الرياضيات

الوحدة 1: الوحدة الأولى: النهايات والاتصال

الدرس 1النهايات

من كتاب الطالبالرياضيات — الصف الثاني عشر (علمي) — الفصل الدراسي الأول · من صفحة 11

أهداف الدرس

  • أتعرف نهاية الدالة عند نقطة.
  • أحسب النهايات من التمثيلات البيانية.
  • أحسب النهايات باستخدام النظريات.
  • أميز النهاية من جهة واحدة والنهاية من الجهتين.
  • أتعرف الصيغة غير المعينة 0/0 وأبسط التعبير لحساب النهاية.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 1430:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 10النهايات والاتصال — Limits and Continuity0:12

مقاطع الدرس

0 من 10 مكتمل

النهايات والاتصال — Limits and Continuity(ص 11)

مشروع الوحدة: السرعة اللحظية(ص 11)

مقدمة المشروع: تسقط صخرة من مرتفع. يمكن ضبط زمن السقوط وحساب السرعة المتوسطة لسقوط الصخرة بسهولة، ولكن في لحظة ما أثناء السقوط ما هي سرعة الصخرة؟(ص 11)

مثال

  1. الهدف: معرفة سرعة الصخرة عند اللحظة

  2. اللحظة المطلوبة.

    t = 2 s
(ص 11)

اللوازم: أوراق رسم، آلة حاسبة علمية، حاسوب، جهاز عرض.(ص 11)

مثال

  1. أسئلة حول التطبيق

  2. تسقط الصخرة وفق العلاقة (قانون جاليليو للسقوط الحر):

    d(t) = 4.9t²

  3. حيث: d(t) المسافة التي تقطعها الصخرة بالأمتار (m)، t الزمن بالثواني s.

(ص 11)
مثال

  1. جدول المشروع — أكمل

  2. السرعة المتوسطة Δd/Δtمدة الفترة الزمنية h بالثانية
(ص 11)
مثال

  1. حل جدول المشروع

  2. نطرح المسافتين ونقسم على الفارق الزمني.

    (d(2 + h) − d(2))/h = (4.9(2 + h)² − 4.9(2)²)/h

  3. نبسط عند فارق زمني غير صفر.

    = 19.6 + 4.9h

  4. قيم السرعة المتوسطة بالأمتار في الثانية.

    السرعة المتوسطة Δd/Δtمدة الفترة الزمنية h بالثانية
    21.560.4
    20.090.1
    19.8450.05
    19.6490.01
    19.60490.001
    19.600490.0001
(ص 11)

التقرير: ضع تقريرًا مفصّلًا يبيّن النتائج التي حصلت عليها مشيرًا إلى المعطيات من دروس الوحدة التي استفدت منها. دعّم تقريرك بملصق أو بعرض على جهاز العرض.(ص 11)

مثال

  1. دروس الوحدة

  2. النهاياتنهايات تشتمل على −∞، ∞صيغ غير معينةنهايات بعض الدوال المثلثيةالاتصالنظريات الاتصالالاتصال على فترة
    1−11−21−31−41−51−61−7
(ص 11)

  1. أين أنت الآن (المعارف السابقة المكتسبة)

  2. رسمت بيان الدالة التربيعية.

  3. رسمت بيانات دوال القوى.

  4. وصفت منحنيات كثيرات الحدود.

  5. أوجدت أصفار دالة كثيرة الحدود.

  6. تعلمت الكثير من المتطابقات المثلثية.

  7. رسمت بيانات بعض الدوال.

(ص 12)

أضف إلى معلوماتك(ص 12)

في النصف الثاني من القرن الثامن عشر، كان الباحثون في الرياضيات قد أدركوا أنه بدون أسس منطقية، سيكون حساب التكامل والتفاضل محدودًا. طوّر أوغوستين لويس كوشي (Augustin–Louis Cauchy) نظرية في النهايات، فألغى معظم الشكوك حول صحة منطق حساب التكامل والتفاضل.(ص 12)

وصف المؤرخ هوارد إيف (Howard Eves) كوشي بأنه إضافة إلى كونه عالمًا رياضيًّا من الطراز الأوّل قدم الكثير لعالم الرياضيات فقد كان أيضًا محاميًّا (مارس المهنة لمدة أربعة عشر عامًا)، ومتسلق جبال، ورسام (استخدم الألوان المائية). ومن صفات كوشي التي ميزته عن معاصريه احترامه للبيئة ودفاعه عنها.(ص 12)

أوغوستين لويس كوشي
أوغوستين لويس كوشي(ص 12)

  1. ماذا سوف تتعلم؟

  2. تعرّف مفهوم نهاية دالة عند نقطة.

  3. حساب نهايات بعض الدوال.

  4. استخدام نظريات النهايات.

  5. إلغاء العامل الصفري (صيغة غير معينة 0/0).

  6. نهايات تشمل على ∞، −∞.

  7. صيغ غير معينة.

  8. نهايات بعض الدوال المثلثية.

  9. نظرية الإحاطة.

  10. استخدام نظرية الإحاطة لإيجاد بعض النهايات.

  11. تعرف اتصال دالة عند نقطة ودراسة الاتصال.

  12. تعرف بعض نظريات الاتصال الأساسية.

  13. بحث اتصال دالة ناتجة من تركيب دالتين.

  14. فهم معنى دالة متصلة على فترة.

  15. تعرف اتصال دالة على فترة.

(ص 12)

المصطلحات الأساسية: نهاية دالة عند نقطة — النهاية من الجهتين — النهاية من جهة واحدة — العامل الصفري — صيغ غير معينة — نظرية الإحاطة — خط مقارب (محاذي) رأسي — خط مقارب (محاذي) أفقي — اللانهاية — اتصال دالة عند نقطة — نقاط الاتصال ونقاط الانفصال — التخلص من الانفصال — دالة مركبة — اتصال دالة على فترة.(ص 12)

النهايات(ص 13)

  1. النهاية عند النقطة.

  2. حساب النهايات من التمثيلات البيانية.

  3. حساب النهايات باستخدام النظريات.

  4. النهاية من جهة واحدة فقط أو من الجهتين.

  5. صيغة غير معينة 0/0.

(ص 13)

  1. جوار — Neighbourhood

  2. المعيار — Norm

  3. جوار ناقص — Punctured Neighbourhood

  4. النهاية من جهة واحدة — One-Sided Limit

  5. النهاية من الجهتين — Two-Sided Limits

  6. صيغة غير معينة 0/0 — Indeterminate Form 0/0

(ص 13)
الجدول الأصلي من الكتاب.
الجدول الأصلي من الكتاب.(ص 13)
مثال

  1. حل العمل التعاوني — أولًا

  2. نحسب منتصف كل فترة ومعيارها.

