منصة المنقذ التعليمية

أهداف الدرس

أحل معادلات أسية.
أستخدم اللوغاريتمات لحل المعادلات الأسية.
أستخدم الأسس لحل المعادلات اللوغاريتمية.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 280:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 3المعادلات الأسية واللوغاريتمية — Exponential and Logarithmic Equations0:35

مقاطع الدرس

0 من 3 مكتمل

المعادلات الأسية واللوغاريتمية — Exponential and Logarithmic Equations(ص 151)

عمل تعاوني
الأحياء: تصف العلاقةF = kw^(2/3)
كمية الطعام F بالكجم (kg) التي يجب أن يتناولها حيوان ثديي يوميًّا (في هذه العلاقة k هي ثابت التغير الذي يعتمد على النوع، w هي وزن الحيوان).
اعمل مع زميل لك:
a لحساب وزن فيل كبير حيث:F = 145 kg ، k = 0.421
باستخدام الآلة الحاسبة.
1 عوّض عن قيم F , k في العلاقةF = kw^(2/3)
وأوجد قيمةw^(2/3)
2 أوجد قيمةw
3 كيف يمكنك حل المعادلةF = kw^(2/3)
لإيجادw^(3/2)
؟ صف الناتج إذا ما تم رفع كل من طرفي المعادلة للقوة 3/2 ، ثم اكتب العلاقة الناتجة.
b الحصان العربي من الثدييات. إذا اعتبرنا أن وزنه المثالي 400 kg ويأكل يوميًّا 15 kg فما قيمة الثابت k ؟

انتبه

مواصفات الحصان العربي: هو من أقدم سلالات الخيول، صغير الحجم، له قدرة عالية على تحمل المشاق، قليل الأمراض، شجاع لصاحبه، وفيّ لصاحبه، يتكيف مع تقلبات المناخ وهو أيضًا محب للموسيقى.

(ص 151)

حل معادلات أسية — Solving Exponential Equations(ص 151)

مفهوم

تعلمت في ما سبق حل معادلة أسية مثل
7ˣ = 49
وذلك بتوحيد الأساس ومساواة الأسس.
سوف تتعلم في هذا الدرس حل معادلات أسية على الصورة:
bᵏˣ = a
حيث يتضمن الأس المتغير x وذلك باستخدام اللوغاريتمات:

(ص 151)

قاعدة

∀a , b ∈ ℝ⁺ , m ∈ ℝ⁺ − {1}
a = b ⟺ log_m a = log_m b

(ص 151)

قاعدة

لحل معادلات أسية يمكننا أخذ لوغاريتم كل من طرفي المعادلة.(ص 151)

مثال

مثال (1): حل المعادلة التالية، ثم تحقق:
7³ˣ = 20
الحل:
7³ˣ = 20
خذ لوغاريتم كل من طرفي المعادلة
log 7³ˣ = log 20
خاصية القوى
3x log 7 = log 20
x = (log 20)/(3 log 7)
استخدم الآلة الحاسبة
≈ 0.5132
تحقق:
7³ˣ = 20
الإجابة صحيحة
7^(3(0.5132)) ≈ 20.00382 ≈ 20

(ص 151)

مفهوم

تعلمت حل معادلات جذرية باستخدام قوانين الأسس والجذور.
يمكن أيضًا حلها باستخدام اللوغاريتمات.

(ص 152)

مثال

مثال (2): حل كلًّا من المعادلات التالية:
a
x^(2/3) = 25 , x > 0
b
√(m⁵) = 32 , m > 0
الحل، الفرع a:
x^(2/3) = 25
أخذ لوغاريتم الطرفين
log x^(2/3) = log 25
log x^(2/3) = log 5²
خاصية القوى
(2/3) log x = 2 log 5 , x > 0
(3/2)(2/3) log x = (3/2) 2 log 5
log x = 3 log 5
خاصية رفع القوى
log x = log 5³
x = 5³
x = 125 ∈ (0 , ∞)

