الدرس 2تمرّن 1-2 — الأسس النسبية وخواصها

مقامه دليل الجذر وبسطه القوة، مع مراعاة شروط التعريف.

الكتاب صفحة 14

نجمع الأسين ونبقي الأساس كما هو.

الكتاب صفحة 15

نأخذ مقلوب القوة ذات الأس الموجب؛ لا يعني أن الناتج سالب.

الكتاب صفحة 16

ضرب٣ في٣^(٣/٢) لا يعطي٩^(٣/٢)، بل٣^(٥/٢).

الكتاب صفحة 17

قاعدة الجذر التربيعي لحاصل الضرب تشترط عاملين غير سالبين في الأعداد الحقيقية.

الكتاب صفحة 22

(أ) −⁵√(٢⁵) = −٢.(ب) ⁴√(٣⁴) = ٣. (جـ) غير معرّف في الأعداد الحقيقية؛ دليل الجذر زوجي والمجذور سالب.(د) ⁵√(٢⁶ × ٣⁵) = ٦⁵√٢.(هـ) ⁴√(١٠⁷/١٠³) = ⁴√(١٠⁴) = ١٠.

(أ) ∛(س²).(ب) ⁴√س. (جـ) ⁶√١٧.(د) (∛٨)² = ٢² = ٤.(هـ) ⁹√(س⁴).(و) س^(٣/٢) = √(س³) = س√س.

(أ) (⁵√٣٢)⁴ = ٢⁴ = ١٦.(ب) (∛(−٨))² = (−٢)² = ٤. (جـ) ٨١^(١/٤) = ٣.(د) ١/(١٠٠^(٣/٢)) = ١/١٠٠٠.(هـ) (√١٦)³ = ٤³ = ٦٤.

(أ) ٣^(١/٢).(ب) س^(٢/٥). (جـ) (٧س³ص²)^(١/٢).(د) (٥س²)^(١/٣).(هـ) (٨١س³)^(١/٣).

(أ) (∛(−٢٧))⁴ = (−٣)⁴ = ٨١.(ب) ⁵√((−٣)⁵) = −٣. (جـ) ٥^(−٦) = ١/١٥٦٢٥.(د) ٨^((٣ + ١٣)/٤) = ٨⁴ = ٤٠٩٦.(هـ) س^(٦/١٠ + ٩/١٠) = س^(٣/٢) = س√س.(و) س^(٣/٢ − ١/٢) × ص^(١/٢ − ١/٤) = س × ص^(١/٤).(ز) ٢ − ٢ × ٢ = −٢.(ح) (٢⁷ × ٣^(٣/٥))/(٢^(٢٠/٣) × ٣^(٨/٥)) = ٢^(١/٣) × ٣^(−١) = ∛٢/٣.

م = ٢٥٠٠٠٠٠. ٠٫٠٣٦ × (٢٥٠٠٠٠٠)^(٣/٤) ≃ 2263.380 باستخدام الآلة الحاسبة.

(أ) ⁴√((٠٫٣)⁴) = ٠٫٣.(ب) ⁶√((س⁴)⁶) = |س⁴| = س⁴. (جـ) ٢⁴√٢ + ٣⁴√٢ = ٥⁴√٢.(د) ١/٢.(هـ) ٣س/٢.(و) ⁵√(٢⁵ × ٣⁵) = ٦.

(أ) ⁴√س.(ب) ⁵√(ص³). (جـ) √(س⁷) = س³√س.(د) ١٦^(٣/٤) = (⁴√١٦)³ = ٨.(هـ) ٩^(−١/٤) = ١/√٣ = √٣/٣.(و) ⁵√٣٢ = ٢.(ز) (√٩)⁵ = ٣⁵ = ٢٤٣.

(أ) (٥س)^(٧/٢).(ب) (٥س)^(٧/٢). (جـ) ٢٤٣^(٤/٥).(د) (٠٫٠١س¹⁸)^(١/٢).

