الدرس 5الاتّصال

أهداف الدرس

• أحدد اتصال الدالة عند نقطة.
• أميز أنواع الانفصال.
• أعيد تعريف دالة للتخلص من انفصال قابل للإزالة.

الشرح خطوة بخطوة

الاتّصال — Continuity(ص 49)

أبلغ عن خطأ

1. 1

   سوف تتعلم

2. 2

   الاتصال عند نقطة.

3. 3

   الانفصال عند نقطة.

4. 4

   أنواع الانفصال.

5. 5

   التخلص من الانفصال.

(ص 49)

أبلغ عن خطأ

1. 1

   المفردات والمصطلحات

2. 2

   الاتصال — Continuity

3. 3

   اتصال من الجهتين — Two-Side Continuity

4. 4

   اتصال من جهة اليمين — Continuity From the Right

5. 5

   اتصال من جهة اليسار — Continuity From the Left

6. 6

   الاتصال عند نقطة — Continuity at a Point

7. 7

   انفصال — Discontinuity

8. 8

   انفصال يمكن التخلص منه — Removable Discontinuity

9. 9

   انفصال نتيجة قفزة — Jump Discontinuity

10. 10

    انفصال لا نهائي — Infinite Discontinuity

(ص 49)

أبلغ عن خطأ

1. 1

   دعنا نفكر ونتناقش

2. 2

   البيانات التالية توضح منحنيات دوال مختلفة:

3. 3

   أي من المنحنيات أمكن رسمه دون رفع سن القلم؟ وأيها لزم رفع سن القلم؟

(ص 49)

أبلغ عن خطأ

1. 1

   الاتصال عند نقطة — Continuity at a Point

2. 2

   1 المنحنيات في البيانات a ، b

3. 3

   نقول عنها أن ليس بها نقاط انفصال «متصلة عند كل نقطة من نقاطها».

4. 4

   2 المنحنيات في البيانات c ، d

5. 5

   نقول إن هذه المنحنيات لها نقاط انفصال.

(ص 49)

أبلغ عن خطأ

1. 1

   معلومة

2. 2

   بيان تخطيط القلب يعبّر بوضوح عن الاتصال إذا كان القلب سليمًا ومعافى، وعن الانفصال إذا كان يوجد انسداد في الشرايين.

(ص 49)

أبلغ عن خطأ

1. 1

   تخطيط القلب

2. 2

   شكل (1)

3. 3

   شكل (2)

4. 4

   يستخدم الأطباء مبدأ الاتصال لدراسة منحنى تخطيط القلب.

5. 5

   يبيّن الشكل(1) تخطيطًا متصلًا بينما يبيّن الشكل(2) تخطيطًا به نقاط انفصال.

(ص 49)

أبلغ عن خطأ

1. تدريب — 1
2. limx→3 f(x) ……………
3. f(3) ……………
4. ماذا تلاحظ؟

أبلغ عن خطأ

1. تدريب — 2
2. limx→3 f(x) ……………
3. f(3) ……………
4. ماذا تلاحظ؟

أبلغ عن خطأ

1. تدريب — 3
2. limx→3 f(x) ……………
3. f(3) ……………
4. ماذا تلاحظ؟

أبلغ عن خطأ

1. تدريب — 4
2. limx→3 f(x) ……………
3. f(3) ……………
4. ماذا تلاحظ؟

أبلغ عن خطأ

1. تعريف (8): الاتصال عند نقطة
2. تكون الدالة f متصلة عند
3. x = c
4. في مجالها إذا كانت
5. limx→c f(x) = f(c)

أبلغ عن خطأ

1. شروط الاتصال
2. من التعريف السابق نجد أنه لتكون f متصلة عند c يجب أن تتوافر الشروط الثلاثة التالية:
3. 1 الدالة f معرّفة عند
4. x = c
5. أي f(c) موجودة.
6. 2
7. limx→c f(x)
8. موجودة
9. 3
10. limx→c f(x) = f(c)
11. وإذا لم يتحقق أي شرط من الشروط السابقة فنقول إن f منفصلة (ليست متصلة) عند
12. x = c
13. .

أبلغ عن خطأ

1. مثال (1)
2. لتكن f:
3. f(x) = {x² + 3x:x ≥ 15x − 1:x < 1
4. ابحث اتصال الدالة f عند
5. x = 1
6. .

