نسخة تجريبية من المنقذ: الاشتراك المدفوع والمساعد الذكي لم يُفعَّلا بعد، والمحتوى متاح للتجربة.

الرياضيات

الوحدة 1: الوحدة الأولى: الأعداد الحقيقية

الدرس 1الجذور والتعبيرات الجذرية

من كتاب الطالبالرياضيات — الصف الحادي عشر (علمي) — الفصل الدراسي الأول · من صفحة 13

أهداف الدرس

  • أختصر الجذور.
  • أضرب التعبيرات الجذرية.
  • أقسم التعبيرات الجذرية.
  • أستخدم «المرافق» لتبسيط كسر إلى كسر مقامه عدد نسبي.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 340:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 6الجذور والتعبيرات الجذرية Roots and Radical Expressions1:30

مقاطع الدرس

0 من 6 مكتمل

الجذور والتعبيرات الجذرية Roots and Radical Expressions(ص 13)

  1. بما أن25 = (5)² = (−5)²
  2. فإن العددين −5 , +5 هما «الجذران التربيعيان» للعدد 25
  3. وبما أن125 = (5)³
  4. فإن العدد 5 هو «الجذر التكعيبي» للعدد 125
  5. وأيضًا بما أن−125 = (−5)³
  6. فإن العدد (−5) هو الجذر التكعيبي للعدد (−125)
  7. وبالتالي: لكل عدد حقيقي موجب جذران تربيعيان أحدهما موجب والآخر سالب
  8. أي أن إذا كانA² = x
  9. فإنA = ±√x , x > 0
  10. لكل عدد حقيقي جذر تكعيبي حقيقي واحد
ملخص عدد الجذور الحقيقية لعدد حقيقي
ملخص عدد الجذور الحقيقية لعدد حقيقي(ص 13)
انتبه

  1. معلومة: عندما يكون دليل الجذر يساوي 2 فلا يكتب الدليل. مثال:

    √x

  2. تعني الجذر التربيعي لـ x. أي مقدار يتضمن جذورًا يسمى «تعبيرًا جذريًّا».

  3. معلومة: أسماء وحدات الطول: millimetre mm، centimetre cm، decimetre dm، metre m، decametre dam، hectometre hm، kilometre km.

(ص 13)

الجذور التكعيبية Cubic Roots(ص 14)

  1. إذا كانA³ = B
  2. فإنA = ∛B
  3. وتقرأ «الجذر التكعيبي» للعدد B حيث 3 هو «دليل الجذر»، وB هو «المجذور»
  4. ولكل عدد حقيقي(∛x)³ = ∛x³ = x , ∀x ∈ ℝ
انتبه

  1. معلومة:

    a¹ = a
  2. a⁰ = 1 , a ≠ 0

  3. الرمز (∀) يقرأ لكل.

  4. الرمز (∶) يقرأ حيث.

  5. الرمز (∈) يقرأ ينتمي إلى.

  6. تذكّر: قوانين الأسس

  7. ∀n, m ∈ ℤ , ∀a, b ∈ ℝ , a, b ≠ 0
  8. (a • b)ᵐ = aᵐ • bᵐ
  9. aᵐ • aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
  10. aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
  11. (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
  12. (a/b)ᵐ = aᵐ/bᵐ

  13. معلومة: أسماء مجموعات الأعداد

  14. مجموعة الأعداد الكلية Whole Numbers رمزها ℕ.

  15. مجموعة الأعداد الصحيحة Integers رمزها ℤ.

  16. مجموعة الأعداد النسبية Rational Numbers رمزها ℚ.

  17. مجموعة الأعداد غير النسبية Irrational numbers رمزها ℚ̄.

  18. مجموعة الأعداد الحقيقية Real Numbers رمزها ℝ.

(ص 14)
مثال

  1. مثال (1): أوجد الجذر التكعيبي لكل من الأعداد التالية دون استخدام الآلة الحاسبة

    a) −8 b) 125 c) −375/24 d) 0.064

  2. الحل، الفرع a: الجذر التكعيبي للعدد (−8) هو

    ∛−8

  3. حلل (−8) إلى عوامله

    ∛−8 = ∛(−2)³

  4. بتطبيق ∛x³ = x , ∀x ∈ ℝ

    = −2

  5. الفرع b: الجذر التكعيبي للعدد 125 هو

    ∛125

  6. حلل 125 إلى عوامله الأولية

    ∛125 = ∛5³

  7. بتطبيق القاعدة نفسها

    = 5

  8. الفرع c: بتحليل البسط والمقام إلى مكعبات كاملة

    ∛(−375/24) = ∛(−125/8) = ∛(−(5)³/(2)³) = ∛(−5/2)³ = −5/2

  9. الفرع d: بكتابة 0.064 كسرًا ثم تحليله إلى مكعبات كاملة

    ∛0.064 = ∛(64/1000) = ∛((4)³/(10)³) = ∛(4/10)³ = 4/10
(ص 14)

