الدرس 2الشغل والطاقة

الدرس 2–1: الشغل والطاقة(ص 24)

1. 1

   يعدّد أنواعًا مختلفة من الطاقة.

2. 2

   يعرّف الطاقة.

3. 3

   يعرّف الطاقة الحركية.

4. 4

   يستنتج العلاقة بين الشغل والطاقة الحركية.

5. 5

   يستخدم قانون الشغل والطاقة في حلّ مسائل.

6. 6

   يعرّف الطاقة الكامنة.

7. 7

   يعرّف طاقة الوضع.

8. 8

   يستنتج العلاقة بين الشغل الناتج عن الوزن وتغيّر طاقة الوضع.

9. 9

   يعرّف الطاقة الميكانيكية.

1. 1

   سعى الإنسان قديمًا إلى البحث عن مصادر طاقة ليستخدمها في أشكال متنوّعة من الشغل، فاستخدم طاقة الحيوانات للقيام بأنشطته الزراعية وللتنقّل. واستخدم طاقة النار في الطهو والإنارة، واستخدم طاقة المياه والرياح في تشغيل المطاحن. ومع تطوّر العلم وتقدّمه، اكتشف الإنسان أنواعًا جديدة من الطاقة، مثل الطاقة الكيميائية والطاقة الكهربائية والميكانيكية وغيرها فاستخدمها حتى توصّل في يومنا هذا إلى اكتشاف الطاقة النووية واستخدامها.

2. 2

   سنتناول في هذا الدرس الطاقة الميكانيكية على أنّها كمّية يمتلكها الجسم أو النظام، ولأنّها أكثر أنواع الطاقة ارتباطًا بالشغل. وسنتذكّر، كجزء من الطاقة الميكانيكية، الطاقة الحركية، التي درسناها في السنوات السابقة، لنفسّر نتيجة الشغل المبذول في حركة الجسم والتغيّر في طاقته.

3. 3

   وسنتعرّف أيضًا في سياق الدرس مفهوم الطاقة الكامنة كجزء آخر من الطاقة الميكانيكية وسنكتشف دورها في شغل الأجسام.

1. 1

   Definition of Energy

2. 2

   إذا أردت إنجاز شغل ما كإزاحة صندوق من مكان إلى آخر على سبيل المثال، فلا بدّ أن تمتلك طاقة للقيام بذلك. فأنت تعطي الصندوق في أثناء دفعك إيّاه جزءًا من طاقتك الكيميائية التي اكتسبتها من الطعام وحوّلتها إلى طاقة حركية، أي نقل الطاقة منك إلى الصندوق من أجل القيام بشغل.

3. 3

   ويتوقّف مقدار الشغل المنجز على مقدار الطاقة التي يصرفها الجسم، فالكرة المقذوفة بسرعة أفقية كبيرة على مستوى أفقي تستطيع أن تقطع مسافة أكبر قبل أن تتوقّف من كرة مماثلة لها قذفت بسرعة أقل قبل أن تتوقّف على نفس المستوى لأنّ الكرة الأولى تمتلك طاقة حركية أكبر.

4. 4

   وكذلك إذا أسقطت مطرقة على مسمار من مكان مرتفع، ينغرز المسمار أكثر أي تنجز شغلاً أكبر مقارنة بإسقاطها من مكان أقلّ ارتفاعًا، لأنّها تملك في الحالة الأولى طاقة أكبر.

5. 5

   ومن خلال هذه الأمثلة، نعرّف «الطاقة» Energy على أنّها المقدرة على إنجاز شغل. يعبّر عن الطاقة كما يعبّر عن الشغل، بحسب النظام الدولي للوحدات، بوحدة الجول (J).

1. 1

   Kinetic Energy

2. 2

   عندما نبذل قوّة كافية على جسم ما فإنّه يتحرّك ويكون قادرًا على أن ينجز شغلاً، هذا يعني أنّه يمتلك طاقة حركية. وكلّما تحرّك الجسم بسرعة أكبر عنى ذلك أنّه يمتلك طاقة حركية أكبر. نعرّف «الطاقة الحركية» Kinetic Energy على أنّها شغل ينجزه الجسم بسبب حركته. تتوقّف الطاقة الحركية لجسم ما أثناء حركته على مسار مستقيم على كتلة الجسم ومقدار سرعته الخطّية التي يتحرّك بها.

1. 1

   تُحسب الطاقة الحركية الخطّية للجسم النقطي باستخدام المعادلة التالية:

2. 2
   KE = (1/2)mv²
3. 3

   حيث تمثّل m كتلة الجسم المتحرّك ويعبّر عنها بوحدة kg وتمثّل v سرعة الجسم الخطّية ويعبّر عنها بوحدة m/s. أمّا الطاقة الحركية فتقاس بوحدة الجول (J).

