الدرس 3صيغ غير معينة

أهداف الدرس

• أميز الصيغ غير المعينة عند حساب النهايات.
• أستخدم درجة الحدودية ومعاملها الرئيسي لحساب النهاية.
• أحسب نهايات الدوال النسبية بالأساليب الجبرية.

الشرح خطوة بخطوة

صيغ غير معينة — Indeterminate Forms(ص 37)

أبلغ عن خطأ

1. سوف تتعلم — صيغ غير معينة
2. ∞/∞
3. −∞/∞
4. ∞/(−∞)
5. −∞/(−∞)
6. ∞ − ∞

أبلغ عن خطأ

المفردات والمصطلحات: صيغة غير معينة — Indeterminate Form(ص 37)

أبلغ عن خطأ

1. تذكر
2. إذا كانت:𝑓(x) = axⁿ
3. n ∈ ℤ⁺
4. a ≠ 0
5. فإن: درجة الدالة هي n ومعاملها الرئيسي a.

أبلغ عن خطأ

1. معلومة: أنواع من الصيغ غير المعينة
2. 0/0
3. 0⁰
4. ∞⁰
5. 0 × ∞

أبلغ عن خطأ

1. دعنا نفكر ونتناقش
2. إذا كانت 𝑓 دالة قوى حيث:𝑓(x) = axⁿ
3. n ∈ ℤ⁺
4. a ≠ 0
5. فإن بيان هذه الدالة يمكن أن يأخذ أحد الأشكال أدناه:
6. أكمل ما يلي:

أبلغ عن خطأ

مثال

1. 1

   دعنا نفكر ونتناقش — 1

2. 2

   n عددًا زوجيًّا، a > 0

3. 3
   limx→∞ 𝑓(x) = ......
4. 4
   limx→−∞ 𝑓(x) = ......

(ص 37)

أبلغ عن خطأ

مثال

1. 1

   دعنا نفكر ونتناقش — 2

2. 2

   n عددًا زوجيًّا، a < 0

3. 3
   limx→∞ 𝑓(x) = ......
4. 4
   limx→−∞ 𝑓(x) = ......

(ص 37)

أبلغ عن خطأ

مثال

1. 1

   دعنا نفكر ونتناقش — 3

2. 2

   n عددًا فرديًّا، a > 0

3. 3
   limx→∞ 𝑓(x) = ......
4. 4
   limx→−∞ 𝑓(x) = ......

(ص 37)

أبلغ عن خطأ

مثال

1. 1

   دعنا نفكر ونتناقش — 4

2. 2

   n عددًا فرديًّا، a < 0

3. 3
   limx→∞ 𝑓(x) = ......
4. 4
   limx→−∞ 𝑓(x) = ......

(ص 37)

أبلغ عن خطأ

1. من فقرة «دعنا نفكر ونتناقش» نجد أن:
2. لتكن:𝑓(x) = axⁿ
3. n ∈ ℤ⁺
4. a ∈ ℝ*
5. (1) إذا كان n عدد زوجي فإن:limx→±∞ axⁿ = {∞:a > 0−∞:a < 0
6. (2) إذا كان n عدد فردي فإن:limx→∞ axⁿ = {∞:a > 0−∞:a < 0
7. limx→−∞ axⁿ = {−∞:a > 0∞:a < 0

أبلغ عن خطأ

1. فمثلًا:
2. limx→∞ (−x⁵) = −∞
3. limx→∞ (2x³) = ∞
4. limx→−∞ (5x⁷) = −∞
5. limx→∞ (−4x⁴) = −∞
6. limx→∞ (5x²) = ∞
7. limx→−∞ (x⁴/3) = ∞
8. limx→−∞ (−4x) = ∞
9. limx→∞ (−3x⁴) = −∞

أبلغ عن خطأ

1. ملاحظة
2. إذا كانت:𝑓(x) = aₙxⁿ + an−1xn−1 + .... + a₀
3. aₙ ∈ ℝ*
4. فإن:limx→±∞ 𝑓(x) = limx→±∞ aₙxⁿ

أبلغ عن خطأ

1. أحيانًا نحتاج لحساب نهاية دالة على الصورة:
2. limx→∞ (𝑓(x)/g(x))
3. حيث:limx→∞ 𝑓(x) = ±∞
4. limx→∞ g(x) = ±∞
5. في هذه الحالة نحصل على إحدى الصور التالية:
6. ∞/∞
7. أو−∞/∞
8. أو∞/(−∞)
9. أو−∞/(−∞)
10. ونسميها صيغ غير معينة.

أبلغ عن خطأ

1. كذلك إذا حسبنا
2. limx→∞ (𝑓(x) − g(x))
3. وحصلنا على الصورة∞ − ∞
4. فهي تسمى أيضًا صيغة غير معينة.
5. في الحالات السابقة نلجأ لبعض الأساليب الجبرية لحساب قيمة هذه النهايات والأمثلة والنظريات التالية ستوضح كيفية حساب مثل هذه النهايات.

