أهداف الدرس
- أجمع متجهين هندسيًا بعلاقة شال وبإكمال متوازي الأضلاع.
- أطرح متجهًا من متجه بجمعه إلى المتجه المعاكس.
- أذكر خواص جمع المتجهات وأستخدمها في تبسيط مجموع متجهات.
- أجمع متجهين وأطرحهما جبريًا بدلالة مركباتهما.
- أكتب متجهًا بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين i⃗ و j⃗ .
الشرح خطوة بخطوة
الموضع محفوظ على هذا الجهاز.
المقطع 1 من 6جمع المتجهات هندسيًا — Adding of Vectors Geometrically3:24
مقاطع الدرس
0 من 6 مكتملجمع المتجهات هندسيًا — Adding of Vectors Geometrically(ص 181)
A⃗ ، B⃗ متجهان. أوجد:
A⃗ + B⃗
علاقة شال: إذا كانت L نقطة من المستوي، فإننا نرسم
< LM⃗ >بحيث يكون
< LM⃗ > = A⃗ثم نرسم
< MN⃗ >بحيث يكون
< MN⃗ > = B⃗فيكون
A⃗ + B⃗ = < LM⃗ > + < MN⃗ > = < LN⃗ >لأي ثلاث نقاط في المستوى تسمى العلاقة التالية «علاقة شال»:
< LM⃗ > + < MN⃗ > = < LN⃗ >
إكمال متوازي الأضلاع: إذا كانت L نقطة من المستوي، فإننا نرسم
< LM⃗ >بحيث يكون
< LM⃗ > = A⃗ونرسم
< LC⃗ >بحيث يكون
< LC⃗ > = B⃗N هي النقطة من المستوي التي تكمل متوازي الأضلاع MLCN .
A⃗ + B⃗ = < LM⃗ > + < LC⃗ >حيث
< LC⃗ > = < MN⃗ >= < LM⃗ > + < MN⃗ >علاقة شال
= < LN⃗ >
معلومة: ميشال شال Michel Chasles عالم رياضيات فرنسي اشتهر بالمعادلة التي تحمل اسمه:
< AB⃗ > + < BC⃗ > = < AC⃗ >
مثال (1): ABC مثلث. عيّن:
a M حيث
< AM⃗ > = < AB⃗ > + < AC⃗ >b L حيث
< AL⃗ > = < AB⃗ > + < BC⃗ >الحل: a
< AM⃗ > = < AB⃗ > + < AC⃗ >للمتجهين < AC⃗ > ، < AB⃗ > نقطة بداية مشتركة
M هي النقطة التي تكمل متوازي الأضلاع BACM
∴
b علاقة شال:
< AL⃗ > = < AB⃗ > + < BC⃗ > = < AC⃗ >∵ < AL⃗ > = < AC⃗ >∴ L = C
مثال (2): في المثلث ABC عيّن L بحيث
< BL⃗ > = < AC⃗ > + < BC⃗ >مع توضيح خطوات الحل.
