منصة المنقذ التعليمية

أهداف الدرس

أكتب عدداً حقيقياً في الصورة الجذرية.
أكتب عدداً حقيقياً في الصورة الأسية.
أحوّل من الصورة الجذرية إلى الصورة الأسية.
أحوّل من الصورة الأسية إلى الصورة الجذرية.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 540:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 3١–٢ الأسس النسبية وخواصها — Rational Exponents and Properties4:08

مقاطع الدرس

0 من 3 مكتمل

١–٢ الأسس النسبية وخواصها — Rational Exponents and Properties(ص 25)

دعنا نفكر ونتناقش
عرفت سابقاً أن:س³ × س³ = س⁶
٣ + ٣ = ٦
وقلنا أن س³ هو جذر تربيعي لـ س⁶.٣ = ٦/٢
كذلك:س² × س² = س⁴
∴ س² جذر تربيعي لـ س⁴.
س⁻¹ × س⁻¹ = س⁻²
∴ س⁻¹ جذر تربيعي لـ س⁻²، س ≠ ٠.
الجذر التربيعي الأساسي للعدد الموجب س هو √س.
ويكون:√س × √س = س
وإذا كتبنا هذه العبارة في الصورة الأسية (لماذا؟)س^□ × س^□ = س = س¹
بالمقارنة مع ما ورد أعلاه نستطيع أن نكتب:□ + □ = ١
∴ □ = ١/٢
تكتب:√س × √س = س
س^(١/٢) × س^(١/٢) = س
وقد اعتمدت هذه الصورة وعممت لكتابة أي تعبير جذري.

الصورة الجذرية الصورة الأسية
√٢٥ ٢٥^(١/٢)
∛٢٧ ٢٧^(١/٣)
⁴√٦٤ ٦٤^(١/٤)

الصورة الجذرية	الصورة الأسية
√٢٥	٢٥^(١/٢)
∛٢٧	٢٧^(١/٣)
⁴√٦٤	٦٤^(١/٤)

(ص 25)

قاعدة

يعبر دليل الجذر عن الجذر الذي تريده، وفي الصورة الأسية يصبح دليل الجذر مقاماً للأس كما هو مبين في الجدول السابق.(ص 25)

مثال (1) — أ: بسّط كلاً من التعبيرات الجذرية التالية: ⁴√١٦(ص 26)

مثال

مثال (2) — أ: اكتب كل عدد مما يلي في الصورة الجذرية، ثم بسّط: ١٢٥^(١/٣)
اكتب العدد ١٢٥^(١/٣) بالصورة الجذرية
١٢٥^(١/٣) = ∛١٢٥
اكتب ١٢٥ على صورة مكعب كامل
= ∛(٥³)
∛(س³) = س
= ٥
∴ ١٢٥^(١/٣) = ٥

(ص 27)

مثال

مثال (2) — ب: اكتب كل عدد مما يلي في الصورة الجذرية، ثم بسّط: ٥^(١/٢) × ٥^(١/٢)
اكتب ٥^(١/٢) بالصورة الجذرية
٥^(١/٢) × ٥^(١/٢) = √٥ × √٥
√س × √س = (√س)² = س لكل س ≥ ٠
= ٥
∴ ٥^(١/٢) × ٥^(١/٢) = ٥

(ص 27)

مثال

مثال (2) — جـ: اكتب كل عدد مما يلي في الصورة الجذرية، ثم بسّط: ١٠^(١/٣) × ١٠٠^(١/٣)
اكتب ١٠^(١/٣) و١٠٠^(١/٣) بالصورة الجذرية
١٠^(١/٣) × ١٠٠^(١/٣) = ∛١٠ × ∛١٠٠
∛س × ∛ص = ∛(س × ص)
= ∛(١٠ × ١٠٠)
= ∛(١٠ × ١٠²)
س^م × س^ن = س^(م + ن)
= ∛(١٠³)
∛(س³) = س
= ١٠
∴ ١٠^(١/٣) × ١٠٠^(١/٣) = ١٠