أبلغ عن خطأ

مثال

1. 1

   مثال (1): أوجد:

2. 2
   limx→∞ (2x² − 3x + 1)
3. 3

   الحل — بالتعويض المباشر:

   limx→∞ (2x² − 3x + 1) = limx→∞ (2x²)
4. 4
   = ∞

(ص 38)

أبلغ عن خطأ

مثال

1. 1

   حاول أن تحل (1): أوجد:

2. 2
   limx→∞ (−3x² + 2x − 4)

(ص 38)

أبلغ عن خطأ

مثال

1. 1

   مثال تمهيدي — أوجد:

2. 2

   a)

   limx→∞ ((3x² − 2x)/(4x² + 5))
3. 3

   b)

   limx→∞ ((5x³ + 2x² − 7)/(3x⁴ − 2x))

(ص 39)

أبلغ عن خطأ

1. الحل — a
2. لو حسبنا نهاية دالة البسط على نهاية دالة المقام لحصلنا على صيغة غير معينة لذا سنلجأ للحل التالي:
3. (3x² − 2x)/(4x² + 5) = (3 − 2/x)/(4 + 5/x²)
4. x ≠ 0
5. أقسم كلًّا من البسط والمقام علىx²
6. limx→∞ (5/x²) = 0
7. limx→∞ (4 + 5/x²) = limx→∞ 4 + limx→∞ (5/x²) = 4 + 0 = 4
8. 4 ≠ 0
9. limx→∞ (2/x) = 0
10. limx→∞ (3 − 2/x) = limx→∞ 3 − limx→∞ (2/x) = 3 − 0 = 3

أبلغ عن خطأ

1. تابع الحل — a
2. limx→∞ ((3x² − 2x)/(4x² + 5)) = limx→∞ ((3 − 2/x)/(4 + 5/x²))
3. = (limx→∞ (3 − 2/x))/(limx→∞ (4 + 5/x²))
4. = 3/4

أبلغ عن خطأ

1. الحل — b
2. لو حسبنا نهاية دالة البسط على نهاية دالة المقام لحصلنا على صيغة غير معينة لذلك نقسم كلًّا من البسط والمقام على x⁴ (أكبر قوة لـx).
3. (5x³ + 2x² − 7)/(3x⁴ − 2x) = (5/x + 2/x² − 7/x⁴)/(3 − 2/x³)
4. limx→∞ (3 − 2/x²) = 3 − 0 = 3
5. 3 ≠ 0
6. التحقق من أن نهاية المقام≠ 0
7. ملاحظة مراجعة منفصلة عن نص الكتاب: طُبع الأس ² في سطر التحقق أعلاه، بينما تبسيط المقام قبله يعطي الأس ³. حُفظ المطبوع كما هو؛ كلا الكسرين يؤول إلى صفر، فلا تتغير النتيجة النهائية هنا.

أبلغ عن خطأ

1. تابع الحل — b
2. limx→∞ ((5x³ + 2x² − 7)/(3x⁴ − 2x)) = limx→∞ ((5/x + 2/x² − 7/x⁴)/(3 − 2/x³))
3. = (limx→∞ (5/x) + limx→∞ (2/x²) − limx→∞ (7/x⁴))/(limx→∞ 3 − limx→∞ (2/x³))
4. = (0 + 0 − 0)/(3 − 0) = 0

أبلغ عن خطأ

نلاحظ من المثال التمهيدي a أن درجة الحدودية في البسط تساوي درجة الحدودية في المقام تساوي 2 وأن نهاية الدالة النسبية تساوي 3/4 وهو ناتج قسمة معامل x بأكبر قوة في البسط على معامل x بأكبر قوة في المقام.(ص 39)

أبلغ عن خطأ

ونلاحظ في المثال التمهيدي b أن درجة الحدودية في البسط أصغر من درجة الحدودية في المقام وأن نهاية الدالة النسبية تساوي 0(ص 39)

أبلغ عن خطأ

1. نظرية (11)
2. نستطيع تعميم ذلك من خلال النظرية التالية:
3. إذا كانت كل من f ، g دالة حدودية حيث:
4. f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₀
5. g(x) = bₘxᵐ + bₘ₋₁xᵐ⁻¹ + … + b₀
6. فإن:
7. a) n = m : limx→∞ f(x)/g(x) = aₙ/bₘ
8. b) n < m : limx→∞ f(x)/g(x) = 0

أبلغ عن خطأ

1. ملاحظة
2. تبقى النظرية صحيحة عندما
3. x → −∞

أبلغ عن خطأ

1. مثال (2)
2. استخدم النظرية السابقة في حساب كل من:
3. a) limx→∞ (4 − 3x³)/(2x³ + 5)
4. b) limx→−∞ (2x² + x − 1)/(3x⁴ − x)
5. c) limx→−∞ (x⁴ − 1)/(7 − 2x⁴)