1. 1

   إذا أردنا حساب الطاقة الحركية لنظام يتألّف من مجموعة كتل نقطية، نجمع الطاقة الحركية لكلّ كتلة نقطية في النظام كما في الشكل (18)، أي:

2. 2
   KE = (1/2)m₁v₁² + (1/2)m₂v₂² + ⋯ + (1/2)m_nv_n²

1. 1

   بما أنّ جميع الكتل النقطية للجسم الصلب المتحرّك على مسار خطّي، والتي تشكّل كتلته M، تتحرّك بالسرعة الخطّية نفسها (شكل 19)، تُمثّل الطاقة الحركية لهذا الجسم بالعلاقة الرياضية التالية:

2. 2
   KE = (1/2)Σmi v²
3. 3

   أي أنّ الطاقة الحركية للجسم الصلب المصمت تساوي:

4. 4
   KE = (1/2)M v²
5. 5

   ملاحظة: إذا كان النظام مؤلّفًا من أكثر من جسم مصمت فإنّ الطاقة الحركية للنظام تساوي مجموع الطاقات الحركية لكلّ الأجسام المصمتة المكوّنة له.

1. 1

   إذا دار الجسم الصلب حول محور كما في الشكل (20) فإنّ جميع نقاطه ستمتلك السرعة الدورانية نفسها، وستبلغ سرعة أيّ نقطة كتلتها m تبعد مسافة r عن مركز الدوران

2. 2
   v = r·ω.
3. 3

   وبتعويض مقدار السرعة في معادلة الطاقة الحركية:

4. 4
   KE = (1/2)Σm v² = (1/2)Σm × (r·ω)² = (1/2)ω² (Σm·r²)
5. 5

   ولكن الكمّية الفيزيائية (Σmr²) تمثّل القصور الذاتي الدوراني لنظام حول محور الدوران ويُرمز لها بـ I. بالتالي، نكتب معادلة الطاقة الحركية لجسم صلب يدور حول محور ثابت على الشكل التالي:

6. 6
   KE = (1/2)I ω²
7. 7

   ملاحظة: يختلف القصور الذاتي الدوراني لجسم ما باختلاف شكله ومحور دورانه وسنتناول ذلك تفصيليًا في دروس لاحقة. يحتوي الجدول (1) على مقدار القصور الذاتي الدوراني لبعض الأجسام لاستخدامها عند الحاجة في إيجاد الطاقة الحركية الدورانية لهذه الأجسام. سنرى القصور الذاتي الدوراني للجسم بالتفصيل في الدرس الثاني من الفصل الثالث.

1. 1

   الجسم	مقدار القصور الذاتي الدوراني
   كتلة نقطية m تبعد عن محور الدوران Δ مسافة r	I = mr²
   قرص مصمت كتلته m ونصف قطره r يدور حول محور عمودي يمرّ من مركزه	I = (1/2)mr²
   حلقة دائرية كتلتها m ونصف قطرها r تدور حول محور عمودي يمرّ من مركزها	I = mr²
   عصا منتظمة الشكل طولها L وكتلتها m تدور حول محور عمودي يمرّ من نقطة الوسط	I = (1/12)mL²

1. 1

   استخدم الجدول (1) لإيجاد الطاقة الحركية الدورانية لعصا كتلتها

2. 2
   m = (500)g
3. 3

   وطولها (50)cm تدور حول محور يمرّ في نقطة الوسط بسرعة دورانية تساوي (10)rad/s.

4. 4

   الإجابة: (0.52)J

1. 1

   Relation Between Kinetic Energy and Work

2. 2

   قرص كتلته m في الشكل (21) يتحرّك على طاولة هوائية نتيجة تأثير قوّة منتظمة F⃗.

3. 3

   بما أنّ القوّة F⃗ هي قوّة منتظمة فإنّ حركة القرص حركة منتظمة العجلة (بعجلة موجبة a) بحسب القانون الثاني لنيوتن للحركة، ما يعني أنّ تأثير القوّة F⃗ على القرص أدّت إلى تغيّر سرعته من سرعة ابتدائية v_i إلى سرعة نهائية v_f. وبما أنّ كتلة القرص تحرّكت على الطاولة مسافة Δx فإنّ الشغل الناتج عن محصّلة قوى منتظمة ΣF⃗ خلال هذه الإزاحة يساوي:

4. 4
   W = ΣF · Δx = m·a·Δx
5. 5

   وكما درسنا سابقًا في الحركة الخطّية منتظمة العجلة، يمكننا أن نستخدم العلاقة التالية:

6. 6
   vf² − vi² = 2a·Δx ⇒ a·Δx = (vf² − vi²)/2
7. 7

   وبالتعويض في المعادلة:

8. 8
   W = ΣF · Δx = m·a·Δx
9. 9

   نحصل على قانون الطاقة الحركية:

10. 10
    W = m(vf² − vi²)/2
11. 11
    W = (1/2)m·vf² − (1/2)m·vi²
12. 12
    W = ΔKE
13. 13

    قانون الطاقة الحركية

14. 14

    الشغل الناتج عن محصّلة القوّة الخارجية المؤثّرة في الجسم في فترة زمنية محدّدة يساوي التغيّر في طاقته الحركية في الفترة نفسها.