تبسيط الجذور Simplifying Radicals(ص 14)

  1. حتى يكون التعبير الجذري في «أبسط صورة» يجب مراعاة ما يلي
  2. ألا يكون للمجذور عوامل مرفوعة لقوة أكبر من أو تساوي دليل الجذر، فمثلًا هذا «ليس في أبسط صورة»√(8a⁶b⁷)
  3. ألا يكون المقام جذرًا، مثل هذا «ليس في أبسط صورة»5/√2
  4. ألا يكون المجذور كسرًا، مثل هذا «ليس في أبسط صورة»√(4/7)
  5. أن يكون دليل الجذر أصغر عدد صحيح موجب ممكن، مثل هذا «ليس في أبسط صورة»¹⁰√32
قاعدة

  1. تذكّر:

    √x² = |x|

  2. و

    |x| = { x ∶ x > 0 ، 0 ∶ x = 0 ، −x ∶ x < 0 }
(ص 15)
مثال

  1. مثال (2): بسّط كلًّا من التعبيرات الجذرية التالية لكل عدد حقيقي x

    a) √(4x⁶) b) ∛(8x³) + 3x

  2. الحل، الفرع a: اكتب 4x⁶ على صورة مربعين

    √(4x⁶) = √(2²(x³)²)

  3. بتطبيق xⁿ • yⁿ = (x • y)ⁿ

    = √((2x³)²)

  4. بتطبيق √(y²) = |y|

    = |2x³|

  5. وبتعريف القيمة المطلقة

    = { 2x³ ∶ x ≥ 0 ، −2x³ ∶ x < 0 }

  6. الفرع b: تحليل العدد 8 إلى عوامله

    ∛(8x³) + 3x = ∛(2³x³) + 3x

  7. بتطبيق xⁿ • yⁿ = (x • y)ⁿ

    = ∛((2x)³) + 3x

  8. بتطبيق ∛x³ = x

    = 2x + 3x

  9. بالجمع

    = 5x
(ص 15)
مثال

  1. مثال (3) تطبيقات حياتية: أراد خالد أن يضع 4 درازن من البرتقال في صندوق. يتسع الصندوق لـ 4 طبقات وتحتوي كل طبقة على 12 برتقالة، على أن تكون 3 برتقالات مقابلة لعرض الصندوق و4 برتقالات مقابلة لطول الصندوق.

  2. وزن كل برتقالة هو بين 226 g و255 g، إن وزن البرتقالة w مرتبط بأكبر طول لقطرها d وفق الصيغة

    w = d³/2.3

  3. حيث w بالجرام (g)، d بالسنتيمتر (cm). المطلوب: a أوجد طول أكبر قطر مقطع دائري للبرتقالة، b أوجد الأبعاد لصندوق مناسب.

  4. الحل، الفرع a: اكتب المتباينة

    226 < w < 255

  5. عوّض

    226 < d³/2.3 < 255

  6. اضرب في 2.3

    519.8 < d³ < 586.5

  7. أوجد الجذر التكعيبي

    ∛519.8 < ∛d³ < ∛586.5

  8. استخدم الآلة الحاسبة

    8.04 < d < 8.37

  9. وبالتالي طول أكبر قطر مقطع دائري بين

    8.04 cm , 8.37 cm

  10. الفرع b: عرض الصندوق

    3 × 8.37 = 25.11 cm

  11. طول الصندوق = ارتفاع الصندوق

    4 × 8.37 = 33.48 cm
(ص 15)
انتبه

  1. معلومة: أسماء وحدات الوزن: milligram mg، centigram cg، decigram dg، gram g، decagram dag، hetogram hg، kilogram kg، ton t.

  2. الربط بالحياة: يستخدم الجذر التكعيبي لإيجاد طول نصف قطر كرة إذا عرف حجمها.

  3. V = (4/3) π r³
  4. r = ∛(3V/4π)
(ص 15)

جمع وطرح التعبيرات الجذرية Adding and Subtracting Radical Expressions(ص 16)

قاعدة
لجمع التعبيرات الجذرية وطرحها، يجب أن تكون متشابهة. يكون التعبيران الجذريان متشابهين عندما يكون لهما دليل الجذر نفسه والمجذور نفسه. يجب وضع التعبيرات الجذرية في «أبسط صورة» مما يسمح لنا بمعرفة ما إذا كانت متشابهة أم لا.(ص 16)
  1. لاحظ أن هذين تعبيران جذريان متشابهان5√3 , 2√3
  2. وهذان تعبيران جذريان متشابهان8√x , −3√x (x ≥ 0)
  3. وهذان تعبيران جذريان متشابهان. لماذا؟√27 , √12
  4. في حين أن هذين تعبيران جذريان غير متشابهين√3 , 3√5
  5. وهذان تعبيران جذريان غير متشابهين√x , −3√y (x ≥ 0 , y ≥ 0)
انتبه

  1. معلومة:

    ℝ* = ℝ − {0}

  2. ℝ⁻ مجموعة الأعداد الحقيقية السالبة.

