الدرس 1دالة القيمة المطلقة

f: R ⟶ R , f(x) = |x|؛ المجال R، المجال المقابل R، وقاعدة الاقتران f(x) = |x|.

الكتاب صفحة 17

اتحاد شعاعين من نقطة بداية واحدة على شكل V، رأس المنحنى (0 , 0) وعنده أصغر قيمة، متماثل حول محور الصادات (دالة زوجية)، ومداها [0 , ∞).

الكتاب صفحة 17

رأس المنحنى (−b/a , c)، محور التماثل x = −b/a، والمدى [c , ∞) إذا كانت مفتوحة للأعلى أو (−∞ , c] إذا كانت مفتوحة للأسفل (بإشارة سالبة أمام القيمة المطلقة).

الكتاب صفحة 19

إزاحة أفقية مقدارها |a| وحدة: جهة اليمين إذا كانت a سالبة، وجهة اليسار إذا كانت a موجبة.

الكتاب صفحة 24

إزاحة رأسية مقدارها |a| وحدة: للأعلى إذا كانت a موجبة، وللأسفل إذا كانت a سالبة.

الكتاب صفحة 26

أولًا الانعكاس في محور السينات للدالة الأساسية، ثم الإزاحة الأفقية، ثم الإزاحة الرأسية، ثم تحديد الرأس ومحور التماثل.

الكتاب صفحة 29

لأن رأس المنحنى يُحسب من شرط ax + b = 0 بغض النظر عن الإشارة الخارجية، لكن الإشارة السالبة تجعل كل قيم الدالة أصغر من أو تساوي c، فيفتح المنحنى للأسفل ومداه (−∞ , c].

الكتاب صفحة 21

مسار شعاع الليزر (الذهاب ثم الانعكاس) يكوّن شكل الحرف V برأس عند نقطة الأصل (0 , 0)، وهو نفس شكل منحنى دالة القيمة المطلقة الأساسية، فقاعدة الدالة هي f(x) = |x|.

y₁ = x لـ x ≥ 0 شعاع مستقيم من نقطة الأصل صاعدًا جهة اليمين بميل 1. y₂ = −x لـ x < 0 شعاع مستقيم من نقطة الأصل صاعدًا جهة اليسار بميل −1. اتحاد الشعاعين يكوّن الحرف V، وهو بالضبط منحنى y = |x| المعرّف بإعادة التعريف: |x| = {x : x ≥ 0 ، −x : x < 0}.

نضع 3x + 6 = 0 ⇒ x = −2 (محور التماثل ورأس المنحنى (−2 , 0)). بإعادة التعريف: f(x) = 3x + 6 لـ x ≥ −2، و f(x) = −3x − 6 لـ x < −2. جدول قيم: x = −4, −3, −2, −1, 0 تقابل y = 6, 3, 0, 3, 6. المدى [0 , ∞).

a) a=1,b=1,c=3 ⇒ رأس (−1 , 3)، محور x = −1، مدى [3 , ∞). b) a=1,b=1,c=0 مع إشارة سالبة ⇒ رأس (−1 , 0)، محور x = −1، مدى (−∞ , 0]. c) a=½,b=1,c=0 ⇒ رأس (−2 , 0)، محور x = −2، مدى [0 , ∞). d) بكتابتها −|x−2|+1: a=1,b=−2,c=1 مع إشارة سالبة ⇒ رأس (2 , 1)، محور x = 2، مدى (−∞ , 1].

a) إزاحة أفقية 3 وحدات جهة اليمين (b سالبة الأثر لأن a=−3<0). b) إزاحة أفقية 2 وحدة جهة اليسار. c) إزاحة أفقية 3.5 وحدة جهة اليمين. d) إزاحة أفقية 1.5 وحدة جهة اليمين.