1. 1

   1. حلّل: أذكر المعلوم وغير المعلوم.

2. 2

   المعلوم: الارتفاع:

3. 3
   h = (50)cm
4. 4

   السرعة الابتدائية:

5. 5
   vi = (0)m/s
6. 6

   عجلة الجاذبية:

7. 7
   g = (10)m/s²
8. 8

   غير المعلوم: السرعة لحظة الاصطدام بالأرض:

9. 9
   vf =
10. 10

    ؟

11. 11

    2. أحسب غير المعلوم.

12. 12

    باستخدام قانون الطاقة الحركية الذي ينصّ على أنّ الشغل الناتج عن محصّلة القوى المؤثّرة في فترة زمنية محدّدة يساوي التغيّر في الطاقة الحركية في الفترة نفسها:

13. 13
    W = ΔKE
14. 14

    وبما أنّ القوّة الوحيدة المؤثّرة في الجسم أثناء سقوطه في غياب الاحتكاك هي وزنه، نكتب:

15. 15
    m·g·h = (1/2)m·vf² − (1/2)m·vi²
16. 16

    وبالتعويض عن المقادير المعلومة، نحصل على:

17. 17
    vf² = 2g·h ⇒ vf = √(0.5 × 10 × 2) = (3.162)m/s
18. 18

    3. قيّم: هل النتيجة مقبولة؟

19. 19

    مقدار السرعة لحظة الاصطدام مقبول عمليًا ويتناسب مع المعطيات في المسألة.

1. 1

   1. انزلق جسم من سكون من النقطة A على المستوى المائل الأملس، زاوية ميله 30° مع المستوى الأفقي، ليصل إلى النقطة B حيث

2. 2
   AB = (2)m.
3. 3

   أحسب سرعة الجسم عند النقطة B مستخدمًا قانون الطاقة الحركية، (علمًا أنّ

4. 4
   g = (10)m/s²).
5. 5

   الإجابة:

6. 6
   vB = (4.47)m/s
7. 7

   2. قُذف جسم كتلته (200)g من النقطة A رأسيًا إلى أعلى بسرعة ابتدائية

8. 8
   vA = (20)m/s
9. 9

   ليصل في غياب الاحتكاك إلى أقصى ارتفاع عند النقطة B.

10. 10

    (أ) أحسب الطاقة الحركية للجسم عند نقطة الانطلاق A.

11. 11

    (ب) أحسب الطاقة الحركية للجسم عند النقطة B.

12. 12

    (جـ) أحسب المسافة التي قطعها الجسم في غياب الاحتكاك.

13. 13

    الإجابات: (أ) (40)J

14. 14

    (ب) (0)J

15. 15

    (جـ) (20)m

1. 1

   Potential Energy

2. 2

   «الطاقة الكامنة» Potential Energy هي طاقة يختزنها الجسم وتسمح له بإنجاز شغل للتخلّص منها.

3. 3

   هناك طاقة كامنة داخل المركّبات الكيميائية وهي موجودة مثلاً في الفحم الحجري، وفي البطّاريات الكهربائية، وفي الغذاء الذي نتناوله وغيرها.

4. 4

   وتختزن الأجسام طاقة كامنة تثاقلية مرتبطة بموقعها بالنسبة إلى سطح مرجعي وطاقة كامنة مرنة تسمح للجسم المرن بالعودة إلى وضع مستقرّ بعد أن يتخلّص من طاقة أكسبته وضعًا جديدًا قد يكون انكماشًا أو استطالة.

1. 1

   Elastic Potential Energy

2. 2

   لنأخذ زنبركًا مثبّتًا من أحد طرفيه ونسحبه بإزاحة Δx من موضع سكونه (شكل 22). الشغل المبذول عليه نتيجة القوّة المتغيّرة، التي تتناسب طرديًا مع استطالته ودرسناها في الدرس السابق، تساوي:

3. 3
   W = (1/2)kΔx²
4. 4

   يختزن هذا الشغل المبذول في الزنبرك على شكل طاقة كامنة مرنة تجعل الزنبرك يعود إلى وضعه الأصلي عند إفلاته. بالتالي يمكننا استنتاج أنّ اختزان الطاقة المرنة في الأجسام يحدث عند شدّها أو ضغطها أو ليّها وهي تساوي الشغل الذي بُذل لتغيير وضعها من وضع مستقرّ إلى وضع الاستطالة أو الانكماش أو الليّ. يُحسب مقدار الطاقة الكامنة المرنة بالعلاقة التالية:

5. 5
   PEe = (1/2)kΔx²

1. 1
   PEe = (1/2)C Δθ²
2. 2

   حيث C تساوي ثابت مرونة الجسم المرن والذي يعتمد على طول الخيط وسماكته وعلى الخصائص الميكانيكية للجسم المرن، وتقاس بحسب النظام الدولي للوحدات بوحدة N·m/rad².

