منصة المنقذ التعليمية

أهداف الدرس

أحسب التكرار النسبي والتكرار المئوي لكل فئة في جدول تكراري.
أوجد قياس الزاوية المركزية لكل قطاع دائري وأمثّل البيانات الكيفية بالقطاعات الدائرية.
أوجد مراكز الفئات في جدول تكراري ذي فئات.
أرسم المنحنى التكراري من مراكز الفئات وتكراراتها.
أرسم المدرج التكراري وأستخرج منه المنحنى التكراري.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 160:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 2القطاعات الدائرية — Pie Chart2:28

مقاطع الدرس

0 من 2 مكتمل

القطاعات الدائرية — Pie Chart(ص 209)

علمت فيما سبق أن البيانات التي يمكن الحصول عليها من مصادر مختلفة تصنف إلى نوعين: كيفية وكمية.
وهناك طرق متعددة لعرض البيانات مثل الجداول التكرارية والأعمدة والأعمدة المزدوجة والخط المنكسر والنقاط المجمعة…

(ص 209)

قاعدة

يمكن تمثيل البيانات الكيفية باستخدام القطاعات الدائرية.
نستخدم التمثيل البياني بالقطاعات الدائرية لعرض التوزيع التكراري لبيانات كيفية وتكون هذه البيانات مقسمة إلى فئات متعددة.
عند صنع القطاعات الدائرية تقسّم الدائرة إلى قطاعات عددها يساوي عدد الفئات في البيانات ويمثل كل قطاع دائري واحدة من هذه الفئات، قياس الزاوية المركزية لكل قطاع يعطى بالقاعدة:
قياس الزاوية المركزية لقطاع = التكرار النسبي × 360°
حيث
التكرار النسبي = تكرار القيمة (أو الفئة) / مجموع التكرارات
وكل قطاع من الدائرة يأخذ لونًا أو تظليلًا مختلفًا عن الآخر.

(ص 209)

مثال

مثال (1): في أحد الاختبارات لم يقيّم الأستاذ طلابه بالدرجات، بل استخدم مفردات تقديرية كما في الجدول التالي:
الفئة ممتاز جيد جدًّا جيد متوسط مقبول ضعيف المجموع
التكرار 4 4 6 4 5 2 25
a أوجد التكرار النسبي والتكرار المئوي لكل فئة.
b اعرض هذه البيانات الكيفية باستخدام القطاعات الدائرية.
إرشاد: النسبة المئوية للتكرار (التكرار المئوي)
= التكرار النسبي × 100%

(ص 209)

مثال

الحل: a نكوّن جدول التكرار النسبي والتكرار المئوي:

الفئة	ممتاز	جيد جدًّا	جيد	متوسط	مقبول	ضعيف	المجموع
التكرار	4	4	6	4	5	2	25
التكرار النسبي	4/25	4/25	6/25	4/25	5/25	2/25	25/25
التكرار المئوي	16%	16%	24%	16%	20%	8%	100%

وحساب النسبة المئوية للتكرار في كل فئة:
4/25 × 100% = 16%
6/25 × 100% = 24%
5/25 × 100% = 20%
2/25 × 100% = 8%

(ص 210)

مثال

b نحسب أولًا قياس الزاوية المركزية لكل قطاع دائري:
قياس (زاوية تقدير ممتاز):
4/25 × 360° = 57.6°
قياس (زاوية تقدير جيد جدًّا):
4/25 × 360° = 57.6°
قياس (زاوية تقدير جيد):
6/25 × 360° = 86.4°
قياس (زاوية تقدير متوسط):
4/25 × 360° = 57.6°
قياس (زاوية تقدير مقبول):
5/25 × 360° = 72°
قياس (زاوية تقدير ضعيف):
2/25 × 360° = 28.8°

(ص 210)

التمثيل البياني بالقطاعات الدائرية للبيانات الكيفية في مثال (1)(ص 210)

المنحنى التكراري والمدرج التكراري — Frequency Curve and Histogram(ص 211)

تعريف

يستخدم المدرج التكراري والمنحنى التكراري في تمثيل جدول تكراري ذي فئات بحيث إن كل مستطيل يمثل فئة من الفئات.
قاعدة المستطيل على الخط الأفقي هي طول الفئة، وارتفاعه الرأسي يساوي قيمة تكرار الفئة.

