منصة المنقذ التعليمية

أهداف الدرس

أستنتج خواص اللوغاريتمات وأطبّقها.
أختصر المقادير اللوغاريتمية وأفكّها.
أطبّق خواص اللوغاريتمات في مسائل حياتية مثل مستوى شدة الصوت.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 210:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 3خواص اللوغاريتمات — Properties of Logarithms0:31

مقاطع الدرس

0 من 3 مكتمل

خواص اللوغاريتمات — Properties of Logarithms(ص 145)

عمل تعاوني
1 أكمل الجدول التالي باستخدام الآلة الحاسبة. قرّب إجابتك إلى أقرب جزء من الألف.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20
log x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 استخدم جدولك في تكملة كل زوج من الجمل التالية. ماذا تلاحظ؟
alog 3 + log 5 = ... , log (3 × 5) = ...
blog 1 + log 6 = ... , log (1 × 6) = ...
clog 10 + log 2 = ... , log (10 × 2) = ...
3 عمّم: أكمل الجملة التالية:log(m × n) = ...
4 a تفكير ناقد: وضح كيف يمكنك كتابة المقدار log(m/n) باستخدام المقاديرlog m , log n
b استخدم آلتك الحاسبة لتحقيق ما كتبته مستخدمًا قيمًا مختلفة لكل من m , n
5 مثّل بيانيًّا كل زوج من الدوال التالية في نفس المستوى الإحداثي (يفضل استخدام الآلة الحاسبة البيانية). ماذا تلاحظ؟
ay = log x³ , y = 3 log x
by = log x⁻¹ , y = (−1) log x
6 استخدم تمثيلاتك البيانية لمساعدتك في تكملة الجملة:log mᵏ = ...
7 وضح كيف يمكنك استخدام هذه النتيجة لإيجاد قيمةlog 1 000

`x`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`10`	`15`	`20`
`log x`	`_`	`_`	`_`	`_`	`_`	`_`	`_`	`_`	`_`	`_`	`_`	`_`

انتبه

الربط بالتكنولوجيا: تسمح الآلات الحاسبة البيانية برسم بيانات الدوال. تختلف الخطوات المتبعة من حاسبة إلى أخرى لكن معظمها بسّط كثيرًا هذه العملية:
a اضغط على رمز بيان الدالة GRAPH.
b اكتب معادلة الدالة.
c اضغط على EXE، يظهر بيان الدالة على الشاشة.

(ص 145)

خواص اللوغاريتمات — Properties of Logarithms(ص 145)

مفهوم

تمّ تلخيص خواص اللوغاريتمات بما يلي:(ص 145)

قاعدة

خواص اللوغاريتمات
∀m, n, b ∈ ℝ⁺ , b ≠ 1
خاصية الضرب
log_b (m n) = log_b m + log_b n
خاصية القسمة
log_b (m/n) = log_b m − log_b n
خاصية القوى
log_b mᵏ = k log_b m , k ∈ ℝ

(ص 145)

انتبه

انتبه:
log_b (m + n) ≠ log_b m + log_b n
إلا في حالات خاصة ونادرة حيث
m + n = m × n

(ص 145)

قاعدة

يمكنك كتابة مجموع أو فرق اللوغاريتمات (التي لها الأساسات نفسها) بشكل لوغاريتم واحد.(ص 146)

مثال

مثال (1): أعد كتابة كل مقدار لوغاريتمي مما يلي بصورة لوغاريتم واحد:
a
log₂8 − log₂4
b
3 log_b x + log_b y
c
3 log₅2 + log₅4 − log₅16
الحل a — خاصية القسمة
log₂8 − log₂4 = log₂(8/4) = log₂2
الحل b — خاصية القوى
3 log_b x + log_b y = log_b x³ + log_b y
خاصية الضرب
= log_b(x³ y)
الحل c — خاصية القوى
3 log₅2 + log₅4 − log₅16 = log₅2³ + log₅2² − log₅2⁴
خاصية الضرب
= log₅(2³ × 2²) − log₅2⁴
خاصية القسمة
= log₅((2³ × 2²)/2⁴)
= log₅2

(ص 146)

قاعدة

يمكنك أحيانًا كتابة لوغاريتم واحد كمجموع أو فرق بين لوغاريتمين أو أكثر.(ص 146)