الحل: نرسم < BK⃗ > حيث
< BK⃗ > = < AC⃗ >بالتعويض في المعادلة
< BL⃗ > = < AC⃗ > + < BC⃗ >تصبح
< BL⃗ > = < BK⃗ > + < BC⃗ >للمتجهين < BC⃗ > ، < BK⃗ > نقطة بداية مشتركة
∵نستخدم الحالة العامة لجمع متجهين
∴ونكمل متوازي الأضلاع CBKL
فيكون
< BL⃗ > = < AC⃗ > + < BC⃗ >لاحظ أن
L ∈ AC⃗
خواص عملية جمع المتجهات في المستوي — Properties of Adding Vectors in the Plane(ص 183)
لأي ثلاثة متجهات
A⃗ ، B⃗ ، C⃗في المستوى:
خاصية الإبدال في جمع المتجهات
A⃗ + B⃗ = B⃗ + A⃗خاصية العنصر المحايد 0⃗
A⃗ + 0⃗ = 0⃗ + A⃗ = A⃗خاصية التجميع في جمع المتجهات
A⃗ + B⃗ + C⃗ = (A⃗ + B⃗) + C⃗ = A⃗ + (B⃗ + C⃗)خاصية المعكوس الجمعي
A⃗ + (−A⃗) = (−A⃗) + A⃗ = 0⃗خاصية الحذف
A⃗ + C⃗ = B⃗ + C⃗ ⇒ A⃗ = B⃗خاصية التوزيع مع عدد حقيقي غير الصفر
K(A⃗ + B⃗) = KA⃗ + KB⃗
مثال (3): ABC مثلث. أوجد:
a
L⃗ = < AC⃗ > + < BA⃗ > + < CB⃗ >b
K⃗ = < AB⃗ > + < CA⃗ > + < BC⃗ > + < AB⃗ >الحل: a
L⃗ = < AC⃗ > + < BA⃗ > + < CB⃗ >خاصية التجميع
= (< AC⃗ > + < BA⃗ >) + < CB⃗ >خاصية الإبدال
= (< BA⃗ > + < AC⃗ >) + < CB⃗ >علاقة شال
= < BC⃗ > + < CB⃗ >علاقة شال
= < BB⃗ >BB⃗ المتجه الصفري
= 0⃗
b
K⃗ = < AB⃗ > + < CA⃗ > + < BC⃗ > + < AB⃗ >خاصية التجميع
= (< AB⃗ > + < CA⃗ >) + (< BC⃗ > + < AB⃗ >)خاصية الإبدال
= (< CA⃗ > + < AB⃗ >) + (< AB⃗ > + < BC⃗ >)علاقة شال
= < CB⃗ > + < AC⃗ >خاصية الإبدال
= < AC⃗ > + < CB⃗ >علاقة شال
= < AB⃗ >
مجموع متجهين جبريًا — Adding Two Vectors Algebraically(ص 184)
تعريف: إذا كان
A⃗ = < xA , yA > ، B⃗ = < xB , yB >متجهين في المستوى الإحداثي فإن مجموع هذين المتجهين هو المتجه
< xA + xB , yA + yB >ويرمز له بالرمز
A⃗ + B⃗أي أن:
A⃗ + B⃗ = < xA + xB , yA + yB >
مثال (4): إذا كان
A⃗ = < 2 , 3 > ، B⃗ = < −1 , 5 >فأوجد: a A⃗ + B⃗ ، b 2A⃗ + 3B⃗
الحل: a
A⃗ + B⃗ = < xA + xB , yA + yB >= < 2 + (−1) , 3 + 5 >= < 1 , 8 >b
2A⃗ + 3B⃗ = < 2xA , 2yA > + < 3xB , 3yB >= < 2(2) , 2(3) > + < 3(−1) , 3(5) >= < 4 , 6 > + < −3 , 15 >= < 4 − 3 , 6 + 15 >= < 1 , 21 >
طرح المتجهات — Subtracting Vectors(ص 184)
نحصل على ناتج طرح المتجه B⃗ من المتجه A⃗ بجمع المتجه A⃗ إلى المتجه المعاكس للمتجه B⃗
أي:
A⃗ − B⃗ = A⃗ + (−B⃗)
مثال (5): ABC مثلث. أثبت أن:
< AB⃗ > − < AC⃗ > = < CB⃗ >الحل: طرح المتجهات
< AB⃗ > − < AC⃗ > = < AB⃗ > + < (−AC⃗) >حيث
< CA⃗ > = − < AC⃗ >= < AB⃗ > + < CA⃗ >خاصية الإبدال
= < CA⃗ > + < AB⃗ >علاقة شال
= < CB⃗ >
الفرق بين متجهين جبريًا — Difference of Two Vectors Algebraically(ص 185)
تعريف: إذا كان
A⃗ = < xA , yA > ، B⃗ = < xB , yB >متجهين في المستوى الإحداثي فإن:
A⃗ − B⃗ = A⃗ + (−B⃗) = < xA − xB , yA − yB >
مثال (6): إذا كان
A⃗ = < 5 , 12 > ، B⃗ = < 11 , 7 >فأوجد: a A⃗ − B⃗ ، b 4A⃗ − 6B⃗
الحل: a
A⃗ − B⃗ = < xA − xB , yA − yB >= < 5 − 11 , 12 − 7 >= < −6 , 5 >b
4A⃗ − 6B⃗ = < 4xA , 4yA > − < 6xB , 6yB >= < 4(5) , 4(12) > − < 6(11) , 6(7) >= < 20 , 48 > − < 66 , 42 >= < 20 − 66 , 48 − 42 >= < −46 , 6 >
مثال (7) تطبيق حياتي (الفيزياء): يريد عبد العزيز عبور النهر سباحة للوصول إلى الموقع (Y) حيث يقف يوسف على الضفة الثانية.