(ص 27)

مثال

مثال (4) — أ — س: اكتب س^(٢/٥)، ص^(٥/٢) بالصورة الجذرية لكل ص > ٠، ثم بسّط إن أمكن:
س^(م × ن) = (س^م)^ن
س^(٢/٥) = (س^(١/٥))²
س^(١/٥) = ⁵√س
= (⁵√س)²
(⁵√س)² = ⁵√(س²)
= ⁵√(س²)
∴ س^(٢/٥) = ⁵√(س²)

(ص 28)

مثال

مثال (4) — أ — ص: اكتب ص^(٥/٢) بالصورة الجذرية لكل ص > ٠، ثم بسّط إن أمكن:
س^(م × ن) = (س^م)^ن
ص^(٥/٢) = (ص⁵)^(١/٢)
س^(١/٢) = √س، لكل س > ٠
= √(ص⁵) = √((ص²)²ص)
= |ص²| × √ص
|س²| = س²
= ص²√ص
∴ ص^(٥/٢) = ص²√ص

(ص 28)

مثال

مثال (4) — ب — الثاني: اكتب √(ب³) بالصورة الأسية لكل ب > ٠.
(س^م)^ن = س^(م × ن)
√(ب³) = (ب³)^(١/٢)
اضرب
= ب^(٣ × ١/٢)
= ب^(٣/٢)
∴ √(ب³) = ب^(٣/٢)

(ص 29)

مثال

مثال (4) — ب — الثالث: اكتب (∛س)⁵ بالصورة الأسية.
∛س = س^(١/٣)
(∛س)⁵ = (س^(١/٣))⁵
(س^م)^ن = س^(م × ن)
= س^(١/٣ × ٥)
اضرب
= س^(٥/٣)
∴ (∛س)⁵ = س^(٥/٣)

(ص 29)

مثال (٥) — ربط بالحياة: إن عدم شعور رائد الفضاء بانعدام الوزن في رحلة فضائية يعود إلى دوران جهاز يجلس عليه، ويشعره بجاذبية وهمية تحاكي الجاذبية الأرضية.(ص 29)

يدور الجهاز وفق المعادلة الرياضية:
ن = و^٠٫٥/(٢ × π × نق^٠٫٥)
حيث ن: السرعة الدورانية وتقاس بالدورة في الثانية.
نق: نصف قطر جهاز الدوران ويقاس بالمتر.
و: الجاذبية الوهمية التي تحاكي الجاذبية الأرضية.
احسب سرعة دوران جهاز طول نصف قطره ١٫٧٥ متر، يدور ليحاكي الجاذبية الأرضية التي تساوي ٩٫٨ م/ث².

مثال

مثال (5) — : احسب سرعة دوران جهاز طول نصف قطره ١٫٧٥ متر، يدور ليحاكي الجاذبية الأرضية التي تساوي ٩٫٨ م/ث².
اكتب المعادلة
ن = و^٠٫٥/(٢ × π × نق^٠٫٥)
عوّض
= (٩٫٨)^٠٫٥/(٢ × π × (١٫٧)^٠٫٥)
استخدم الآلة الحاسبة
≃ ٠٫٣٨٢

(ص 30)

∴ سرعة دوران الجهاز تساوي تقريباً ٠٫٣٨٢ دورة في الثانية.(ص 30)

انتبه

ملاحظة مصدر: السؤال في PDF٢٩ يذكر نصف القطر ١٫٧٥ متر، بينما الحل في PDF٣٠ يعوض بـ١٫٧ متر ويعطي ٠٫٣٨٢ دورة في الثانية. باستعمال ١٫٧٥ كما في السؤال نحصل على نحو ٠٫٣٧٧ دورة في الثانية. أُبقي نص السؤال والحل المطبوعان مع بيان الفرق.(ص 30)

(١–٢–ب) خواص الأسس النسبية — Properties of Rational Exponents(ص 30)