    الفترةالعدد في منتصف الفترةصورة أخرى للفترة المفتوحةبعد العدد عن طرفي الفترة
    (3،5)4(4 − 1،4 + 1)1
    (1/2،1½)1(1 − 1/2،1 + 1/2)1/2
    (1¾،2¼)2(2 − 1/4،2 + 1/4)1/4
    (0،1)1/2(1/2 − 1/2،1/2 + 1/2)1/2
    (2.9،3.1)3(3 − 0.1،3 + 0.1)0.1
    (6.8،7.2)7(7 − 0.2،7 + 0.2)0.2
(ص 13)
حل العمل التعاوني — تمثيل الفترات المفتوحة الست على خط الأعداد.
حل العمل التعاوني — تمثيل الفترات المفتوحة الست على خط الأعداد.(ص 13)

من «العمل التعاوني» السابق، الفترة المفتوحة (c − a، c + a) تسمّى جوارًا للعدد c وفقًا للمعيار a حيث a > 0.(ص 13)

فمثلًا: الفترة المفتوحة (3،5) هي جوار للعدد4 وفقًا للمعيار1. والفترة (1¾،2¼) هي جوار للعدد2 وفقًا للمعيار¼. وكذلك الفترة (1 99/100،2 1/100) هي جوار للعدد2 وفقًا للمعيار1/100. وعليه يمكننا تحديد جوار لأي عدد باختيارنا معيارًا مناسبًا.(ص 13)

إذا كانت لدينا دالة معرّفة على فترة مفتوحة I من الأعداد الحقيقية وتحوي العدد c فإننا نقول إن هذه الدالة معرّفة في جوار للعدد c (أي I تحوي جوارًا للعدد c).(ص 13)

أما إذا كانت الدالة معرّفة عند جميع عناصر الفترة I ولكنها غير معرفة عند العدد c نفسه فإن الدالة تكون معرّفة في جوار ناقص للعدد c.(ص 13)

تعريف
لتكن x كمية متغيرة، c عددًا حقيقيًا. نقول إن x تقترب من c باطراد إذا كان بالإمكان جعل الكمية |x − c| أصغر من أي عدد حقيقي موجب.(ص 13)

نهاية دالة عند نقطة — Limit of a Function at a Point(ص 14)

مثال

  1. نشاط — أولًا

  2. لتكن الدالة.

    𝑓(x) = (x² − 4)/(x − 2)
(ص 14)
الآلة الحاسبة المستخدمة في النشاط.
الآلة الحاسبة المستخدمة في النشاط.(ص 14)
جدول النشاط — أكمل الجدول التالي.
جدول النشاط — أكمل الجدول التالي.(ص 14)
بيان الدالة 𝑓؛ النقطة عند (2،4) غير داخلة في البيان.
بيان الدالة 𝑓؛ النقطة عند (2،4) غير داخلة في البيان.(ص 14)
حل النشاط — بيان g(x) = x + 2.
حل النشاط — بيان g(x) = x + 2.(ص 14)

من النشاط السابق وجدت أن قيم 𝑓(x) تقترب من العدد 4 كلما كانت x قريبة جدًّا من العدد 2 سواء من اليمين أو اليسار. يسمى العدد 4 نهاية الدالة 𝑓 عندما x تؤول إلى العدد 2. (تقترب باطراد من العدد 2، x ≠ 2).(ص 14)

مثال

  1. ويعبّر عن ذلك بالصورة التالية:

  2. نهاية الدالة عندما تؤول إلى اثنين.

    limx→2 𝑓(x) = 4
(ص 14)

وتقرأ كالتالي: نهاية 𝑓(x) عندما x تؤول إلى 2 تساوي 4. The limit of 𝑓(x) as x approaches 2 equals 4(ص 14)

تعطينا النهايات لغة لوصف سلوك الدالة عندما تقترب مدخلات الدالة من قيمة معينة.(ص 14)

تعريف
تعريف (2): ليكن L، c عددين حقيقيين، 𝑓 دالة حقيقية معرّفة في جوار أو جوار ناقص للعدد c.(ص 14)
مثال

  1. نكتب:

  2. وتعني أنه عندما تقترب x من c باطراد، x ≠ c فإن قيم 𝑓(x) تقترب باطراد من L.

    limx→c 𝑓(x) = L

  3. بشرط ألا تساوي المتغيرة العدد نفسه.

    x ≠ c
(ص 14)

تبيّن الأشكال أدناه حقيقة وجود نهاية عندما x → c حيث لا تعتمد على كون الدالة معرّفة أو غير معرّفة عند c.(ص 15)

وجود النهاية لا يعتمد على تعريف الدالة عند النقطة.
وجود النهاية لا يعتمد على تعريف الدالة عند النقطة.(ص 15)

فعلى سبيل المثال في الدوال التالية:(ص 15)

بيانات الدوال 𝑓 وg وq كما في الكتاب.
بيانات الدوال 𝑓 وg وq كما في الكتاب.(ص 15)
مثال

  1. الدوال الثلاث

  2. الدالة الأولى.

    𝑓(x) = (x² − 1)/(x − 1)

  3. الدالة الثانية.

    g(x) = (x² − 1)/(x − 1)x ≠ 11x = 1

  4. الدالة الثالثة.

    q(x) = x + 1
(ص 15)

الدالة 𝑓 لها نهاية تساوي 2 عندما x → 1 على الرغم من أن 𝑓 ليست معرّفة عند x = 1.(ص 15)

الدالة g لها نهاية تساوي 2 عندما x → 1 على الرغم من أن g(1) ≠ 2.(ص 15)

الدالة q لها نهاية تساوي 2 عندما x → 1، q(1) = 2.(ص 15)

مثال

  1. النهايات متساوية

  2. limx→1 𝑓(x) = limx→1 g(x) = limx→1 q(x) = 2
(ص 15)

النهاية من جهة واحدة أو من جهتين — One-Sided Limit and Two-Sided Limits(ص 15)

أحيانًا تؤول قيم الدالة 𝑓 لقيم مختلفة عندما تقترب x من عدد c من الجهتين.(ص 15)

مثال

  1. النهاية من جهة اليسار

  2. إذا كانت 𝑓(x) تؤول إلى العدد L₁ عندما x تؤول إلى العدد c من جهة اليسار فإننا نعبر عن ذلك بالصورة التالية:

    limx→c⁻ 𝑓(x) = L₁

  3. وتسمى النهاية من جهة اليسار.

(ص 15)
مثال

  1. النهاية من جهة اليمين

  2. وإذا كانت 𝑓(x) تؤول إلى العدد L₂ عندما x تؤول إلى العدد c من جهة اليمين فإننا نعبر عن ذلك بالصورة التالية:

    limx→c⁺ 𝑓(x) = L₂

  3. وتسمى النهاية من جهة اليمين.

(ص 15)
شكل (1) — اختلاف النهايتين من اليمين واليسار.
شكل (1) — اختلاف النهايتين من اليمين واليسار.(ص 15)
مثال

  1. نلاحظ في الشكل (1):

  2. القيمتان مختلفتان.

