الرياضيات

الوحدة 6: الوحدة السادسة: الجبر المتقطع (الإحصاء)

الدرس 4الانحراف المعياري

من كتاب الطالبالرياضيات — الصف الحادي عشر (علمي) — الفصل الدراسي الأول · من صفحة 214

أهداف الدرس

  • أوضّح أن البيانات الإحصائية تُقرأ بمقياسي التمركز والتشتت.
  • أحسب المتوسط الحسابي لبيانات ذات تكرارات باستخدام القانون.
  • أحسب التباين لمجموعة بيانات.
  • أحسب الانحراف المعياري وأستخدمه في وصف تشتت البيانات.
  • أستخدم الآلة الحاسبة في إيجاد المتوسط الحسابي والانحراف المعياري.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 160:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 1الانحراف المعياري — Standard Deviation5:08

مقاطع الدرس

0 من 1 مكتمل

الانحراف المعياري — Standard Deviation(ص 214)

مثال

  1. عمل تعاوني: في نهاية الفصل الأول من العام الدراسي، كانت درجات أحد الطلاب حيث النهاية العظمى 20 درجة كما يلي:

  2. a هل يمكن التعرف على المادة الأفضل في التحصيل، من دون إجراء عمليات حسابية، أو من خلال أفضل متوسط حسابي لدرجات هذا الطالب؟

  3. b أوجد المتوسط الحسابي لدرجات هذا الطالب في كل مادة.

  4. c أدخل البيانات إلى الآلة الحاسبة الموجودة لديك، ثم أوجد الانحراف المعياري لدرجات كل مادة. أكمل الجدول التالي:

  5. d ما الذي تلاحظه عند هذا الطالب بالنسبة إلى الانحراف المعياري لدرجات كل مادة؟ اشرح.

(ص 214)
جدول درجات الطالب في المواد الأربع — عمل تعاوني
جدول درجات الطالب في المواد الأربع — عمل تعاوني(ص 214)
جدول الانحراف المعياري المطلوب إكماله — عمل تعاوني
جدول الانحراف المعياري المطلوب إكماله — عمل تعاوني(ص 214)
انتبه

  1. خطوات استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد الانحراف المعياري:

  2. لإدخال بيانات ذي متغير منفرد. تأخذ x على الترتيب القيم:

    {1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5}

  3. باستخدام العمود FREQ لتعيين عدد التكرارات لكل بند

    {xn ; freqn}
  4. {1;1 , 2;2 , 3;3 , 4;2 , 5;1}

  5. وحساب الانحراف المعياري والمتوسط الحسابي.

(ص 214)
خطوات استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد المتوسط الحسابي والانحراف المعياري
خطوات استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد المتوسط الحسابي والانحراف المعياري(ص 214)
تعريف

  1. يمكن قراءة البيانات الإحصائية بزوج مرتب مكون من مقياسين مهمين:

  2. a المتوسط الحسابي وهو مقياس لتمركز القيم في البيانات.

  3. b الانحراف المعياري وهو مقياس لتشتت القيم في البيانات.

(ص 215)
قاعدة

  1. لإيجاد المتوسط الحسابي x̄ نستخدم القانون:

    x̄ = (∑ ni xi)/(∑ ni)

  2. حيث إن: x_i هي قيم المتغيرات في البيانات.

  3. n_i تكرارات المتغيرات في البيانات.

  4. لإيجاد التباين v نستخدم القانون:

    v = (∑ ni (xi − x̄)²)/(∑ ni)

  5. لإيجاد الانحراف المعياري σ نستخدم القانون:

    σ = √v
  6. σ = √((∑ ni (xi − x̄)²)/(∑ ni))

  7. ملاحظة هامة: في حالة التوزيع التكراري ذي الفئات x_i تمثل مراكز الفئات ونستخدم نفس القوانين السابقة.

(ص 215)
مثال

  1. مثال (1): في استطلاع أجري في عيادة أحد الأطباء عن الوقت المستغرق لمعاينة 120 مريضًا، جاءت النتائج كما يلي:

  2. a أكمل الجدول بإيجاد مركز كل فئة. أوجد المتوسط الحسابي.

  3. b أوجد التباين والانحراف المعياري.