ليكن م، ن عددين نسبيين وأ، ب عددين حقيقيين حيث أ^م، أ^ن، ب^م، ب^ن أعداد حقيقية. نكتب الخواص التالية:(ص 30)

خواص — أمثلة
ب^م × ب^ن = ب^(م + ن)
٨^(١/٣) × ٨^(٢/٣) = ٨^(٣/٣) = ٨¹ = ٨

خواص — أمثلة
(ب^م)^ن = ب^(م × ن)
(٥^(١/٢))⁴ = ٥^(١/٢ × ٤) = ٥² = ٢٥

خواص — أمثلة
(أ × ب)^ن = أ^ن × ب^ن
(٤ × ٥)^(١/٢) = ٤^(١/٢) × ٥^(١/٢) = ٢ × ٥^(١/٢)

خواص — أمثلة (لكل ب ≠ ٠)
ب^(-ن) = ١/(ب^ن)
٩^(-١/٢) = ١/(٩^(١/٢)) = ١/√٩ = ١/٣

خواص — أمثلة (لكل ب ≠ ٠)
ب^م/ب^ن = ب^(م − ن)
٩^(٣/٢)/٩^(١/٢) = ٩^(٣/٢ − ١/٢) = ٩¹ = ٩

خواص — أمثلة (لكل ب ≠ ٠)
(أ/ب)^م = أ^م/ب^م
(٥/٢٧)^(١/٣) = ٥^(١/٣)/∛٢٧ = ٥^(١/٣)/٣

يقدّر علماء الآثار عمر المحفورات باستخدام الأسس النسبية(ص 30)

مثال

مثال (6) — أ: بسّط كلاً مما يلي: ٤^(٢/٥) × ٤^(١/٥)
٤^(٢/٥) × ٤^(١/٥) = ٤^(٢/٥ + ١/٥) = ٤^(٣/٥) = ⁵√(٤³) = ⁵√٦٤ = ٢⁵√٢

(ص 31)

مثال

مثال (6) — ب: بسّط كلاً مما يلي: (٥^(١/٢))³
(٥^(١/٢))³ = ٥^(١/٢ × ٣) = ٥^(٣/٢) = √(٥³) = ٥√٥

(ص 31)

مثال

مثال(6) — جـ: بسّط كلاً مما يلي: (٥ ×٧)^(١/٢)
(٥ × ٧)^(١/٢) = ٥^(١/٢) × ٧^(١/٢) = √٥ × √٧ = √٣٥

(ص 31)

مثال

مثال (6) — د: بسّط كلاً مما يلي: ٣^(-١/٢)
٣^(-١/٢) = ١/(٣^(١/٢)) = ١/√٣ = √٣/٣

(ص 31)

مثال

مثال (6) — هـ: بسّط كلاً مما يلي: ١٧^(٥/٣)/١٧^(١/٢)
١٧^(٥/٣)/١٧^(١/٢) = ١٧^(٥/٣ − ١/٢) = ١٧^(١٠/٦ − ٣/٦) = ١٧^(٧/٦) = ١٧⁶√١٧

(ص 31)

مثال

مثال (7) — أ: بسّط كلاً من الأعداد التالية: (٣٢)^(٣/٥)
س^(م × ن) = (س^م)^ن
(٣٢)^(٣/٥) = ((٣٢)^(١/٥))³
٣٢ = ٢⁵
= ((٢⁵)^(١/٥))³
(س^م)^ن = س^(م × ن)
= (٢^(٥ × ١/٥))³
اضرب
= ٢³ = ٨
∴ (٣٢)^(٣/٥) = ٨

(ص 31)

مثال

مثال (7) — ب: بسّط كلاً من الأعداد التالية: ٤^٣٫٥
حوّل ٣٫٥ إلى كسر مركب
٤^٣٫٥ = ٤^(٧/٢)
٤ = ٢²
= (٢²)^(٧/٢)
س^(م × ن) = (س^م)^ن
= ((٢²)^(١/٢))⁷
(س^م)^ن = س^(م × ن)
= (٢^(٢ × ١/٢))⁷
اضرب
= ٢⁷ = ١٢٨
∴ ٤^٣٫٥ = ١٢٨