مثال

مثال (2): أوجد مفكوك كل لوغاريتم مما يلي حيث x, y عددان حقيقيان موجبان.
a
log₅(x/y)
b
log(3x⁴)
c
log √(25/x)
الحل a — خاصية القسمة
log₅(x/y) = log₅x − log₅y
الحل b — خاصية الضرب
log(3x⁴) = log 3 + log x⁴
خاصية القوى
= log 3 + 4 log x
الحل c
log √(25/x) = log (25/x)^(1/2)
خاصية القوى
= (1/2) log (25/x)
خاصية القسمة
= (1/2)(log 25 − log x)
= (1/2)(log 5² − log x)
خاصية القوى
= (1/2)(2 log 5 − log x)
= log 5 − (1/2) log x

(ص 146)

قاعدة

ملاحظات:
1
log_b 1 = 0
2
log_b b = 1
3
log_b bᵐ = m
حيث m , b عددان حقيقيان موجبان
b ≠ 1

(ص 147)

انتبه

تذكر:
log 3 = log₁₀3

(ص 147)

مثال

مثال (3): إذا كان
log 2 ≈ 0.301 , log 3 ≈ 0.477 , log 5 ≈ 0.699
استخدم خواص اللوغاريتمات لإيجاد قيمة كل مما يلي دون استخدام الآلة الحاسبة. (قرّب إجابتك إلى أقرب جزء من ألف).
a
log 20
b
log 0.5
c
log (8/3)
d
log 600
الحل a
log 20 = log (4 × 5)
خاصية الضرب
= log 4 + log 5
= log 2² + log 5
خاصية القوى
= 2 log 2 + log 5
≈ 2(0.301) + 0.699
≈ 1.301
الحل b
log 0.5 = log (1/2)
= log (2)⁻¹
خاصية القوى
= − log 2
≈ − 0.301
الحل c — خاصية القسمة
log (8/3) = log 8 − log 3
= log 2³ − log 3
خاصية القوى
= 3 log 2 − log 3
≈ 3(0.301) − 0.477 ≈ 0.426
الحل d
log 600 = log (2³ × 3 × 5²)
خاصية الضرب
= log 2³ + log 3 + log 5²
خاصية القوى
= 3 log 2 + log 3 + 2 log 5
≈ 3 × 0.301 + 0.477 + 2 × 0.699 ≈ 2.778

(ص 147)

تطبيقات على خواص اللوغاريتمات(ص 148)

تعريف

«شدة الصوت» هو قياس الطاقة المحمولة بالموجة الصوتية. والصوت ذو الشدة الكبيرة هو الصوت الذي يبدو عاليًا جدًّا.
تستخدم اللوغاريتمات لقياس «مستوى شدة الصوت» Sound Intensity Level.
«شدة الصوت» هي كثافة طاقة الصوت على مساحة معينة وتحسب بقسمة طاقة الصوت على المساحة.

(ص 148)

يعطى مستوى شدة الصوت بالعلاقة:L = 10 × log(I/I₀)
حيث: L تمثل مستوى شدة الصوت وتقاس بوحدة الديسيبل (dB)
I تمثل شدة الصوت وتقاس بالواتس/متر مربع(w/m²)
I₀ أقل صوت تستطيع أذن إنسان عادية أن تميزه (عتبة السمع) وتمثل عددًا ثابتًا يساوي10⁻¹²

انتبه

معلومة: هل تعلم أن عتبة الألم عند 120 dB وتلف طبلة الأذن عند 160 dB .
معلومة: تخطيط السمع هي عملية تسجيل القدرة السمعية وفق عتبة السمع لترددات صوتية مختلفة.

(ص 149)

تدريب: أكمل الجدول التالي، حيث:L = 10 × log(I/I₀)
صوت صفارة إنذار: الشدة10² w/m²
ومستوى شدة الصوت 140 وقوة الصوت: مؤلم.
صوت مصنع: الشدة10⁻² w/m²
ومستوى شدة الصوت … وقوة الصوت …
صوت منظف غبار: الشدة10⁻⁵ w/m²
ومستوى شدة الصوت … وقوة الصوت …
صوت دقات الساعة: الشدة10⁻⁸ w/m²
ومستوى شدة الصوت … وقوة الصوت …
صوت تساقط أوراق الشجر: الشدة10⁻¹⁰ w/m²
ومستوى شدة الصوت … وقوة الصوت: هادئ جدًّا.