(ص 152)

مثال

الفرع b:
√(m⁵) = 32
m^(5/2) = 32
أخذ لوغاريتم الطرفين
log m^(5/2) = log 32
log m^(5/2) = log 2⁵
خاصية القوى
(5/2) log m = 5 log 2 , m > 0
log m = 5 × (2/5) log 2
بسّط
log m = 2 log 2
log m = log 2²
m = 2²
m = 4 , 4 ∈ (0 , ∞)

(ص 153)

قاعدة

لحساب اللوغاريتم لأي أساس موجب لا يساوي الواحد، يمكنك استخدام خاصية تغيير الأساس.(ص 153)

قاعدة

قاعدة تغيير الأساس
∀m , b , c ∈ ℝ⁺ , b ≠ 1 , c ≠ 1
log_b m = (log_c m)/(log_c b)

(ص 153)

فمثلًا:log₃7 = (log₂7)/(log₂3) = (log₅7)/(log₅3) = (log 7)/(log 3)

مثال

مثال (3): استخدم قاعدة تغيير الأساس لإيجاد قيمة
log₃15
ثم حوّل log₃15 إلى لوغاريتم للأساس 2 .
الحل:
log_b m = (log_c m)/(log_c b)
استخدم قاعدة تغيير الأساس
log₃15 = (log 15)/(log 3)
استخدم الآلة الحاسبة
≈ 2.4650
للتحويل إلى لوغاريتم للأساس 2 — اكتب معادلة
log₃15 = log₂x
عوّض عن log₃15 بـ 2.4650
2.4650 ≈ log₂x
استخدم قاعدة تغيير الأساس
2.4650 = (log x)/(log 2)
الضرب التقاطعي
2.4650(log 2) = log x
بسّط
0.7420 ≈ log x
اكتب في الصيغة الأسية
x = 10^0.7420
استخدم الآلة الحاسبة
x ≈ 5.5208
∴
log₃15 ≈ log₂5.5208

(ص 153)

قاعدة

يمكنك استخدام قاعدة تغيير الأساس لحل معادلات أسية وذلك بأخذ اللوغاريتم لكلا الطرفين مستخدمًا أساس الأس كأساس للوغاريتم، ثم استخدم قاعدة تغيير الأساس.(ص 154)

مثال

مثال (4): حل المعادلة:
2³ˣ = 172
الحل:
2³ˣ = 172
خذ اللوغاريتم للأساس 2 لكلا الطرفين
log₂(2³ˣ) = log₂(172)
بسّط
3x = log₂172
استخدم قاعدة تغيير الأساس
3x = (log 172)/(log 2)
استخدم الآلة الحاسبة
x ≈ 2.4754

(ص 154)

يمكنك أيضًا حل معادلات أسية بيانيًّا.
فمثلًا الشكل المقابل يمثل حل المعادلة3²ˣ = 5
حيث تمّ تمثيل بيان الدالةy = 3²ˣ
والدالةy = 5
نقطة التقاطع للمنحنيين(0.732 , 5)
∴ حل المعادلة هو 0.732 تقريبًا.

بيانا y = 3²ˣ و y = 5 ونقطة تقاطعهما(ص 155)

