الدرس 4نهايات بعض الدوال المثلثية

أهداف الدرس

• أحسب نهايات بعض الدوال المثلثية.
• أستخدم نظرية الإحاطة لحساب النهاية.

الشرح خطوة بخطوة

نهايات بعض الدوال المثلثية — Limits of Some Trigonometric Functions(ص 43)

أبلغ عن خطأ

1. سوف تتعلم
2. نهايات بعض الدوال المثلثية.
3. نظرية الإحاطة.
4. استخدام نظرية الإحاطة.

أبلغ عن خطأ

1. المفردات والمصطلحات
2. نهاية دالة مثلثية — Limit of a Trigonometric Function
3. نظرية الإحاطة — Sandwich Theorem

أبلغ عن خطأ

1. دعنا نفكر ونتناقش
2. عند حساب:
3. f(x) = (sin x)/x ، (x rad)
4. وتمثيلها بيانيًّا كما في الشكل (1)، تقترب قيمتها من الواحد عندما تقترب x من الصفر (x rad). وفي هذه الحالة نقول إن نهاية f(x) تساوي 1 عندما تقترب x بشكل كاف من الصفر دون أن تساويه.

أبلغ عن خطأ

1. جدول القيم

2. x	y
   −0.3	0.98507
   −0.2	0.99335
   −0.1	0.99833
   −0.01	0.9998
   0	ERROR
   0.01	0.9998
   0.1	0.99833
   0.2	0.99335
   0.3	0.98507

3. y = (sin x)/x

أبلغ عن خطأ

1. شكل (1)
2. يبيّن الشكل (1) الرسم البياني للدالة f كما يعطي الجدول أعلاه قيمًا للدالة موضّحًا أن نهاية f(x) تساوي 1 عندما تقترب x من الصفر.

أبلغ عن خطأ

1. نظرية (12)
2. من فقرة «دعنا نفكر ونتناقش» نجد أن:
3. limx→0 (sin x)/x = 1
4. حيث x بالراديان

أبلغ عن خطأ

1. معلومة
2. في دراستنا للدوال المثلثية يكون قياس الزوايا بالراديان.

أبلغ عن خطأ

1. نتيجة (1)
2. إذا كان b ، a عددين حقيقيين،
3. b ≠ 0 ، a ≠ 0
4. فإن:
5. limx→0 (sin ax)/(bx) = a/b
6. limx→0 (bx)/(sin ax) = b/a

أبلغ عن خطأ

1. فمثلًا:
2. limx→0 (sin 2x)/(5x) = 2/5
3. limx→0 (2x)/(sin 3x) = 2/3

أبلغ عن خطأ

1. نهايات الدوال المثلثية الأساسية
2. وبتطبيق تعريف النهاية على الدوال المثلثية الأساسية نجد أن:
3. limx→0 sin x = 0
4. limx→0 cos x = 1
5. limx→0 tan x = 0
6. ويمكننا تطبيق نظريات النهايات من البنود السابقة في إيجاد نهايات الدوال المثلثية. يمكننا استنتاج أن:
7. a ∈ ℝ ، limx→0 cos ax = 1

أبلغ عن خطأ

1. مثال (1)
2. أوجد:
3. a) limx→0 (sin² x)/(2x)
4. b) limx→0 (x − 3)/(cos x)
5. c) limx→0 x²/(1 − cos x)

أبلغ عن خطأ

1. الحل — a
2. limx→0 (sin² x)/(2x) = limx→0 ((sin x)/x · (sin x)/2)
3. = limx→0 (sin x)/x · limx→0 (sin x)/2
4. = 1 × 0
5. = 0
6. نظرية (قاعدة الضرب)
7. limx→0 (sin x)/x = 1

أبلغ عن خطأ

1. الحل — b
2. limx→0 (x − 3)/(cos x)
3. limx→0 cos x = 1 ، 1 ≠ 0
4. نظرية
5. ∴ limx→0 (x − 3)/(cos x) = (limx→0 (x − 3))/(limx→0 cos x)
6. = −3/1
7. = −3

أبلغ عن خطأ

1. الحل — c
2. limx→0 x²/(1 − cos x) = limx→0 (x²/(1 − cos x) × (1 + cos x)/(1 + cos x))
3. اضرب البسط والمقام في
4. 1 + cos x
5. = limx→0 (x²/((1 − cos x)(1 + cos x)) · (1 + cos x))
6. = limx→0 (x²/(1 − cos² x) · (1 + cos x))
7. = limx→0 (x²/(sin² x) · (1 + cos x))

أبلغ عن خطأ

1. تابع الحل — c
2. = limx→0 (((x/(sin x))²) · (1 + cos x))
3. = limx→0 (x/(sin x))² · limx→0 (1 + cos x)
4. = (limx→0 x/(sin x))² · (limx→0 1 + limx→0 cos x)
5. = (1)² × (1 + 1)
6. = 1 × 2 = 2