مثال

مثال (4) تطبيق حياتي: بدأت شركة شحن في نقل حمولات طائرات الشحن خارج مطار المدينة، وقد اشتكى السكان المجاورون لها من صوتها المرتفع جدًّا، إذا افترضنا أن شركة الشحن قد طلبت إليك ابتكار طريقة تعمل على تخفيض شدّة الصوت إلى النصف، باستخدام العلاقة:
L = (10) log (I/I₀)
حيث I شدة الصوت، I₀ عتبة السمع
(10)⁻¹²
فكم ديسيبل (dB) يجب أن ينخفض هذا الصوت؟
الحل: لنفرض أن
L₁ = مستوى شدة الصوت الحالي
L₂ = مستوى شدة الصوت بعد خفضه
اربط: مقدار انخفاض مستوى شدة الصوت يعطى بـ
L₁ − L₂
∵ شدة الصوت المنخفض نصف شدة الصوت الحالي:
L₁ = (10) log (I/I₀) , L₂ = (10) log ((0.5 × I)/I₀)
L₁ − L₂ = (10) log (I/I₀) − (10) log ((0.5 × I)/I₀)
= (10) log (I/I₀) − (10) log (0.5 × (I/I₀))
خاصية الضرب
= (10) log (I/I₀) − 10(log 0.5 + log (I/I₀))
جمع الحدود المتشابهة
= (10) log (I/I₀) − (10) log 0.5 − (10) log (I/I₀)
= (−10) log 0.5
≈ 3.01
يجب أن ينخفض مستوى شدة الصوت حوالى 3 dB

(ص 150)

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

2 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 2

المسألة · الكتاب ص 148
إذا كان log 2 ≈ 0.301 و log 3 ≈ 0.477 و log 5 ≈ 0.699 فأوجد log 600 .
المعطيات
1. log 2 ≈ 0.301 , log 3 ≈ 0.477 , log 5 ≈ 0.699من هنا
2. خاصية الضرب وخاصية القوى
1. 600 = 2³ × 3 × 5²
  حلّل إلى عوامل أولية
المعلم: الخُطْوَةُ الحاسِمَةُ هِيَ الأُولَى: حَلِّلِ العَدَدَ إِلَى عَوامِلَ مِنَ الأَعْدادِ الَّتِي تَعْرِفُ لُوغارِيتْماتِها. سِتُّمِئَةٍ هِيَ ثَمانِيَةٌ فِي ثَلاثَةٍ فِي خَمْسَةٍ وَعِشْرِينَ، أَيِ اثْنانِ تَكْعِيبٌ فِي ثَلاثَةٍ فِي خَمْسَةٍ تَرْبِيعٍ.
الخطوة 1 من 4

الملخص

خاصية الضرب: log_b(mn) = log_b m + log_b n .
خاصية القسمة: log_b(m/n) = log_b m − log_b n .
خاصية القوى: log_b mᵏ = k log_b m حيث k ∈ ℝ .
الخواص الثلاث تشترط ∀m, n, b ∈ ℝ⁺ و b ≠ 1 ، وأن يكون للّوغاريتمات الأساس نفسه.
انتبه: log_b(m + n) ≠ log_b m + log_b n إلا في حالات خاصة ونادرة حيث m + n = m × n .
ملاحظات مختصرة: log_b 1 = 0 ، و log_b b = 1 ، و log_b bᵐ = m .
مستوى شدة الصوت L = 10 × log(I/I₀) بوحدة الديسيبل (dB) ، حيث I شدة الصوت بالواتس/متر مربع و I₀ عتبة السمع = 10⁻¹² .
لأن المقياس لوغاريتمي، فتخفيض شدة الصوت إلى النصف لا ينقص المستوى إلا حوالى 3 dB .

الأفكار الرئيسية

اللوغاريتم يحوّل الضرب إلى جمع، والقسمة إلى طرح، والأس إلى معامل؛ وهذا سر قوته في الحساب.
شرط تطبيق الخواص أن يكون الأساس نفسه في كل اللوغاريتمات؛ فإن اختلفت الأساسات لم تصلح الخواص.
تحليل العدد إلى عوامل بسيطة (2 و3 و5) هو المفتاح لحساب لوغاريتمه من قيم محفوظة قليلة.

الأسئلة المهمة

اذكر خواص اللوغاريتمات الثلاث بشروطها.

∀m, n, b ∈ ℝ⁺ , b ≠ 1 : خاصية الضرب log_b(mn) = log_b m + log_b n ، وخاصية القسمة log_b(m/n) = log_b m − log_b n ، وخاصية القوى log_b mᵏ = k log_b m حيث k ∈ ℝ .