(أ) س^(١/٣) × ص^(١/٤). (ب) س^(−١/٢) = ١/√س، حيث يكون التعبير معرّفًا (س > ٠). (جـ) ٢٧ × ٤ × ∛٥٤ = ١٠٨ × ٣∛٢ = ٣٢٤∛٢.

الخطأ في اعتبار ٣ × ٣^(٣/٢) = ٩^(٣/٢). الأسس تجمع عند ضرب قوتين للأساس نفسه: ٣¹ × ٣^(٣/٢) = ٣^(٥/٢) = ٩√٣. الصحيح: ٦ + ٩√٣.

(أ) √((٧س¹⁶)²) = ٧س¹⁶.(ب) √((٠٫٤س⁶)²) = ٠٫٤س⁶. (جـ) ∛٢١٦ = ٦.(د) √٤ = ٢.(هـ) ∛٢١٦ = ٦.(و) ٤√٢ × (٢√٢ + ٦√٦) = ١٦ + ٤٨√٣.

(أ) −٢√٢/٦ = −√٢/٣.(ب) (٧(٥√٣ + ١))/(٧٥ −١) = (٣٥√٣ +٧)/٧٤. (جـ) ((−٢ + √٣)(٣ + ٢√٣))/(٩ − ١٢) = (−٦ − ٤√٣ + ٣√٣ +٦)/(−٣) = √٣/٣.(د) المقام = ٥ − ٤ = ١، والناتج = ٣ − ٢√٥.

(أ) −(⁵√٣٢)⁴ = −١٦. (ب) ٥ × ٢٥ = ١٢٥. (جـ) √(٨ × ١٨) = √١٤٤ = ١٢.

(أ) ⁸√(س³). (ب) ⁵√(ص²). (جـ) (∛(٨ص^(−٦)))^(−٢) = (٢ص^(−٢))^(−٢) = ص⁴/٤، حيث ص ≠ ٠.

(د) −١٠ × ٥ = −٥٠.(هـ) ١٢∛(س³) = ١٢س.(و) ∛(٨س⁵)/(٢∛(س²)) = (٢∛(س⁵))/(٢∛(س²)) = ∛(س³) = س.(ز) ٤ − ١٠√٣ + ١٠√٣ = ٤.(ح) (√٣(١ + √٣) − √٣(١ − √٣))/(١ −٣) = ٦/(−٢) = −٣.

صح؛ (∛(−٨))² = (−٢)² = ٤.

خطأ؛ (٠٫٣)² = ٠٫٠٩، وليس٠٫٩.

صح؛ ٢^(١/٢) = ٤^(١/٤)، و١/٤ + ١/٨ = ٣/٨.

خطأ؛ (∛٨١)⁵ = ٣^(٢٠/٣)، وليس٣⁷.

خطأ؛ ١/٣ + ٩/٢ = ٢٩/٦.

صح؛ ٩^(−٣/٢) = ٣^(−٣)، و٢٧^(٢/٣) = ٣²، فيكون الحاصل٣^(−١).

صح؛ ص = ٨، وس² = ١/٨، فيكون ص × س² = ١.

صح؛ يوحد دليل الجذور إلى٣، ويصبح الكسر∛(٢٧س³ص³) = ٣سص.

صح؛ ∛٣٢ × ٢∛٢ = ٢∛٦٤ = ٨، وهو عدد نسبي.

صح؛ (٨ − ٢√٣)(٤ + √٣) = ٣٢ + ٨√٣ − ٨√٣ − ٦ = ٢٦، وهو عدد نسبي.

ليست صحيحة على جميع الأعداد الحقيقية؛ الناتج س⁵ص⁴|ص|. تصح حين ص ≥ ٠، ولا يذكر البند هذا الشرط. مثال مضاد: س = ١، ص = −١، فيكون الطرف الأيسر ١ والأيمن −١.