    L₁ ≠ L₂

  3. أي أن النهايتين غير متساويتين.

    limx→c⁺ 𝑓(x) ≠ limx→c⁻ 𝑓(x)

  4. ولذا نقول إن النهاية غير موجودة.

    limx→c 𝑓(x)
(ص 15)
قاعدة
نظرية (1): يفرض أن c، L عددين حقيقيين. يكون للدالة 𝑓 نهاية عندما تقترب x من c إذا وفقط إذا كانت النهاية من جهة اليمين تساوي النهاية من جهة اليسار.(ص 16)
مثال

  1. ويعبر عن ذلك:

  2. تكافؤ النهاية من الجهتين مع تساوي النهايتين الجانبيتين.

    limx→c 𝑓(x) = L ⇔ limx→c⁺ 𝑓(x) = L = limx→c⁻ 𝑓(x)
(ص 16)
تدريب (1)
تدريب (1)(ص 16)
مثال (1)
مثال (1)(ص 16)
مثال

  1. مثال (1) — أوجد إن أمكن

  2. الأول.

    limx→0 𝑓(x)

  3. الثاني.

    limx→1 𝑓(x)

  4. الثالث.

    limx→2 𝑓(x)

  5. الرابع.

    limx→−2 𝑓(x)
(ص 16)
مثال

  1. الحل

  2. الأول.

    limx→0 𝑓(x) = 0

  3. الثاني: نهاية اليسار.

    limx→1⁻ 𝑓(x) = 1

  4. نهاية اليمين.

    limx→1⁺ 𝑓(x) = 2

  5. النهايتان غير متساويتين، ولذلك النهاية غير موجودة.

    limx→1⁻ 𝑓(x) ≠ limx→1⁺ 𝑓(x)

  6. الثالث.

    limx→2 𝑓(x) = 2

  7. الرابع.

    limx→−2 𝑓(x) = 4
(ص 16)
حاول أن تحل (1) — يمثل الشكل المقابل بيان الدالة 𝑓.
حاول أن تحل (1) — يمثل الشكل المقابل بيان الدالة 𝑓.(ص 17)

حساب النهايات — Calculation of Limits(ص 17)

يمكننا حساب النهايات لبعض الدوال باستخدام النظريات التالية:(ص 17)

مثال

  1. نظرية (2)

  2. إذا كانت 𝑓 دالة:

    𝑓(x) = k

  3. وكانا c، k عددان حقيقيان فإن:

  4. limx→c 𝑓(x) = limx→c k = k
(ص 17)
شكل (2)
شكل (2)(ص 17)
مثال

  1. نظرية (3)

  2. إذا كانت 𝑓 دالة:

    𝑓(x) = x

  3. وكان c عددًا حقيقيًّا فإن:

  4. limx→c 𝑓(x) = limx→c x = c
(ص 17)
شكل (3)
شكل (3)(ص 17)

نظرية (4): إذا كانت k، c، M، L أعدادًا حقيقية،(ص 17)

مثال

  1. فإن:

  2. نهاية الدالة الأولى.

    limx→c 𝑓(x) = L

  3. نهاية الدالة الثانية.

    limx→c g(x) = M
(ص 17)
مثال

  1. قواعد النهايات

  2. قاعدة الجمع:

    limx→c (𝑓(x) + g(x)) = limx→c 𝑓(x) + limx→c g(x) = L + M

  3. قاعدة الطرح:

    limx→c (𝑓(x) − g(x)) = limx→c 𝑓(x) − limx→c g(x) = L − M

  4. قاعدة الضرب:

    limx→c (𝑓(x) · g(x)) = limx→c 𝑓(x) · limx→c g(x) = L · M

  5. قاعدة الضرب في ثابت:

    limx→c (k · 𝑓(x)) = k · limx→c 𝑓(x) = k · L

  6. قاعدة القسمة، بشرط ألا تساوي نهاية المقام صفرًا:

    limx→c (𝑓(x)/g(x)) = (limx→c 𝑓(x))/(limx→c g(x)) = L/M

  7. شرط القسمة.

    M ≠ 0
(ص 17)
مثال

  1. مثال (2) — بفرض أن:

  2. limx→1 g(x) = 5
  3. limx→1 𝑓(x) = −2
(ص 18)
مثال

  1. أوجد:

  2. limx→1 (𝑓(x) − g(x))
  3. limx→1 (2𝑓(x)/g(x))
  4. limx→1 ((g(x) + 4)/(𝑓(x) · g(x)))
(ص 18)
مثال

  1. الحل — أ

  2. limx→1 (𝑓(x) − g(x)) = limx→1 𝑓(x) − limx→1 g(x)
  3. = −2 − 5
  4. = −7
(ص 18)
مثال

  1. الحل — ب

  2. limx→1 g(x) = 5
  3. 5 ≠ 0
  4. limx→1 (2𝑓(x)/g(x)) = (limx→1 2𝑓(x))/(limx→1 g(x))
  5. = (2 limx→1 𝑓(x))/(limx→1 g(x))
  6. = 2(−2)/5
  7. = −4/5
  8. = −0.8
(ص 18)
مثال

  1. الحل — ج

  2. limx→1 (𝑓(x) · g(x)) = limx→1 𝑓(x) · limx→1 g(x)
  3. = −2 × 5
  4. = −10
  5. −10 ≠ 0
  6. limx→1 ((g(x) + 4)/(𝑓(x) · g(x))) = (limx→1 (g(x) + 4))/(limx→1 (𝑓(x) · g(x)))
  7. = (limx→1 g(x) + limx→1 4)/(limx→1 𝑓(x) · limx→1 g(x))
  8. = (5 + 4)/(−10)
  9. = −9/10
  10. = −0.9
(ص 18)

نظرية (5): دوال كثيرات الحدود ودوال الحدوديات النسبية — Polynomial and Rational Functions(ص 19)

a) إذا كانت 𝑓 دالة كثيرة الحدود، c عددًا حقيقيًا، فإن:(ص 19)

مثال

  1. صيغة الدالة ونهايتها

  2. 𝑓(x) = aₙxⁿ + an−1xn−1 + … + a₀
  3. limx→c 𝑓(x) = 𝑓(c) = aₙcⁿ + an−1cn−1 + … + a₀
(ص 19)

b) إذا كانت 𝑓(x)، g(x) كثيرتي حدود، c عددًا حقيقيًا، فإن:(ص 19)

مثال

  1. نهاية الدالة النسبية

  2. limx→c (𝑓(x)/g(x)) = 𝑓(c)/g(c)
  3. g(c) ≠ 0
(ص 19)

ملاحظة: يمكن تطبيق نظرية (5) أ على الدوال التي على الصورة 𝑓(x) = aₙxⁿ + a_{n−1}x^{n−1} + … + a₀ ومجالها مجموعة جزئية من ℝ.(ص 19)

مثال

  1. مثال (3) — أوجد

  2. limx→−1 (x⁴ − 2x³ + 5)
  3. limx→2 ((x² + 2x + 4)/(x + 2))
  4. limx→3 (x²(2 − x))
(ص 19)
مثال

  1. الحل — أ: نظرية (5)

  2. limx→−1 (x⁴ − 2x³ + 5) = (−1)⁴ − 2(−1)³ + 5
  3. = 1 + 2 + 5
  4. = 8
(ص 19)
مثال

  1. الحل — ب: تحقق من أن المقام غير صفر

  2. g(x) = x + 2
  3. g(2) = 2 + 2 = 4
  4. 4 ≠ 0
  5. limx→2 ((x² + 2x + 4)/(x + 2)) = (2² + 2(2) + 4)/(2 + 2)
  6. = (4 + 4 + 4)/4
  7. = 12/4
  8. = 3
(ص 19)
مثال

  1. الحل — ج: نظرية (5)

  2. limx→3 (x²(2 − x)) = limx→3 (2x² − x³)
  3. = 2(3)² − 3³
  4. = 18 − 27
  5. = −9
(ص 19)