  4. c فسّر إجابتك.

(ص 215)
جدول مثال (1): الوقت المستغرق بالدقائق وعدد المرضى
جدول مثال (1): الوقت المستغرق بالدقائق وعدد المرضى(ص 215)
الجدول بعد إضافة مراكز الفئات في حل مثال (1)
الجدول بعد إضافة مراكز الفئات في حل مثال (1)(ص 215)
مثال

  1. المتوسط الحسابي:

    x̄ = (∑ ni xi)/(∑ ni)
  2. x̄ = ((11 × 12.5) + (21 × 17.5) + (23 × 22.5) + (14 × 27.5) + … + (3 × 47.5) + (2 × 52.5))/120
  3. x̄ = 3 360/120 = 28
(ص 216)
مثال

  1. b لإيجاد التباين والانحراف المعياري نكوّن الجدول التالي:

(ص 216)
جدول حساب التباين في مثال (1)
جدول حساب التباين في مثال (1)(ص 216)
مثال

  1. التباين:

    v = (∑ ni (xi − x̄)²)/(∑ ni)
  2. v = 12 470/120 ≈ 103.916̄

  3. الانحراف المعياري:

    σ = √v
  4. σ ≈ 10.2

  5. c بما أن المتوسط الحسابي

    x̄ = 28 min

  6. والانحراف المعياري

    σ ≈ 10.2

  7. فهذا يدل على تشتت كبير لقيم البيانات عن المتوسط الحسابي.

(ص 216)
جدول «حاول أن تحل» 1: مبيع الأدوية بحسب أسعارها بالدينار
جدول «حاول أن تحل» 1: مبيع الأدوية بحسب أسعارها بالدينار(ص 216)

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

3 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 3

  1. المسألة · الكتاب ص 216

    جدول تكراري لأوقات معاينة 120 مريضًا بفئات 10− إلى 50− وتكرارات 11 , 21 , 23 , 14 , 16 , 18 , 12 , 3 , 2 . أوجد مراكز الفئات والمتوسط الحسابي.

    المعطيات

    1. التكرارات 11 , 21 , 23 , 14 , 16 , 18 , 12 , 3 , 2 ومجموعها 120
    2. x̄ = (∑ n_i x_i)/(∑ n_i)من هنا
    3. في التوزيع ذي الفئات x_i تمثل مراكز الفئات
    1. مراكز الفئات: 12.5 , 17.5 , 22.5 , 27.5 , 32.5 , 37.5 , 42.5 , 47.5 , 52.5
      مراكز الفئات

    المعلم: الخُطْوَةُ الأُولَى الَّتِي لا يَجُوزُ تَخَطِّيها: أَوْجِدْ مَراكِزَ الفِئاتِ، لِأَنَّ القانُونَ يَعْمَلُ عَلَى المَراكِزِ لا عَلَى الفِئاتِ. وَمَرْكَزُ الفِئَةِ نِصْفُ مَجْمُوعِ حَدَّيْها.

    الخطوة 1 من 4

الملخص

  • يمكن قراءة البيانات الإحصائية بزوج مرتب مكون من مقياسين: المتوسط الحسابي مقياسًا لتمركز القيم، والانحراف المعياري مقياسًا لتشتت القيم.
  • المتوسط الحسابي: x̄ = (∑ n_i x_i)/(∑ n_i) ، حيث x_i قيم المتغيرات و n_i تكراراتها.
  • التباين: v = (∑ n_i (x_i − x̄)²)/(∑ n_i) .
  • الانحراف المعياري: σ = √v = √((∑ n_i (x_i − x̄)²)/(∑ n_i)) .
  • في حالة التوزيع التكراري ذي الفئات تمثل x_i مراكز الفئات وتُستخدم القوانين نفسها.
  • كلما كبر الانحراف المعياري دلّ ذلك على تشتت أكبر لقيم البيانات عن المتوسط الحسابي.
  • في مثال العيادة كان x̄ = 28 min و σ ≈ 10.2 ، وهو ما يدل على تشتت كبير لقيم البيانات عن المتوسط.
  • يمكن حساب المتوسط الحسابي والانحراف المعياري مباشرة بالآلة الحاسبة بعد تفعيل عمود التكرارات FREQ في وضع STAT (1 − VAR) .