في كل لحظة، تمثل قوّة التيار بالمتجه
K⃗ويمثل الجهد الذي يبذله عبد العزيز بالمتجه
N⃗عند أي موقع على الضفة الأولى يجب أن ينطلق عبد العزيز للوصول بدقة إلى الموقع (Y) حيث يقف يوسف؟
الحل: يمثّل المستقيمان المتوازيان m₁ ، m₂ ضفتي النهر وتمثّل النقطة Y موقع يوسف.
من Y، نرسم المتجه −K⃗ والمتجه −N⃗ وليكن YO⃗ ناتج جمع هذين المتجهين.
يقطع YO⃗ الضفة الأولى في E
يجب أن ينطلق عبد العزيز من الموقع الممثل بالنقطة E للوصول بدقة إلى الموقع (Y) حيث يقف يوسف.
∴
التعبير عن متجه بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين — Expressing a Vector in Terms of the Two Basic Unit Vectors(ص 186)
تعريف: المتجه
i⃗ = < 1 , 0 >الذي إحدى قطعه الموجهة متجه الموضع الذي نهايته النقطة (1 , 0) يسمى «متجه الوحدة الأساسي في اتجاه المحور السيني (x−axis)»
المتجه
j⃗ = < 0 , 1 >الذي إحدى قطعه الموجهة متجه الموضع الذي نهايته النقطة (0 , 1) يسمى «متجه الوحدة الأساسي في اتجاه المحور الصادي (y−axis)»
يمكن التعبير عن أي متجه
OA⃗ = < xA , yA >بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين i⃗ ، j⃗ كما يلي:
OA⃗ = xA i⃗ + yA j⃗xA i⃗ + yA j⃗ = xA < 1 , 0 > + yA < 0 , 1 >= < xA , 0 > + < 0 , yA >= < xA , yA >= OA⃗
إذن
OA⃗ = < xA , yA >يكتب بدلالة i⃗ ، j⃗ على الصورة:
OA⃗ = xA i⃗ + yA j⃗كذلك
u⃗ = < x , y >يكتب بدلالة i⃗ ، j⃗ على الصورة
u⃗ = x i⃗ + y j⃗فمثلًا:
OM⃗ = < 5 , 6 >يكتب بدلالة i⃗ ، j⃗ على الصورة
OM⃗ = 5 i⃗ + 6 j⃗
مثال (8): لتكن النقاط:
A(−5 , 1) ، B(2 , −3) ، C(−1 , 0)على المستوى الإحداثي حيث مركزه النقطة O .
اكتب كلًّا من المتجهات OA⃗ ، OB⃗ ، OC⃗ بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين i⃗ ، j⃗
الحل: تعريف مركّبات المتجه
∵ A(−5 , 1) ∴ < OA⃗ > = −5 i⃗ + j⃗تعريف مركّبات المتجه
∵ B(2 , −3) ∴ < OB⃗ > = 2 i⃗ + (−3 j⃗)= 2i⃗ − 3j⃗تعريف مركّبات المتجه
∵ C(−1 , 0) ∴ < OC⃗ > = (−1)i⃗ + 0 j⃗= −i⃗ + 0⃗حيث
A⃗ + O⃗ = A⃗= − i⃗
حل المسائل على السبورة
شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.
المسألة · الكتاب ص 182
في المثلث ABC عيّن L بحيث < BL⃗ > = < AC⃗ > + < BC⃗ > مع توضيح خطوات الحل.
