منصة المنقذ التعليمية

أهداف الدرس

أربط اللوغاريتم الطبيعي بالدالة y = eˣ .
أحل المعادلات باستخدام اللوغاريتم الطبيعي.
أنمذج مواقف حياتية بدالة على الشكل y = Pe^(mx) وأتنبّأ بها.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 200:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 4اللوغاريتم الطبيعي — Natural Logarithm2:01

مقاطع الدرس

0 من 4 مكتمل

اللوغاريتم الطبيعي — Natural Logarithm(ص 159)

دعنا نفكر ونتناقش
في الدرس (4−2) وجدت أن العددe ≈ 2.71828
وقد أمكن استخدامه كأساس.
فالدالةy = eˣ
لها معكوس هوy = log_e x
ويسمى دالة اللوغاريتم الطبيعي ورمزه:y = ln x
وتقرأ y تساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ x
يوضح الرسم البياني المجاور الدالتين:
1y = eˣ
2y = ln x
الآلة الحاسبة: استخدم المفتاح ln على آلتك الحاسبة لإيجاد قيم:
aln5 , ln3 , ln15 , ln5 + ln3
bln1 , ln e , ln e²
كيف تربط إجابتك بما سبق دراسته؟

بيانا y = eˣ و y = ln x والمستقيم y = x(ص 159)

قاعدة

تطبق خواص اللوغاريتمات المعتادة على اللوغاريتم الطبيعي أيضًا. أعد ذكر خاصية الضرب وخاصية القسمة وخاصية القوى بدلالة اللوغاريتم الطبيعي.(ص 159)

تدريب: أكمل ما يلي حيثk , m , n ∈ ℝ⁺
1ln(mn) = ...... (خاصية ............)
2ln(m/n) = ...... (خاصية ............)
3ln mᵏ = ...... (خاصية ............)
4ln e = ......
5ln eᵏ = ......
6e^(ln k) = ......

مثال

مثال (1): استخدم اللوغاريتم الطبيعي لحل:
8e²ˣ = 20
الحل:
8e²ˣ = 20
اقسم كل طرف على 8
e²ˣ = 20/8
بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكل طرف
ln e²ˣ = ln 2.5
خاصية القوى حيث ln e = 1
2x ln e = ln 2.5
اختصر
2x = ln 2.5
اقسم كل طرف على 2
x = (ln 2.5)/2
استخدم آلتك الحاسبة
x ≈ 0.458

(ص 160)

مفهوم

اللوغاريتم الطبيعي يبسط تعبيرات العديد من العلاقات في المجالات المختلفة ومنها المجال الفيزيائي.(ص 160)

مثال

مثال (2) الصلة بالواقع — الفضاء: يمكن أن يبلغ صاروخ مدارًا ثابتًا على بعد 300 km فوق سطح الأرض إذا ما بلغت سرعته 7.7 km/s وتحسب أقصى سرعة (v) له بالعلاقة:
v = −0.0098 t + c ln r
(حيث t هي زمن اشتعال وقود محرك الصاروخ بالثانية (s)، c هي سرعة انطلاق البخار بـ (km/s)، r هي النسبة بين كتلة الصاروخ وهو محمل بالوقود إلى كتلته من دون وقود).
لنفرض أن صاروخًا قد استخدم لدفع سفينة فضاء، وله نسبة كتلة حوالى 25 وسرعة انطلاق البخار (2.8) km/s ، وزمن الاشتعال 100 s ، فهل يبلغ هذا الصاروخ مدارًا ثابتًا؟
الحل: في هذه الحالة:
t = 100 s , c = 2.8 km/s , r ≈ 25
لإيجاد v ، استخدم العلاقة:
v = −0.0098 t + c ln r
v = −0.0098 (100) + 2.8 ln 25
≈ −0.98 + 2.8(3.219)
∴
v ≈ 8 km/s
وهذه السرعة أكبر من السرعة 7.7 km/s ، والتي تلزم لبلوغ المدار الثابت.
لذلك فإن هذا الصاروخ يمكنه أن يبلغ المدار الثابت.