الأفكار الرئيسية

  1. متوسطان متساويان لا يعنيان بيانات متشابهة: الانحراف المعياري هو الذي يكشف الفرق بين مجموعة متقاربة القيم وأخرى متباعدة.
  2. التباين يجمع مربعات الانحرافات لا الانحرافات نفسها، لأن مجموع الانحرافات عن المتوسط يساوي صفرًا دائمًا؛ والتربيع يزيل الإشارات.
  3. الانحراف المعياري جذر التباين، فيعود إلى وحدة قياس البيانات نفسها، ولذلك يُقارن مباشرة بالمتوسط الحسابي.

الأسئلة المهمة

ما المقياسان اللذان تُقرأ بهما البيانات الإحصائية؟ وما دلالة كل منهما؟

يمكن قراءة البيانات الإحصائية بزوج مرتب مكون من مقياسين مهمين: المتوسط الحسابي وهو مقياس لتمركز القيم في البيانات، والانحراف المعياري وهو مقياس لتشتت القيم في البيانات.

الكتاب صفحة 215

اكتب قانون المتوسط الحسابي وبيّن رموزه.

x̄ = (∑ n_i x_i)/(∑ n_i) ، حيث إن x_i هي قيم المتغيرات في البيانات، و n_i تكرارات المتغيرات في البيانات.

الكتاب صفحة 215

اكتب قانون التباين وقانون الانحراف المعياري.

التباين v = (∑ n_i (x_i − x̄)²)/(∑ n_i) ، والانحراف المعياري σ = √v ، أي σ = √((∑ n_i (x_i − x̄)²)/(∑ n_i)) .

الكتاب صفحة 215

ماذا نستخدم بدل قيم المتغيرات في التوزيع التكراري ذي الفئات؟

ملاحظة هامة في الكتاب: في حالة التوزيع التكراري ذي الفئات x_i تمثل مراكز الفئات ونستخدم نفس القوانين السابقة.

الكتاب صفحة 215

في مثال (1) كان x̄ = 28 min و σ ≈ 10.2 . فسّر هذه النتيجة.

بما أن المتوسط الحسابي x̄ = 28 min والانحراف المعياري σ ≈ 10.2 فهذا يدل على تشتت كبير لقيم البيانات عن المتوسط الحسابي؛ أي أن أوقات المعاينة تتباعد كثيرًا عن المتوسط.

الكتاب صفحة 216

اذكر خطوات إيجاد الانحراف المعياري بالآلة الحاسبة.

نضغط SHIFT ثم MODE (SETUP) ثم 4 (STAT) ثم 1 (ON) لتفعيل عمود التكرارات، ثم MODE ثم 3 (STAT) ثم 1 (1 − VAR) ، ثم نُدخل القيم في عمود X والتكرارات في عمود FREQ ، ثم AC SHIFT 1 (STAT) 4 (VAR) 2 (x̄) = للمتوسط الحسابي، و AC SHIFT 1 (STAT) 4 (VAR) 3 (σx) = للانحراف المعياري.

الكتاب صفحة 214

اختبار الدرس

أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.

سؤال 1
1

الانحراف المعياري مقياس لـ:

سهل
سؤال 2
2

العلاقة بين الانحراف المعياري σ والتباين v هي:

سهل
سؤال 3
3

في مثال (1) كان المتوسط الحسابي يساوي:

متوسط
سؤال 4
4

في مثال (1) كان التباين يساوي تقريبًا:

متوسط
سؤال 5
5

في التوزيع التكراري ذي الفئات تمثل x_i :

سهل
سؤال 6
6

المتوسط الحسابي وحده يكفي لوصف مجموعة بيانات وصفًا كاملًا.

متوسط
سؤال 7
7

كلما كبر الانحراف المعياري دلّ ذلك على تشتت أكبر للبيانات عن المتوسط.

متوسط
سؤال 8
8

إذا كان التباين v = 49 فأوجد الانحراف المعياري.

سهل
سؤال 9
9

v = (∑ n_i (x_i − ......... )²)/(∑ n_i) .