(ص 211)

مثال

مثال (2): يبيّن الجدول التالي التوزيع التكراري لنتائج تحليل مادة النيترات في 40 وحدة ماء معدة للخدمات المشتركة في المنازل (غير الصالحة للشرب) وذلك خلال شهر واحد
(mg/L)
الفئة 15− 20− 25− 30− 35− 40− 45− 50− المجموع
التكرار 3 4 8 9 7 4 3 2 40
a أكمل الجدول بإضافة مراكز الفئات.
b ارسم المنحنى التكراري.
c ارسم المدرج التكراري ومنه المنحنى التكراري.
الحل: a نوجد مراكز الفئات:
مركز الفئة 15− هو:
(15 + 20)/2 = 17.5
مركز الفئة 20− هو:
(20 + 25)/2 = 22.5
مركز الفئة 25− هو:
(25 + 30)/2 = 27.5
مركز الفئة 30− هو:
(30 + 35)/2 = 32.5
مركز الفئة 35− هو:
(35 + 40)/2 = 37.5
مركز الفئة 40− هو:
(40 + 45)/2 = 42.5
مركز الفئة 45− هو:
(45 + 50)/2 = 47.5
مركز الفئة 50− هو:
(50 + 55)/2 = 52.5

الفئة	15−	20−	25−	30−	35−	40−	45−	50−	المجموع
التكرار	3	4	8	9	7	4	3	2	40

(ص 211)

معلومة

معلومة: يتأثر استهلاك مياه الخدمات المشتركة في دولة الكويت بالعوامل التالية:
1 — كمية المطر المتساقطة على مدار السنة هي شبه ثابتة حيث إنها تتراوح سنويًّا بين 70 ملم — 130 ملم. وهذا يشكل جزءًا من رصيد المياه في الدولة.
2 — مصروف المياه هو تصاعدي وذلك نتيجة العوامل الاجتماعية والاقتصادية:
(a) عدد السكان في ازدياد حيث بلغت نسبة الزيادة السكانية في السنوات الأخيرة حوالى 4%.
(b) الرغبة في الإقامة داخل المدن وذلك يتطلب استهلاكًا أكثر لكمية المياه.
(c) نمو الصناعة والزراعة وري الحدائق العامة.

(ص 211)

مثال

الجدول بعد إضافة مراكز الفئات:
الفئة 15− 20− 25− 30− 35− 40− 45− 50− المجموع
التكرار 3 4 8 9 7 4 3 2 40
مركز الفئة 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5 |
b لرسم المنحنى التكراري نصل النقاط الممثلة للأزواج المرتبة التي تمثل مراكز الفئات وتكراراتها ونقفل المنحنى التكراري عند البداية في مركز فئة تكرارها صفر وعند النهاية في مركز فئة تكرارها صفر:
(12.5 , 0), (17.5 , 3), (22.5 , 4), (27.5 , 8), (32.5 , 9), (37.5 , 7), (42.5 , 4), (47.5 , 3), (52.5 , 2) , (57.5 , 0)

الفئة	15−	20−	25−	30−	35−	40−	45−	50−	المجموع
التكرار	3	4	8	9	7	4	3	2	40
مركز الفئة	17.5	22.5	27.5	32.5	37.5	42.5	47.5	52.5 \|

(ص 212)

مثال

c المدرج التكراري والمنحنى التكراري.
لإيجاد المنحنى التكراري، نأخذ منتصفات الأضلاع العليا للمستطيلات ثم نصل هذه النقاط بمنحنيات، ونقفل المنحنى التكراري عند البداية في مركز فئة تكرارها صفر، وعند النهاية في مركز فئة تكرارها صفر.