تطبيق إثرائي
كان النمر العربي من أكثر السنوريات انتشارًا في شبه الجزيرة العربية لكنه موجود الآن على اللائحة الحمراء لأنواع الحيوانات المهددة بالانقراض.
كان عدده 112 سنة 1990 في بعض مناطق شبه الجزيرة العربية وانخفض إلى 65 سنة 2006.
a اكتب معادلة أسية تنمذج تناقص عدد النمور.
b إذا بقي هذا التناقص على حاله، في أية سنة يبقى فقط 5 نمور في شبه الجزيرة العربية؟ وضّح بيانيًّا.
الحل a: المعادلة الأسية على الشكلy = abˣ
لتكن سنة 1990 ممثلة بالصفر وسنة 2006 بـ 16
عوّض عن x بـ 0 ، عن y بـ 112112 = ab⁰
b⁰ = 1
a = 112
∴y = 112bˣ
عوّض عن x بـ 16 ، عن y بـ 6565 = 112 × b¹⁶
b¹⁶ = 65/112
خذ اللوغاريتم لكلا الطرفينlog b¹⁶ = log (65/112)
16 log b = log (65/112)
استخدم الآلة الحاسبةlog b ≈ − 0.01476904
b ≈ 0.96656476
∴y = (112)(0.96656476)ˣ
الحل b:y = 5
y = (112)(0.96656476)ˣ
5 = (112)(0.96656476)ˣ
الإجابةx ≈ 92
1990 + 92 = 2082
يبقى في شبه الجزيرة العربية 5 نمور فقط سنة 2082. الشكل المقابل يوضّح الحل بيانيًّا.

حل معادلات لوغاريتمية — Solving Logarithmic Equations(ص 156)

تعريف

كل معادلة تتضمن تعبيرًا لوغاريتميًّا تسمى معادلة لوغاريتمية ويمكن وضعها على الصورة:
log_b y = x ∀ y , b ∈ ℝ⁺ , b ≠ 1
ويكون حلها بما يحقق هذه الشروط لذا يتوجب إيجاد مجال التعريف (شرط الحل) أو التحقق من القيم الناتجة.

(ص 156)

مثال

مثال (5): حل المعادلة:
log(3x + 1) = 5
الحل — نوجد المجال:
3x + 1 > 0 ⇒ x > −1/3
∴ المجال
= (−1/3 , ∞)
log(3x + 1) = 5
اكتب في الصورة الأسية
3x + 1 = 10⁵
3x + 1 = 100 000
x = 33 333
∵
33 333 ∈ (−1/3 , ∞)
∴ الحل مقبول.

(ص 156)

قاعدة

في بعض الحالات، عليك استخدام خواص اللوغاريتمات لتبسيط التعابير قبل حل المعادلة.(ص 156)

مثال

مثال (6): حل المعادلة:
2 log x − log 3 = 2
الحل — نوجد المجال:
x > 0
∴ المجال
= (0 , ∞)
2 log x − log 3 = 2
اكتب لوغاريتم واحد
log (x²/3) = 2
اكتب في الصورة الأسية
x²/3 = 10²
x² = 3 × 100
x = ± 10√3
10√3 ∈ (0 , ∞) , −10√3 ∉ (0 , ∞)
حل المعادلة هو:
x = 10√3

(ص 156)

مثال

مثال (7): أوجد مجموعة حل كل من المعادلات التالية مستخدمًا خواص اللوغاريتمات:
a
log x(x + 1) = log 2
b
log₂(x − 1) − log₂(x + 3) = log₂(1/x) , x ∈ (1 , ∞)
c
log_(x+1) 32 = 5 , x ∈ (0 , ∞)
الحل، الفرع a — نوجد المجال:
x(x + 1) > 0
المعادلة المناظرة
x(x + 1) = 0
∴
x = 0 أو x = −1
لإيجاد قيم x التي تحقق
x(x + 1) > 0
x < 0 , x + 1 < 0 ⇒ x < −1
x > 0 , x + 1 > 0 ⇒ x > −1
نكوّن الجدول:
x −∞ −1 0 +∞
x − − 0 +
x + 1 − 0 + +
x(x + 1) + 0 − 0 +
المجال
= ℝ − [−1 , 0]
log x(x + 1) = log 2
خاصية اللوغاريتم
x(x + 1) = 2
x² + x − 2 = 0
(x − 1)(x + 2) = 0
x = −2 أو x = 1
1 , −2 ∈ ℝ − [−1 , 0]
∴ مجموعة حل المعادلة
= {1 , −2}

x	−∞	−1	0	+∞
x	−	−	0	+
x + 1	−	0	+	+
x(x + 1)	+	0	−	0	+

(ص 157)