الكتاب صفحة 145

هل log_b(m + n) = log_b m + log_b n ؟ علّل.

لا. ينبّه الكتاب إلى أن log_b(m + n) ≠ log_b m + log_b n إلا في حالات خاصة ونادرة حيث m + n = m × n ؛ فخاصية الضرب تخصّ حاصل الضرب لا المجموع.

الكتاب صفحة 145

اذكر الملاحظات الثلاث المختصرة عن اللوغاريتمات.

log_b 1 = 0 ، و log_b b = 1 ، و log_b bᵐ = m ، حيث m , b عددان حقيقيان موجبان و b ≠ 1 .

الكتاب صفحة 147

كيف نحسب log 600 من القيم log 2 و log 3 و log 5 ؟

نحلل 600 إلى عوامل أولية: 600 = 2³ × 3 × 5² ، ثم بخاصية الضرب log 600 = log 2³ + log 3 + log 5² ، ثم بخاصية القوى = 3log 2 + log 3 + 2log 5 ≈ 3(0.301) + 0.477 + 2(0.699) ≈ 2.778 .

الكتاب صفحة 148

عرّف شدة الصوت ومستوى شدة الصوت، واكتب العلاقة بينهما.

شدة الصوت هي كثافة طاقة الصوت على مساحة معينة وتحسب بقسمة طاقة الصوت على المساحة، وتقاس بالواتس/متر مربع. ومستوى شدة الصوت يعطى بالعلاقة L = 10 × log(I/I₀) ويقاس بالديسيبل (dB) ، حيث I₀ عتبة السمع وتساوي 10⁻¹² .

الكتاب صفحة 148

لماذا لا ينخفض مستوى شدة الصوت إلا 3 dB تقريبًا عند تخفيض الشدة إلى النصف؟

لأن الفرق L₁ − L₂ = (10)log(I/I₀) − (10)log(0.5 I/I₀) ، وبخاصية الضرب يختصر حد log(I/I₀) فيبقى (−10)log 0.5 ≈ 3.01 . فالفرق لا يعتمد على الشدة الأصلية بل على النسبة وحدها، لأن المقياس لوغاريتمي.

الكتاب صفحة 150

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

أعد كتابة 4log₃2 − log₃5 + log₃10 بصورة لوغاريتم واحد.

صعب

أوجد مفكوك log₇(a³b⁴) حيث a و b عددان حقيقيان موجبان.

متوسط

باستخدام log 2 ≈ 0.301 و log 3 ≈ 0.477 و log 5 ≈ 0.699 أوجد log 1200 مبيّنًا الخطوات.

صعب

احسب مستوى شدة الصوت لصوت مصنع شدته 10⁻² w/m² ، ثم حدّد قوته من سلم تدرج الضجيج.

صعب

مصطلحات الدرس

خاصية الضرب Multiplication Property: log_b(mn) = log_b m + log_b n ؛ لوغاريتم حاصل الضرب يساوي مجموع اللوغاريتمين.
خاصية القسمة Division Property: log_b(m/n) = log_b m − log_b n ؛ لوغاريتم القسمة يساوي فرق اللوغاريتمين.
خاصية القوى Power Property: log_b mᵏ = k log_b m ؛ الأس ينزل معاملًا أمام اللوغاريتم.
شدة الصوت Sound Intensity: كثافة طاقة الصوت على مساحة معينة، وتحسب بقسمة طاقة الصوت على المساحة، وتقاس بالواتس/متر مربع (w/m²).
مستوى شدة الصوت Level of Sound Intensity: L = 10 × log(I/I₀) ويقاس بالديسيبل (dB) ، حيث I₀ عتبة السمع وتساوي 10⁻¹² .
عتبة السمع: أقل صوت تستطيع أذن إنسان عادية أن تميزه، ويمثل العدد الثابت I₀ = 10⁻¹² .

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 20 تمرينًا.

عمل تعاوني — 1أكمل الجدول التالي باستخدام الآلة الحاسبة. قرّب إجابتك إلى أقرب جزء من الألف. (x من 1 إلى 10 ثم 15 و20)(ص 145)

log 1 = 0 ، log 2 ≈ 0.301 ، log 3 ≈ 0.477 ، log 4 ≈ 0.602 ، log 5 ≈ 0.699 ، log 6 ≈ 0.778 ، log 7 ≈ 0.845 ، log 8 ≈ 0.903 ، log 9 ≈ 0.954 ، log 10 = 1 ، log 15 ≈ 1.176 ، log 20 ≈ 1.301 .