(ص 32)

مثال (8) — أ — طريقة أولى: أوجد ناتج كل مما يلي: ⁴√٥ × ⁴√٧(ص 32)

مثال (8) — أ — طريقة ثانية: أوجد ناتج كل مما يلي: ⁴√٥ × ⁴√٧(ص 32)

مثال (8) — ب — طريقة أولى: أوجد ناتج كل مما يلي: ∛١٦/∛٢(ص 33)

مثال (8) — ب — طريقة ثانية: أوجد ناتج كل مما يلي: ∛١٦/∛٢(ص 33)

المرشد لحل المسائل(ص 34)

بهدف تعزيز حب رياضة كرة القدم لدى الناشئة، أقام أحد النوادي ملعباً لتدريبهم.(ص 34)

استخدم المعادلة:
لمعرفة طول سور الملعب ع، بمعلومية مساحة الملعب س.ع = ٤√س
أ) تبلغ مساحة الملعب الحالية ١٥٠٠ متر مربع. فما طول السور اللازم لإحاطته؟
ب) قررت إدارة النادي زيادة مساحة الملعب لتصبح ٤ أمثال ما كانت عليه محافظة على شكلها. فما طول السور الإضافي؟

مثال

الحل — أ
لمعرفة طول السور، أعوض عن س بـ١٥٠٠ في المعادلة ع = ٤√س.
ع = ٤√١٥٠٠ ≃ ١٥٤٫٩٢
يبلغ طول السور حوالي ١٥٥ متراً.

(ص 34)

مثال

الحل — ب
مساحة الملعب بعد الزيادة: متر مربع.
١٥٠٠ × ٤ = ٦٠٠٠
باستخدام المعادلة ع = ٤√س، نحصل على:
ع = ٤√٦٠٠٠ ≃ ٣٠٩٫٨
أي حوالي ٣١٠ أمتار.
طول السور الإضافي: متراً.
٣١٠ − ١٥٥ = ١٥٥
ملاحظة: عندما أصبحت مساحة الملعب ٤ أمثال ما كانت عليه في السابق، أصبح طول السور الحالي مثلي طول السور السابق.

(ص 34)

خواص الأسس النسبية
ليكن م، ن عددين نسبيين وأ، ب عددين حقيقيين حيث أ^م، أ^ن، ب^م، ب^ن أعداد حقيقية.
ب^م × ب^ن = ب^(م + ن)
(ب^م)^ن = ب^(م × ن)
(أ × ب)^ن = أ^ن × ب^ن
ب ≠ ٠ب^(-ن) = ١/(ب^ن)
ب ≠ ٠ب^م/ب^ن = ب^(م − ن)
ب ≠ ٠(أ/ب)^م = أ^م/ب^م

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

8 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 8

المسألة · الكتاب ص 26
بسّط كلاً من التعبيرات الجذرية التالية: ⁴√١٦
$شكل المسألة من الكتاب$
المعطيات
1. ⁴√١٦من هنا
1. ⁴√١٦ = ⁴√(٢⁴)
  دليل الجذر عدد زوجي؛ القاعدة الأصلية ظاهرة في صورة المثال.
المعلم: نَكْتُبُ سِتَّةَ عَشَرَ عَلَى صُورَةِ اثْنَيْنِ لِلْقُوَّةِ الرَّابِعَةِ. بِذَلِكَ يُصْبِحُ أُسُّ الْعَدَدِ مُسَاوِيًا لِدَلِيلِ الْجَذْرِ، فَنَسْتَطِيعُ تَطْبِيقَ قَاعِدَةِ الْجَذْرِ الزَّوْجِيِّ.
الخطوة 1 من 3

الملخص

دليل الجذر يصبح مقاماً للأس عند التحويل إلى الصورة الأسية.
الجذر النوني لقوة من الرتبة نفسها يساوي القيمة المطلقة للعدد إذا كان الدليل زوجياً، ويساوي العدد إذا كان الدليل فردياً.
في ضرب قوتين للأساس نفسه نجمع الأسين، وفي القسمة نطرح الأسين.
في قوة القوة نضرب الأسين، ونوزع القوة على عاملي الضرب أو طرفي القسمة وفق الشروط.
الأس السالب يعبر عن مقلوب القوة ذات الأس الموجب المقابل.
عند التطبيقات نلتزم المعطيات والوحدات، ونوضح أي اختلاف مطبوع بين السؤال والحل.

