٤ − √٥.(ب) ٢ × ٦√٢ − ٣√٢ = ٩√٢. (جـ) (٢√٣)² − (٣√٢)² = ١٢ − ١٨ = −٦.(د) ((١ + √٥) + (١ − √٥))/(١ −٥) = ٢/(−٤) = −١/٢.

المجموعة ب — (٣) هـ–و(هـ) √(س⁸ × ٦٤ × ص¹⁷)/√(س¹⁰ × ١٦٩ × ص¹¹) حيث س > ٠، ص > ٠(و) ١/(٢√٢ −١) − ٢/(٢√٢ +١)(ص 13)

(هـ) √((٦٤ص⁶)/(١٦٩س²)) = (٨ص³)/(١٣س)؛ لأن س > ٠، ص > ٠.(و) ((٢√٢ +١) − ٢(٢√٢ − ١))/((٢√٢)² −١) = (٢√٢ + ١ − ٤√٢ +٢)/(٨ −١) = (٣ − ٢√٢)/٧.

المجموعة ب — (٤)ملعب مستطيل الشكل طوله ١٢√١٨ م وعرضه ٩√٢ م.(أ) أوجد محيط الملعب.(ب) أوجد مساحة الملعب.(ص 13)

الطول = ١٢ × ٣√٢ = ٣٦√٢ م.(أ) المحيط = ٢(٣٦√٢ + ٩√٢) = ٩٠√٢ م.(ب) المساحة = ٣٦√٢ × ٩√٢ = ٣٢٤ × ٢ = ٦٤٨ م².

المجموعة ب — (٥)اختصر كلّاً مما يلي بحيث يكون المقام عدداً نسبياً:(أ) (٣ − √٢)/(٣ + √٢)(ب) ٢√٣٢/√٧٢ (جـ) (٧ − ٢√٢)/(√٢ −١)(د) (٢√٨ −٣)/(√٢ +١)(هـ) (√٣ − √٥)/(٢√٣ − √٥)(ص 13)

(أ) ((٣ − √٢)²)/(٩ −٢) = (١١ − ٦√٢)/٧.(ب) (٢ × ٤√٢)/(٦√٢) = ٨/٦ = ٤/٣. (جـ) ((٧ − ٢√٢)(√٢ + ١))/(٢ −١) = ٧√٢ + ٧ − ٤ − ٢√٢ = ٣ + ٥√٢.(د) ((٤√٢ −٣)(√٢ − ١))/(٢ −١) = ٨ − ٤√٢ − ٣√٢ + ٣ = ١١ − ٧√٢.(هـ) ((√٣ − √٥)(٢√٣ + √٥))/(١٢ −٥) = (٦ + √١٥ − ٢√١٥ −٥)/٧ = (١ − √١٥)/٧.