  3. ℝ⁺ مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة.

  4. معلومة: إذا كان

    a ∈ ℝ⁻

  5. فإن

    √a ∉ ℝ

  6. فمثلًا

    √−4 ∉ ℝ

  7. معلومة: نتعامل مع التعبيرات الجذرية المتشابهة مثل تعاملنا مع الحدود الجبرية المتشابهة.

(ص 16)
مثال

  1. مثال (4): أوجد الناتج في أبسط صورة

    a) 3√32 − √98 b) 2∛3 + 5∛375 c) √18 + √50 − √72 d) ∛128 + ∛54 − 2∛250

  2. الحل، الفرع a

    3√32 − √98

  3. حلل المجذور

    = 3√(16 × 2) − √(49 × 2)

  4. اكتب 16 , 49 على صورة مربعات كاملة

    = 3√(4² × 2) − √(7² × 2)

  5. بتطبيق √x² = x , x ≥ 0

    = 3 × 4 × √2 − 7 × √2

  6. بسّط

    = 12√2 − 7√2

  7. اطرح التعبيرين المتشابهين

    = 5√2

  8. الفرع b

    2∛3 + 5∛375

  9. حلل المجذور

    = 2∛3 + 5∛(125 × 3)

  10. اكتب 125 على صورة مكعب كامل

    = 2∛3 + 5∛(5³ × 3)

  11. بتطبيق ∛x³ = x

    = 2∛3 + 5 × 5 × ∛3

  12. بسّط

    = 2∛3 + 25∛3

  13. اجمع التعبيرين المتشابهين

    = 27∛3

  14. الفرع c

    √18 + √50 − √72

  15. حلل المجذور

    = √(9 × 2) + √(25 × 2) − √(36 × 2)

  16. اكتب 9 , 25 , 16 على صورة مربعات كاملة

    = √(3² × 2) + √(5² × 2) − √(6² × 2)

  17. بتطبيق √x² = x , x ≥ 0

    = 3√2 + 5√2 − 6√2

  18. بسّط

    = 2√2

  19. الفرع d

    ∛128 + ∛54 − 2∛250

  20. حلل المجذور

    = ∛(64 × 2) + ∛(27 × 2) − 2∛(125 × 2)

  21. اكتب 64 , 27 , 125 على صورة مكعبات كاملة

    = ∛(4³ × 2) + ∛(3³ × 2) − 2∛(5³ × 2)

  22. بتطبيق ∛x³ = x

    = 4∛2 + 3∛2 − 2 × 5∛2

  23. بسّط

    = 4∛2 + 3∛2 − 10∛2

  24. اجمع واطرح التعبيرات المتشابهة

    = −3∛2
(ص 16)

ضرب وقسمة الجذور التربيعية والجذور التكعيبية(ص 18)

ضرب وقسمة الجذور التربيعية والجذور التكعيبية
ضرب وقسمة الجذور التربيعية والجذور التكعيبية(ص 18)
  1. فمثلًا بتحليل 12 ثم فصل الجذر√12 = √((4)(3)) = √4 × √3 = 2√3
  2. وبضرب الجذرين√2 × √8 = √16 = 4
  3. وبقسمة الجذرين التكعيبيين∛54/∛−2 = ∛(54/−2) = ∛−27 = −3
  4. وبكتابة العدد العشري كسرًا√0.49 = √(49/100) = √49/√100 = 7/10 = 0.7
مثال

  1. مثال (5): بسّط كلًّا من التعبيرات الجذرية التالية

    a) √(72x³) , x ≥ 0 b) ∛(80n⁵)

  2. الحل، الفرع a: حلل 72، x³

    √(72x³) = √((6²)(2)(x²)(x))

  3. بتطبيق √(x • y) = √x • √y , x ≥ 0 , y ≥ 0

    = √(6²x²) × √(2x)

  4. بتطبيق √x² = |x| , ∀ x ∈ ℝ

    = 6|x| × √(2x)

  5. بما أن |x| = x , x ≥ 0

    = 6x√(2x)

  6. الفرع b: تحليل n⁵ و80 إلى مكعبات كاملة

    ∛(80n⁵) = ∛(2³(10)(n³)(n²))

  7. بتطبيق ∛(x • y) = ∛x • ∛y

    = ∛(2³n³) × ∛(10n²)

  8. بتطبيق ∛x³ = x , ∀ x ∈ ℝ

    = 2n∛(10n²)
(ص 18)
مثال

  1. مثال (6): بسّط كلًّا من التعبيرات الجذرية التالية

    a) √(5x³) × √(40x) , x ≥ 0 b) ∛(5x³y⁴) × ∛(64x²y³)

  2. الحل، الفرع a: بتطبيق √x • √y = √(x • y) , x ≥ 0 , y ≥ 0

    √(5x³) × √(40x) = √(5(40)(x³)(x))

  3. اضرب

    = √(200x⁴)