المعطيات
- المثلث ABC
- < BL⃗ > = < AC⃗ > + < BC⃗ >من هنا
- المتجهان المتساويان لهما الطول نفسه والاتجاه نفسه
- < BK⃗ > = < AC⃗ >نقل المتجه إلى بداية مشتركة
المعلم: اُنْظُرْ أَوَّلًا إِلَى الحَرْفَيْنِ: إِيه سِي وَبِي سِي لا يَشْتَرِكانِ فِي بِدايَةٍ وَلا يَتَتابَعانِ. فَانْقُلْ أَحَدَهُما: اِرْسُمْ مِنْ بِي مُتَّجِهًا بِي كِيه مُساوِيًا لِإِيه سِي.
الخطوة 1 من 5
الملخص
- علاقة شال: لأي ثلاث نقاط في المستوى < LM⃗ > + < MN⃗ > = < LN⃗ > ، وتستعمل عندما يكون المتجهان متتابعين.
- إكمال متوازي الأضلاع: إذا اشترك المتجهان في نقطة البداية فمجموعهما هو القطر الخارج من تلك النقطة.
- إذا لم يشترك المتجهان في بداية ولم يتتابعا فننقل أحدهما إلى بداية الآخر بمتجه مساوٍ له ثم نكمل متوازي الأضلاع.
- خواص الجمع: الإبدال، العنصر المحايد 0⃗ ، التجميع، المعكوس الجمعي، الحذف، والتوزيع مع عدد حقيقي غير الصفر.
- جبريًا: A⃗ + B⃗ = < x_A + x_B , y_A + y_B > .
- الطرح جمعٌ للمعاكس: A⃗ − B⃗ = A⃗ + (−B⃗) = < x_A − x_B , y_A − y_B > .
- في المثلث ABC : < AB⃗ > − < AC⃗ > = < CB⃗ > .
- كل متجه u⃗ = < x , y > يكتب بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين على الصورة u⃗ = x i⃗ + y j⃗ .
الأفكار الرئيسية
- جمع متجهين ليس جمع أطوال بل تركيب مسارين: علاقة شال تحذف النقطة الوسطى، ومتوازي الأضلاع يجمع متجهين خارجين من نقطة واحدة.
- كل عمليات الطرح تُردّ إلى جمع المتجه المعاكس، وكل الحسابات الجبرية تُردّ إلى جمع المركبات وطرحها.
- متجها الوحدة i⃗ و j⃗ يجعلان كل متجه في المستوى مجموع مضاعفَيهما، فتتحول المتجهات إلى معادلات جبرية بسيطة.
الأسئلة المهمة
ما علاقة شال؟ ومتى تستعملها؟
لأي ثلاث نقاط في المستوى: < LM⃗ > + < MN⃗ > = < LN⃗ > . وتستعمل عندما تكون نهاية المتجه الأول هي بداية المتجه الثاني، فيكون المجموع هو المتجه الواصل من بداية الأول إلى نهاية الثاني.
الكتاب صفحة 181
كيف تجمع متجهين لهما نقطة بداية مشتركة؟
نستخدم إكمال متوازي الأضلاع: نرسم < LM⃗ > = A⃗ و < LC⃗ > = B⃗ ، ثم N هي النقطة التي تكمل متوازي الأضلاع MLCN ، فيكون A⃗ + B⃗ = < LN⃗ > .
الكتاب صفحة 181
اذكر خواص عملية جمع المتجهات في المستوي.
خاصية الإبدال A⃗ + B⃗ = B⃗ + A⃗ ، وخاصية العنصر المحايد A⃗ + 0⃗ = 0⃗ + A⃗ = A⃗ ، وخاصية التجميع A⃗ + B⃗ + C⃗ = (A⃗ + B⃗) + C⃗ = A⃗ + (B⃗ + C⃗) ، وخاصية المعكوس الجمعي A⃗ + (−A⃗) = (−A⃗) + A⃗ = 0⃗ ، وخاصية الحذف A⃗ + C⃗ = B⃗ + C⃗ ⇒ A⃗ = B⃗ ، وخاصية التوزيع مع عدد حقيقي غير الصفر K(A⃗ + B⃗) = KA⃗ + KB⃗ .