(ص 213)

المدرج التكراري ومنه المنحنى التكراري لبيانات مثال (2)(ص 213)

معلومة

معلومة: نصل بين منتصفات الأضلاع العليا للمستطيلات يدويًّا دون استخدام المسطرة للحصول على المنحنى التكراري.(ص 213)

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

3 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 3

المسألة · الكتاب ص 210
جدول تقديرات لـ 25 طالبًا: ممتاز 4 ، جيد جدًّا 4 ، جيد 6 ، متوسط 4 ، مقبول 5 ، ضعيف 2 . أوجد التكرار النسبي والمئوي وقياس الزاوية المركزية لكل تقدير.
المعطيات
1. مجموع التكرارات 25من هنا
2. التكرار النسبي = تكرار الفئة ÷ مجموع التكرارات
3. التكرار المئوي = التكرار النسبي × 100% ، وقياس الزاوية = التكرار النسبي × 360°
1. التكرار النسبي لتقدير «جيد» = 6/25
  التكرار النسبي
المعلم: اِبْدَأْ بِالتَّكْرارِ النِّسْبِيِّ، فَهُوَ أَساسُ كُلِّ ما بَعْدَهُ. اِقْسِمْ تَكْرارَ الفِئَةِ عَلَى مَجْمُوعِ التَّكْراراتِ: سِتَّةٌ عَلَى خَمْسَةٍ وَعِشْرِينَ.
الخطوة 1 من 5

الملخص

البيانات نوعان: كيفية وكمية، ولعرضها طرق متعددة منها الجداول التكرارية والأعمدة والخط المنكسر والنقاط المجمعة والقطاعات الدائرية.
تُستخدم القطاعات الدائرية لعرض التوزيع التكراري لبيانات كيفية مقسمة إلى فئات متعددة.
التكرار النسبي = تكرار القيمة (أو الفئة) ÷ مجموع التكرارات.
النسبة المئوية للتكرار (التكرار المئوي) = التكرار النسبي × 100% ، ومجموع النسب المئوية 100% .
قياس الزاوية المركزية لقطاع = التكرار النسبي × 360° ، ومجموع الزوايا 360° .
يُستخدم المدرج التكراري والمنحنى التكراري لتمثيل جدول تكراري ذي فئات؛ قاعدة كل مستطيل هي طول الفئة وارتفاعه قيمة تكرارها.
مركز الفئة هو نصف مجموع حدّي الفئة، مثل مركز الفئة 15− هو (15 + 20)/2 = 17.5 .
يُرسم المنحنى التكراري بوصل النقاط (مركز الفئة , تكرارها) ويُقفل عند البداية والنهاية في مركز فئة تكرارها صفر.

الأفكار الرئيسية

التكرار النسبي هو حجر الأساس: منه يُشتق التكرار المئوي بضربه في 100% وقياس الزاوية بضربه في 360° .
القطاعات الدائرية للبيانات الكيفية، والمدرج والمنحنى التكراريان للبيانات الكمية ذات الفئات؛ فاختيار أسلوب العرض يتبع نوع البيانات.
إقفال المنحنى التكراري عند فئتين طرفيتين تكرارهما صفر يجعل المنحنى منغلقًا على المحور الأفقي، فتمثّل المساحة تحته مجموع التكرارات.

الأسئلة المهمة

اكتب قاعدة قياس الزاوية المركزية لقطاع دائري، وقاعدة التكرار النسبي.

قياس الزاوية المركزية لقطاع = التكرار النسبي × 360° ، حيث التكرار النسبي = تكرار القيمة (أو الفئة) ÷ مجموع التكرارات.

الكتاب صفحة 209

متى نستخدم التمثيل بالقطاعات الدائرية؟

نستخدمه لعرض التوزيع التكراري لبيانات كيفية مقسمة إلى فئات متعددة؛ فتقسّم الدائرة إلى قطاعات عددها يساوي عدد الفئات، ويمثل كل قطاع دائري واحدة من هذه الفئات، وكل قطاع يأخذ لونًا أو تظليلًا مختلفًا عن الآخر.