خطأ؛ √((−٢)²) = |−٢| = ٢.

صح؛ ∛(٧^(−٢)) = ٧^(−٢/٣)، وص^(−١) = (٤٩^(١/٣))^(−١) = ٧^(−٢/٣).

جـ) ∛٢؛ حاصل الضرب ∛(٢¹⁴ × ٢) = ∛(٢¹⁵) = ٣٢.

جـ) ٣ + ٢√٣؛ حاصل الضرب٩−١٢=−٣.

أ) ٣√٢|س³|ص⁴؛ لأن المجذور٩×٢×(س³)²×(ص⁴)².

ب) (أب)^(٧/٣)؛ أس كل من أ وب يساوي١+٢/٣+٢/٣=٧/٣.

أ) ١٨؛ س=٦√٣، وص=√٣، وحاصل الضرب١٨.

د) (ب جـ)²؛ أس أ صفر، وأس ب٢، وأس جـ٢.

(أ) ٤٠.(ب) ∛((−٢)³ × ٧³) = −١٤. (جـ) ٠٫٢.(د) ٩.(هـ) ٢|٣ − √٢| = ٦ − ٢√٢؛ لأن٣ > √٢.(و) √(٢١٦/٥٤) × ١٠² = ٢ × ١٠٠ = ٢٠٠.(ز) (٣٢٤/١٧٢٨)/(٢٤٣/٣٦) = (٣/١٦) × (٤/٢٧) = ١/٣٦.

(أ) س^(١/٢ + ٣/٢) = س².(ب) س⁴ × ص^(−٣) = س⁴/ص³. (جـ) ⁴√(٣٢ص⁵) = ٢ص⁴√(٢ص).(د) ∛(س^(٤ + ١ − ٢)) = ∛(س³) = س.

(أ) (√٢ −١)/(٢ −١) = √٢ − ١.(ب) ((٢ − √٣)(٣ + √٣))/(٩ −٣) = (٣ − √٣)/٦.

(جـ) (٢√٦(√٣ − √٢))/(٣ −٢) = ٦√٢ − ٤√٣.(د) −٣√٣/(٤ + √٣) = (−٣√٣(٤ − √٣))/(١٦ −٣) = (٩ − ١٢√٣)/١٣.

خاصية الجذر التربيعي لحاصل الضرب تشترط عاملين غير سالبين. لا يجوز هنا فصل الجذر إلى√(−٤) و√(−٦)، فهما غير معرفين في الأعداد الحقيقية. الصحيح√٢٤ = √(٤ × ٦) = ٢√٦.

٢٧^(−٢/٣) = ١/(∛٢٧)² = ١/٩. ٨١^(−١/٢) = ١/√٨١ = ١/٩. إذن الطرفان متساويان.

٤س = −١. س = −١/٤.

(أ) س² = ٨ + ٢√((٤ − ٢√٣)(٤ + ٢√٣)) = ٨ + ٢√(١٦ − ١٢) = ٨ + ٤ = ١٢. (ب) س غير سالب لأنه مجموع جذرين تربيعيين، ومن ثم س = √١٢ = ٢√٣.

س = (٣√٢(√٢ + ١))/(٢ −١) = ٦ + ٣√٢. ((س −٤)²/٨) × (س +٤) = ((٢ + ٣√٢)²(١٠ + ٣√٢))/٨ = ((٢٢ + ١٢√٢)(١٠ + ٣√٢))/٨ = (٢٩٢ + ١٨٦√٢)/٨ = (١٤٦ + ٩٣√٢)/٤.

يمكن اختيار س = ٣ + ٢√٧، فيكون حاصل الضرب٩−٢٨=−١٩، وهو عدد نسبي. توجد اختيارات أخرى تحقق المطلوب.

(∛(س⁵ص⁶))² = ∛(س¹⁰ص¹²) = ∛((س³ص⁴)³ × س) = س³ص⁴∛س.