عمل تعاوني — 2استخدم جدولك في تكملة كل زوج من الجمل التالية. ماذا تلاحظ؟(ص 145)

a) log 3 + log 5 ≈ 0.477 + 0.699 = 1.176 ، و log(3 ×5) = log 15 ≈ 1.176 .b) log 1 + log 6 ≈ 0 + 0.778 = 0.778 ، و log(1 ×6) = log 6 ≈ 0.778 .c) log 10 + log 2 ≈ 1 + 0.301 = 1.301 ، و log(10 ×2) = log 20 ≈ 1.301 . والملاحظة أن قيمة الطرفين متساوية في كل زوج، أي أن مجموع لوغاريتمي عددين يساوي لوغاريتم حاصل ضربهما.

عمل تعاوني — 3عمّم: أكمل الجملة التالية: log(m × n) = ...(ص 145)

log(m × n) = log m + log n . وهي خاصية الضرب التي يثبتها الكتاب بعد ذلك في صندوق خواص اللوغاريتمات.

عمل تعاوني — 4a تفكير ناقد: وضح كيف يمكنك كتابة المقدار log(m/n) باستخدام المقادير log m , log n . b استخدم آلتك الحاسبة لتحقيق ما كتبته مستخدمًا قيمًا مختلفة لكل من m , n .(ص 145)

a) log(m/n) = log m − log n . ويمكن الاستدلال على ذلك من خاصية الضرب: بما أن (m/n) × n = m فإن log(m/n) + log n = log m ، ومنه log(m/n) = log m − log n . b) للتحقق نأخذ مثلًا m = 20 و n = 5 : log(20/5) = log 4 ≈ 0.602 ، و log 20 − log 5 ≈ 1.301 − 0.699 = 0.602 ✓ ، ونأخذ m = 9 و n = 3 : log 3 ≈ 0.477 ، و log 9 − log 3 ≈ 0.954 − 0.477 = 0.477 ✓ .

عمل تعاوني — 5مثّل بيانيًّا كل زوج من الدوال التالية في نفس المستوى الإحداثي. ماذا تلاحظ؟a) y = log x³ , y = 3log xb) y = log x⁻¹ , y = (−1)log x(ص 145)

في كل زوج ينطبق البيانان أحدهما على الآخر تمامًا فيظهران منحنى واحدًا. والسبب أن log x³ = 3log x و log x⁻¹ = (−1)log x بخاصية القوى؛ فالدالتان في كل زوج متساويتان لكل x > 0 .

عمل تعاوني — 6استخدم تمثيلاتك البيانية لمساعدتك في تكملة الجملة: log mᵏ = ...(ص 145)

log mᵏ = k log m . وهي خاصية القوى.

عمل تعاوني — 7وضح كيف يمكنك استخدام هذه النتيجة لإيجاد قيمة log 1 000 .(ص 145)

نكتب 1 000 على صورة قوة للعدد 10 : 1 000 = 10³ . ثم بخاصية القوى: log 1 000 = log 10³ = 3 log 10 . وبما أن log 10 = 1 فإن log 1 000 = 3 × 1 = 3 .

حاول أن تحل (1) — a1أعد كتابة log₅2 + log₅6 بصورة لوغاريتم واحد.(ص 146)

بخاصية الضرب: log₅2 + log₅6 = log₅(2 × 6) = log₅12 .

حاول أن تحل (1) — a2أعد كتابة 3log_b4 − 3log_b2 بصورة لوغاريتم واحد.(ص 146)

بخاصية القوى: 3log_b4 − 3log_b2 = log_b4³ − log_b2³ = log_b64 − log_b8 . وبخاصية القسمة: = log_b(64/8) = log_b8 .

حاول أن تحل (1) — a3أعد كتابة 4log₃2 − log₃5 + log₃10 بصورة لوغاريتم واحد.(ص 146)

بخاصية القوى: 4log₃2 = log₃2⁴ = log₃16 . وبخاصية الضرب والقسمة: log₃16 − log₃5 + log₃10 = log₃((16 × 10)/5) = log₃32 .