(ص 160)

قاعدة

يمكنك حل معادلات لوغاريتمية طبيعية باستخدام معادلات أسية والعكس صحيح.(ص 161)

مثال

مثال (3): حل المعادلة:
ln(3x + 5) = 4
الحل — نوجد المجال:
3x + 5 > 0 ⇒ x > −5/3
∴ المجال
= (−5/3 , ∞)
ln(3x + 5) = 4
أعد الكتابة في الصورة الأسية
3x + 5 = e⁴
اطرح 5 من كل طرف
3x = e⁴ − 5
اقسم كل طرف على 3
x = (e⁴ − 5)/3
استخدم الآلة الحاسبة
x ≈ 16.53

(ص 161)

انتبه

تذكر:
log_e x = ln x

(ص 161)

مثال

مثال (4): استخدم اللوغاريتم الطبيعي لحل:
7e²ˣ + 2.5 = 13
الحل:
7e²ˣ + 2.5 = 13
اطرح 2.5 من طرفي المعادلة
7e²ˣ = 10.5
اقسم طرفي المعادلة على 7
e²ˣ = 1.5
خذ اللوغاريتم الطبيعي لطرفي المعادلة
ln(e)²ˣ = ln 1.5
خاصية القوى حيث ln e = 1
2x ln e = ln 1.5
اقسم طرفي المعادلة على 2
x = (ln 1.5)/2
استخدم الآلة الحاسبة
x ≈ 0.2027

(ص 161)

المرشد لحل المسائل(ص 163)

في نهاية العام 2000 وصل عدد مشتركي شبكة الإنترنت في العالم إلى 360 مليونًا وتزايد هذا العدد ليصل في نهاية العام 2011 إلى 2 260 مليون مشترك.
a تمثّل x العدد بالسنين، m معدل الزيادة السنوية، P عدد المشتركين في عام 2000، y عدد المشتركين مع مرور الوقت. اكتب دالة على الشكل:y = Pe^(mx)
تمثل القيمة المتوقعة لزيادة عدد مشتركي شبكة الإنترنت ابتداءً من العام 2000 . حيث y عدد المشتركين بعد مرور x عام، و m معدل التزايد السنوي، و P عدد المشتركين عام 2000 .
b في أي عام يتخطى عدد مشتركي شبكة الإنترنت المليار؟
c متى يصبح هذا العدد أكثر من 3 مليارات مشترك؟
d أوجد قيمة x بدلالة y .
e كيف يمكن استخدام المعادلة في d للتحقق من إجابات b ، c ؟
الحل a: الشكل العام للمعادلة هو كالتالي:y = Pe^(mx)
إيجاد المعدل العام لتزايد عدد مشتركي شبكة الإنترنت في العالم بين عام 2000 و2011 .
تعويض y بـ 2 260 و P بـ 360 و x بـ 112 260 = 360 e^(11m)
قسمة طرفي المعادلة على 3602 260/360 = e^(11m)
تطبيق اللوغاريتم الطبيعي على طرفي المعادلةln(2 260/360) = ln e^(11m)
تبسيطln(2 260/360) = 11m
قسمة طرفي المعادلة على 11m = (ln(2 260/360))/11
استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد معدل التزايد السنويm = 0.167
إذًا معدل التزايد السنوي لمشتركي شبكة الإنترنت هو 16.7% .
وبالتالي الدالة هي:y = 360 e^(0.167x)
الحل b:y = 360 e^(0.167x)
360 e^(0.167x) > 1 000
e^(0.167x) > 1 000/360
0.167x > ln(1 000/360)
x > (ln(1 000/360))/0.167 ≈ 6.11767
في العام 2007 يتخطى عدد مشتركي شبكة الإنترنت المليار، ويصبح العدد حوالى 1.159 مليار مشترك.

الحل c:y = 360 e^(0.167x)
360 e^(0.167x) > 3 000
وبالمثلx > (ln(3 000/360))/0.167 ≈ 12.6961888
يتخطى عدد مشتركي شبكة الإنترنت 3 مليارات في العام 2013، ويصبح العدد حوالى 3.156 مليارات مشترك.
الحل d:y = 360 e^(0.167x)
قسمة طرفي المعادلة على 360y/360 = e^(0.167x)
تطبيق اللوغاريتم الطبيعي على طرفي المعادلةln(y/360) = ln(e^(0.167x))
تبسيطln(y/360) = 0.167x
قسمة طرفي المعادلة على 0.167x = (ln(y/360))/0.167
الحل e: نعوض عدد y في d لنتحقق من الإجابات التي توصلنا إليها في b ، c من حيث عدد السنوات المطلوبة للوصول إلى هذه الأعداد.
b(ln(1 000/360))/0.167 ⇒ x ≈ 6.12
إذًا نحتاج إلى أكثر من 6 سنوات، إذًا في 2007 .
c(ln(3 000/360))/0.167 ⇒ x ≈ 12.7
إذًا نحتاج إلى أكثر من 12 سنة، إذًا في 2013 .