الكتاب صفحة 209

كيف نحسب النسبة المئوية للتكرار؟

النسبة المئوية للتكرار (التكرار المئوي) = التكرار النسبي × 100% . فمثلًا في مثال (1) تكرار تقدير «جيد» 6 من مجموع 25 ، فيكون 6/25 × 100% = 24% .

الكتاب صفحة 210

ما المدرج التكراري؟ وكيف يُرسم؟

يستخدم المدرج التكراري في تمثيل جدول تكراري ذي فئات بحيث إن كل مستطيل يمثل فئة من الفئات؛ قاعدة المستطيل على الخط الأفقي هي طول الفئة، وارتفاعه الرأسي يساوي قيمة تكرار الفئة.

الكتاب صفحة 211

كيف نوجد مركز الفئة؟ مع مثال.

مركز الفئة هو نصف مجموع حدّيها؛ فمركز الفئة 15− هو (15 + 20)/2 = 17.5 ، ومركز الفئة 50− هو (50 + 55)/2 = 52.5 .

الكتاب صفحة 211

كيف يُرسم المنحنى التكراري من المدرج التكراري؟

نأخذ منتصفات الأضلاع العليا للمستطيلات ثم نصل هذه النقاط بمنحنيات، ونقفل المنحنى التكراري عند البداية في مركز فئة تكرارها صفر، وعند النهاية في مركز فئة تكرارها صفر.

الكتاب صفحة 213

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

في استطلاع على 50 شخصًا كانت النتائج: 20 يفضلون الأزرق، 15 الأحمر، 10 الأخضر، 5 الأصفر. أوجد التكرار النسبي وقياس الزاوية المركزية لكل لون.

صعب

جدول تكراري فئاته: 10− و 20− و 30− و 40− (طول الفئة 10). أوجد مراكز الفئات.

متوسط

اشرح خطوات رسم المنحنى التكراري من جدول تكراري ذي فئات، ثم خطوات استخراجه من المدرج التكراري.

صعب

بيّن لماذا يصلح التمثيل بالقطاعات الدائرية للبيانات الكيفية بينما يصلح المدرج التكراري للبيانات الكمية ذات الفئات.

صعب

مصطلحات الدرس

التكرار Frequency: عدد مرات ورود القيمة أو عدد المفردات الواقعة في الفئة في جدول التوزيع التكراري.
التكرار النسبي Rational Frequency: تكرار القيمة (أو الفئة) مقسومًا على مجموع التكرارات.
التكرار المئوي Percent Frequency: النسبة المئوية للتكرار، وتساوي التكرار النسبي × 100% .
تمثيل بياني بالقطاعات الدائرية Pie Chart: تمثيل يعرض التوزيع التكراري لبيانات كيفية بتقسيم الدائرة إلى قطاعات عددها يساوي عدد الفئات، وقياس الزاوية المركزية لكل قطاع = التكرار النسبي × 360° .
المدرج التكراري Histogram: تمثيل جدول تكراري ذي فئات بمستطيلات، قاعدة كل مستطيل على الخط الأفقي هي طول الفئة وارتفاعه الرأسي يساوي قيمة تكرار الفئة.
المنحنى التكراري Frequency Curve: منحنى يصل النقاط الممثلة للأزواج المرتبة (مركز الفئة , تكرارها) ويُقفل عند البداية والنهاية في مركز فئة تكرارها صفر.
مركز الفئة Center of Interval: نصف مجموع حدّي الفئة، مثل مركز الفئة 15− هو (15 + 20)/2 = 17.5 .

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 3 تمرينًا.

