أهداف الدرس
- أعرّف التوزيع الطبيعي وأذكر خواص منحناه.
- أوضّح العلاقة بين الانحراف المعياري وتجمع البيانات حول المتوسط الحسابي.
- أنصّ القاعدة التجريبية بفتراتها الثلاث ونسبها المئوية.
- أطبّق القاعدة التجريبية لإيجاد الفترات [x̄ − σ , x̄ + σ] و [x̄ − 2σ , x̄ + 2σ] و [x̄ − 3σ , x̄ + 3σ] .
- أوجد النسبة المئوية للقيم الواقعة في مجال معيّن وأفسّر النتيجة لاتخاذ قرار.
الشرح خطوة بخطوة
الموضع محفوظ على هذا الجهاز.
المقطع 1 من 2التوزيع الطبيعي — Normal Distribution1:55
مقاطع الدرس
0 من 2 مكتملالتوزيع الطبيعي — Normal Distribution(ص 217)
تعلمنا سابقًا أن المدى يقيس تشتت قيم البيانات، إذا كانت قيمة المدى صغيرة فنستطيع القول إن قيم البيانات قريبة من بعضها بعضًا ولكن إذا كانت قيمة المدى كبيرة فإن قيم البيانات بعيدة عن بعضها بعضًا أو يوجد فيها قيم متطرفة.
كما أن الانحراف المعياري يقيس مدى تشتت قيم البيانات بالمقارنة مع المتوسط الحسابي، إذا كانت قيمة الانحراف المعياري صغيرة تكون قيم البيانات قريبة جدًّا من قيمة المتوسط الحسابي أما إذا كانت قيمة الانحراف المعياري كبيرة فتكون قيم البيانات بعيدة عن قيمة المتوسط الحسابي.
فمثلًا في البيانات:
14 ، 15 ، 16 ، 17 ، 18نجد أن
المدى = 4المتوسط الحسابي:
x̄ = 16والانحراف المعياري
σ₁ ≈ 1.414وفي البيانات:
3 ، 9 ، 17 ، 23 ، 28نجد أن
المدى = 25المتوسط الحسابي:
ȳ = 16والانحراف المعياري:
σ₂ ≈ 9.077من الملاحظ أن البيانات الأولى لها متوسط حسابي 16 وانحراف معياري 1.414 أي أن قيم هذه البيانات تتجمع حول المتوسط الحسابي.
في البيانات الثانية المتوسط الحسابي 16 والانحراف المعياري 9.077 أي أن هذه البيانات تبتعد عن المتوسط الحسابي.
أوجد الإحصائيون قواعد أخرى لدراسة تشتت قيم البيانات عندما تتوزع بطريقة معينة تعرف بالتوزيع الطبيعي وذلك من خلال استخدام القاعدة التجريبية التي سنوضحها في هذا البند.(ص 217)
تعلمت سابقًا توزيع قيم البيانات بحسب قيم المتوسط الحسابي والوسيط مقارنة مع قيمة المنوال.
والتوزيع الطبيعي هو توزيع قيم البيانات بشكل متماثل حول المتوسط الحسابي والمنحنى التكراري الذي يمثل هذه البيانات يأخذ شكل الجرس.
من خواص منحنى التوزيع الطبيعي:
أن يكون على شكل ناقوس (جرس) متماثل حول المتوسط الحسابي.
أن تتساوى فيه قيم المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال.
أن ينحدر طرفاه تدريجيًّا ويمتدان إلى ما لانهاية ولا يلتقيان مع المحور الأفقي أبدًا.
القاعدة التجريبية — Empirical Rule(ص 218)
تستخدم القاعدة التجريبية لدراسة الجودة في مواقف إحصائية متعددة لعينات ذات قيم مفردة محددة ويمكن اتخاذ القرارات المناسبة على ضوء هذه الدراسة.