سهل
سؤال 10
10

بيانات قيمها 2 و4 و6 بتكرار 1 لكل منها. أوجد المتوسط الحسابي.

متوسط

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

سؤال 1
1

بيانات قيمها 3 و5 و7 و9 وتكرار كل منها 1 . أوجد المتوسط الحسابي والتباين والانحراف المعياري.

صعب
سؤال 2
2

جدول تكراري: القيم 10 و20 و30 بتكرارات 2 و3 و5 . أوجد المتوسط الحسابي.

متوسط
سؤال 3
3

في جدول «عمل تعاوني» قارن بين درجات مادتي الفيزياء والكيمياء من حيث المتوسط الحسابي والانحراف المعياري، وبيّن أيهما أفضل تحصيلًا ولماذا.

صعب
سؤال 4
4

اشرح لماذا نربّع الانحرافات (x_i − x̄) عند حساب التباين بدل جمعها كما هي.

صعب

مصطلحات الدرس

المتوسط الحسابي Mean
مقياس لتمركز القيم في البيانات، ويُعطى بالقانون x̄ = (∑ n_i x_i)/(∑ n_i) .
مقاييس التشتت Dispersion Measures
مقاييس تبيّن مدى تباعد قيم البيانات عن بعضها وعن المتوسط الحسابي، ومنها التباين والانحراف المعياري.
التباين Variance
متوسط مربعات انحرافات القيم عن المتوسط الحسابي، ويُعطى بالقانون v = (∑ n_i (x_i − x̄)²)/(∑ n_i) .
الانحراف المعياري Standard Deviation
الجذر التربيعي للتباين، σ = √v = √((∑ n_i (x_i − x̄)²)/(∑ n_i)) ، وهو مقياس لتشتت القيم في البيانات.
مركز الفئة
القيمة التي تمثّل الفئة في التوزيع التكراري ذي الفئات؛ ففي هذه الحالة x_i تمثل مراكز الفئات وتُستخدم القوانين نفسها.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 2 تمرينًا.

عمل تعاونيفي نهاية الفصل الأول من العام الدراسي، كانت درجات أحد الطلاب حيث النهاية العظمى 20 درجة كما يلي: أحياء 11 , 12 , 11 , 10 , 9 ؛ رياضيات 16 , 8 , 10 , 7 , 13 ؛ فيزياء 15 , 15 , 15 , 5 , 5 ؛ كيمياء 11 , 12 , 11 , 10 , 11 . a هل يمكن التعرف على المادة الأفضل في التحصيل، من دون إجراء عمليات حسابية، أو من خلال أفضل متوسط حسابي لدرجات هذا الطالب؟ b أوجد المتوسط الحسابي لدرجات هذا الطالب في كل مادة. c أوجد الانحراف المعياري لدرجات كل مادة. d ما الذي تلاحظه عند هذا الطالب بالنسبة إلى الانحراف المعياري لدرجات كل مادة؟ اشرح.(ص 214)

a لا يمكن الحكم بالنظر وحده ولا بالمتوسط الحسابي وحده؛ لأن مجموعتين مختلفتين تمامًا قد يكون لهما المتوسط الحسابي نفسه، ولا بد من مقياس ثانٍ للتشتت هو الانحراف المعياري. b المتوسط الحسابي لكل مادة: أحياء: (11 + 12 + 11 + 10 +9)/5 = 53/5 = 10.6 . رياضيات: (16 + 8 + 10 + 7 + 13)/5 = 54/5 = 10.8 . فيزياء: (15 + 15 + 15 + 5 +5)/5 = 55/5 = 11 . كيمياء: (11 + 12 + 11 + 10 + 11)/5 = 55/5 = 11 . c الانحراف المعياري لكل مادة بالقانون σ = √((∑ n_i (x_i − x̄)²)/(∑ n_i)) : أحياء: مجموع مربعات الانحرافات = 0.16 + 1.96 + 0.16 + 0.36 + 2.56 = 5.2 ، و v = 5.2/5 = 1.04 ، و σ ≈ 1.02 . رياضيات: مجموع مربعات الانحرافات = 27.04 + 7.84 + 0.64 + 14.44 + 4.84 = 54.8 ، و v = 54.8/5 = 10.96 ، و σ ≈ 3.31 . فيزياء: مجموع مربعات الانحرافات = 16 + 16 + 16 + 36 + 36 = 120 ، و v = 120/5 = 24 ، و σ ≈ 4.9 . كيمياء: مجموع مربعات الانحرافات = 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 2 ، و v = 2/5 = 0.4 ، و σ ≈ 0.63 . d نلاحظ أن الفيزياء والكيمياء لهما المتوسط الحسابي نفسه (11) ومع ذلك يختلف انحرافهما المعياري اختلافًا كبيرًا: الكيمياء σ ≈ 0.63 فدرجاتها متقاربة ومستواه فيها ثابت، أما الفيزياء σ ≈ 4.9 فدرجاتها متباعدة جدًّا. وأقل المواد تشتتًا هي الكيمياء ثم الأحياء، وأكثرها تشتتًا الفيزياء ثم الرياضيات. فالمادة الأفضل تحصيلًا واستقرارًا هي الكيمياء؛ لأن متوسطها الأعلى مع أقل انحراف معياري.