تعبّر عن قيمة x التي تتساوى عندها قيمتا الدالتين، أي f(3) = g(3) = 3، فهي نقطة التقاء المنحنيين على المستوى الإحداثي.

a) إزاحة رأسية 3 وحدات للأعلى، رأس (0,3). b) إزاحة رأسية وحدتان للأسفل، رأس (0,−2). c) إزاحة رأسية 2.5 وحدة للأسفل، رأس (0,−2.5). d) إزاحة رأسية وحدة واحدة للأسفل، رأس (0,−1).

a) رأس (−3,2). b) رأس (2,−1). c) رأس (−2,−2). d) رأس (1,3). كل منها ينتج بإزاحة أفقية حسب إشارة b ثم إزاحة رأسية حسب c عن الدالة الأساسية g(x)=|x|.

a) الدالة y = |x| تُحرَّك 3 وحدات لليمين و4 وحدات للأعلى فتصبح y₁ = |x − 3| + 4. b) إحداثيات رأس المنحنى (3 , 4). c) بيان على شكل V رأسه عند (3,4) ومفتوح للأعلى.

كل منها: انعكاس أولًا في محور السينات، ثم إزاحة أفقية، ثم إزاحة رأسية. a) رأس (2,3) مفتوح للأسفل. b) رأس (−1,−2) مفتوح للأسفل. c) رأس (1,−1) مفتوح للأسفل. d) رأس (−2,1) مفتوح للأسفل.

نعم، بفرض a=2,b=−4,c=3 نحصل على رأس (2,3)، محور التماثل x=2، ومدى [3,∞). ولا يمكن عكس الترتيب، لأننا سنحصل حينئذٍ على منحنى مختلف تمامًا عن المنحنى المطلوب؛ يجب دائمًا: انعكاس أولًا للدالة الأساسية، ثم إزاحة أفقية، ثم إزاحة رأسية.

1) خطأ: الدالتان متطابقتان فقط عند x ≥ 0. 2) صح. 3) صح. 4) صح. 5) صح.

الإجابة a) y=|x+3|+2، لأن رأس المنحنى (−b/a , c) = (−3 , 2) يتحقق عندما a=1,b=3,c=2.

الإجابة d) y=|x+4|−3، من الرسم رأس المنحنى (−4,−3) والمنحنى مفتوح للأعلى.

مجال جميع الدوال R. a) مداها [0,∞) (رأس (0,0)). b) مداها [0,∞) (رأس (−4,0)). c) مداها [−6,∞) (رأس (4,−6)). d) مداها [0,∞) (رأس (0,0)). e) مداها [3,∞) (رأس (0,3)).

a) إزاحة أفقية 5 وحدات يسارًا، رأس (−5,0). b) إزاحة أفقية وحدتان يمينًا، رأس (2,0). c) إزاحة رأسية وحدتان للأسفل، رأس (0,−2). d) انعكاس ثم إزاحة أفقية 3 وحدات يسارًا، رأس (−3,0) مفتوح للأسفل. e) انعكاس ثم إزاحة أفقية 4 وحدات يمينًا ثم 3 وحدات للأعلى، رأس (4,3) مفتوح للأسفل. f) بما أن |1−x|=|x−1|، فالدالة f(x)=|x−1|+2: إزاحة أفقية وحدة واحدة يمينًا ثم وحدتان للأعلى، رأس (1,2).

a) بحل |x−2|=−|x−1|+3 على الفترات الثلاث نجد نقطتي تقاطع عند x=0 و x=3. b) بحل |x−3|=3−|x| نجد أن المنحنيين متطابقان تمامًا لكل x من [0,3] (كلاهما يساوي 3−x على هذه الفترة)، وتكون نقطتا الطرف عند x=0 و x=3. c) بوضع u=|x−2| فإن u−3=4−u ⇒ u=3.5 ⇒ x−2=±3.5 ⇒ x=−1.5 أو x=5.5.

بما أن √(a²) = |a|، فإن f(x) = |x − 2|، وهي دالة قيمة مطلقة قياسية رأس منحناها (2 , 0) ومداها [0 , ∞).

a) مجالها R، رأس المنحنى (0,3) مفتوح للأسفل، مداها (−∞ , 3]. b) بما أن x²−6x+9=(x−3)² فإن f(x)=√((x−3)²)=|x−3|، مجالها R ومداها [0,∞).

الإجابة d) 4. المنحنى يقطع محور السينات عند x=−4 و x=0، ورأسه عند (−2,−2)، فتتكوّن مثلث قاعدته 4 وارتفاعه 2، ومساحته = ½×4×2 = 4 وحدات مربعة.