نظريات حساب النهايات صحيحة عند حساب النهاية من جهة واحدة.(ص 20)

مثال

  1. مثال (4)

  2. إذا كانت الدالة 𝑓:

    𝑓(x) = 3x + 2x < 15x = 15/xx > 1

  3. فأوجد إن أمكن:

    limx→1 𝑓(x)
(ص 20)
مثال

  1. الحل

  2. النهاية من جهة اليسار.

    limx→1⁻ 𝑓(x) = limx→1⁻ (3x + 2) = 3(1) + 2 = 5

  3. النهاية من جهة اليمين.

    limx→1⁺ 𝑓(x) = limx→1⁺ (5/x) = 5/1 = 5

  4. يمكن التحقق من أن نهاية المقام غير صفر.

    limx→1⁺ 𝑓(x) = limx→1⁻ 𝑓(x) = 5

  5. إذن.

    limx→1 𝑓(x) = 5
(ص 20)
مثال

  1. مثال (5)

  2. إذا كانت الدالة g:

    g(x) = x² − 2x ≤ 01 − 2xx > 0

  3. فأوجد إن أمكن:

    limx→0 g(x)
(ص 20)
مثال

  1. الحل

  2. النهاية من جهة اليسار.

    limx→0⁻ g(x) = limx→0⁻ (x² − 2) = −2

  3. النهاية من جهة اليمين.

    limx→0⁺ g(x) = limx→0⁺ (1 − 2x) = 1

  4. النهايتان غير متساويتين.

    limx→0⁺ g(x) ≠ limx→0⁻ g(x)

  5. إذن النهاية غير موجودة.

    limx→0 g(x)
(ص 20)
مثال

  1. تذكر:

  2. إعادة تعريف المطلق.

    |x − a| = x − ax ≥ a−x + ax < a
(ص 21)

الربط بالحياة: يقدّر الباحثون عدد الحيوانات المهدّدة بالانقراض باستخدام علاقات وضعوها من خلال مراقبتهم. ويستخدمون النهايات لتوقع عدد هذه الحيوانات في الأمد البعيد.(ص 21)

صورة الكتاب الأصلية.
صورة الكتاب الأصلية.(ص 21)
مثال

  1. مثال (6)

  2. لتكن الدالة الممثلة بالشكل.

    𝑓(x) = |x − 3| + 2x

  3. a) اكتب 𝑓(x) دون استخدام رمز القيمة المطلقة.

  4. b) أوجد:

    limx→3⁺ 𝑓(x)
  5. limx→3⁻ 𝑓(x)

  6. c) هل للدالة 𝑓 نهاية عندما x → 3؟

(ص 21)
مثال (6)
مثال (6)(ص 21)
مثال

  1. الحل — أ: اكتب دون استخدام رمز القيمة المطلقة

  2. نعرّف المطلق حسب إشارة ما بداخله.

    𝑓(x) = x − 3 + 2xx ≥ 3−x + 3 + 2xx < 3

  3. نبسط كل حالة.

    = 3x − 3x ≥ 3x + 3x < 3
(ص 21)
مثال

  1. الحل — ب

  2. النهاية من اليمين.

    limx→3⁺ 𝑓(x) = limx→3⁺ (3x − 3) = 3(3) − 3 = 6

  3. النهاية من اليسار.

    limx→3⁻ 𝑓(x) = limx→3⁻ (x + 3) = 3 + 3 = 6
(ص 21)
مثال

  1. الحل — ج

  2. النهايتان متساويتان.

    limx→3⁻ 𝑓(x) = limx→3⁺ 𝑓(x) = 6

  3. للدالة نهاية عندما تؤول المتغيرة إلى ثلاثة، وهذه النهاية تساوي ستة.

    limx→3 𝑓(x) = 6
(ص 21)

قاعدة القوة(ص 22)

مثال

  1. تعلمت مما سبق أن

  2. limx→2 (x + 1) = 2 + 1 = 3
  3. limx→2 (x + 1)² = limx→2 ((x + 1) · (x + 1))
  4. = limx→2 (x + 1) · limx→2 (x + 1) = 3²
  5. limx→2 (x + 1)³ = limx→2 ((x + 1)²(x + 1))
  6. = limx→2 (x + 1)² · limx→2 (x + 1) = 3² · 3 = 3³
(ص 22)

وبالمثل يمكن إيجاد قيمة lim_{x→2} (x + 1)ⁿ حيث n عددًا صحيحًا موجبًا وهي تساوي 3ⁿ.(ص 22)

نظرية (6): بفرض أن lim_{x→c} 𝑓(x) موجودة وكانت n عددًا صحيحًا موجبًا فإن:(ص 22)

مثال

  1. نظرية (6) — أ

  2. limx→c (𝑓(x))ⁿ = (limx→c 𝑓(x))ⁿ
(ص 22)
مثال

  1. نظرية (6) — ب

  2. limx→c ⁿ√(x) = ⁿ√(c)
(ص 22)

في حالة n عددًا زوجيًا يشترط أن يكون c > 0.(ص 22)

مثال

  1. نظرية (6) — ج

  2. limx→c ⁿ√(𝑓(x)) = ⁿ√(limx→c 𝑓(x))
(ص 22)

في حالة n عددًا زوجيًا يشترط أن تكون lim_{x→c} 𝑓(x) > 0.(ص 22)

ملاحظة: سنكتفي بدراسة حالات الجذور التربيعية والتكعيبية للدوال فقط.(ص 22)

مثال

  1. مثال (7) — أوجد

  2. limx→−1 (x² − 3x − 1)⁵
  3. limx→2 ∛(x − 3)
  4. limx→3 (√(3x² − 2)/(x − 2))
(ص 22)
مثال

  1. الحل — أ

  2. limx→−1 (x² − 3x − 1)⁵ = (limx→−1 (x² − 3x − 1))⁵ = 3⁵ = 243
(ص 22)
مثال

  1. الحل — ب

  2. limx→2 ∛(x − 3) = ∛(limx→2 (x − 3))
  3. = ∛(2 − 3) = ∛(−1) = −1
(ص 22)
مثال

  1. الحل — ج

  2. limx→3 (x − 2) = 1
  3. 1 ≠ 0
  4. limx→3 (3x² − 2) = 25
  5. 25 > 0
  6. limx→3 √(3x² − 2) = √(limx→3 (3x² − 2)) = √25 = 5
  7. limx→3 (√(3x² − 2)/(x − 2)) = (limx→3 √(3x² − 2))/(limx→3 (x − 2))
  8. = 5/1 = 5
(ص 22)

إلغاء العامل الصفري في المقام — Eliminating Zero Factor of the Denominator(ص 23)

إذا كان لدينا دالة نسبية وكانت نهاية مقام هذه الدالة النسبية لا تساوي الصفر عندما x → c فإننا نطبّق نظرية (4) فرع هـ لإيجاد نهاية هذه الدالة. أما إذا ساوت نهاية المقام الصفر، فإننا نقوم باختصار العامل الصفري المشترك بين البسط والمقام، إن وجد، ثم نستخدم الصيغة المبسطة لإيجاد النهاية.(ص 23)

  1. عند التعويض المباشر لقيمة x في كل من البسط والمقام وحصلنا على 0/0 فإنها تسمّى «صيغة غير معينة» (Indeterminate Form).