أبلغ عن خطأ

1. الحل — مثال (1)
2. f(1) = (1)² + 3(1) = 1 + 3 = 4
3. (1)
4. limx→1⁻ f(x) = limx→1⁻ (5x − 1) = 5(1) − 1 = 4
5. limx→1⁺ f(x) = limx→1⁺ (x² + 3x) = (1)² + 3(1) = 4
6. limx→1⁻ f(x) = limx→1⁺ f(x) = 4
7. limx→1 f(x) = 4
8. (2)
9. limx→1 f(x) = f(1)
10. من (1) و (2)
11. ∴ f متصلة عند
12. x = 1

أبلغ عن خطأ

1. حاول أن تحل — 1
2. لتكن الدالة f:
3. f(x) = {x³ + x:x ≤ 0x²/(x + 1):x > 0
4. ابحث اتصال f عند
5. x = 0

أبلغ عن خطأ

1. مثال (2)
2. لتكن f:
3. f(x) = {(x² − 9)/(x − 3):x > 37:x ≤ 3
4. ابحث اتصال الدالة f عند
5. x = 3
6. .

أبلغ عن خطأ

1. الحل — مثال (2)
2. f(3) = 7
3. limx→3⁻ f(x) = limx→3⁻ 7 = 7
4. limx→3⁺ f(x) = limx→3⁺ (x² − 9)/(x − 3)
5. = limx→3⁺ ((x − 3)(x + 3))/(x − 3)
6. = limx→3⁺ (x + 3) = 3 + 3 = 6
7. ∵ limx→3⁻ f(x) ≠ limx→3⁺ f(x)
8. ∴ limx→3 f(x)
9. ليست موجودة
10. ∴ الدالة f ليست متصلة عند
11. x = 3

أبلغ عن خطأ

1. حاول أن تحل — 2
2. ابحث اتصال الدالة f عند
3. x = 2
4. حيث
5. f(x) = {2x + 1:x < 21:x = 2x² + 1:x > 2

أبلغ عن خطأ

1. اتصال من جهة اليسار
2. في المثال السابق نجد أن
3. limx→3⁻ f(x) = f(3) = 7
4. في هذه الحالة تكون الدالة f متصلة عند
5. x = 3
6. من جهة اليسار وسوف نتطرق لذلك لاحقًا.

أبلغ عن خطأ

1. مثال (3)
2. ابحث اتصال الدالة f عند
3. x = 2
4. حيث
5. f(x) = {(x − 2)/|x − 2|:x ≠ 21:x = 2

أبلغ عن خطأ

1. الحل — مثال (3)
2. |x − 2| = {x − 2:x > 2−x + 2:x < 2
3. (x − 2)/|x − 2| = {(x − 2)/(x − 2):x > 2(−x + 2)/(x − 2):x < 2
4. ∴ f(x) = {1:x > 2−1:x < 21:x = 2
5. f(2) = 1
6. limx→2⁻ f(x) = −1 ، limx→2⁺ f(x) = 1
7. ∴ limx→2⁻ f(x) ≠ limx→2⁺ f(x)
8. ∴ limx→2 f(x)
9. ليست موجودة
10. ∴ الدالة f ليست متصلة عند
11. x = 2

أبلغ عن خطأ

1. حاول أن تحل — 3
2. ابحث اتصال الدالة f عند
3. x = −1
4. حيث
5. f(x) = {|x + 1|/(x + 1) − 2x:x ≠ −12:x = −1

أبلغ عن خطأ

1. ملاحظة
2. في المثال السابق الدالة f متصلة عند
3. x = 2
4. من جهة اليمين. لماذا؟

أبلغ عن خطأ

1. انفصال يمكن التخلص منه
2. يبيّن الشكلان c ، b أدناه أمثلة توضيحية لبعض الأنواع المختلفة للانفصال:
3. فالدالة الموضّحة في الشكل a متّصلة عند
4. x = 0
5. ، والدالة الموضّحة في الشكل b ليست متّصلة عند
6. x = 0
7. ولكي تكون متصلة يقتضي أن تكون
8. f(0) = 1
9. . الدالة الموضّحة في الشكل c ليست متصلة عند
10. x = 0
11. ولكي تكون متصلة يقتضي أن تكون f(0) مساوية لـ 1 بدلًا من 2.
12. الانفصال في c ، b هو انفصال يمكن التخلّص منه من خلال إعادة تعريف الدالة عند
13. x = 0
14. وذلك بوضع
15. limx→0 f(x) = f(0)