حاول أن تحل (1) — b (تفكير ناقد)هل يمكنك كتابة log₆9 − 2log₂9 بشكل لوغاريتم واحد؟ اشرح.(ص 146)

لا يمكن. لأن خواص اللوغاريتمات الثلاث (الضرب والقسمة والقوى) تشترط أن يكون للّوغاريتمات الأساس نفسه، وهنا الأساس الأول 6 والثاني 2 ، فلا تنطبق خاصية القسمة على مقدارين مختلفي الأساس. ويمكن فقط تبسيط الحد الثاني بخاصية القوى إلى log₂81 ، لكن يبقى المقداران منفصلين.

حاول أن تحل (2) — aأوجد مفكوك log₂(7b) حيث b عدد حقيقي موجب.(ص 147)

بخاصية الضرب: log₂(7b) = log₂7 + log₂b .

حاول أن تحل (2) — bأوجد مفكوك log(c/3)² حيث c عدد حقيقي موجب.(ص 147)

بخاصية القوى: log(c/3)² = 2 log(c/3) . وبخاصية القسمة: = 2(log c − log 3) = 2log c − 2log 3 .

حاول أن تحل (2) — cأوجد مفكوك log₇(a³b⁴) حيث a , b عددان حقيقيان موجبان.(ص 147)

بخاصية الضرب: log₇(a³b⁴) = log₇a³ + log₇b⁴ . وبخاصية القوى: = 3log₇a + 4log₇b .

حاول أن تحل (3) — aباستخدام المعطيات في مثال (3) أوجد log 30 .(ص 148)

log 30 = log(2 × 3 × 5) = log 2 + log 3 + log 5 ≈ 0.301 + 0.477 + 0.699 ≈ 1.477 .

حاول أن تحل (3) — bباستخدام المعطيات في مثال (3) أوجد log 4.5 .(ص 148)

log 4.5 = log(9/2) = log 9 − log 2 = log 3² − log 2 = 2log 3 − log 2 ≈ 2(0.477) − 0.301 = 0.954 − 0.301 ≈ 0.653 .

حاول أن تحل (3) — cباستخدام المعطيات في مثال (3) أوجد log(1/25) .(ص 148)

log(1/25) = log 25⁻¹ = −log 25 = −log 5² = −2log 5 ≈ −2(0.699) ≈ −1.398 .

حاول أن تحل (3) — dباستخدام المعطيات في مثال (3) أوجد log 1200 .(ص 148)

1200 = 2⁴ × 3 × 5² . فبخاصية الضرب: log 1200 = log 2⁴ + log 3 + log 5² ، وبخاصية القوى: = 4log 2 + log 3 + 2log 5 ≈ 4(0.301) + 0.477 + 2(0.699) = 1.204 + 0.477 + 1.398 ≈ 3.079 .

تدريب — أكمل الجدولأكمل الجدول التالي حيث L = 10 × log(I/I₀) لكل من: صوت مصنع (10⁻²) ، وصوت منظف غبار (10⁻⁵) ، وصوت دقات الساعة (10⁻⁸) ، وصوت تساقط أوراق الشجر (10⁻¹⁰) .(ص 149)

نستخدم I₀ = 10⁻¹² في كل حالة. صوت مصنع: L = 10 log(10⁻²/10⁻¹²) = 10 log 10¹⁰ = 100 dB وقوته «عالٍ جدًّا» من سلم تدرج الضجيج. صوت منظف غبار: L = 10 log 10⁷ = 70 dB وقوته «عالٍ». صوت دقات الساعة: L = 10 log 10⁴ = 40 dB وقوته «هادئ». صوت تساقط أوراق الشجر: L = 10 log 10² = 20 dB وقوته «هادئ جدًّا» كما هو مثبت في الجدول.

حاول أن تحل (4)في مثال (4) السابق لنفرض أن شركة الشحن طلبت إليك تخفيض شدة الصوت 25% من شدة الصوت الحالية، فكم ديسيبل يجب أن ينخفض مستوى شدة الصوت الحالي؟(ص 150)

بتخفيض الشدة 25% تصبح الشدة الجديدة 0.75 من الشدة الحالية. فيكون L₁ = (10)log(I/I₀) و L₂ = (10)log((0.75 × I)/I₀) . ومنه L₁ − L₂ = (10)log(I/I₀) − 10(log 0.75 + log(I/I₀)) = (−10)log 0.75 ≈ (−10)(−0.125) ≈ 1.25 . أي يجب أن ينخفض مستوى شدة الصوت حوالى 1.25 dB بالطريقة نفسها المتبعة في مثال (4).