الأفكار الرئيسية

الصورتان الجذرية والأسية تعبيران عن القيمة نفسها ضمن شروطهما.
اختيار خاصية الأسس يسبق إجراء الحساب.
التحقق من المجال والمقام جزء من الحل.

الأسئلة المهمة

كيف يرتبط دليل الجذر بالأس النسبي؟

يصير دليل الجذر مقاماً للأس؛ فالجذر التربيعي يقابل الأس١/٢، والتكعيبي١/٣.

الكتاب صفحة 25

ما أثر كون دليل الجذر زوجياً أو فردياً عند أخذ جذر قوة كاملة من الرتبة نفسها؟

للدليل الزوجي نأخذ القيمة المطلقة، وللفردي نأخذ العدد نفسه.

الكتاب صفحة 26

كيف تحوّل ٢٥^(٣/٢) إلى الصورة الجذرية؟

٢٥^(٣/٢) = (√٢٥)³ = ٥³ = ١٢٥.

الكتاب صفحة 28

ما قاعدة ضرب قوتين لهما الأساس نفسه؟

نجمع الأسين مع بقاء الأساس كما هو، ضمن شروط كون القيم حقيقية.

الكتاب صفحة 30

لماذا لا يتضاعف طول السور أربع مرات حين تتضاعف مساحة الملعب أربع مرات؟

لأن العلاقة تتضمن الجذر التربيعي؛ جذر أربعة يساوي اثنين، فيصبح طول السور مثلي طوله السابق.

الكتاب صفحة 34

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

حوّل ص^(٥/٢) إلى الصورة الجذرية ثم بسّط لكل ص > ٠.

متوسط

بسّط ١٧^(٥/٣)/١٧^(١/٢) بخطوات واضحة.

متوسط

أوجد أبعاد مستطيل طوله ثلاثة أمثال عرضه ومساحته٢٧٠٠ متر مربع.

صعب

مصطلحات الدرس

الجذر النوني: عدد حقيقي ب يحقق ب^ن = أ، حيث ن عدد صحيح موجب لا يقل عن٢.
الصورة الأسية: كتابة التعبير باستخدام أساس وأس، ويكون دليل الجذر مقاماً للأس النسبي.
الصورة الجذرية: كتابة التعبير باستخدام علامة الجذر ودليله والمجذور.
السرعة الدورانية: تقاس بالدورة في الثانية في تطبيق دوران الجهاز.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 36 تمرينًا.

دعنا نفكر ونتناقش — لماذا؟وإذا كتبنا هذه العبارة في الصورة الأسية: س^□ × س^□ = س = س¹ (لماذا؟) بالمقارنة مع ما ورد أعلاه نستطيع أن نكتب: □ + □ = ١ ∴ □ = ...(ص 25)

الأساس واحد، فيساوي أس حاصل الضرب مجموع الأسين. ولأن الأسين متساويان ومجموعهما ١ فإن كل أس يساوي ١/٢.