على افتراض أن لدينا مجموعة بيانات كمية ووجدنا المتوسط الحسابي x̄ والانحراف المعياري σ لقيم هذه البيانات وتبين أن المنحنى التكراري هو على شكل الجرس يمكن عندها تطبيق القاعدة التجريبية التي تنص على ما يلي:
حوالي 68% من قيم هذه البيانات تنتمي إلى الفترة
[x̄ − σ , x̄ + σ]حوالى 95% من قيم هذه البيانات تنتمي إلى الفترة
[x̄ − 2σ , x̄ + 2σ]حوالى 99.7% من قيم هذه البيانات تنتمي إلى الفترة
[x̄ − 3σ , x̄ + 3σ]
![68% من البيانات تقع على الفترة [x̄ − σ , x̄ + σ]](/figures/g11-t1-math-science-u6-l5/f2.png)
![95% من البيانات تقع على الفترة [x̄ − 2σ , x̄ + 2σ]](/figures/g11-t1-math-science-u6-l5/f3.png)
![99.7% من البيانات تقع على الفترة [x̄ − 3σ , x̄ + 3σ]](/figures/g11-t1-math-science-u6-l5/f4.png)
يبيّن الشكل أدناه التوزيعات للفترات الثلاث ونسبها المئوية.(ص 219)
مثال (1): إذا كان المتوسط الحسابي لأرباح إحدى الشركات الصغيرة 350 دينارًا والانحراف المعياري 110 والمنحنى التكراري لأرباح هذه الشركة هو على شكل الجرس (توزيع طبيعي).
a طبق القاعدة التجريبية.
b هل وصلت أرباح الشركة إلى 690 دينارًا؟ فسّر ذلك.
الحل: a
x̄ = 350 ، σ = 110باستخدام القاعدة التجريبية نحصل على ما يلي:
(1) حوالي 68% من الأرباح تقع على الفترة:
[x̄ − σ , x̄ + σ] = [350 − 110 , 350 + 110] = [240 , 460](2) حوالى 95% من الأرباح تقع على الفترة:
[x̄ − 2σ , x̄ + 2σ] = [350 − 220 , 350 + 220] = [130 , 570](3) حوالى 99.7% من الأرباح تقع على الفترة:
[x̄ − 3σ , x̄ + 3σ] = [350 − 330 , 350 + 330] = [20 , 680]b نلاحظ أن المبلغ 690 دينارًا يقع خارج الفترة الأخيرة [20 , 680] والتي تناظر 99.7% من الأرباح لذلك من غير المتوقع أن تكون أرباح هذه الشركة قد وصلت إلى المبلغ 690 دينارًا.
مثال(2): يعلن مصنع لإنتاج البطاريات المستخدمة في السيارات أن متوسط عمر البطارية من النوع(A) هو 60 شهرًا بانحراف معياري 10 أشهر. على افتراض أن المنحنى الممثل لتوزيع عمر البطاريات يقترب كثيرًا من التوزيع الطبيعي.
a طبق القاعدة التجريبية.
b أوجد النسبة المئوية للبطاريات من النوع (A) التي يزيد عمرها عن 50 شهرًا بفرض أن ما يعلنه المصنع صحيحًا.
c أوجد النسبة المئوية للبطاريات من النوع (A) والتي يقل عمرها عن 40 شهرًا بفرض أن ما يعلنه المصنع صحيحًا.