الكتاب صفحة 183
كيف نحصل على ناتج طرح متجه من متجه؟
نحصل على ناتج طرح المتجه B⃗ من المتجه A⃗ بجمع المتجه A⃗ إلى المتجه المعاكس للمتجه B⃗ ، أي A⃗ − B⃗ = A⃗ + (−B⃗) ، وجبريًا A⃗ − B⃗ = < x_A − x_B , y_A − y_B > .
الكتاب صفحة 184
عرّف متجهي الوحدة الأساسيين i⃗ و j⃗ .
المتجه i⃗ = < 1 , 0 > الذي إحدى قطعه الموجهة متجه الموضع الذي نهايته النقطة (1 , 0) يسمى متجه الوحدة الأساسي في اتجاه المحور السيني، والمتجه j⃗ = < 0 , 1 > الذي إحدى قطعه الموجهة متجه الموضع الذي نهايته النقطة (0 , 1) يسمى متجه الوحدة الأساسي في اتجاه المحور الصادي.
الكتاب صفحة 186
أثبت أن < AB⃗ > − < AC⃗ > = < CB⃗ > في المثلث ABC .
< AB⃗ > − < AC⃗ > = < AB⃗ > + < (−AC⃗) > بطرح المتجهات، و < CA⃗ > = − < AC⃗ > فتصبح = < AB⃗ > + < CA⃗ > ، وبخاصية الإبدال = < CA⃗ > + < AB⃗ > ، وبعلاقة شال = < CB⃗ > .
الكتاب صفحة 185
اختبار الدرس
أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.
الواجب
أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.
مصطلحات الدرس
- جمع المتجهات Adding Vectors
- عملية إيجاد المتجه A⃗ + B⃗ ، وتؤدَّى هندسيًا بعلاقة شال أو بإكمال متوازي الأضلاع، وجبريًا بجمع المركبات المتناظرة.
- علاقة شال Chasle's Relation
- لأي ثلاث نقاط في المستوى: < LM⃗ > + < MN⃗ > = < LN⃗ > .
- قانون متوازي الأضلاع Parallelogram Law
- إذا رُسم المتجهان من نقطة واحدة L فإن مجموعهما هو المتجه < LN⃗ > حيث N النقطة التي تكمل متوازي الأضلاع MLCN .
- مركبات المتجه Vector Components
- العددان x و y في المتجه u⃗ = < x , y > ، وبهما يكتب المتجه بدلالة متجهي الوحدة على الصورة u⃗ = x i⃗ + y j⃗ .
- طرح المتجهات Subtracting Vectors
- A⃗ − B⃗ = A⃗ + (−B⃗) ، أي جمع المتجه A⃗ إلى المتجه المعاكس للمتجه B⃗ .
- متجه الوحدة الأساسي i⃗
- المتجه i⃗ = < 1 , 0 > الذي إحدى قطعه الموجهة متجه الموضع الذي نهايته النقطة (1 , 0) ، وهو متجه الوحدة الأساسي في اتجاه المحور السيني.
- متجه الوحدة الأساسي j⃗
- المتجه j⃗ = < 0 , 1 > الذي إحدى قطعه الموجهة متجه الموضع الذي نهايته النقطة (0 , 1) ، وهو متجه الوحدة الأساسي في اتجاه المحور الصادي.
تمارين الكتاب كاملة
كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 11 تمرينًا.
دعنا نفكر ونتناقش — 1جسيم نقطي M يتعرّض إلى قوتين MA⃗ ، MB⃗ كما في الشكل. ما هو مسار الجسيم M المتأثر بهاتين القوتين؟ أكمل رسم متوازي الأضلاع AMBC، ثم ارسم MC⃗ .(ص 181)
نكمل متوازي الأضلاع AMBC بأن نرسم من A موازيًا لـ MB ومن B موازيًا لـ MA فيتقاطعا في C ، ثم نرسم MC⃗ . فيكون MC⃗ هو قطر متوازي الأضلاع الخارج من M ، وهو مسار الجسيم M المتأثر بالقوتين؛ لأن مجموع متجهين لهما نقطة بداية مشتركة هو القطر الخارج من تلك النقطة (إكمال متوازي الأضلاع).