حاول أن تحل 1لاحظ صاحب صيدلية أن مبيع الأدوية بحسب أسعارها بالدينار هو كما يلي: الفئة (بالدينار) 0− , 5− , 10− , 15− , 20− , 25− ، التكرار 19 , 30 , 47 , 28 , 26 , 10 ، المجموع 160 . a أكمل الجدول بإيجاد مركز كل فئة. أوجد المتوسط الحسابي. b أوجد التباين والانحراف المعياري لأسعار الأدوية.(ص 216)

a مراكز الفئات (طول الفئة 5): 2.5 , 7.5 , 12.5 , 17.5 , 22.5 , 27.5 . المتوسط الحسابي: x̄ = (∑ n_i x_i)/(∑ n_i) = ((19 × 2.5) + (30 × 7.5) + (47 × 12.5) + (28 × 17.5) + (26 × 22.5) + (10 × 27.5))/160 = (47.5 + 225 + 587.5 + 490 + 585 + 275)/160 = 2 210/160 = 13.8125 دينارًا. b نكوّن عمود n_i (x_i − x̄)² : 2.5: (2.5 − 13.8125)² = 127.97265625 ، × 19 = 2 431.48046875 . 7.5: (7.5 − 13.8125)² = 39.84765625 ، × 30 = 1 195.4296875 . 12.5: (12.5 − 13.8125)² = 1.72265625 ، × 47 = 80.96484375 . 17.5: (17.5 − 13.8125)² = 13.59765625 ، × 28 = 380.734375 . 22.5: (22.5 − 13.8125)² = 75.47265625 ، × 26 = 1 962.2890625 . 27.5: (27.5 − 13.8125)² = 187.34765625 ، × 10 = 1 873.4765625 . المجموع = 7 924.375 . التباين: v = 7 924.375/160 ≈ 49.53 . الانحراف المعياري: σ = √v ≈ 7.04 دينارًا. وهذا يدل على تشتت كبير نسبيًّا لأسعار الأدوية عن متوسطها.

صفحات الكتاب

صفحات هذا الدرس من كتاب الطالب الرسمي كما هي، صفحات 214 إلى 216.

صفحة 214صفحة 214صفحة 215صفحة 215صفحة 216صفحة 216

المصدر: الرياضيات — الصف الحادي عشر (علمي) — الفصل الدراسي الأول

  • ص 215: «يمكن قراءة البيانات الإحصائية بزوج مرتب مكون من مقياسين مهمين»
  • ص 215: «المتوسط الحسابي وهو مقياس لتمركز القيم في البيانات.»
  • ص 215: «الانحراف المعياري وهو مقياس لتشتت القيم في البيانات.»
  • ص 215: «ملاحظة هامة: في حالة التوزيع التكراري ذي الفئات x تمثل مراكز الفئات ونستخدم نفس القوانين السابقة.»
  • ص 216: «بما أن المتوسط الحسابي x = 28 min والانحراف المعياري σ ≈ 10.2 فهذا يدل على تشتت كبير لقيم البيانات عن المتوسط الحسابي.»