الحل: a (1) حوالي 68% من البطاريات المصنعة عمرها يقع على الفترة:
[x̄ − σ , x̄ + σ] = [60 − 10 , 60 + 10] = [50 , 70](2) حوالى 95% من البطاريات المصنعة عمرها يقع على الفترة:
[x̄ − 2σ , x̄ + 2σ] = [60 − 20 , 60 + 20] = [40 , 80](3) حوالى 99.7% من البطاريات المصنعة عمرها يقع على الفترة:
[x̄ − 3σ , x̄ + 3σ] = [60 − 30 , 60 + 30] = [30 , 90]
b بما أن المنحنى الممثل لتوزيع عمر البطاريات يقترب كثيرًا من التوزيع الطبيعي لذا من الرسم أعلاه نستنتج:
34% + 34% + 13.5% + 2.5% = 84%أي أن 84% من هذه البطاريات يزيد عمرها عن 50 شهرًا بفرض أن ما تعلنه هذه الشركة صحيحًا.
c يبين المنحنى الممثل لعمر البطاريات أن 2.5% من هذه البطاريات يقل عمرها عن 40 شهرًا وذلك بفرض أن ما تعلنه الشركة صحيحًا.
حل المسائل على السبورة
شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.
المسألة · الكتاب ص 219
المتوسط الحسابي لأرباح شركة صغيرة 350 دينارًا والانحراف المعياري 110 والتوزيع طبيعي. طبق القاعدة التجريبية، ثم بيّن هل وصلت الأرباح إلى 690 دينارًا.
المعطيات
- x̄ = 350 ، σ = 110من هنا
- حوالي 68% في [x̄ − σ , x̄ + σ] و 95% في [x̄ − 2σ , x̄ + 2σ] و 99.7% في [x̄ − 3σ , x̄ + 3σ]
- [x̄ − σ , x̄ + σ] = [350 − 110 , 350 + 110] = [240 , 460]68%
المعلم: اِبْدَأْ بِالفَتْرَةِ الأُولَى: اِطْرَحْ سِيغْما مِنَ المُتَوَسِّطِ ثُمَّ أَضِفْها إِلَيْهِ. فَتَخْرُجُ الفَتْرَةُ مِنْ مِائَتَيْنِ وَأَرْبَعِينَ إِلَى أَرْبَعِمِائَةٍ وَسِتِّينَ، وَفِيها ثَمانِيَةٌ وَسِتُّونَ بِالمِائَةِ مِنَ الأَرْباحِ.
الخطوة 1 من 5
الملخص
- المدى يقيس تشتت قيم البيانات، والانحراف المعياري يقيس تشتتها بالمقارنة مع المتوسط الحسابي.
- إذا كان الانحراف المعياري صغيرًا تجمّعت القيم حول المتوسط، وإذا كان كبيرًا ابتعدت عنه، ولو تساوى المتوسطان.
- التوزيع الطبيعي هو توزيع قيم البيانات بشكل متماثل حول المتوسط الحسابي، ومنحناه التكراري يأخذ شكل الجرس.
- من خواص منحنى التوزيع الطبيعي: أنه ناقوس (جرس) متماثل حول المتوسط، وأن المتوسط والوسيط والمنوال متساوية فيه، وأن طرفيه ينحدران تدريجيًّا ويمتدان إلى ما لانهاية ولا يلتقيان مع المحور الأفقي أبدًا.
- القاعدة التجريبية: حوالي 68% من القيم تنتمي إلى [x̄ − σ , x̄ + σ] .
- وحوالى 95% تنتمي إلى [x̄ − 2σ , x̄ + 2σ] ، وحوالى 99.7% تنتمي إلى [x̄ − 3σ , x̄ + 3σ] .
- النسب التفصيلية على المنحنى من اليسار إلى اليمين: 2.5% ، 13.5% ، 34% ، 34% ، 13.5% ، 2.5% .
- تُستخدم القاعدة التجريبية لدراسة الجودة في مواقف إحصائية متعددة ولاتخاذ القرارات المناسبة على ضوء هذه الدراسة.
الأفكار الرئيسية
- التوزيع الطبيعي يحوّل الانحراف المعياري إلى مسطرة: كل خطوة سيغما واحدة تقتطع نسبة معلومة ثابتة من البيانات.
- النسب الست 2.5% و13.5% و34% و34% و13.5% و2.5% تكفي لحل كل أسئلة الدرس بالجمع، دون أي قانون آخر.