  4. بسّط

    = 10x²√2

  5. الفرع b: بتطبيق ∛x • ∛y = ∛(x • y)

    ∛(5x³y⁴) × ∛(64x²y³) = ∛((5x³y⁴) × (64x²y³))

  6. حلل إلى مكعبات كاملة

    = ∛((5x³y³y)(4³)(x²)(y³))

  7. خاصية التجميع

    = ∛(5(4³) • x³ • y³ • y³ • x² • y)

  8. بتطبيق ∛x • ∛y = ∛(x • y)

    = ∛(4³x³(y²)³) × ∛(5x²y)

  9. بتطبيق ∛x³ = x

    = 4xy²∛(5x²y)
(ص 19)
مثال

  1. مثال (7): بسط كلًّا من التعبيرات الجذرية التالية

    a) ∛(162x⁵)/∛(3x²) , x ≠ 0 b) ∛(250x⁷y³)/∛(2x²y) , x ≠ 0 , y ≠ 0

  2. الحل، الفرع a: بتطبيق ∛x/∛y = ∛(x/y) , y ≠ 0

    ∛(162x⁵)/∛(3x²) = ∛(162x⁵/3x²)

  3. اقسم

    = ∛(54x³)

  4. حلل 54 إلى عوامله

    = ∛(2(3)³x³)

  5. بتطبيق ∛(x • y) = ∛x • ∛y

    = ∛2 × ∛(3³ × x³)

  6. بتطبيق ∛x³ = x

    = 3x ∛2

  7. الفرع b: بتطبيق ∛x/∛y = ∛(x/y) , y ≠ 0

    ∛(250x⁷y³)/∛(2x²y) = ∛(250x⁷y³/2x²y) = ∛(125x⁵y²)

  8. بتطبيق ∛x • ∛y = ∛(x • y)

    = ∛125 × ∛(x⁵y²)

  9. بتطبيق ∛x³ = x

    = 5 × x∛(x²) × ∛(y²)

  10. بتطبيق ∛x • ∛y = ∛(x • y)

    = 5x ∛(x²y²)
(ص 20)

تبسيط كسر مقامه يتضمن جذرًا(ص 20)

تعريف
إذا كان x, y تعبيرين جذريين يمثلان أعدادًا غير نسبية وكان ناتج ضرب x في y عددًا نسبيًّا فإن x, y «مترافقان».(ص 20)
  1. فمثلًا √2 مرافق √2، لأن الناتج 2 عدد نسبيّ√2 × √2 = 2
  2. وكذلك (3 + √2) مرافق (3 − √2)، لأن الناتج 7 عدد نسبيّ(3 + √2)(3 − √2) = 9 − 2 = 7
  3. وأيضًا ∛5² مرافق لـ ∛5، لأن الناتج 5 عدد نسبيّ∛5 × ∛5² = ∛5³ = 5
  4. يمكن إعادة كتابة كسر يحتوي مقامه على جذور تربيعية أو جذور تكعيبية على شكل كسر مقامه عدد نسبي وذلك بضرب بسط الكسر ومقامه في مرافق المقام
انتبه

  1. معلومة: إذا كان a, b عددين صحيحين موجبين فإن:

  2. √a هو مرافق √a.

  3. (√a − √b) ، (√a + √b) مترافقان.

  4. معلومة: المرافق ليس وحيد.

(ص 20)
مثال

  1. مثال (8): اكتب كل كسر بحيث يكون المقام عددًا نسبيًّا

    a) (1 + √2)/√3 b) (√2 − 1)/(3 − √2) c) 3/∛5 d) (x + √x)/(√x − 9x) , x ∈ ℚ⁺

  2. الحل، الفرع a: اضرب بسط الكسر ومقامه في √3 وهو مرافق المقام √3

    (1 + √2)/√3 = (1 + √2)/√3 × (√3/√3)

  3. اضرب

    = (√3 + (√2 × √3))/(√3)²

  4. بسّط

    = (√3 + √6)/3

  5. المقام عدد نسبيّ

    ∴ (1 + √2)/√3 = (√3 + √6)/3

  6. الفرع b: اضرب بسط الكسر ومقامه في 3 + √2 وهو مرافق المقام 3 − √2

    (√2 − 1)/(3 − √2) = (√2 − 1)/(3 − √2) × (3 + √2)/(3 + √2)

  7. بتطبيق (a −b)(a +b) = a² − b²

    = (3√2 + (√2 × √2) − 3 − √2)/(3² − (√2)²)

  8. بسّط

    = (3√2 + 2 − 3 − √2)/(9 − 2)

  9. بسّط

    = (2√2 − 1)/7

  10. الفرع c: اضرب بسط الكسر ومقامه في ∛5² وهو مرافق المقام ∛5

    3/∛5 = 3/∛5 × ∛5²/∛5²

  11. بتطبيق ∛x • ∛y = ∛(x • y)