مسألة إضافية
في نهاية العام 2000، وصل عدد مشتركي الهاتف المحمول حوالى 750 مليونًا في العالم أمّا في نهاية العام 2011 فقد تزايد هذا العدد ليصل إلى حوالى 5.6 مليارات مشترك.
a تمثّل x عدد السنوات منذ العام 2000 . اكتب دالة على الشكل:y = Pe^(mx)
تمثل القيمة المتوقعة لزيادة مستخدمي الهاتف المحمول ابتداءً من العام 2000 . حيث y عدد المستخدمين بعد مرور x سنة، و m معدل التزايد السنوي، و P عدد المستخدمين في العام 2000 .
b في أي عام يتخطى عدد مستخدمي الهاتف المحمول الـ 2 مليار؟
c في أي عام يتخطى عدد مستخدمي الهاتف المحمول الـ 9 مليارات؟
d أوجد x بدلالة y .
e كيف يمكن استخدام المعادلة في d للتحقق من الإجابات في b ، c ؟

مخطط تنظيمي للوحدة الرابعة(ص 165)

ملخص(ص 166)

صورة الدالة الأسية هي:y = abˣ
b > 1
الدالة تمثل نموًّا أسيًّا عامله b
0 < b < 1
الدالة تمثل تضاؤلًا أسيًّا عامله b
y = abᶜˣ
تتغير الرسوم البيانية للدالة الأسية بتغير قيم إحدى الثوابت التالية:a , b , c
y = bˣ ⟺ log_b y = x
اقرأ log_b y لوغاريتم y للأساس b
الأساس b في المقدار الأس bˣ هو نفسه الأساس في اللوغاريتم وفي كلتا الحالتينb ≠ 1 و b > 0
وكذلك الأس.
x في bˣ هو اللوغاريتم في المعادلةlog_b y = x
اللوغاريتمات المعتادة هي اللوغاريتمات للأساس 10 يمكن أن نكتبlog₁₀ y أو log y
الدوال اللوغاريتمية هي معكوسات الدوال الأسية.
خواص اللوغاريتمات — لأي أعداد حقيقية موجبةb , m , n ، b ≠ 1
خاصية الضربlog_b m n = log_b m + log_b n
خاصية القسمةlog_b (m/n) = log_b m − log_b n
خاصية القوىlog_b mᵏ = k log_b m , k ∈ ℝ
المعادلة الأسية هي على الشكلa = bᶜˣ
حيث الأس يتغير.
∀a , b ∈ ℝ⁺ , m ∈ ℝ⁺ − {1} , a = b ⟺ log_m a = log_m b
بحساب اللوغاريتمات بأي أساس يمكنك استخدام خاصيّة تغيير الأساس لأي أعداد حقيقية موجبة c , b , m حيثb ≠ 1 , c ≠ 1
log_b m = (log_c m)/(log_c b)
e ≈ 2.71828
e^(ln x) = x
ln eˣ = x
ln e = 1

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

2 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 2

المسألة · الكتاب ص 161
استخدم اللوغاريتم الطبيعي لحل 7e²ˣ + 2.5 = 13 .
المعطيات
1. المعادلة 7e²ˣ + 2.5 = 13من هنا
2. ln e = 1
1. 7e²ˣ = 10.5
  اطرح 2.5 من طرفي المعادلة
المعلم: لا تَأْخُذِ اللُّوغارِيتْمَ وَالمُعادَلَةُ فِيها حَدٌّ مُضافٌ. اِطْرَحْ أَوَّلًا اثْنَيْنِ فاصِلَ خَمْسَةٍ مِنَ الطَّرَفَيْنِ.
الخطوة 1 من 4

الملخص

الدالة y = eˣ لها معكوس هو y = log_e x ويسمى دالة اللوغاريتم الطبيعي ورمزه y = ln x .
بيانا y = eˣ و y = ln x كل منهما انعكاس للآخر في المستقيم y = x .
تطبق خواص اللوغاريتمات المعتادة على اللوغاريتم الطبيعي أيضًا: ln(mn) = ln m + ln n ، و ln(m/n) = ln m − ln n ، و ln mᵏ = k ln m .
علاقات أساسية: ln e = 1 ، و ln eᵏ = k ، و e^(ln k) = k .
لحل معادلة أسية أساسها e نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لطرفيها، فيختفي ln e لأنه يساوي واحدًا.
لحل معادلة لوغاريتمية طبيعية نعيد كتابتها في الصورة الأسية بالأساس e ، بعد إيجاد المجال.
الدالة y = Pe^(mx) تنمذج النمو المستمر، حيث P القيمة الابتدائية و m معدل التزايد السنوي و x عدد السنوات.
لعكس النموذج y = Pe^(mx) وإيجاد x بدلالة y نقسم على P ثم نأخذ اللوغاريتم الطبيعي ثم نقسم على m .