- خروج قيمة عن الفترة [x̄ − 3σ , x̄ + 3σ] حدث نادر جدًّا، ولذلك يُستدلّ به على أن الادعاء غير صحيح أو أن القيمة غير متوقعة.
الأسئلة المهمة
عرّف التوزيع الطبيعي واذكر خواص منحناه.
التوزيع الطبيعي هو توزيع قيم البيانات بشكل متماثل حول المتوسط الحسابي، والمنحنى التكراري الذي يمثل هذه البيانات يأخذ شكل الجرس. ومن خواصه: أن يكون على شكل ناقوس (جرس) متماثل حول المتوسط الحسابي، وأن تتساوى فيه قيم المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال، وأن ينحدر طرفاه تدريجيًّا ويمتدان إلى ما لانهاية ولا يلتقيان مع المحور الأفقي أبدًا.
الكتاب صفحة 217
انصص القاعدة التجريبية.
إذا كانت لدينا مجموعة بيانات كمية متوسطها الحسابي x̄ وانحرافها المعياري σ ومنحناها التكراري على شكل الجرس، فإن: حوالي 68% من قيم هذه البيانات تنتمي إلى الفترة [x̄ − σ , x̄ + σ] ، وحوالى 95% تنتمي إلى [x̄ − 2σ , x̄ + 2σ] ، وحوالى 99.7% تنتمي إلى [x̄ − 3σ , x̄ + 3σ] .
الكتاب صفحة 218
فيمَ تُستخدم القاعدة التجريبية؟
تستخدم القاعدة التجريبية لدراسة الجودة في مواقف إحصائية متعددة لعينات ذات قيم مفردة محددة، ويمكن اتخاذ القرارات المناسبة على ضوء هذه الدراسة.
الكتاب صفحة 218
اكتب النسب المئوية للمناطق الست على منحنى التوزيع الطبيعي.
من اليسار إلى اليمين: 2.5% بين x̄ − 3σ و x̄ − 2σ ، ثم 13.5% بين x̄ − 2σ و x̄ − σ ، ثم 34% بين x̄ − σ و x̄ ، ثم 34% بين x̄ و x̄ + σ ، ثم 13.5% بين x̄ + σ و x̄ + 2σ ، ثم 2.5% بين x̄ + 2σ و x̄ + 3σ .
الكتاب صفحة 219
في مثال (1) لماذا كان من غير المتوقع أن تصل الأرباح إلى 690 دينارًا؟
لأن المبلغ 690 دينارًا يقع خارج الفترة الأخيرة [20 , 680] والتي تناظر 99.7% من الأرباح، فخروجه عنها يعني أنه من الأحداث النادرة جدًّا.
الكتاب صفحة 219
في مثال (2) كيف حُسبت نسبة البطاريات التي يزيد عمرها عن 50 شهرًا؟
لأن 50 = x̄ − σ ، فالنسبة المطلوبة هي مجموع المناطق الواقعة على يمينها: 34% + 34% + 13.5% + 2.5% = 84% .
الكتاب صفحة 220
اختبار الدرس
أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.
الواجب
أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.
مصطلحات الدرس
- قاعدة تجريبية Empirical Rule
- قاعدة تُستخدم لدراسة الجودة في مواقف إحصائية متعددة، وتنص على أن حوالي 68% من القيم تنتمي إلى [x̄ − σ , x̄ + σ] ، وحوالى 95% إلى [x̄ − 2σ , x̄ + 2σ] ، وحوالى 99.7% إلى [x̄ − 3σ , x̄ + 3σ] .
- التوزيع الطبيعي Normal Distribution
- توزيع قيم البيانات بشكل متماثل حول المتوسط الحسابي، ومنحناه التكراري يأخذ شكل الجرس.
- المدى
- مقياس لتشتت قيم البيانات؛ إذا صغرت قيمته كانت القيم قريبة من بعضها، وإذا كبرت كانت بعيدة أو فيها قيم متطرفة.