مثال

الفرع b:
log₂(x − 1) − log₂(x + 3) = log₂(1/x) , x ∈ (1 , ∞)
خاصية القسمة
log₂((x − 1)/(x + 3)) = log₂(1/x)
خاصية اللوغاريتم
(x − 1)/(x + 3) = 1/x
الضرب التقاطعي
x(x − 1) = x + 3
x² − 2x − 3 = 0
(x − 3)(x + 1) = 0
x = −1 , x = +3
مرفوضة
−1 ∉ (1 , ∞)
3 ∈ (1 , ∞)
∴ مجموعة حل المعادلة
= {3}
الفرع c:
log_(x+1) 32 = 5 , x ∈ (0 , ∞)
قاعدة تغيير الأساس
(log 32)/(log(x + 1)) = 5
الضرب التقاطعي
log 32 = 5 log(x + 1)
خاصية رفع القوى
log 32 = log(x + 1)⁵
32 = (x + 1)⁵
2⁵ = (x + 1)⁵
x + 1 = 2
x = 1
1 ∈ (0 , ∞)
∴ مجموعة حل المعادلة
= {1}

(ص 158)

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

2 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 2

المسألة · الكتاب ص 151
حل المعادلة 7³ˣ = 20 ثم تحقق.
المعطيات
1. المعادلة 7³ˣ = 20من هنا
2. الخاصية a = b ⟺ log_m a = log_m bمن هنا
1. log 7³ˣ = log 20
  خذ لوغاريتم كل من طرفي المعادلة
المعلم: الطَّرَفانِ لا يُمْكِنُ تَوْحِيدُ أَساسِهِما، فَنَلْجَأُ إِلَى اللُّوغارِيتْمِ. وَالخاصِّيَّةُ تُجِيزُ ذَلِكَ لِأَنَّ الطَّرَفَيْنِ مُوجِبانِ وَمُتَساوِيانِ.
الخطوة 1 من 5

الملخص

لحل معادلة أسية على الصورة bᵏˣ = a نأخذ لوغاريتم كل من طرفي المعادلة ثم نستعمل خاصية القوى.
الخاصية الأساس: ∀a, b ∈ ℝ⁺ , m ∈ ℝ⁺ − {1} فإن a = b ⟺ log_m a = log_m b .
المعادلات الجذرية تُحل أيضًا باللوغاريتمات: نكتب الجذر أسًّا نسبيًّا ثم نأخذ لوغاريتم الطرفين.
قاعدة تغيير الأساس: ∀m, b, c ∈ ℝ⁺ , b ≠ 1 , c ≠ 1 فإن log_b m = (log_c m)/(log_c b) .
يمكن حل معادلة أسية بأخذ اللوغاريتم بأساس هو أساس الأس نفسه، ثم استخدام قاعدة تغيير الأساس.
يمكن أيضًا حل المعادلات الأسية بيانيًّا بقراءة الإحداثي السيني لنقطة تقاطع بياني الطرفين.
كل معادلة تتضمن تعبيرًا لوغاريتميًّا تسمى معادلة لوغاريتمية، وتُكتب على الصورة log_b y = x حيث ∀y, b ∈ ℝ⁺ و b ≠ 1 .
في المعادلات اللوغاريتمية يجب إيجاد مجال التعريف (شرط الحل) أولًا، أو التحقق من القيم الناتجة، ورفض ما خرج عن المجال.

الأفكار الرئيسية

إذا كان المجهول في الأس فخذ لوغاريتم الطرفين؛ وإذا كان داخل اللوغاريتم فاكتب الصورة الأسية.
قاعدة تغيير الأساس تحرّرك من قيد الآلة الحاسبة: أي لوغاريتم يمكن حسابه بلوغاريتمين أساسهما 10 .
الحل الجبري وحده لا يكفي في المعادلات اللوغاريتمية؛ المجال هو الذي يقرر أي الجذور مقبول.