الأفكار الرئيسية

اللوغاريتم الطبيعي هو ببساطة لوغاريتم أساسه e ، فكل ما تعرفه عن اللوغاريتمات ينطبق عليه.
ln e = 1 هي السر الذي يجعل ln الأداة الأنسب لكل معادلة أساسها e .
في مسائل النمو نبني النموذج من نقطتين، ثم نستعمله للتنبؤ، ثم نعكسه للتحقق.

الأسئلة المهمة

ما اللوغاريتم الطبيعي؟ وما رمزه؟

الدالة y = eˣ لها معكوس هو y = log_e x ويسمى دالة اللوغاريتم الطبيعي ورمزه y = ln x ، وتقرأ y تساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ x .

الكتاب صفحة 159

هل تنطبق خواص اللوغاريتمات على اللوغاريتم الطبيعي؟ اكتب الخواص الثلاث بدلالة ln .

نعم، تطبق خواص اللوغاريتمات المعتادة على اللوغاريتم الطبيعي أيضًا: ln(mn) = ln m + ln n (خاصية الضرب)، و ln(m/n) = ln m − ln n (خاصية القسمة)، و ln mᵏ = k ln m (خاصية القوى).

الكتاب صفحة 159

لماذا نستخدم اللوغاريتم الطبيعي تحديدًا مع المعادلات التي أساسها e ؟

لأن ln e = 1 ، فعند أخذ اللوغاريتم الطبيعي لطرفي المعادلة وتطبيق خاصية القوى يختفي ln e ويبقى الأس وحده، فتصير المعادلة خطية بسيطة كما في مثالي (1) و(4).

الكتاب صفحة 160

كيف نحل معادلة لوغاريتمية طبيعية مثل ln(3x + 5) = 4 ؟

نوجد المجال أولًا: 3x + 5 > 0 ⟹ x > −5/3 ، ثم نعيد كتابة المعادلة في الصورة الأسية 3x + 5 = e⁴ ، ثم نطرح ونقسم فنحصل على x = (e⁴ − 5)/3 ≈ 16.53 .

الكتاب صفحة 161

اكتب الدالة التي تنمذج زيادة عدد مشتركي الإنترنت من 360 مليونًا سنة 2000 إلى 2 260 مليونًا سنة 2011.

نستخدم y = Pe^(mx) ونعوّض y بـ 2 260 و P بـ 360 و x بـ 11 ، فنحصل على 2 260 = 360 e^(11m) ، وبقسمة الطرفين على 360 ثم أخذ اللوغاريتم الطبيعي: m = (ln(2 260/360))/11 = 0.167 . فالدالة هي y = 360 e^(0.167x) ومعدل التزايد السنوي 16.7% .

الكتاب صفحة 163

كيف نوجد x بدلالة y في النموذج y = 360 e^(0.167x) ؟

نقسم طرفي المعادلة على 360 فنحصل على y/360 = e^(0.167x) ، ثم نطبق اللوغاريتم الطبيعي على الطرفين فينتج ln(y/360) = 0.167x ، ثم نقسم على 0.167 فيكون x = (ln(y/360))/0.167 .

الكتاب صفحة 164

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

استخدم اللوغاريتم الطبيعي لحل: e^(4(x+1)) = 32 .

صعب

حل المعادلة e^(2x/5) + 7.2 = 9.1 .

صعب

من مثال (2) أوجد سرعة صاروخ نسبة كتلته حوالى 15 وسرعة انطلاق البخار 1.2 km/s وزمن اشتعال المحرك 30 s ، وبيّن هل يمكن أن يبلغ مدارًا ثابتًا على بعد 300 km فوق سطح الأرض.