- منحنى الجرس
- المنحنى التكراري للتوزيع الطبيعي، وهو ناقوس متماثل حول المتوسط الحسابي، ينحدر طرفاه تدريجيًّا ويمتدان إلى ما لانهاية ولا يلتقيان مع المحور الأفقي أبدًا.
تمارين الكتاب كاملة
كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 2 تمرينًا.
حاول أن تحل 1لاحظت شركة تجارية أن المتوسط الحسابي لأرباحها 475 دينارًا بانحراف معياري 115 دينارًا. a طبق القاعدة التجريبية. b هل وصلت أرباح هذه الشركة إلى 750 دينارًا؟ فسّر ذلك.(ص 219)
a x̄ = 475 ، σ = 115 . وباستخدام القاعدة التجريبية:(1) حوالي 68% من الأرباح تقع على الفترة [x̄ − σ , x̄ + σ] = [475 − 115 , 475 + 115] = [360 , 590] .(2) حوالى 95% من الأرباح تقع على الفترة [x̄ − 2σ , x̄ + 2σ] = [475 − 230 , 475 + 230] = [245 , 705] .(3) حوالى 99.7% من الأرباح تقع على الفترة [x̄ − 3σ , x̄ + 3σ] = [475 − 345 , 475 + 345] = [130 , 820] . b نلاحظ أن المبلغ 750 دينارًا يقع داخل الفترة الأخيرة [130 , 820] والتي تناظر 99.7% من الأرباح، لذلك من الممكن أن تكون أرباح هذه الشركة قد وصلت إلى المبلغ 750 دينارًا. غير أنه يقع خارج الفترة [245 , 705] التي تناظر 95% من الأرباح، أي أنه يقع بين x̄ + 2σ و x̄ + 3σ ، وهي منطقة نسبتها 2.5% فقط، فهذا مبلغ ممكن ولكنه غير شائع.
حاول أن تحل 2يعلن مصنع لإنتاج المصابيح الكهربائية أن متوسط عمر المصباح الكهربائي من النوع(A) هو 700h بانحراف معياري 100h على افتراض أن المنحنى الممثل لتوزيع عمر المصابيح الكهربائية يقترب كثيرًا من التوزيع الطبيعي. a طبق القاعدة التجريبية. b أوجد النسبة المئوية للمصابيح الكهربائية من النوع(A) التي يزيد عمرها عن 500h . c أوجد النسبة المئوية للمصابيح الكهربائية من النوع(A) التي يقل عمرها عن 400h .(ص 220)
a x̄ = 700h ، σ = 100h . وباستخدام القاعدة التجريبية:(1) حوالي 68% من المصابيح عمرها يقع على الفترة [700 − 100 , 700 + 100] = [600 , 800] .(2) حوالى 95% من المصابيح عمرها يقع على الفترة [700 − 200 , 700 + 200] = [500 , 900] .(3) حوالى 99.7% من المصابيح عمرها يقع على الفترة [700 − 300 , 700 + 300] = [400 , 1000] . b العمر 500h يساوي x̄ − 2σ ، فالنسبة المطلوبة هي مجموع المناطق الواقعة على يمينه: 13.5% + 34% + 34% + 13.5% + 2.5% = 97.5% . أي أن 97.5% من هذه المصابيح يزيد عمرها عن 500h بفرض أن ما يعلنه المصنع صحيحًا. c العمر 400h يساوي x̄ − 3σ ، والمنطقة الواقعة على يساره هي الذيل الأخير ونسبته 0.15% . أي أن 0.15% من هذه المصابيح يقل عمرها عن 400h بفرض أن ما يعلنه المصنع صحيحًا.
صفحات الكتاب
صفحات هذا الدرس من كتاب الطالب الرسمي كما هي، صفحات 217 إلى 220.