    = 3∛5²/∛5³

  12. بتطبيق ∛x³ = x وبالتالي المقام عدد نسبيّ

    = 3∛25/5

  13. الفرع d: اضرب بسط الكسر ومقامه في مرافق المقام

    (x + √x)/(√x − 9x) = (x + √x)/(√x − 9x) × (√x + 9x)/(√x + 9x)

  14. اضرب

    = (x√x + 9x² + (√x)² + 9x√x)/((√x)² − (9x)²)

  15. بسّط

    = (x√x + 9x² + x + 9x√x)/(x − 81x²)

  16. بجمع الحدود المتشابهة

    = (9x² + 10x√x + x)/(x − 81x²)

  17. x عامل مشترك

    = x(9x + 10√x + 1)/(x(1 − 81x)) , x > 1

  18. بسّط

    = (9x + 10√x + 1)/(1 − 81x)
(ص 21)
انتبه

  1. معلومة: كيبلر عالم رياضيات وفلك وفيزياء ألماني، وضع قوانينًا تصف حركة دوران الكوكب حول الشمس.

  2. من قوانينه: كل كوكب يدور في مدار إهليليجي (بيضاوي) حول الشمس وتقع الشمس في إحدى بؤرتيه ويسمى هذا المدار بالقطع الناقص.

(ص 22)
المدار الإهليليجي (القطع الناقص) وبؤرتاه، والشمس في إحداهما
المدار الإهليليجي (القطع الناقص) وبؤرتاه، والشمس في إحداهما(ص 22)
مدار كوكب حول الشمس، ونصف طول المحور الأكبر r
مدار كوكب حول الشمس، ونصف طول المحور الأكبر r(ص 22)
مثال

  1. مثال (9) تطبيقات حياتية: ينص قانون كيبلر الثالث على أن مربع الزمن الدوري لدوران كوكب حول الشمس يتناسب طردًا مع مكعب طول نصف المحور الأكبر لمدار الكوكب، ويمكن تمثيل ذلك بالعلاقة

    T² = 4π²/((6.673) × (10⁻¹¹) × M) × r³

  2. حيث M بالكيلوجرام، r بالمتر، T بالثانية. أوجد نصف طول المحور الأكبر لمدار كوكب كتلته

    M = 6 × 10²⁴ kg

  3. وزمنه الدوري

    T = 5175 s

  4. الحل: نكتب العلاقة

    T² = 4π²/((6.673)(10⁻¹¹) × M) × r³

  5. نجعل r³ في طرف بمفرده

    r³ = M × (6.673)(10⁻¹¹) × T²/(4π²)

  6. نأخذ الجذر التكعيبي للطرفين

    r = ∛(M × (6.673) × (10⁻¹¹) × T²/(4π²))

  7. نعوّض بالمعطيات

    r = ∛((6 × 10²⁴)(6.673 × 10⁻¹¹)(5175)²/(4π²))

  8. بالحساب

    ≈ 6.476 × 10⁶ m

  9. يبلغ نصف طول المحور الأكبر لمدار الكوكب حوالي

    6.476 × 10⁶ m
(ص 22)

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

7 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 7

  1. المسألة · الكتاب ص 14

    أوجد الجذر التكعيبي للعدد −8 دون استخدام الآلة الحاسبة.

    المعطيات

    1. المجذور = −8من هنا
    2. دليل الجذر = 3
    1. ∛−8

    المعلم: نكتب المطلوب أولًا: الجذر التكعيبي للعدد سالب ثمانية. لاحظ أن دليل الجذر ثلاثة، والجذر التكعيبي موجود لكل عدد حقيقي حتى لو كان سالبًا، فلا تتوقف عند الإشارة.

    الخطوة 1 من 3

الملخص

  • لكل عدد حقيقي موجب جذران تربيعيان أحدهما موجب والآخر سالب، ولكل عدد حقيقي جذر تكعيبي حقيقي واحد.
  • العدد السالب ليس له جذر تربيعي حقيقي، أما جذره التكعيبي فموجود وسالب.
  • إذا كان A³ = B فإن A = ∛B، حيث 3 «دليل الجذر» وB «المجذور»، و∛x³ = x لكل x ∈ ℝ.
  • شروط «أبسط صورة»: لا عوامل أسّها ≥ دليل الجذر، ولا جذر في المقام، ولا كسر تحت الجذر، ودليل الجذر أصغر ما يمكن.
  • √x² = |x| دائمًا، بينما ∛x³ = x بلا قيمة مطلقة.
  • لا نجمع التعبيرات الجذرية ولا نطرحها إلا إذا تشابهت في دليل الجذر والمجذور معًا، بعد وضعها في أبسط صورة.
  • √(x • y) = √x • √y و√(x/y) = √x/√y لكل x , y ∈ ℝ⁺ ∪ {0} مع y ≠ 0، والخاصيتان نفساهما للجذر التكعيبي لكل x , y ∈ ℝ.
  • لجعل المقام عددًا نسبيًّا نضرب بسط الكسر ومقامه في «المرافق»، والمرافق ليس وحيدًا.