  2. يمكن استخدام التحليل أو القسمة أو الضرب بالمرافق أو غيرها لإيجاد الصيغة المبسطة.

(ص 23)

تذكر: مرافق العدد الجذري هو عدد جذري بحيث يكون ناتج ضرب العددين عددًا نسبيًا.(ص 23)

مثال

  1. أمثلة — مترافقان

  2. الأول.

    √2 − 1 ، √2 + 1

  3. الثاني.

    √3 + √2 ، √3 − √2

  4. الثالث.

    ∛a − ∛b ، ∛(a²) + ∛(ab) + ∛(b²)

  5. الرابع.

    ∛a + ∛b ، ∛(a²) − ∛(ab) + ∛(b²)
(ص 23)

تذكر: إذا كان a صفرًا للدالة الحدودية 𝑓(x) فإن (x − a) عامل من عوامل 𝑓(x).(ص 23)

مثال

  1. مثال (8) — أوجد إن أمكن

  2. أ.

    limx→1 ((x² + x − 2)/(x² − x))

  3. ب.

    limx→0 (((2 + x)³ − 8)/x)

  4. ج.

    limx→1 (|x − 1|/(x² − 1))
(ص 23)

الحل — أ: عند التعويض المباشر عن x بـ1 في كل من البسط والمقام نحصل على صيغة غير معينة.(ص 23)

مثال

  1. الحل — أ

  2. عامل صفري مشترك بين البسط والمقام.

    (x² + x − 2)/(x² − x) = ((x − 1)(x + 2))/(x(x − 1))

  3. نختصر.

    = (x + 2)/x

  4. شرط الاختصار.

    x ≠ 1

  5. استخدام الصيغة المبسطة.

    limx→1 ((x² + x − 2)/(x² − x)) = limx→1 ((x + 2)/x)

  6. نهاية المقام.

    limx→1 x = 1

  7. غير صفر.

    1 ≠ 0

  8. عوّض عن المتغيرة بواحد.

    limx→1 ((x + 2)/x) = (1 + 2)/1 = 3
(ص 23)
مثال

  1. تذكر:

  2. فرق المكعبين.

    a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

  3. مجموع المكعبين.

    a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
(ص 24)

الحل — ب: عند التعويض المباشر عن x بـ0 في كل من البسط والمقام نحصل على صيغة غير معينة.(ص 24)

مثال

  1. تابع حل المثال (8) — ب

  2. نحلل فرق المكعبين.

    ((2 + x)³ − 8)/x = ((2 + x − 2)((2 + x)² + 2(2 + x) + 2²))/x

  3. عامل صفري مشترك بين البسط والمقام.

    = (x(4 + 4x + x² + 4 + 2x + 4))/x

  4. نبسط.

    = x² + 6x + 12

  5. شرط الاختصار.

    x ≠ 0

  6. استخدام الصيغة المبسطة.

    limx→0 (((2 + x)³ − 8)/x) = limx→0 (x² + 6x + 12) = 12
(ص 24)

الحل — ج: عند التعويض المباشر عن x بـ1 في كل من البسط والمقام نحصل على صيغة غير معينة.(ص 24)

تابع حل المثال (8) — c، من الكتاب دون تعديل.
تابع حل المثال (8) — c، من الكتاب دون تعديل.(ص 24)
مثال

  1. مثال (9) — أوجد

  2. أ.

    limx→2 ((√(2x − 3) − 1)/(x − 2))

  3. ب.

    limx→1 ((x − 1)/(∛x − 1))

  4. ج.

    limx→−2 ((x² − 4)/∛(x + 2))
(ص 25)

الحل — أ: عند التعويض المباشر عن x بـ2 في كل من البسط والمقام نحصل على صيغة غير معينة.(ص 25)

مثال

  1. الحل — أ

  2. اضرب البسط والمقام في مرافق البسط.

    (√(2x − 3) − 1)/(x − 2) = ((√(2x − 3) − 1)/(x − 2)) × ((√(2x − 3) + 1)/(√(2x − 3) + 1))

  3. فرق مربعين.

    = (2x − 3 − 1)/((x − 2)(√(2x − 3) + 1))
  4. (√a − b)(√a + b) = a − b²

  5. عامل مشترك بين البسط والمقام.

    = (2(x − 2))/((x − 2)(√(2x − 3) + 1))

  6. نختصر.

    = 2/(√(2x − 3) + 1)

  7. شرط الاختصار.

    x ≠ 2

  8. تحقق أن نهاية ما تحت الجذر أكبر من الصفر.

    limx→2 (2x − 3) = 1

  9. موجب.

    1 > 0

  10. نهاية المقام.

    limx→2 (√(2x − 3) + 1) = limx→2 √(2x − 3) + limx→2 1

  11. نستخدم قاعدة الجذر.

    = √(limx→2 (2x − 3)) + 1 = 1 + 1 = 2

  12. المقام غير صفر.

    2 ≠ 0

  13. السطر التالي منقول كما في الكتاب، وفيه ملاحظة مراجعة على إشارة البسط.

    limx→2 ((√(2x − 3) + 1)/(x − 2)) = limx→2 (2/(√(2x − 3) + 1))

  14. حساب النهاية المطلوبة.

    = (limx→2 2)/(limx→2 (√(2x − 3) + 1)) = 2/2 = 1
(ص 25)

الحل — ب: عند التعويض المباشر عن x بـ1 في كل من البسط والمقام نحصل على صيغة غير معينة.(ص 25)

مثال

  1. الحل — ب

  2. حلل البسط: الفرق بين مكعبين.

    (x − 1)/(∛x − 1) = ((∛x − 1)(∛(x²) + ∛x + 1))/(∛x − 1)

  3. نختصر.

    = ∛(x²) + ∛x + 1

  4. شرط الاختصار.

    x ≠ 1

  5. استخدام الصيغة المبسطة.

    limx→1 ((x − 1)/(∛x − 1)) = limx→1 (∛(x²) + ∛x + 1)

  6. نوزع النهاية.

    = limx→1 ∛(x²) + limx→1 ∛x + limx→1 1

  7. نستخدم قاعدة الجذر.

    = ∛(limx→1 x²) + ∛(limx→1 x) + 1

  8. نعوض.

    = 1 + 1 + 1 = 3
(ص 25)
مثال

  1. معلومة:

  2. تحليل فرق مربعين.

    x − a = (√x − √a)(√x + √a)

  3. شرط المتغيرة.

    x ≥ 0

  4. شرط العدد.

    a ≥ 0

  5. تحليل فرق مكعبين.

    x − a = (∛x − ∛a)(∛(x²) + ∛(xa) + ∛(a²))

  6. تحليل مجموع مكعبين.

    x + a = (∛x + ∛a)(∛(x²) − ∛(xa) + ∛(a²))
(ص 25)

الحل — ج: عند التعويض عن x بـ−2 في كل من البسط والمقام نحصل على صيغة غير معينة.(ص 26)

مثال

  1. تابع المثال (9) — ج

  2. نضرب في المرافق.

    (x² − 4)/∛(x + 2) = ((x² − 4)/∛(x + 2)) × (∛((x + 2)²)/∛((x + 2)²))

  3. مرافق الجذر التكعيبي:

    ∛a ، ∛(a²)
  4. ∛(a²) · ∛a = a

  5. حاصل ضرب الجذرين.