أبلغ عن خطأ

1. حاول أن تحل
2. a هل يمكنك حل c في المثال (1) بطريقة أخرى؟
3. b أوجد النهاية:
4. 1) limx→0 (sin x)/(2x² − x)
5. 2) limx→0 (sin 2x)/(3x cos x)
6. 3) limx→0 (x sin x)/(cos x − 1)

أبلغ عن خطأ

1. مثال (2)
2. أوجد:
3. a) limx→0 (tan x)/x
4. b) limx→0 (5 tan x − 3 sin x)/(4x)

أبلغ عن خطأ

1. الحل — a
2. (tan x)/x = (sin x)/x · 1/(cos x)
3. tan x = (sin x)/(cos x)
4. ∵ limx→0 cos x = 1 ، 1 ≠ 0
5. ∴ limx→0 (tan x)/x = limx→0 ((sin x)/x · 1/(cos x))
6. = limx→0 (sin x)/x · limx→0 1/(cos x)
7. قاعدة الضرب، توزيع النهاية
8. limx→0 cos x ≠ 0
9. = 1 × (limx→0 1)/(limx→0 cos x) = 1 × 1/1 = 1

أبلغ عن خطأ

1. الحل — b
2. limx→0 (5 tan x − 3 sin x)/(4x) = limx→0 ((5 tan x)/(4x) − (3 sin x)/(4x))
3. = limx→0 (5 tan x)/(4x) − limx→0 (3 sin x)/(4x)
4. = 5/4 limx→0 (tan x)/x − 3/4 limx→0 (sin x)/x
5. نظرية (قاعدة الطرح)
6. limx→0 (tan x)/x = 1 ، limx→0 (sin x)/x = 1
7. = 5/4 × 1 − 3/4 × 1
8. = (5 − 3)/4 = 1/2
9. بسّط

أبلغ عن خطأ

1. حاول أن تحل — 2
2. أوجد:
3. a) limx→0 (sin x)/(2 tan x)
4. b) limx→0 (3 tan x + x² cos x)/(5x)

أبلغ عن خطأ

1. نتيجة (2)
2. limx→0 (tan x)/x = 1

أبلغ عن خطأ

1. نتيجة (3)
2. إذا كان
3. a ، b ∈ ℝ*
4. فإن:
5. limx→0 (tan ax)/(bx) = a/b

أبلغ عن خطأ

1. مثال (3)
2. أوجد:
3. a) limx→0 (5x + sin x)/x
4. b) limx→0 (cos x tan x − 2x cos x)/(3x)

أبلغ عن خطأ

1. الحل — مثال (3) a
2. (5x + sin x)/x = 5x/x + (sin x)/x
3. قسمة البسط على المقام
4. = 5 + (sin x)/x
5. بسّط:
6. x ≠ 0
7. limx→0 (5x + sin x)/x = limx→0 5 + limx→0 (sin x)/x
8. نظرية (قاعدة الجمع)
9. = 5 + 1
10. = 6

أبلغ عن خطأ

1. الحل — مثال (3) b
2. limx→0 ((cos x)/3 · (tan x)/x − 2/3 cos x)
3. قسمة البسط على المقام
4. = limx→0 (cos x)/3 · limx→0 (tan x)/x − limx→0 (2/3 cos x)
5. بسط
6. x ≠ 0
7. = 1/3 × 1 − 2/3 × 1
8. = −1/3
9. بسّط

أبلغ عن خطأ

1. حاول أن تحل — 3
2. أوجد:
3. a) limx→0 (x sin x − x²)/(3x²)
4. b) limx→0 (tan 2x + 3x cos 4x)/(5x)

أبلغ عن خطأ

1. نظرية الإحاطة — Sandwich Theorem
2. إذا لم يكن ممكنًا إيجاد قيمة النهاية بطريقة مباشرة، فبإمكاننا إيجادها بطريقة غير مباشرة باستخدام نظرية الإحاطة.
3. تتعلق هذه النظرية بدالة f قيمتها بين قيم دالتين أخريين g ، h حيث إذا كان للدالتين g ، h النهاية نفسها عندما x → c فإن للدالة f حينها النهاية نفسها عندما x → c

أبلغ عن خطأ

1. معلومة
2. تسمى نظرية الإحاطة أحيانًا
3. Squeeze Theorem
4. Sandwich Theorem
5. or Pinching Theorem

أبلغ عن خطأ

1. نظرية (13): نظرية الإحاطة — Sandwich Theorem
2. ليكن L ، c عددين حقيقيين
3. فإذا كان
4. g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
5. لكل x في جوار c ،
6. x ≠ c
7. وكان
8. limx→c g(x) = limx→c h(x) = L
9. فإن:
10. limx→c f(x) = L

أبلغ عن خطأ

1. مثال (4)
2. أوجد:
3. a) limx→0 (x² sin(1/x))
4. b) limx→0 (4 − x² sin(1/x))