مثال (1) — أبسّط كلاً من التعبيرات الجذرية التالية: ⁴√١٦(ص 26)

⁴√١٦ = ⁴√(٢⁴) = |٢| = ٢

مثال (1) — ببسّط كلاً من التعبيرات الجذرية التالية: ⁵√(−٣٢)(ص 26)

⁵√(−٣٢) = ⁵√((−٢)⁵) = −٢

مثال (1) — جـبسّط كلاً من التعبيرات الجذرية التالية: ⁶√(٦٤س¹²)(ص 26)

⁶√(٦٤س¹²) = ⁶√(٢⁶(س²)⁶) = ⁶√((٢س²)⁶) = |٢س²| = ٢س²

حاول أن تحل — ١بسّط كلاً من التعبيرات الجذرية التالية:أ) −⁵√٢٤٣ب) ⁴√٦٢٥ جـ) ⁷√(س¹⁴)(ص 27)

أ) −⁵√(٣⁵) = −٣. ب) ⁴√(٥⁴) = |٥| = ٥. جـ) ⁷√((س²)⁷) = س²؛ لأن الدليل فردي.

مثال (2) — أاكتب كل عدد مما يلي في الصورة الجذرية، ثم بسّط: ١٢٥^(١/٣)(ص 27)

١٢٥^(١/٣) = ∛١٢٥ = ∛(٥³) = ٥ ∴ ١٢٥^(١/٣) = ٥

مثال (2) — باكتب كل عدد مما يلي في الصورة الجذرية، ثم بسّط: ٥^(١/٢) × ٥^(١/٢)(ص 27)

٥^(١/٢) × ٥^(١/٢) = √٥ × √٥ = ٥ ∴ ٥^(١/٢) × ٥^(١/٢) = ٥

مثال (2) — جـاكتب كل عدد مما يلي في الصورة الجذرية، ثم بسّط: ١٠^(١/٣) × ١٠٠^(١/٣)(ص 27)

١٠^(١/٣) × ١٠٠^(١/٣) = ∛١٠ × ∛١٠٠ = ∛(١٠ × ١٠٠) = ∛(١٠ × ١٠²) = ∛(١٠³) = ١٠ ∴ ١٠^(١/٣) × ١٠٠^(١/٣) = ١٠

حاول أن تحل — ٢اكتب كل عدد مما يلي في الصورة الجذرية، ثم بسّط:أ) ١٦^(١/٤)ب) ٣^(١/٢) × ٣^(١/٢) جـ) ٧^(١/٣) × ٤٩^(١/٣)(ص 27)

أ) ⁴√١٦ = ٢. ب) √٣ × √٣ = ٣. جـ) ∛٧ × ∛٤٩ = ∛٣٤٣ = ٧.

مثال (3) — اكتب العدد ٢٥^(٣/٢) بالصورة الجذرية، ثم بسّط:(ص 28)

٢٥^(٣/٢) = ٢٥^(٣ × ١/٢) = (٢٥³)^(١/٢) = √(٢٥³) = (√٢٥)³ = ٥³ = ١٢٥ ∴ ٢٥^(٣/٢) = ١٢٥

حاول أن تحل — ٣اكتب العدد ٦٤^(٤/٣) بالصورة الجذرية، ثم بسّط.(ص 28)

٦٤^(٤/٣) = (∛٦٤)⁴ = ٤⁴ = ٢٥٦.

مثال (4) — أ — ساكتب س^(٢/٥)، ص^(٥/٢) بالصورة الجذرية لكل ص > ٠، ثم بسّط إن أمكن:(ص 28)

س^(٢/٥) = (س^(١/٥))² = (⁵√س)² = ⁵√(س²) ∴ س^(٢/٥) = ⁵√(س²)

مثال (4) — أ — صاكتب ص^(٥/٢) بالصورة الجذرية لكل ص > ٠، ثم بسّط إن أمكن:(ص 28)

ص^(٥/٢) = (ص⁵)^(١/٢) = √(ص⁵) = √((ص²)²ص) = |ص²| × √ص = ص²√ص ∴ ص^(٥/٢) = ص²√ص

مثال (4) — ب — الأولاكتب ⁵√ص، √(ب³)، (∛س)⁵ بالصورة الأسية لكل ب > ٠.(ص 29)

⁵√ص = ص^(١/٥)

مثال (4) — ب — الثانياكتب √(ب³) بالصورة الأسية لكل ب > ٠.(ص 29)

√(ب³) = (ب³)^(١/٢) = ب^(٣ × ١/٢) = ب^(٣/٢) ∴ √(ب³) = ب^(٣/٢)