دعنا نفكر ونتناقش — 2هل يتغير مسار الجسيم M إذا تغيّر قياس الزاوية AM̂B ؟ أعد رسم الشكل أعلاه مع قياس الزاوية AM̂B أصغر من القياس أعلاه. ارسم متوازي الأضلاع AMBC، ثم MC⃗ . ماذا تستنتج؟(ص 181)
نعم يتغير. فعند تصغير قياس الزاوية AM̂B مع بقاء طولي MA⃗ و MB⃗ كما هما، يصير متوازي الأضلاع أضيق فيصير القطر MC⃗ أطول ويقترب اتجاهه من اتجاه القوتين. ونستنتج أن مسار الجسيم — أي المتجه المجموع MC⃗ — يعتمد على قياس الزاوية المحصورة بين القوتين طولًا واتجاهًا.
دعنا نفكر ونتناقش — 3هل يتغير مسار الجسيم M إذا تغير ‖MB⃗‖ ؟ أعد رسم الشكل أعلاه مع ‖MB⃗‖ أصغر مما هو معطى. ارسم متوازي الأضلاع AMBC، ثم MC⃗ . ماذا تستنتج؟(ص 181)
نعم يتغير. فعند تصغير ‖MB⃗‖ مع بقاء MA⃗ وقياس الزاوية كما هما، يصير متوازي الأضلاع أقصر في اتجاه MB فيقصر القطر MC⃗ ويميل اتجاهه نحو اتجاه MA⃗ . ونستنتج أن مسار الجسيم يعتمد أيضًا على طول كل من القوتين، فالمجموع يتحدد بطولي المتجهين وبالزاوية بينهما معًا.
حاول أن تحل 1ABC مثلث. عيّن: a M حيث < BM⃗ > = < BA⃗ > + < BC⃗ > ، b N حيث < BN⃗ > = < BC⃗ > + < CA⃗ > .(ص 182)
a ∵ للمتجهين < BA⃗ > و < BC⃗ > نقطة بداية مشتركة هي B ∴ نستخدم إكمال متوازي الأضلاع، فتكون M هي النقطة التي تكمل متوازي الأضلاع ABCM ، ويكون < BM⃗ > قطره الخارج من B . b بعلاقة شال: < BN⃗ > = < BC⃗ > + < CA⃗ > = < BA⃗ > . ∵ < BN⃗ > = < BA⃗ > ∴ N = A .
حاول أن تحل 2في المثلث ABC ، عيّن N بحيث < BN⃗ > = < BA⃗ > + < CA⃗ > .(ص 182)
المتجهان < BA⃗ > و < CA⃗ > ليس لهما نقطة بداية مشتركة ولا يتتابعان، فننقل أحدهما: نرسم < BK⃗ > حيث < BK⃗ > = < CA⃗ > . وبالتعويض تصبح < BN⃗ > = < BA⃗ > + < BK⃗ > . ∵ للمتجهين < BA⃗ > و < BK⃗ > نقطة بداية مشتركة هي B ∴ نستخدم الحالة العامة لجمع متجهين ونكمل متوازي الأضلاع ABKN ، فيكون < BN⃗ > = < BA⃗ > + < CA⃗ > .
حاول أن تحل 3ABCD مضلع. أوجد: a < AB⃗ > + < CD⃗ > + < BC⃗ > ، b < AD⃗ > + < CA⃗ > + < BC⃗ > + < DB⃗ > .(ص 183)
a < AB⃗ > + < CD⃗ > + < BC⃗ > = (< AB⃗ > + < BC⃗ >) + < CD⃗ > بخاصيتي التجميع والإبدال = < AC⃗ > + < CD⃗ > بعلاقة شال = < AD⃗ > بعلاقة شال. b < AD⃗ > + < CA⃗ > + < BC⃗ > + < DB⃗ > = (< CA⃗ > + < AD⃗ >) + (< DB⃗ > + < BC⃗ >) بخاصيتي التجميع والإبدال = < CD⃗ > + < DC⃗ > بعلاقة شال = < CC⃗ > بعلاقة شال = 0⃗ لأنه المتجه الصفري.