    = ((x² − 4) × ∛((x + 2)²))/(x + 2)

  6. نحلل فرق مربعين.

    = ((x + 2)(x − 2)∛((x + 2)²))/(x + 2)
  7. a² − b² = (a − b)(a + b)

  8. نختصر.

    = (x − 2)∛((x + 2)²)

  9. شرط الاختصار.

    x ≠ −2

  10. استخدام الصيغة المبسطة.

    limx→−2 ((x² − 4)/∛(x + 2)) = limx→−2 ((x − 2)∛((x + 2)²))

  11. قاعدة الضرب.

    = limx→−2 (x − 2) · limx→−2 ∛((x + 2)²)

  12. قاعدة الجذر.

    = limx→−2 (x − 2) · ∛(limx→−2 (x + 2)²)

  13. التعويض.

    = (−2 − 2) · ∛((−2 + 2)²)

  14. الناتج.

    = (−4) × 0 = 0
(ص 26)
مثال

  1. مثال (10) — أوجد

  2. أ.

    limx→−1 ((x³ + 6x² + 2x − 3)/(x + 1))

  3. ب.

    limx→−2 ((x⁵ + 32)/(x + 2))
(ص 26)

الحل — أ: عند التعويض عن x بـ−1 في كل من البسط والمقام نحصل على صيغة غير معينة.(ص 26)

المثال (10) أ — القسمة التركيبية.
المثال (10) أ — القسمة التركيبية.(ص 27)
مثال

  1. تابع الحل — أ

  2. الناتج والباقي صفر.

    (x³ + 6x² + 2x − 3)/(x + 1) = x² + 5x − 3

  3. شرط الاختصار.

    x ≠ −1

  4. الصيغة المبسطة.

    limx→−1 ((x³ + 6x² + 2x − 3)/(x + 1)) = limx→−1 (x² + 5x − 3)

  5. عوّض عن المتغيرة بسالب واحد.

    = (−1)² + 5(−1) − 3

  6. الناتج.

    = −7
(ص 27)

الحل — ب: عند التعويض عن x بـ−2 في كل من البسط والمقام نحصل على صيغة غير معينة.(ص 27)

مثال

  1. كتابة معاملات الحدود الناقصة

  2. نضع الأصفار للحدود الناقصة.

    x⁵ + 32 = x⁵ + 0x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x + 32
(ص 27)
المثال (10) ب — القسمة التركيبية.
المثال (10) ب — القسمة التركيبية.(ص 27)
مثال

  1. تابع الحل — ب

  2. الناتج والباقي صفر.

    (x⁵ + 32)/(x + 2) = x⁴ − 2x³ + 4x² − 8x + 16

  3. شرط الاختصار.

    x ≠ −2

  4. الصيغة المبسطة.

    limx→−2 ((x⁵ + 32)/(x + 2)) = limx→−2 (x⁴ − 2x³ + 4x² − 8x + 16)

  5. عوّض عن المتغيرة بسالب اثنين.

    = (−2)⁴ − 2(−2)³ + 4(−2)² − 8(−2) + 16

  6. نجمع.

    = 16 + 16 + 16 + 16 + 16

  7. بسط.

    = 80
(ص 27)

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

8 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 8

  1. المسألة · الكتاب ص 18

    أوجد lim_{x→1} (𝑓(x) − g(x)).

    المعطيات

    1. lim_{x→1} 𝑓(x) = −2من هنا
    2. lim_{x→1} g(x) = 5
    1. lim_{x→1} (𝑓(x) − g(x)) = lim_{x→1} 𝑓(x) − lim_{x→1} g(x)

    المعلم: نَسْتَخْدِمُ قَاعِدَةَ الطَّرْحِ، لِأَنَّ نِهَايَتَيِ الدَّالَّتَيْنِ مَوْجُودَتَانِ وَمُعْطَاتَانِ فِي السُّؤَالِ. نَكْتُبُ نِهَايَةَ الْأُولَى نَاقِصَ نِهَايَةِ الثَّانِيَةِ مَعَ حِفْظِ التَّرْتِيبِ.

    الخطوة 1 من 3

الملخص

  • وجود النهاية عند نقطة لا يعتمد على كون الدالة معرّفة عند النقطة نفسها.
  • توجد النهاية من الجهتين إذا وفقط إذا تساوت النهايتان من اليمين واليسار.
  • نهاية الدالة الثابتة هي الثابت نفسه، ونهاية دالة التطابق هي العدد الذي تؤول إليه المتغيرة.
  • تطبق قواعد الجمع والطرح والضرب على النهايات الموجودة، وتشترط القسمة أن تكون نهاية المقام غير صفر.
  • تحسب نهاية كثيرة الحدود بالتعويض، وتحسب نهاية الدالة النسبية بالتعويض إذا كان المقام غير صفر.
  • تستخدم قواعد القوة والجذر مع الشروط المبينة في الكتاب.
  • الصيغة 0/0 غير معينة؛ نستخدم التحليل أو المرافق أو القسمة لإلغاء العامل الصفري المشترك إن وجد.

الأفكار الرئيسية

  1. النهاية تصف سلوك الدالة قرب النقطة، ولا يلزم أن تساوي قيمتها عند النقطة.
  2. اختلاف نهايتي اليمين واليسار يعني عدم وجود النهاية من الجهتين.
  3. التبسيط قبل التعويض يعالج بعض الصيغ غير المعينة مع الحفاظ على شرط الاختصار.

الأسئلة المهمة

هل يلزم أن تكون الدالة معرّفة عند النقطة حتى توجد نهايتها؟

لا؛ تبين أمثلة الكتاب أن النهاية قد توجد والدالة غير معرّفة عند النقطة، أو أن قيمتها عند النقطة تختلف عن النهاية.

الكتاب صفحة 15

ما شرط وجود النهاية من الجهتين؟

أن تكون النهاية من جهة اليمين مساوية للنهاية من جهة اليسار.

الكتاب صفحة 16

متى تستخدم قاعدة القسمة في حساب النهايات؟

عندما توجد نهايتا البسط والمقام وتكون نهاية المقام غير صفر.

الكتاب صفحة 17

ما دلالة الحصول على 0/0 بالتعويض المباشر؟

صيغة غير معينة، وتحتاج إلى تبسيط مناسب مثل التحليل أو القسمة أو الضرب بالمرافق.

الكتاب صفحة 23

لماذا ندرس جهتي الاقتراب في دالة القيمة المطلقة؟

لأن فك القيمة المطلقة يتغير بحسب إشارة ما بداخلها؛ نحسب كل جهة بصيغتها ثم نقارن النهايتين.

الكتاب صفحة 21

اختبار الدرس

أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.

سؤال 1
1

نهاية الدالة الثابتة 𝑓(x) = k عندما x → c هي:

سهل
سؤال 2
2

إذا كانت النهاية من اليمين تساوي 1 ومن اليسار تساوي 2، فإن النهاية من الجهتين:

سهل
سؤال 3
3

في مثال (3)، قيمة lim_{x→−1} (x⁴ − 2x³ + 5) هي:

متوسط
سؤال 4
4

في مثال (7)، قيمة lim_{x→2} ∛(x − 3) هي:

متوسط
سؤال 5
5

وجود نهاية الدالة عند نقطة يستلزم أن تكون معرّفة عند النقطة نفسها.