مثال (4) — ب — الثالثاكتب (∛س)⁵ بالصورة الأسية.(ص 29)

(∛س)⁵ = (س^(١/٣))⁵ = س^(١/٣ × ٥) = س^(٥/٣) ∴ (∛س)⁵ = س^(٥/٣)

حاول أن تحل — ٤أ) اكتب ص^(٣/٨) لكل ص > ٠ بالصورة الجذرية. ب) بسّط س^٠٫٤ لكل س ≥ ٠ ثم اكتب بالصورة الجذرية. جـ) اكتب ∛(س²)، (√ص)³ لكل ص ≥ ٠ بالصورة الأسية.(ص 29)

أ) ص^(٣/٨) = ⁸√(ص³). ب) س^٠٫٤ = س^(٢/٥) = ⁵√(س²). جـ) ∛(س²) = س^(٢/٣)، و(√ص)³ = ص^(٣/٢).

مثال (5) — احسب سرعة دوران جهاز طول نصف قطره ١٫٧٥ متر، يدور ليحاكي الجاذبية الأرضية التي تساوي ٩٫٨ م/ث².(ص 30)

ن = و^٠٫٥/(٢ × π × نق^٠٫٥) = (٩٫٨)^٠٫٥/(٢ × π × (١٫٧)^٠٫٥) ≃ ٠٫٣٨٢

حاول أن تحل — ٥احسب السرعة الدورانية المطلوبة للجهاز في المثال (٥) ليحاكي جاذبية تعادل نصف مقدار الجاذبية الأرضية.(ص 30)

الجاذبية المطلوبة = ٩٫٨/٢ = ٤٫٩ م/ث². باستعمال نصف القطر ١٫٧٥ متر كما في نص السؤال: ن = √٤٫٩/(٢π√١٫٧٥) ≃ ٠٫٢٦٦ دورة في الثانية. وإذا اتُّبع التعويض المطبوع ١٫٧ متر، تكون النتيجة ≃ ٠٫٢٧٠ دورة في الثانية. الاختلاف سببه عدم اتساق نصف القطر في المصدر.

مثال (6) — أبسّط كلاً مما يلي: ٤^(٢/٥) × ٤^(١/٥)(ص 31)

٤^(٢/٥) × ٤^(١/٥) = ٤^(٢/٥ + ١/٥) = ٤^(٣/٥) = ⁵√(٤³) = ⁵√٦٤ = ٢⁵√٢

مثال (6) — ببسّط كلاً مما يلي: (٥^(١/٢))³(ص 31)

(٥^(١/٢))³ = ٥^(١/٢ × ٣) = ٥^(٣/٢) = √(٥³) = ٥√٥

مثال (6) — جـبسّط كلاً مما يلي: (٥ × ٧)^(١/٢)(ص 31)

(٥ × ٧)^(١/٢) = ٥^(١/٢) × ٧^(١/٢) = √٥ × √٧ = √٣٥

مثال (6) — دبسّط كلاً مما يلي: ٣^(-١/٢)(ص 31)

٣^(-١/٢) = ١/(٣^(١/٢)) = ١/√٣ = √٣/٣

مثال (6) — هـبسّط كلاً مما يلي: ١٧^(٥/٣)/١٧^(١/٢)(ص 31)

١٧^(٥/٣)/١٧^(١/٢) = ١٧^(٥/٣ − ١/٢) = ١٧^(١٠/٦ − ٣/٦) = ١٧^(٧/٦) = ١٧⁶√١٧

حاول أن تحل — ٦بسّط كلاً مما يلي:أ) ٥^(١/٣) × ٥^(٢/٣)ب) (٧^(١/٣))² جـ) (٢٣)^(١/٢)د) ٦^(-١/٢)هـ) ٨^(١/٣)/٨^(١/٣)(ص 31)

أ) ٥^(١/٣ + ٢/٣) = ٥.ب) ٧^(٢/٣) = ∛٤٩. جـ) √٢٣.د) ١/√٦ = √٦/٦.هـ) ٨^(١/٣ − ١/٣) = ٨⁰ = ١.