حاول أن تحل 4إذا كان A⃗ = < 4 , −2 > , B⃗ = < −7 , 5 > فأوجد: a A⃗ + B⃗ ، b 3A⃗ + 5B⃗ .(ص 184)
a A⃗ + B⃗ = < x_A + x_B , y_A + y_B > = < 4 + (−7) , −2 + 5 > = < −3 , 3 > . b 3A⃗ + 5B⃗ = < 3(4) , 3(−2) > + < 5(−7) , 5(5) > = < 12 , −6 > + < −35 , 25 > = < 12 − 35 , −6 + 25 > = < −23 , 19 > .
حاول أن تحل 5ABCD مضلع في المستوي. أوجد: a < AB⃗ > + < CD⃗ > − < AD⃗ > − < CB⃗ > ، b < AB⃗ > − < AC⃗ > + < BC⃗ > + < AD⃗ > .(ص 185)
a بطرح المتجهات: < AB⃗ > + < CD⃗ > + < DA⃗ > + < BC⃗ > ، وبخاصيتي التجميع والإبدال = (< AB⃗ > + < BC⃗ >) + (< CD⃗ > + < DA⃗ >) = < AC⃗ > + < CA⃗ > بعلاقة شال = < AA⃗ > = 0⃗ . b < AB⃗ > − < AC⃗ > = < CB⃗ > بنتيجة مثال (5) ، فيصبح المجموع = < CB⃗ > + < BC⃗ > + < AD⃗ > = < CC⃗ > + < AD⃗ > بعلاقة شال = 0⃗ + < AD⃗ > = < AD⃗ > بخاصية العنصر المحايد.
حاول أن تحل 6إذا كان A⃗ = < −3 , 0 > , B⃗ = < 5 , −9 > فأوجد: a A⃗ − B⃗ ، b −3A⃗ + 4B⃗ .(ص 185)
a A⃗ − B⃗ = < x_A − x_B , y_A − y_B > = < −3 − 5 , 0 − (−9) > = < −8 , 9 > . b −3A⃗ + 4B⃗ = < −3(−3) , −3(0) > + < 4(5) , 4(−9) > = < 9 , 0 > + < 20 , −36 > = < 9 + 20 , 0 + (−36) > = < 29 , −36 > .
حاول أن تحل 7 — تفكير ناقدوضح لماذا بدأ الحل من موقع يوسف.(ص 186)
لأن موقع الوصول (Y) هو المعلوم في المسألة، أما موقع الانطلاق على الضفة الأولى فهو المجهول المطلوب. فبالبدء من Y ورسم المتجهين المعاكسين −K⃗ و −N⃗ نعكس أثر قوة التيار وأثر جهد عبد العزيز، فنعود بالمسار إلى الخلف حتى نقطة الانطلاق؛ فيقطع YO⃗ الضفة الأولى في E وهي الموقع المطلوب. أي أن الحل سار من المعلوم إلى المجهول.
حاول أن تحل 8لتكن النقاط: A(3 ,4), B(−2 ,5), C(−4 , −1) . اكتب كلًّا من المتجهات: < OA⃗ > , < OB⃗ > , < OC⃗ > ، بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين i⃗ , j⃗ .(ص 187)
∵ A(3 ,4) ∴ < OA⃗ > = 3 i⃗ + 4 j⃗ بتعريف مركّبات المتجه. ∵ B(−2 ,5) ∴ < OB⃗ > = −2 i⃗ + 5 j⃗ . ∵ C(−4 , −1) ∴ < OC⃗ > = −4 i⃗ + (−1 j⃗) = −4 i⃗ − j⃗ .
صفحات الكتاب
صفحات هذا الدرس من كتاب الطالب الرسمي كما هي، صفحات 181 إلى 187.