الأسئلة المهمة

كيف نحل معادلة أسية على الصورة bᵏˣ = a ؟

نأخذ لوغاريتم كل من طرفي المعادلة، ثم نستعمل خاصية القوى لإنزال الأس معاملًا، فتصير المعادلة خطية في المتغير، ثم نحلها ونستعمل الآلة الحاسبة.

الكتاب صفحة 151

اكتب الخاصية التي تجيز أخذ لوغاريتم طرفي المعادلة.

∀a , b ∈ ℝ⁺ , m ∈ ℝ⁺ − {1} فإن a = b ⟺ log_m a = log_m b .

الكتاب صفحة 151

اذكر قاعدة تغيير الأساس بشروطها، وطبّقها على log₃7 .

∀m , b , c ∈ ℝ⁺ , b ≠ 1 , c ≠ 1 فإن log_b m = (log_c m)/(log_c b) . فمثلًا log₃7 = (log₂7)/(log₂3) = (log₅7)/(log₅3) = (log 7)/(log 3) .

الكتاب صفحة 153

كيف نحل معادلة أسية بيانيًّا؟

نمثّل بيان طرفي المعادلة على المستوى نفسه، فيكون الإحداثي السيني لنقطة تقاطع المنحنيين هو حل المعادلة؛ ففي 3²ˣ = 5 نقطة التقاطع (0.732 , 5) فالحل 0.732 تقريبًا.

الكتاب صفحة 155

ما المعادلة اللوغاريتمية؟ وما الخطوة التي لا يجوز إغفالها عند حلها؟

كل معادلة تتضمن تعبيرًا لوغاريتميًّا تسمى معادلة لوغاريتمية ويمكن وضعها على الصورة log_b y = x حيث ∀y, b ∈ ℝ⁺ و b ≠ 1 . ولا يجوز إغفال إيجاد مجال التعريف (شرط الحل) أو التحقق من القيم الناتجة، لأن بعض الجذور الجبرية تكون خارج المجال فتُرفض.

الكتاب صفحة 156

لماذا رُفض الجذر −10√3 في حل المعادلة 2log x − log 3 = 2 ؟

لأن مجال المعادلة هو (0 , ∞) بما أن log x يشترط x > 0 ، والقيمة −10√3 ∉ (0 , ∞) ؛ فيكون الحل الوحيد x = 10√3 .

الكتاب صفحة 157

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

حل المعادلة 6ˣ = 21 مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من ألف.

متوسط

حل المعادلة t^(7/2) = 128 حيث t > 0 .

صعب

استخدم قاعدة تغيير الأساس لحل المعادلة 7⁵ˣ = 3 000 .

صعب

أوجد مجموعة حل المعادلة log₄(x + 6) − log₄12 = log₄2 − log₄(x − 4) حيث x ∈ (4 , ∞) .

صعب

مصطلحات الدرس

معادلات أسية Exponential Equations: المعادلات التي يكون المتغير فيها في الأس، مثل bᵏˣ = a ، وتُحل بأخذ لوغاريتم طرفيها.
معادلات لوغاريتمية Logarithmic Equations: كل معادلة تتضمن تعبيرًا لوغاريتميًّا، ويمكن وضعها على الصورة log_b y = x حيث ∀y , b ∈ ℝ⁺ و b ≠ 1 .
قاعدة تغيير الأساس Change of Base Formula: ∀m , b , c ∈ ℝ⁺ , b ≠ 1 , c ≠ 1 فإن log_b m = (log_c m)/(log_c b) ، وبها نحسب أي لوغاريتم بلوغاريتمات الأساس 10 .
شرط الحل (مجال التعريف): القيم التي تجعل كل تعبير لوغاريتمي في المعادلة معرّفًا، ويُرفض كل جذر يقع خارجها.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 16 تمرينًا.

عمل تعاوني — a1عوّض عن قيم F , k في العلاقة F = kw^(2/3) وأوجد قيمة w^(2/3) ، حيث F = 145 kg و k = 0.421 .(ص 151)

بالتعويض: 145 = 0.421 × w^(2/3) . وبقسمة الطرفين على 0.421 : w^(2/3) = 145/0.421 ≈ 344.42 .