عمل تعاونييمثل الجدول التالي التوزيع التكراري لأطوال قامات 50 طالبًا في المرحلة الثانوية بالسنتيمتر (cm): الفئة 150− 155− 160− 165− 170− 175− 180− ، التكرار 2 8 6 8 13 7 6 . 1 ما هي النسبة المئوية للطلاب الذين تقل أطوال قاماتهم عن 170 cm ؟ 2 ما هي النسبة المئوية للطلاب الذين أطوال قاماتهم 170 cm فأكثر؟(ص 209)

مجموع التكرارات = 2 + 8 + 6 + 8 + 13 + 7 + 6 = 50 . 1 الذين تقل أطوال قاماتهم عن 170 cm هم مجموع تكرارات الفئات 150− و 155− و 160− و 165− = 2 + 8 + 6 + 8 = 24 طالبًا. النسبة المئوية = 24/50 × 100% = 48% . 2 الذين أطوال قاماتهم 170 cm فأكثر هم مجموع تكرارات الفئات 170− و 175− و 180− = 13 + 7 + 6 = 26 طالبًا. النسبة المئوية = 26/50 × 100% = 52% . وتحقّق: 48% + 52% = 100% .

حاول أن تحل 1يمثل الجدول التالي التوزيع التكراري لألوان العيون لدى 40 طالبًا ثانويًّا: الفئة أسود أزرق بني عسلي زيتي ، التكرار 13 4 13 6 4 ، المجموع 40 . a أوجد التكرار النسبي والتكرار المئوي. b مثّل هذه البيانات بالقطاعات الدائرية.(ص 210)

a التكرار النسبي = تكرار الفئة ÷ 40 ، والتكرار المئوي = التكرار النسبي × 100% : أسود: 13/40 ، والتكرار المئوي 13/40 × 100% = 32.5% . أزرق: 4/40 ، والتكرار المئوي 4/40 × 100% = 10% . بني: 13/40 ، والتكرار المئوي 32.5% . عسلي: 6/40 ، والتكرار المئوي 6/40 × 100% = 15% . زيتي: 4/40 ، والتكرار المئوي 10% . ومجموع النسب المئوية = 100% . b قياس الزاوية المركزية لكل قطاع = التكرار النسبي × 360° : أسود: 13/40 × 360° = 117° . أزرق: 4/40 × 360° = 36° . بني: 13/40 × 360° = 117° . عسلي: 6/40 × 360° = 54° . زيتي: 4/40 × 360° = 36° . ومجموع الزوايا = 360° . ثم تُرسم الدائرة وتُقسّم إلى خمسة قطاعات بهذه الزوايا، ويأخذ كل قطاع لونًا أو تظليلًا مختلفًا عن الآخر.

حاول أن تحل 2يبين الجدول التالي التوزيع التكراري لأطوال 30 طالبًا بالسنتيمتر (cm): الفئة 155− 160− 165− 170− 175− 180− ، التكرار 4 6 11 5 3 1 ، المجموع 30 . a أوجد مراكز الفئات. b ارسم المنحنى التكراري. c ارسم المدرج التكراري ومنه المنحنى التكراري.(ص 213)

a مركز الفئة = نصف مجموع حدّيها (وطول الفئة5): مركز الفئة 155− هو (155 + 160)/2 = 157.5 . مركز الفئة 160− هو (160 + 165)/2 = 162.5 . مركز الفئة 165− هو (165 + 170)/2 = 167.5 . مركز الفئة 170− هو (170 + 175)/2 = 172.5 . مركز الفئة 175− هو (175 + 180)/2 = 177.5 . مركز الفئة 180− هو (180 + 185)/2 = 182.5 . b نصل النقاط الممثلة للأزواج المرتبة (مركز الفئة , تكرارها) ونقفل المنحنى عند البداية والنهاية في مركز فئة تكرارها صفر: (152.5 , 0), (157.5 ,4), (162.5 ,6), (167.5 , 11), (172.5 ,5), (177.5 ,3), (182.5 ,1), (187.5 , 0) . c نرسم المدرج التكراري بمستطيلات متلاصقة قاعدة كل منها طول الفئة(5) وارتفاعه تكرارها (4 , 6 , 11 , 5 , 3 ,1) ، ثم نأخذ منتصفات الأضلاع العليا للمستطيلات ونصلها بمنحنيات يدويًّا، ونقفل المنحنى عند البداية في 152.5 وعند النهاية في 187.5 ، فنحصل على المنحنى التكراري نفسه.