سهل
سؤال 6
6

يمكن استخدام قاعدة قسمة النهايات إذا كانت نهاية المقام صفرًا.

سهل
سؤال 7
7

ما اسم الصيغة 0/0 الناتجة من التعويض المباشر؟

سهل
سؤال 8
8

في المثال (8) أ، أوجد lim_{x→1} ((x² + x − 2)/(x² − x)).

صعب

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

سؤال 1
1

اشرح الفرق بين قيمة الدالة عند نقطة ونهايتها مستعينًا بالدوال الثلاث في صفحة 15.

متوسط
سؤال 2
2

أوجد نهايتي اليمين واليسار للدالة 𝑓(x) = |x − 1|/(x − 1) عند الواحد، ثم قرر وجود النهاية.

صعب
سؤال 3
3

في حاول أن تحل (8) أ، أوجد lim_{x→−2} ((x² + 3x + 2)/(x² − 4)).

صعب

مصطلحات الدرس

جوار
الفترة المفتوحة (c − a، c + a) تسمّى جوارًا للعدد c وفقًا للمعيار a حيث a > 0.
جوار ناقص
تكون الدالة معرّفة عند جميع عناصر الفترة المفتوحة ولكنها غير معرفة عند العدد نفسه.
النهاية من جهة واحدة
النهاية عندما تؤول المتغيرة إلى العدد من جهة اليسار أو من جهة اليمين.
صيغة غير معينة
عند التعويض المباشر في البسط والمقام والحصول على 0/0 تسمّى صيغة غير معينة.
مرافق العدد الجذري
عدد جذري بحيث يكون ناتج ضرب العددين عددًا نسبيًا.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 38 تمرينًا.

مشروع الوحدة — أاحسب السرعة المتوسطة Δd/Δt خلال أول ثانيتين من السقوط.(ص 11)

(d(2) − d(0))/(2 − 0) = (4.9 × 4 − 0)/2 = 9.8 m/s.

مشروع الوحدة — بأكمل الجدول التالي الذي يمثّل السرعة المتوسطة للصخرة في الفترة الزمنية من اللحظة t = 2 إلى اللحظة t = 2 + h، حيث Δt = h هو الفارق في الزمن.(ص 11)

Δd/Δt = 19.6 + 4.9h. القيم بالترتيب:21.56،20.09،19.845،19.649،19.6049،19.60049 m/s.

مشروع الوحدة — جما الذي تلاحظه بالنسبة إلى معدل السرعة عندما تقترب h كثيرًا من الصفر؟(ص 11)

تقترب السرعة المتوسطة من 19.6 m/s.

مشروع الوحدة — دما تقريبًا سرعة الصخرة عند t = 2؟(ص 11)

19.6 m/s.

عمل تعاوني — ثانيًااكتب الفترة المفتوحة التي يبعد طرفاها بمقدار 1/5 عن العدد الحقيقي 3.(ص 13)

(3 − 1/5، 3 + 1/5) = (14/5، 16/5).

عمل تعاوني — ثالثًااكتب فترة مفتوحة يبعد طرفاها بمقدار a عن العدد الحقيقي c.(ص 13)

(c − a، c + a)، حيث a > 0.

النشاط — أولًا أأوجد مجال الدالة 𝑓.(ص 14)

ℝ ∖ {2}؛ لأن المقام يساوي صفرًا عند 2.

النشاط — أولًا بهل يمكن إيجاد 𝑓(2)؟(ص 14)

لا؛ الدالة غير معرّفة عند 2.

النشاط — أولًا جأكمل الجدول التالي.(ص 14)

𝑓(x) = x + 2 عندما x ≠ 2. القيم المقابلة للمدخلات المعطاة:3.9،3.99،3.999،3.9999،غيرمعرّف عند2،4.0001،4.001،4.01،4.1.

النشاط — أولًا دماذا تلاحظ على قيم x؟ (هل تقترب من عدد محدد؟)(ص 14)

تقترب من 2 من اليمين واليسار.

النشاط — أولًا هـماذا تلاحظ على قيم 𝑓(x)؟ (هل تقترب من عدد محدد؟)(ص 14)

تقترب من 4.

النشاط — ثانيًا أهل يمكن تبسيط الدالة السابقة 𝑓؟ كيف؟(ص 14)

نحلل البسط إلى(x −2)(x +2)، ونختصر العامل(x −2)لأنx≠2؛ فيكون𝑓(x)=x+2مع بقاء استبعاد2من المجال.

النشاط — ثانيًا بارسم بيان الدالة g حيث g(x) = x + 2.(ص 14)

مستقيم ميله 1 وقطعه على محور الصادات 2، ويشمل النقطة (2،4). الرسم التعليمي للحل مرفق ضمن الشرح.

النشاط — ثالثًاقارن بين الدالتين g، 𝑓.(ص 14)

تتساوى القيم لكل x ≠ 2؛ الدالة 𝑓 غير معرّفة عند 2، بينما g(2) = 4. نهاية كل منهما 4 عندما تؤول x إلى 2.

تدريب (1) — 1أكمل: lim_{x→1⁺} 𝑓(x) ...(ص 16)

2؛ من قراءة البيان المعطى.

تدريب (1) — 2أكمل: lim_{x→1⁻} 𝑓(x) ...(ص 16)

1؛ من قراءة البيان المعطى.

تدريب (1) — 3أكمل: lim_{x→1} 𝑓(x) ...(ص 16)

غير موجودة؛ لأن نهاية اليمين 2 ونهاية اليسار 1.

تدريب (1) — 4أكمل: lim_{x→2⁺} 𝑓(x) ...(ص 16)

3؛ من قراءة البيان المعطى.

تدريب (1) — 5أكمل: lim_{x→2⁻} 𝑓(x) ...(ص 16)

3؛ من قراءة البيان المعطى.

تدريب (1) — 6أكمل: lim_{x→2} 𝑓(x) ...(ص 16)

3؛ من قراءة البيان المعطى.

تدريب (1) — 7أكمل: lim_{x→3⁺} 𝑓(x) ...(ص 16)

1؛ من قراءة البيان المعطى.

تدريب (1) — 8أكمل: lim_{x→3⁻} 𝑓(x) ...(ص 16)

1؛ من قراءة البيان المعطى.

تدريب (1) — 9أكمل: lim_{x→3} 𝑓(x) ...(ص 16)

1؛ من قراءة البيان المعطى.

تدريب (1) — 10أكمل: lim_{x→0⁺} 𝑓(x) ...(ص 16)

0؛ من قراءة البيان المعطى.

تدريب (1) — 11أكمل: lim_{x→4⁻} 𝑓(x) ...(ص 16)

1؛ من قراءة البيان المعطى.

حاول أن تحل (1)يمثل الشكل المقابل بيان الدالة 𝑓. أوجد إن أمكن:a) lim_{x→−1} 𝑓(x)b) lim_{x→0} 𝑓(x)c) lim_{x→2} 𝑓(x)d) lim_{x→3} 𝑓(x)(ص 17)

a) 1.b) 2.c) غير موجودة؛ لأن نهاية اليسار 0 ونهاية اليمين 2.d) 1.