الأفكار الرئيسية

  1. التبسيط في الجذور معناه تحليل المجذور إلى مربعات كاملة أو مكعبات كاملة ثم سحبها خارج الجذر.
  2. الجذر التربيعي يفرض شرط عدم السالبية ويظهر القيمة المطلقة، أما الجذر التكعيبي فيقبل جميع الأعداد الحقيقية بلا قيمة مطلقة.
  3. المرافق أداة لتحويل مقام غير نسبي إلى مقام نسبي دون تغيير قيمة الكسر.

الأسئلة المهمة

عرّف «الجذر التكعيبي» للعدد B، وحدّد «دليل الجذر» و«المجذور».

إذا كان A³ = B فإن A = ∛B وتقرأ الجذر التكعيبي للعدد B، حيث 3 هو دليل الجذر وB هو المجذور.

الكتاب صفحة 14

كم جذرًا تربيعيًّا حقيقيًّا وكم جذرًا تكعيبيًّا حقيقيًّا لكل من: عدد موجب، الصفر، عدد سالب؟

العدد الموجب: جذران تربيعيان وجذر تكعيبي واحد. الصفر: جذر تربيعي واحد وجذر تكعيبي واحد. العدد السالب: لا جذر تربيعي حقيقي وجذر تكعيبي واحد.

الكتاب صفحة 13

اذكر شروط كون التعبير الجذري في «أبسط صورة».

ألا يكون للمجذور عوامل مرفوعة لقوة أكبر من أو تساوي دليل الجذر، وألا يكون المقام جذرًا، وألا يكون المجذور كسرًا، وأن يكون دليل الجذر أصغر عدد صحيح موجب ممكن.

الكتاب صفحة 14

علّل: نكتب √(4x⁶) = |2x³| ولا نكتبها 2x³ مباشرة.

لأن √x² = |x| لكل x حقيقي، وقد يكون x سالبًا فيصير 2x³ سالبًا بينما الجذر التربيعي لا يكون سالبًا؛ فتكون النتيجة 2x³ إذا كان x ≥ 0 و−2x³ إذا كان x < 0.

الكتاب صفحة 15

متى يكون التعبيران الجذريان متشابهين؟ ولماذا يجب التبسيط قبل الحكم؟

يكونان متشابهين عندما يكون لهما دليل الجذر نفسه والمجذور نفسه. ويجب وضعهما في أبسط صورة أولًا لأن التشابه قد لا يظهر قبل التبسيط، مثل √27 و√12.

الكتاب صفحة 16

عرّف «المترافقين»، وأعطِ مثالًا من الكتاب.

إذا كان x, y تعبيرين جذريين يمثلان أعدادًا غير نسبية وكان ناتج ضرب x في y عددًا نسبيًّا فإن x, y مترافقان؛ مثل (3 + √2) و(3 − √2) لأن حاصل ضربهما 9 − 2 = 7 وهو عدد نسبي.

الكتاب صفحة 20

كيف نكتب الكسر 3/∛5 بحيث يكون المقام عددًا نسبيًّا؟

نضرب بسط الكسر ومقامه في ∛5² وهو مرافق المقام، فيصير المقام ∛5³ = 5، والناتج 3∛25/5.

الكتاب صفحة 21

علّل: √−4 ∉ ℝ.

لأن العدد السالب ليس له جذر تربيعي حقيقي؛ فلا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب.

الكتاب صفحة 16

اختبار الدرس

أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.

سؤال 1
1

ناتج ∛(−8) يساوي:

سهل
سؤال 2
2

عدد الجذور التربيعية الحقيقية لعدد حقيقي سالب هو:

سهل
سؤال 3
3

√(4x⁶) لكل عدد حقيقي x تساوي:

متوسط
سؤال 4
4

ناتج 3√32 − √98 في أبسط صورة هو:

متوسط
سؤال 5
5

ناتج ∛(162x⁵)/∛(3x²) حيث x ≠ 0 هو:

صعب
سؤال 6
6

مرافق المقام في الكسر 3/∛5 هو:

متوسط
سؤال 7
7

التعبيران √27 و√12 تعبيران جذريان متشابهان.

متوسط
سؤال 8
8

∛x³ = |x| لكل عدد حقيقي x.

متوسط
سؤال 9
9

أوجد ناتج √18 + √50 − √72 في أبسط صورة.

متوسط
سؤال 10
10

أكمل: التعبير الجذري 5/√2 ليس في أبسط صورة لأن ............

سهل

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

سؤال 1
1

بسّط: √(72x³) حيث x ≥ 0، مبيّنًا الخطوات كما في الكتاب.

متوسط
سؤال 2
2

اكتب الكسر (√2 − 1)/(3 − √2) بحيث يكون المقام عددًا نسبيًّا.