عمل تعاوني — a2أوجد قيمة w .(ص 151)

نرفع طرفي المعادلة w^(2/3) ≈ 344.42 إلى القوة 3/2 فنحصل على w ≈ (344.42)^(3/2) ≈ 6 392 . أي أن وزن الفيل الكبير حوالى 6 392 kg .

عمل تعاوني — a3كيف يمكنك حل المعادلة F = kw^(2/3) لإيجاد w^(3/2) ؟ صف الناتج إذا ما تم رفع كل من طرفي المعادلة للقوة 3/2 ، ثم اكتب العلاقة الناتجة.(ص 151)

نقسم طرفي المعادلة على k فنحصل على w^(2/3) = F/k . ثم نرفع كل من الطرفين للقوة 3/2 ، فيصير الأس في الطرف الأيمن (2/3)(3/2) = 1 أي يبقى w وحده، ويصير الطرف الآخر (F/k)^(3/2) . فالعلاقة الناتجة هي: w = (F/k)^(3/2) .

عمل تعاوني — bالحصان العربي من الثدييات. إذا اعتبرنا أن وزنه المثالي 400 kg ويأكل يوميًّا 15 kg فما قيمة الثابت k ؟(ص 151)

نعوّض في F = kw^(2/3) : 15 = k × 400^(2/3) . و 400^(2/3) = (∛400)² ≈ (7.368)² ≈ 54.288 . ومنه k = 15/54.288 ≈ 0.276 .

حاول أن تحل (1) — aحل المعادلة 3ˣ = 4 مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من ألف.(ص 152)

نأخذ لوغاريتم كل من الطرفين: log 3ˣ = log 4 . وبخاصية القوى: x log 3 = log 4 ، ومنه x = (log4)/(log3) ≈ 0.6021/0.4771 ≈ 1.262 .

حاول أن تحل (1) — bحل المعادلة 6ˣ = 21 مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من ألف.(ص 152)

log 6ˣ = log 21 ، ومنه x log 6 = log 21 ، فيكون x = (log 21)/(log 6) ≈ 1.3222/0.7782 ≈ 1.699 .

حاول أن تحل (1) — cحل المعادلة 3^(x+4) = 101 مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من ألف.(ص 152)

log 3^(x+4) = log 101 ، ومنه (x +4) log 3 = log 101 ، فيكون x + 4 = (log 101)/(log3) ≈ 2.0043/0.4771 ≈ 4.201 ، ومنه x ≈ 0.201 .

حاول أن تحل (2) — aحل المعادلة t^(7/2) = 128 حيث t > 0 .(ص 153)

نأخذ لوغاريتم الطرفين: log t^(7/2) = log 128 ، أي log t^(7/2) = log 2⁷ . وبخاصية القوى: (7/2) log t = 7 log 2 . وبضرب الطرفين في 2/7 : log t = 2 log 2 = log 2² = log 4 . ∴ t = 4 ، و 4 ∈ (0 , ∞) .

حاول أن تحل (2) — bحل المعادلة ∛(u⁴) − 5 = 11 حيث u > 0 .(ص 153)

ننقل 5 : ∛(u⁴) = 16 ، أي u^(4/3) = 16 . ونأخذ لوغاريتم الطرفين: (4/3) log u = log 2⁴ = 4 log 2 . وبضرب الطرفين في 3/4 : log u = 3 log 2 = log 2³ = log 8 . ∴ u = 8 ، و 8 ∈ (0 , ∞) .