أبلغ عن خطأ

1. انفصال نتيجة قفزة وانفصال لا نهائي
2. والأشكال التالية أمثلة أخرى لدوال منفصلة:
3. وإذا نظرنا إلى الانفصال في e ، d حيث
4. limx→0 f(x)
5. غير موجودة ولا توجد طريقة لإصلاح ذلك الوضع بتغيير f عند الصفر. للدالة في d لها انفصال نتيجة قفزة؛ والنهايات ذات الجانب الواحد موجودة لكن لها قيم مختلفة.
6. (نهاية الدالة من جهة اليمين ≠ نهاية الدالة من جهة اليسار).
7. والدالة
8. f(x) = 1/x²
9. في e لها انفصال لا نهائي. (النهاية غير موجودة).

أبلغ عن خطأ

1. التخلّص من الانفصال — The Removal of Discontinuity
2. لتكن الدالة f:
3. f(x) = (x³ − 27)/(x² − 9)
4. لاحظ أن مجال f هو
5. D = ℝ − {−3,3}
6. f(x) = ((x − 3)(x² + 3x + 9))/((x − 3)(x + 3))
7. = (x² + 3x + 9)/(x + 3) ، x ≠ 3

أبلغ عن خطأ

1. إعادة تعريف الدالة
2. ومن الرسم البياني للدالة f نلاحظ أن لبيان f انفصال عند
3. x = 3
4. يمكن التخلص منه لأن النهاية موجودة بينما الانفصال عند
5. x = −3
6. لا يمكن التخلص منه لأن النهاية غير موجودة.
7. وللتخلص من الانفصال نعرّف f عند
8. x = 3
9. بحيث نجعل
10. limx→3 f(x) = f(3)
11. limx→3 (x³ − 27)/(x² − 9) = limx→3 (x² + 3x + 9)/(x + 3)
12. = (9 + 9 + 9)/(3 + 3) = 27/6 = 9/2
13. نسمي الدالة بـ g بعد إعادة تعريفها:

أبلغ عن خطأ

1. مثال (4)
2. لتكن الدالة:
3. f(x) = (x − 2)/(x² − 4)
4. الموضّح بيانها بالشكل
5. a بيّن أن f(x) غير متصلة عند
6. x = −2
7. ،
8. x = 2
9. b أعد تعريف الدالة f بحيث تصبح متصلة عند
10. x = 2

أبلغ عن خطأ

1. الحل — a
2. f(x) = (x − 2)/(x² − 4)
3. = (x − 2)/((x − 2)(x + 2)) = 1/(x + 2) ، x ≠ 2
4. حلّل المقام إلى عوامل
5. مجال f:
6. D = ℝ − {−2,2}
7. ∴ f غير متصلة عند
8. x = −2
9. ،
10. x = 2
11. لأنها غير معرّفة عندهما.

أبلغ عن خطأ

1. الحل — b
2. limx→2 f(x) = limx→2 1/(x + 2) = 1/4
3. ∴ يمكن إعادة تعريف f عند
4. x = 2
5. لأن
6. limx→2 f(x) = 1/4
7. نعيد تعريف الدالة f ونسمي الدالة بـ g.

أبلغ عن خطأ

1. حاول أن تحل — 4
2. أعد تعريف الدالة f:
3. f(x) = (x² + 3x − 4)/(x − 1)
4. لتصبح دالة متصلة عند
5. x = 1
6. .

أبلغ عن خطأ

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

الأسئلة المهمة

اختبار الدرس

أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

مصطلحات الدرس

اتصال عند نقطة

مساواة نهاية الدالة بقيمتها عند النقطة.

انفصال يمكن التخلص منه

انفصال يمكن إصلاحه بإعادة تعريف الدالة عند النقطة لتساوي النهاية.

انفصال نتيجة قفزة

وجود نهايتين جانبيتين محدودتين مختلفتين.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 10 تمرينًا.

صفحات الكتاب

صفحات هذا الدرس من كتاب الطالب الرسمي كما هي، صفحات 49 إلى 54.

صفحة 49صفحة 50صفحة 51صفحة 52صفحة 53صفحة 54