صعب
سؤال 3
3

علّل: لماذا نضع القيمة المطلقة عند تبسيط √(x⁸y⁶) بينما لا نضعها عند تبسيط ∛(−27x⁶)؟

صعب
سؤال 4
4

استخدم الصيغة w = d³/2.3 لإيجاد طول أكبر قطر دائري لبرتقالة وزنها 195.93 g، ثم اذكر بعدين مناسبين لصندوق يتسع لأربع طبقات كما في مثال (3).

صعب

مصطلحات الدرس

الجذر التربيعي Square Root
العدد الذي إذا رُفع للأس 2 نتج المجذور؛ ولكل عدد حقيقي موجب جذران تربيعيان أحدهما موجب والآخر سالب.
الجذر التكعيبي Cubic Root
إذا كان A³ = B فإن A = ∛B، ولكل عدد حقيقي جذر تكعيبي حقيقي واحد.
التعبيرات الجذرية Radical Expressions
أي مقدار يتضمن جذورًا يسمى تعبيرًا جذريًّا.
دليل الجذر Radix
العدد المكتوب فوق علامة الجذر؛ وإذا كان يساوي 2 فلا يُكتب.
المجذور Radicand
المقدار الواقع تحت علامة الجذر.
المرافق Conjugate
تعبير جذري إذا ضُرب في تعبير جذري آخر غير نسبي كان الناتج عددًا نسبيًّا.
تحليل Analyse
كتابة العدد أو المقدار على صورة حاصل ضرب عوامل، غالبًا مربعات كاملة أو مكعبات كاملة.
عوامل أولية Prime Factors
العوامل التي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى الواحد، ونستعملها في تحليل المجذور.
أبسط صورة
صورة التعبير الجذري التي تتحقق فيها الشروط الأربعة: لا عوامل أسّها ≥ دليل الجذر، ولا جذر في المقام، ولا كسر تحت الجذر، ودليل الجذر أصغر ما يمكن.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 10 تمرينًا.

دعنا نفكر ونتناقش 1صالة عرض سيّارات مكعبة الشكل. إذا كان: a طول ضلعها يساوي 12 m فإن مساحة أحد أوجهها تساوي ....، b مساحة أحد أوجهها تساوي 100 m² فإن طول ضلعها يساوي ...، c مساحة أحد أوجهها تساوي 400 m² فإن طول ضلعها يساوي ... (يمكن استخدام الآلة الحاسبة)، d مساحتها الكلية تساوي 384 m² فإن طول ضلعها يساوي ...، e طول ضلعها يساوي 12 m فإن حجمها يساوي ...، f حجمها يساوي 512 m³ فإن طول ضلعها يساوي ...، g حجمها يساوي 970 m³ فإن طول ضلعها يساوي ...(ص 13)

a مساحة الوجه = 12² = 144 m². b طول الضلع = √100 = 10 m. c طول الضلع = √400 = 20 m. d مساحة الوجه الواحد = 384 ÷ 6 = 64 m²، فطول الضلع = √64 = 8 m. e الحجم = 12³ = 1728 m³. f طول الضلع = ∛512 = ∛8³ = 8 m. g طول الضلع = ∛970 ≈ 9.9 m بالآلة الحاسبة.

حاول أن تحل 1أوجد الجذر التكعيبي لكل من الأعداد التالية دون استخدام الآلة الحاسبة: a −27 ، b 64 ، c −0.008 ، d 343/216(ص 14)

a ∛(−27) = ∛(−3)³ = −3. b ∛64 = ∛4³ = 4. c ∛(−0.008) = ∛(−8/1000) = ∛((−2)³/(10)³) = −2/10. d ∛(343/216) = ∛(7³/6³) = 7/6.

حاول أن تحل 2بسّط كلًّا من التعبيرات الجذرية التالية حيث x، y عددان حقيقيان: a √(9x²y⁴) ، b ∛(−27x⁶) + 3x² ، c √(x⁸y⁶)(ص 15)

a √(9x²y⁴) = √(3²x²(y²)²) = 3|x|y². b ∛(−27x⁶) + 3x² = ∛((−3x²)³) + 3x² = −3x² + 3x² = 0. c √(x⁸y⁶) = √((x⁴)²(y³)²) = |x⁴y³| = x⁴|y³|.

حاول أن تحل 3استخدم الصيغة w = d³/2.3 لإيجاد طول أكبر قطر دائري لكل برتقالة وزنها كما يلي: a 85 g ، b 195.93 g ، c 177.19 g(ص 16)

من الصيغة: d³ = 2.3 × w ثم d = ∛(2.3w). a d³ = 2.3 × 85 = 195.5 فيكون d ≈ 5.80 cm. b d³ = 2.3 × 195.93 = 450.639 فيكون d ≈ 7.67 cm. c d³ = 2.3 × 177.19 = 407.537 فيكون d ≈ 7.41 cm.