صعب

في نهاية العام 2000 وصل عدد مشتركي الهاتف المحمول حوالى 750 مليونًا وفي نهاية العام 2011 وصل إلى حوالى 5.6 مليارات. اكتب دالة على الشكل y = Pe^(mx) ثم أوجد في أي عام يتخطى العدد الـ 2 مليار.

صعب

مصطلحات الدرس

اللوغاريتم الطبيعي Natural Logarithm: اللوغاريتم الذي أساسه العدد e ، ورمزه ln ؛ فالدالة y = ln x هي معكوس الدالة y = eˣ .
العدد e: عدد غير نسبي يساوي تقريبًا 2.71828 ، ويُستخدم أساسًا للدوال الأسية التي تصف النمو أو التضاؤل المستمر.
دالة النمو المستمر y = Pe^(mx): الدالة التي تنمذج التزايد المستمر، حيث P القيمة الابتدائية و m معدل التزايد السنوي و x عدد السنوات.
خاصية القوى في اللوغاريتم الطبيعي: ln mᵏ = k ln m ، وهي التي تُنزل الأس معاملًا فتُبسّط المعادلات الأسية.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 14 تمرينًا.

دعنا نفكر ونتناقش — aاستخدم المفتاح ln على آلتك الحاسبة لإيجاد قيم: ln5 , ln3 , ln15 , ln5 + ln3 .(ص 159)

ln 5 ≈ 1.609 ، ln 3 ≈ 1.099 ، ln 15 ≈ 2.708 ، و ln 5 + ln 3 ≈ 1.609 + 1.099 = 2.708 . ونلاحظ أن ln 5 + ln 3 = ln 15 ، وهو تحقق لخاصية الضرب: ln(mn) = ln m + ln n ، فخواص اللوغاريتمات المعتادة تنطبق على اللوغاريتم الطبيعي أيضًا.

دعنا نفكر ونتناقش — bاستخدم المفتاح ln لإيجاد قيم: ln1 , ln e , ln e² . كيف تربط إجابتك بما سبق دراسته؟(ص 159)

ln 1 = 0 ، و ln e = 1 ، و ln e² = 2 . وهذه هي الملاحظات الثلاث التي درستها في خواص اللوغاريتمات مطبقة على الأساس e : log_b 1 = 0 ، و log_b b = 1 ، و log_b bᵐ = m .

تدريب — أكمل ما يليأكمل ما يلي حيث k , m , n ∈ ℝ⁺ :1) ln(mn) = ...2) ln(m/n) = ...3) ln mᵏ = ...4) ln e = ...5) ln eᵏ = ...6) e^(ln k) = ...(ص 159)

1) ln(mn) = ln m + ln n (خاصية الضرب).2) ln(m/n) = ln m − ln n (خاصية القسمة).3) ln mᵏ = k ln m (خاصية القوى).4) ln e = 1 .5) ln eᵏ = k .6) e^(ln k) = k .

حاول أن تحل (1)استخدم اللوغاريتم الطبيعي لحل: e^(4(x+1)) = 32 .(ص 160)

نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لطرفي المعادلة: ln e^(4(x+1)) = ln 32 . وبخاصية القوى وبما أن ln e = 1 : 4(x + 1) = ln 32 ≈ 3.4657 . ومنه x + 1 ≈ 0.8664 ، فيكون x ≈ −0.134 .

حاول أن تحل (2)من مثال (2) أوجد سرعة صاروخ، نسبة كتلته حوالى 15، وسرعة انطلاق البخار قدرها 1.2 km/s ، وزمن اشتعال المحرك 30 s . هل يمكن أن يبلغ هذا الصاروخ مدارًا ثابتًا على بعد 300 km فوق سطح الأرض؟(ص 161)

في هذه الحالة t = 30 s و c = 1.2 km/s و r ≈ 15 . نستخدم العلاقة v = −0.0098 t + c ln r : v = −0.0098(30) + 1.2 ln 15 ≈ −0.294 + 1.2(2.708) ≈ 2.96 km/s . وهذه السرعة أقل من 7.7 km/s التي تلزم لبلوغ المدار الثابت، لذلك لا يمكن لهذا الصاروخ أن يبلغ المدار الثابت.

حاول أن تحل (3) — aحل المعادلة: e^(2x/5) + 7.2 = 9.1 .(ص 161)

نطرح 7.2 من طرفي المعادلة: e^(2x/5) = 1.9 . ونأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين: (2x/5) ln e = ln 1.9 ، وبما أن ln e = 1 يكون 2x/5 = ln 1.9 ≈ 0.6419 . ومنه x = (5/2)(0.6419) ≈ 1.605 .