مثال (7) — أبسّط كلاً من الأعداد التالية: (٣٢)^(٣/٥)(ص 31)

(٣٢)^(٣/٥) = ((٣٢)^(١/٥))³ = ((٢⁵)^(١/٥))³ = (٢^(٥ × ١/٥))³ = ٢³ = ٨ ∴ (٣٢)^(٣/٥) = ٨

مثال (7) — ببسّط كلاً من الأعداد التالية: ٤^٣٫٥(ص 32)

٤^٣٫٥ = ٤^(٧/٢) = (٢²)^(٧/٢) = ((٢²)^(١/٢))⁷ = (٢^(٢ × ١/٢))⁷ = ٢⁷ = ١٢٨ ∴ ٤^٣٫٥ = ١٢٨

حاول أن تحل — ٧بسّط كل عدد من الأعداد التالية:أ) ٥^(٣/٢)ب) ١٦^(٣/٤) جـ) (٣٢)^(٤/٥)(ص 32)

أ) (√٥)³ = ٥√٥. ب) (⁴√١٦)³ = ٢³ = ٨. جـ) (⁵√٣٢)⁴ = ٢⁴ = ١٦.

مثال (8) — أ — طريقة أولىأوجد ناتج كل مما يلي: ⁴√٥ × ⁴√٧(ص 32)

⁴√٥ × ⁴√٧ = ٥^(١/٤) × ٧^(١/٤) = (٥ × ٧)^(١/٤) = (٣٥)^(١/٤) = ⁴√٣٥

مثال (8) — أ — طريقة ثانيةأوجد ناتج كل مما يلي: ⁴√٥ × ⁴√٧(ص 32)

⁴√٥ × ⁴√٧ = ⁴√(٥ × ٧) = ⁴√٣٥ ∴ ⁴√٥ × ⁴√٧ = ⁴√٣٥

مثال (8) — ب — طريقة أولىأوجد ناتج كل مما يلي: ∛١٦/∛٢(ص 33)

∛١٦/∛٢ = ١٦^(١/٣)/٢^(١/٣) = (١٦/٢)^(١/٣) = ٨^(١/٣) = ∛٨ = ٢

مثال (8) — ب — طريقة ثانيةأوجد ناتج كل مما يلي: ∛١٦/∛٢(ص 33)

∛١٦/∛٢ = ∛(١٦/٢) = ∛٨ = ∛(٢³) = ٢ ∴ ∛١٦/∛٢ = ٢

حاول أن تحل — ٨أوجد الناتج في كل مما يلي:أ) ⁵√٩ × ⁵√٢٧ب) ∛٢٤٣/∛٣(ص 33)

أ) ⁵√(٩ × ٢٧) = ⁵√٢٤٣ = ٣. ب) ∛(٢٤٣/٣) = ∛٨١ = ٣∛٣.

المرشد لحل المسائل — أاستخدم المعادلة ع = ٤√س لمعرفة طول سور الملعب ع، بمعلومية مساحة الملعب س. أ) تبلغ مساحة الملعب الحالية ١٥٠٠ متر مربع. فما طول السور اللازم لإحاطته؟(ص 34)

ع = ٤√١٥٠٠ ≃ ١٥٤٫٩٢. يبلغ طول السور حوالي ١٥٥ متراً.

المرشد لحل المسائل — بقررت إدارة النادي زيادة مساحة الملعب لتصبح ٤ أمثال ما كانت عليه محافظة على شكلها. فما طول السور الإضافي؟(ص 34)

مساحة الملعب بعد الزيادة = ١٥٠٠ × ٤ = ٦٠٠٠ متر مربع. ع = ٤√٦٠٠٠ ≃ ٣٠٩٫٨، أي حوالي ٣١٠ أمتار. طول السور الإضافي = ٣١٠ − ١٥٥ = ١٥٥ متراً.