حاول أن تحل (2)بفرض أن: lim_{x→2} g(x) = −3 lim_{x→2} 𝑓(x) = 7 أوجد:a) lim_{x→2} (𝑓(x) + g(x))b) lim_{x→2} (𝑓(x) · g(x))c) lim_{x→2} ((8𝑓(x) · g(x))/(𝑓(x) + g(x)))(ص 18)

a) 7 − 3 = 4.b) 7 × (−3) = −21.c) 8 × 7 × (−3)/(7 −3) = −168/4 = −42؛ نهاية المقام 4 غير صفر.

حاول أن تحل (3) — أهل يمكن حل ج في المثال (3) بطريقة أخرى؟(ص 19)

نعم؛ بقاعدة الضرب نحسب نهاية x² وهي 9، ونهاية (2 − x) وهي −1، وحاصل الضرب −9.

حاول أن تحل (3) — بأوجد:1) lim_{x→1} (x³ + 3x² − 2x − 17)2) lim_{x→2} ((x² + 5x +6)/(x + 2))(ص 19)

1) 1 + 3 − 2 − 17 = −15.2) (4 + 10 +6)/(2 +2) = 20/4 = 5؛ المقام 4 غير صفر.

حاول أن تحل (4)إذا كانت الدالة 𝑓: 𝑓(x) = { x² − 3 : x < 2 ، x − 1 : x > 2 } فأوجد إن أمكن lim_{x→2} 𝑓(x).(ص 20)

نهاية اليسار = 2² − 3 = 1، ونهاية اليمين = 2 − 1 = 1. تتساوى النهايتان، فالنهاية 1 مع أن 𝑓 غير معرّفة عند 2.

حاول أن تحل (5)إذا كانت الدالة g: g(x) = { x³ + x : x > 1 ، x/(x² + 1) : x ≤ 1 } فأوجد إن أمكن lim_{x→1} g(x).(ص 20)

نهاية اليمين = 1³ + 1 = 2، ونهاية اليسار = 1/(1² + 1) = 1/2. النهايتان مختلفتان؛ النهاية غير موجودة.

تدريب (2)لتكن 𝑓(x) = |x − 1|/(x −1)، حيث x ≠ 1.a) اكتب 𝑓(x) بدون استخدام رمز القيمة المطلقة. (بإعادة تعريف المطلق).b) أوجد lim_{x→1⁺} 𝑓(x) وlim_{x→1⁻} 𝑓(x).c) هل للدالة 𝑓 نهاية عندما x → 1؟ فسّر.(ص 21)

a) 𝑓(x) = { 1 : x > 1 ، −1 : x < 1 }.b) نهاية اليمين 1 ونهاية اليسار −1.c) لا؛ لأن النهايتين من الجهتين مختلفتان.

حاول أن تحل (6)لتكن 𝑓: 𝑓(x) = x² − |x + 2|.a) اكتب 𝑓(x) دون استخدام رمز القيمة المطلقة.b) أوجد lim_{x→−2⁻} 𝑓(x)، lim_{x→−2⁺} 𝑓(x).c) هل للدالة 𝑓 نهاية عندما x → −2؟(ص 21)

a) 𝑓(x) = { x² − x − 2 : x ≥ −2 ، x² + x + 2 : x < −2 }.b) من اليسار 4 − 2 + 2 = 4، ومن اليمين 4 + 2 − 2 = 4.c) نعم؛ النهاية 4 لتساوي النهايتين.

حاول أن تحل (7)أوجد:a) lim_{x→5} √(x² −5)b) lim_{x→4} (x + √x)⁴c) lim_{x→−1} (∛(x³ − 4x +5)/(x − 2))(ص 23)

a)√20=2√5.b)(4+2)⁴=1296.c)∛8/(−3)=−2/3.

حاول أن تحل (8)أوجد إن أمكن:a) lim_{x→−2} ((x² + 3x +2)/(x² − 4))b) lim_{x→−7} (((x +4)² −9)/(x² + 7x))c) lim_{x→5} ((|x + 2| −7)/(x² − 25))(ص 24)

a) نختصر (x +2) فتصبح (x +1)/(x −2)، وبالتعويض (−1)/(−4) = 1/4.b) البسط (x +1)(x +7) والمقام x(x +7)، فنختصر ثم نعوض في (x +1)/x لنحصل على 6/7.c) في جوار 5 يكون x + 2 موجبًا؛ البسط x − 5 والمقام (x −5)(x +5)، والنهاية 1/10.

حاول أن تحل (9)أوجد إن أمكن:a) lim_{x→2} ((√(x² +5) −3)/(x² − 2x))b) lim_{x→−1} (∛(x³ +1)/∛(x + 1))c) lim_{x→9} ((x −9)/(3 − √x))(ص 26)

a) نضرب في المرافق ونختصر (x −2) فنحصل على (x +2)/(x(√(x² +5) + 3))، والنهاية 1/3.b) نحلل x³ + 1 ونختصر (x +1) داخل الجذر؛ فتصير ∛(x² − x +1) ونهايتها ∛3.c) x − 9 = −(3 − √x)(3 + √x)، فتصبح −(3 + √x) ونهايتها −6.

حاول أن تحل (10)أوجد إن أمكن:a) lim_{x→3} ((x³ − 2x² − 4x +3)/(x − 3))b) lim_{x→2} ((−x⁵ + x³ + x + 22)/(x − 2))(ص 27)

a) بالقسمة التركيبية على x − 3 الناتج x² + x − 1 والباقي 0؛ النهاية 9 + 3 − 1 = 11. b) بالقسمة التركيبية الناتج −x⁴ − 2x³ − 3x² − 6x − 11 والباقي 0؛ النهاية −16 − 16 − 12 − 12 − 11 = −67.

عمل تعاوني — أولًاأكمل الجدول التالي كما في1.(ص 13)

المنتصف والمعيار بالترتيب: (4،1)، (1،1/2)، (2،1/4)، (1/2،1/2)، (3،0.1)، (7،0.2). جدول الحل وتمثيل الفترات المفتوحة مرفقان ضمن الشرح.

صفحات الكتاب

صفحات هذا الدرس من كتاب الطالب الرسمي كما هي، صفحات 11 إلى 27.

صفحة 11صفحة 11صفحة 12صفحة 12صفحة 13صفحة 13صفحة 14صفحة 14صفحة 15صفحة 15صفحة 16صفحة 16صفحة 17صفحة 17صفحة 18صفحة 18صفحة 19صفحة 19صفحة 20صفحة 20صفحة 21صفحة 21صفحة 22صفحة 22صفحة 23صفحة 23صفحة 24صفحة 24صفحة 25صفحة 25صفحة 26صفحة 26صفحة 27صفحة 27

المصدر: الرياضيات — الصف الثاني عشر (علمي) — الفصل الدراسي الأول

  • ص 14: «تعطينا النهايات لغة لوصف سلوك الدالة عندما تقترب مدخلات الدالة من قيمة معينة.»
  • ص 20: «نظريات حساب النهايات صحيحة عند حساب النهاية من جهة واحدة.»
  • ص 23: «مرافق العدد الجذري هو عدد جذري بحيث يكون ناتج ضرب العددين عددًا نسبيًا.»