أبلغ عن خطأ

1. الحل — a
2. نعلم أن قيم دالة الجيب تنتمي إلى الفترة
3. [−1,1]
4. لذلك فإن:
5. −1 ≤ sin(1/x) ≤ 1
6. اضرب في
7. x²
8. −x² ≤ x² sin(1/x) ≤ x²
9. ∵ limx→0 (−x²) = limx→0 x² = 0
10. ∴ limx→0 (x² sin(1/x)) = 0
11. ومن نظرية الإحاطة

أبلغ عن خطأ

1. الحل — b
2. −1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 ⟹ 1 ≥ −sin(1/x) ≥ −1
3. قيم دالة الجيب تنتمي إلى الفترة
4. [−1,1]
5. ∴ −1 ≤ −sin(1/x) ≤ 1
6. اضرب في
7. x²
8. −x² ≤ −x² sin(1/x) ≤ x²
9. أضف
10. 4
11. 4 − x² ≤ 4 − x² sin(1/x) ≤ 4 + x²
12. ∵ limx→0 (4 − x²) = 4 ، limx→0 (4 + x²) = 4
13. ∴ limx→0 (4 − x² sin(1/x)) = 4
14. نظرية الإحاطة

أبلغ عن خطأ

1. حاول أن تحل — 4
2. أوجد:
3. a) limx→0 (x² cos(1/x²))
4. b) limx→0 (2 + x² sin(1/(2x)))

أبلغ عن خطأ

1. التحقق البياني
2. الأشكال التالية تحقق بيانيًّا المثال 4.

أبلغ عن خطأ

1. الإحاطة عند اللانهاية
2. كذلك يمكننا استخدام نظرية الإحاطة في إيجاد نهايات الدوال المثلثية عندما
3. x → ±∞

أبلغ عن خطأ

1. مثال (5)
2. أوجد:
3. limx→∞ (sin x)/x
4. الحل:
5. نعلم أن:
6. −1 ≤ sin x ≤ 1
7. ∀x > 0 ، −1/x ≤ (sin x)/x ≤ 1/x
8. ∵ limx→∞ (−1/x) = limx→∞ (1/x) = 0
9. ∴ limx→∞ (sin x)/x = 0
10. نظرية الإحاطة

أبلغ عن خطأ

1. حاول أن تحل — 5
2. أوجد:
3. limx→∞ (cos x)/(x + 1)

أبلغ عن خطأ

1. التحقق البياني والعددي
2. ويمكننا التأكد من صحة حل المثال السابق بيانيًّا كالتالي:

3. x (rad)	y = (sin x)/x
   7π/2	−0.091
   37π/7	0.0224
   150	−0.00477
   240	0.00394
   300	−0.00333
   600	0.000074

4. ملاحظة مراجعة منفصلة عن الكتاب: القيمة المطبوعة عند 37π/7 محفوظة كما هي؛ إعادة الحساب بالراديان تعطي تقريبًا −0.04708251 بدل 0.0224.

أبلغ عن خطأ

1. سلوك الجيب على المتغيرة
2. الرسم البياني للدالة
3. f(x) = (sin x)/x
4. يتذبذب حول محور السينات، وسعة التذبذب تتناقص للصفر عندما
5. x → ±∞
6. يبيّن جدول قيم الدالة f أن
7. f(x) → 0
8. عندما
9. x → ∞
10. ويمكن استنتاج
11. limx→∞ (sin x)/x = 0

أبلغ عن خطأ

1. سلوك جيب التمام على المتغيرة
2. كذلك يمكن استنتاج
3. الرسم البياني للدالة f:
4. f(x) = (cos x)/x
5. يتذبذب حول محور السينات وسعة التذبذب تتناقص للصفر عندما
6. x → ±∞
7. ويمكن استنتاج أن
8. limx→±∞ (cos x)/x = 0

9. x (rad)	y = (cos x)/x
   3π	−0.106
   4π	0.0795
   100	−0.00862
   200	0.002435
   300	−0.0000736
   450	0.00162256

10. ملاحظة مراجعة منفصلة عن الكتاب: الإشارة السالبة المطبوعة عند 100 محفوظة كما هي؛ إعادة الحساب بالراديان تعطي تقريبًا 0.00862319 موجبة.

أبلغ عن خطأ

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

الأسئلة المهمة

اختبار الدرس

أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

مصطلحات الدرس

نهاية دالة مثلثية

القيمة التي تقترب منها الدالة المثلثية عندما تقترب المتغيرة من قيمة أو من اللانهاية.

نظرية الإحاطة

إذا حُصرت دالة بين دالتين لهما النهاية نفسها، فلها تلك النهاية.

الراديان

وحدة قياس الزاوية المستخدمة في نظريات هذا الدرس.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 11 تمرينًا.

صفحات الكتاب

صفحات هذا الدرس من كتاب الطالب الرسمي كما هي، صفحات 43 إلى 48.

صفحة 43صفحة 44صفحة 45صفحة 46صفحة 47صفحة 48