أبلغ عن خطأ

1. الحل — a
2. limx→∞ (4 − 3x³)/(2x³ + 5) = limx→∞ (−3x³ + 4)/(2x³ + 5)
3. = −3/2
4. نظرية:
5. n = m = 3
6. (درجة حدودية البسط
7. =
8. درجة حدودية المقام)

أبلغ عن خطأ

1. الحل — b
2. limx→−∞ (2x² + x − 1)/(3x⁴ − x) = 0
3. نظرية:
4. n = 2 ، m = 4 ، n < m
5. (درجة حدودية البسط أصغر من درجة حدودية المقام)

أبلغ عن خطأ

1. الحل — c
2. limx→−∞ (x⁴ − 1)/(7 − 2x⁴) = −1/2
3. نظرية:
4. n = m = 4
5. (درجة حدودية البسط
6. =
7. درجة حدودية المقام)

أبلغ عن خطأ

1. حاول أن تحل — 2
2. استخدم النظرية السابقة في حساب كل من:
3. a) limx→+∞ (−3x² + 5x + 1)/(6x² − x + 1)
4. b) limx→∞ (2x + 1)/(4x³ − 2x + 3)

أبلغ عن خطأ

1. مثال (3)
2. إذا كانت
3. limx→∞ (ax² + bx + 3)/(2x + 5) = 3
4. فأوجد قيمة كل من الثابتين b ، a
5. الحل:
6. ∵ limx→∞ (ax² + bx + 3)/(2x + 5) = 3 ، 3 ≠ 0

أبلغ عن خطأ

1. تابع الحل — مثال (3)
2. ∴ درجة الحدودية في البسط يجب أن تكون مساوية لدرجة الحدودية في المقام أي أن الحدودية في البسط يجب أن تكون من الدرجة الأولى.
3. ax² = 0 ⟹ a = 0
4. ومنه
5. limx→∞ (ax² + bx + 3)/(2x + 5)
6. = limx→∞ (bx + 3)/(2x + 5)
7. = b/2
8. نظرية
9. m = n = 1
10. ∴ b/2 = 3 ⟹ b = 6

أبلغ عن خطأ

1. حاول أن تحل — 3
2. أوجد قيمة كل من الثابتين b ، a إذا كانت
3. limx→∞ (x − 2)/(ax² + bx − 3) = −1

أبلغ عن خطأ

1. مثال (4)
2. أوجد:
3. limx→∞ (x − 2)/√(x² + 2x − 4)
4. الحل:
5. f(x) = (x − 2)/√(x² + 2x − 4)
6. = x(1 − 2/x)/√(x²(1 + 2/x − 4/x²))
7. = x(1 − 2/x)/(|x|√(1 + 2/x − 4/x²))

أبلغ عن خطأ

1. تابع الحل — تبسيط الكسر
2. عندما
3. x > 0
4. يكون:
5. |x| = x
6. = x(1 − 2/x)/(x√(1 + 2/x − 4/x²))
7. = (1 − 2/x)/√(1 + 2/x − 4/x²)
8. بشرط
9. x ≠ 0

أبلغ عن خطأ

1. تابع الحل — ما تحت الجذر
2. ∵ limx→∞ (1 + 2/x − 4/x²) = limx→∞ 1 + limx→∞ 2/x − limx→∞ 4/x²
3. = 1 + 0 − 0 = 1 ، 1 > 0

أبلغ عن خطأ

1. تابع الحل — نهاية البسط والمقام
2. ∴ limx→∞ √(1 + 2/x − 4/x²) = √(limx→∞ (1 + 2/x − 4/x²)) = √1 = 1 ، 1 ≠ 0
3. limx→∞ (1 − 2/x) = limx→∞ 1 − limx→∞ 2/x
4. = 1 − 0 = 1

أبلغ عن خطأ

1. تابع الحل — النتيجة
2. ∴ limx→∞ f(x) = limx→∞ (1 − 2/x)/√(1 + 2/x − 4/x²)
3. = (limx→∞ (1 − 2/x))/(limx→∞ √(1 + 2/x − 4/x²))
4. = 1/1 = 1

أبلغ عن خطأ

1. حاول أن تحل — 4
2. أوجد:
3. a) limx→∞ √(2x² − x)/(x + 1)
4. b) limx→−∞ (3x − 5)/√(x² − 9)

أبلغ عن خطأ

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

الأسئلة المهمة

اختبار الدرس

أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

مصطلحات الدرس

صيغة غير معينة

صيغة لا تكفي وحدها لتحديد قيمة النهاية، مثل ∞/∞.

المعامل الرئيسي

معامل الحد ذي أعلى قوة في الحدودية.

درجة الحدودية

أكبر أس للمتغيرة له معامل غير صفري.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 14 تمرينًا.

صفحات الكتاب

صفحات هذا الدرس من كتاب الطالب الرسمي كما هي، صفحات 37 إلى 42.

صفحة 37صفحة 38صفحة 39صفحة 40صفحة 41صفحة 42