حاول أن تحل (3) — bحل المعادلة: 5 + ln((x + 2)/3) = 7 .(ص 161)

نوجد المجال: (x +2)/3 > 0 ⟹ x > −2 ، ∴ المجال = (−2 , ∞) . ثم نطرح 5 من الطرفين: ln((x +2)/3) = 2 . ونعيد الكتابة في الصورة الأسية: (x +2)/3 = e² ≈ 7.389 . ومنه x + 2 ≈ 22.167 فيكون x ≈ 20.167 ، وهو ضمن المجال.

حاول أن تحل (4) — aاستخدم اللوغاريتم الطبيعي لحل: e^(x+1) = 30 .(ص 162)

نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين: (x + 1) ln e = ln 30 ، وبما أن ln e = 1 يكون x + 1 = ln 30 ≈ 3.4012 . ومنه x ≈ 2.401 .

حاول أن تحل (4) — bاستخدم اللوغاريتم الطبيعي لحل: 2^(2x−3) + 4 = 7 .(ص 162)

نطرح 4 من طرفي المعادلة: 2^(2x−3) = 3 . ونأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين: (2x −3) ln 2 = ln 3 . ومنه 2x − 3 = (ln3)/(ln2) ≈ 1.0986/0.6931 ≈ 1.585 ، فيكون 2x ≈ 4.585 و x ≈ 2.292 .

مسألة إضافية — aاكتب دالة على الشكل y = Pe^(mx) تمثل القيمة المتوقعة لزيادة مستخدمي الهاتف المحمول ابتداءً من العام 2000، علمًا أن العدد كان 750 مليونًا سنة 2000 ووصل إلى 5.6 مليارات سنة 2011.(ص 164)

نعمل بالملايين: P = 750 و y = 5 600 عند x = 11 . فيكون 5 600 = 750 e^(11m) ، ومنه e^(11m) = 5 600/750 ≈ 7.4667 . وبتطبيق اللوغاريتم الطبيعي على الطرفين: 11m = ln 7.4667 ≈ 2.0104 ، فيكون m ≈ 0.183 . أي أن معدل التزايد السنوي حوالى 18.3% ، والدالة هي y = 750 e^(0.183x) .

مسألة إضافية — bفي أي عام يتخطى عدد مستخدمي الهاتف المحمول الـ 2 مليار؟(ص 164)

750 e^(0.183x) > 2 000 ، ومنه e^(0.183x) > 2.6667 ، وبتطبيق اللوغاريتم الطبيعي: 0.183x > ln 2.6667 ≈ 0.9808 ، فيكون x > 5.36 . أي نحتاج إلى أكثر من 5 سنوات، إذًا يتخطى العدد ملياري مستخدم في العام 2006 .

مسألة إضافية — cفي أي عام يتخطى عدد مستخدمي الهاتف المحمول الـ 9 مليارات؟(ص 164)

750 e^(0.183x) > 9 000 ، ومنه e^(0.183x) > 12 ، وبتطبيق اللوغاريتم الطبيعي: 0.183x > ln 12 ≈ 2.4849 ، فيكون x > 13.58 . أي نحتاج إلى أكثر من 13 سنة، إذًا يتخطى العدد تسعة مليارات مستخدم في العام 2014 .

مسألة إضافية — dأوجد x بدلالة y .(ص 164)

من y = 750 e^(0.183x) نقسم طرفي المعادلة على 750 : y/750 = e^(0.183x) . ثم نطبق اللوغاريتم الطبيعي على الطرفين: ln(y/750) = 0.183x . ثم نقسم على 0.183 : x = (ln(y/750))/0.183 .

مسألة إضافية — eكيف يمكن استخدام المعادلة في d للتحقق من الإجابات في b ، c ؟(ص 164)

نعوّض عدد y في المعادلة x = (ln(y/750))/0.183 لنتحقق من عدد السنوات المطلوبة. فعند y = 2 000 يكون x = (ln(2 000/750))/0.183 ≈ 5.36 ، أي نحتاج إلى أكثر من 5 سنوات إذًا في 2006 . وعند y = 9 000 يكون x = (ln(9 000/750))/0.183 ≈ 13.58 ، أي نحتاج إلى أكثر من 13 سنة إذًا في 2014 . وهي الإجابات نفسها التي وصلنا إليها في b و c .