حاول أن تحل (3) — aأوجد قيمة log₃400 ثم حوّلها إلى لوغاريتم للأساس 8 .(ص 154)

بقاعدة تغيير الأساس: log₃400 = (log 400)/(log3) ≈ 2.6021/0.4771 ≈ 5.4536 . وللتحويل إلى الأساس 8 نكتب: log₃400 = log₈x ، أي 5.4536 = (log x)/(log8) ، ومنه log x = 5.4536 × log 8 ≈ 5.4536 × 0.9031 ≈ 4.9251 . فيكون x = 10^4.9251 ≈ 8.4 × 10⁴ . ∴ log₃400 ≈ log₈(8.4 × 10⁴) تقريبًا (وتختلف الأرقام الأخيرة باختلاف التقريب).

حاول أن تحل (3) — b (التفكير الناقد)في المثال (3)، log₂x ≈ 2.4650 . كيف يمكن حل هذه المعادلة دون استخدام قاعدة تغيير الأساس؟(ص 154)

نستعمل تعريف اللوغاريتم مباشرة فنكتبها في الصورة الأسية: x = 2^2.4650 . وباستخدام الآلة الحاسبة x ≈ 5.5208 ، وهي القيمة نفسها التي حصل عليها الكتاب بقاعدة تغيير الأساس.

حاول أن تحل (4)استخدم قاعدة تغيير الأساس لحل المعادلة 7⁵ˣ = 3 000 .(ص 154)

نأخذ اللوغاريتم للأساس 7 لكلا الطرفين: log₇(7⁵ˣ) = log₇3 000 ، وبالتبسيط 5x = log₇3 000 . وبقاعدة تغيير الأساس: 5x = (log 3 000)/(log 7) ≈ 3.4771/0.8451 ≈ 4.1145 . ∴ x ≈ 0.8229 .

حاول أن تحل (5)حل المعادلة log(7 − 2x) = −1 .(ص 156)

نوجد المجال: 7 − 2x > 0 ⇒ x < 3.5 ، ∴ المجال = (−∞ , 3.5) . ثم نكتب في الصورة الأسية: 7 − 2x = 10⁻¹ = 0.1 ، ومنه 2x = 6.9 فيكون x = 3.45 . وبما أن 3.45 ∈ (−∞ , 3.5) فالحل مقبول.

حاول أن تحل (6)حل المعادلة log 6 − log 3x = −2 .(ص 157)

نوجد المجال: 3x > 0 ⇒ x > 0 ، ∴ المجال = (0 , ∞) . وبخاصية القسمة: log(6/(3x)) = −2 أي log(2/x) = −2 . وبالصورة الأسية: 2/x = 10⁻² = 0.01 ، ومنه x = 2/0.01 = 200 . وبما أن 200 ∈ (0 , ∞) فالحل مقبول.

حاول أن تحل (7) — aأوجد مجموعة حل المعادلة log x² − log(x² − x) = 1 حيث x ∈ (1 , ∞) .(ص 158)

بخاصية القسمة: log(x²/(x² − x)) = 1 . وبالصورة الأسية: x²/(x² − x) = 10 . وبالضرب التقاطعي: x² = 10x² − 10x ، ومنه 9x² − 10x = 0 أي x(9x − 10) = 0 ، فتكون الجذور x = 0 أو x = 10/9 . والقيمة 0 ∉ (1 , ∞) فتُرفض، و 10/9 ≈ 1.11 ∈ (1 , ∞) فتُقبل. ∴ مجموعة الحل = {10/9} .

حاول أن تحل (7) — bأوجد مجموعة حل المعادلة log₄(x +6) − log₄12 = log₄2 − log₄(x −4) حيث x ∈ (4 , ∞) .(ص 158)

بخاصية القسمة في الطرفين: log₄((x +6)/12) = log₄(2/(x − 4)) . وبخاصية اللوغاريتم: (x +6)/12 = 2/(x −4) . وبالضرب التقاطعي: (x +6)(x −4) = 24 ، أي x² + 2x − 48 = 0 ، وبالتحليل (x +8)(x −6) = 0 فتكون الجذور −8 و6 . والقيمة −8 ∉ (4 , ∞) فتُرفض، و6 ∈ (4 , ∞) فتُقبل. ∴ مجموعة الحل = {6} .