حاول أن تحل 4أوجد الناتج في أبسط صورة: a 4∛8 + 2∛128 ، b 2√75 − √48 ، c √12 + √147 − √27 ، d ∛320 + ∛40 − ∛135(ص 17)

a 4∛8 + 2∛128 = 4∛2³ + 2∛(4³ ×2) = 8 + 8∛2. b 2√75 − √48 = 2√(5² ×3) − √(4² ×3) = 10√3 − 4√3 = 6√3. c √12 + √147 − √27 = 2√3 + 7√3 − 3√3 = 6√3. d ∛320 + ∛40 − ∛135 = 4∛5 + 2∛5 − 3∛5 = 3∛5.

حاول أن تحل 5بسّط كلًّا من التعبيرات الجذرية التالية: a √(50x⁴) ، b ∛(18x³)(ص 19)

a √(50x⁴) = √(5² × 2 × (x²)²) = 5x²√2. b ∛(18x³) = ∛x³ × ∛18 = x∛18.

حاول أن تحل 6بسّط كلًّا من التعبيرات الجذرية التالية: a 3√(7x³) × 2√(x³y²) حيث x ≥ 0 ، b 4∛(x⁴y) × 3∛(x²y)(ص 19)

a 3√(7x³) × 2√(x³y²) = 6√(7x⁶y²) = 6√((x³)²(y)²) × √7 = 6x³|y|√7. b 4∛(x⁴y) × 3∛(x²y) = 12∛(x⁶y²) = 12∛((x²)³) × ∛(y²) = 12x²∛(y²).

حاول أن تحل 7أوجد ناتج كل من التعبيرات الجذرية التالية: a √243/√27 ، b √(12x⁴)/√(3x) حيث x > 0 ، c ∛(128x¹⁵)/∛(2x²) حيث x ≠ 0(ص 20)

a √243/√27 = √(243/27) = √9 = 3. b √(12x⁴)/√(3x) = √(12x⁴/3x) = √(4x³) = √(2²x² • x) = 2x√x. c ∛(128x¹⁵)/∛(2x²) = ∛(128x¹⁵/2x²) = ∛(64x¹³) = ∛(4³(x⁴)³ • x) = 4x⁴∛x.

حاول أن تحل 8أوجد ناتج كل من التعبيرات التالية في أبسط صورة: a (√3 + √2)/√3 ، b (3 − √2)/(2 − √2) ، c 1/∛(7²) ، d (x + √x)/(√x − 1) حيث x ∈ ℚ⁺ − {1}(ص 22)

a نضرب في √3/√3 فنحصل على (√9 + √6)/3 = (3 + √6)/3. b نضرب في المرافق (2 + √2)/(2 + √2) فنحصل على (6 + 3√2 − 2√2 −2)/(4 −2) = (4 + √2)/2. c نضرب في ∛7/∛7 فنحصل على ∛7/∛7³ = ∛7/7. d نضرب في المرافق (√x +1)/(√x +1) فنحصل على (x√x + x + x + √x)/((√x)² − 1²) = (x√x + 2x + √x)/(x −1).

حاول أن تحل 9باستخدام العلاقة في مثال (9) أوجد الزمن الدوري إذا كان نصف طول المحور الأكبر لمدار كوكب 5.84 × 10⁵ m، وكتلته 5.4 × 10²¹ kg(ص 22)

نعوّض في T² = 4π²/((6.673)(10⁻¹¹) × M) × r³ فيكون: T² = 4π²/((6.673 × 10⁻¹¹)(5.4 × 10²¹)) × (5.84 × 10⁵)³ ≈ 2.182 × 10⁷، ثم نأخذ الجذر التربيعي للطرفين فيكون T ≈ 4.67 × 10³ s (نحو 4671 s).

صفحات الكتاب

صفحات هذا الدرس من كتاب الطالب الرسمي كما هي، صفحات 13 إلى 22.

صفحة 13صفحة 13صفحة 14صفحة 14صفحة 15صفحة 15صفحة 16صفحة 16صفحة 17صفحة 17صفحة 18صفحة 18صفحة 19صفحة 19صفحة 20صفحة 20صفحة 21صفحة 21صفحة 22صفحة 22

المصدر: الرياضيات — الصف الحادي عشر (علمي) — الفصل الدراسي الأول

  • ص 13: «لكل عدد حقيقي موجب جذران تربيعيان أحدهما موجب والآخر سالب.»
  • ص 14: «إذا كان A³ = B، فإن A = ∛B وتقرأ الجذر التكعيبي للعدد B حيث 3 هو دليل الجذر، B هو المجذور.»
  • ص 14: «حتى يكون التعبير الجذري في أبسط صورة يجب مراعاة ما يلي: ألا يكون للمجذور عوامل مرفوعة لقوة أكبر من أو تساوي دليل الجذر.»
  • ص 16: «يكون التعبيران الجذريان متشابهين عندما يكون لهما دليل الجذر نفسه والمجذور نفسه.»
  • ص 20: «إذا كان x, y تعبيرين جذريين يمثلان أعدادًا غير نسبية وكان ناتج ضرب x في y عددًا نسبيًّا فإن x, y مترافقان.»