1. 1

   Gravitational Potential Energy

2. 2

   يكتسب جسم ما، إذا رُفع إلى ارتفاع (h) عن سطح الأرض، طاقة كامنة تثاقلية في موقعه الجديد، وبالتالي يستطيع بذل شغل إذا سُمح له بالسقوط. ولعلّ من أشهر الأمثلة على الطاقة الكامنة التثاقلية هي الشلّالات، فالمياه في أعلاها تملك طاقة كامنة تمكّنها من بذل شغل أثناء هبوطها.

1. 1
   +W = PE = F·h
2. 2

   حيث تعبّر F عن مقدار القوّة المؤثّرة في الجسم وتعادل وزنه، وتعبّر h عن ارتفاع الجسم عن سطح الأرض.

3. 3
   F⃗ = m·g⃗
4. 4
   ∴ PE = m·g·h
5. 5

   يُلاحظ عند حساب الطاقة الكامنة التثاقلية أنّها تُنسب إلى سطح الأرض، وبذلك تساوي طاقة الجسم الكامنة وهو على سطح الأرض

6. 6
   (h = 0)
7. 7

   صفرًا. ويُسمّى مستوى سطح الأرض في هذه الحالة «المستوى المرجعي» أي المستوى الذي نبدأ منه قياس الطاقة الكامنة، وتساوي الطاقة الكامنة عنده صفرًا لأيّ جسم.

8. 8

   ومن المعروف أنّ تحديد «المستوى المرجعي» اختياري بحت، فأثناء وجودنا في مختبر المدرسة يمكننا اعتبار المستوى المرجعي هو أرضية المختبر، ونبدأ منها حساب الطاقة الكامنة، على الرغم من أنّ المختبر قد يكون في الطبقة الثانية من مبنى المدرسة، وعليه فإنّ الطاقة الكامنة التثاقلية ترتبط بارتفاع الجسم عن المستوى المرجعي كما في الشكل (24).

9. 9

   نستنتج من الشكل (24) أنّ الطاقة الكامنة التثاقلية للحجر لا ترتبط بكيفية الوصول إلى ارتفاع معيّن، ولكن بالمسافة الرأسية بين هذا المكان والمستوى المرجعي.

1. 1

   1. حلّل: أذكر المعلوم وغير المعلوم.

2. 2

   المعلوم:

3. 3
   h₁ = (40)cm
4. 4

   أعلى المستوى المرجعي

5. 5
   h₂ = (50)cm
6. 6

   أسفل المستوى المرجعي

7. 7

   كتلة الكرة:

8. 8
   m = (0.1)kg
9. 9

   عجلة الجاذبية:

10. 10
    g = (10)N/kg
11. 11

    غير المعلوم: الطاقة الكامنة التثاقلية؟

12. 12

    2. أحسب غير المعلوم.

13. 13

    (أ) باستخدام معادلة حساب الطاقة الكامنة التثاقلية بالنسبة إلى مستوى أفقي وبالتعويض عن المقادير المعلومة في المعادلة، نحصل على:

14. 14
    PEg = m·g·h
15. 15

    حيث تساوي h المسافة العمودية بين موقع الكرة والمستوى المرجعي المارّ بالنقطة B.

16. 16
    PEg = +0.1 × 10 × 0.4 = (+0.4)J
17. 17

    مقدار الطاقة الكامنة موجب لأنّ الكرة أعلى المستوى المرجعي B.

18. 18

    (ب

19. 19
    ) h = (0)m
20. 20

    لأنّ الكرة موجودة على المستوى المرجعي B وبالتالي

21. 21
    PEg = (0)J.
22. 22

    (جـ) بما أنّ الكرة موجودة أسفل المستوى المرجعي B المارّ بالنقطة C وعلى بعد

23. 23
    h₂ = (50)cm
24. 24

    ، فإنّ طاقة الوضع تساوي:

25. 25
    PEg = −0.1 × 10 × 0.5 = (−0.5)J
26. 26

    مقدار الطاقة الكامنة سالب لأنّ الكرة أسفل المستوى المرجعي

27. 27

    3. قيّم: هل النتيجة مقبولة؟

28. 28

    الطاقة الكامنة التثاقلية قد تكون موجبة المقدار أو سالبة بحسب موضع الجسم بالنسبة إلى المستوى المرجعي.

1. 1

   Change in Gravitational Potential Energy

2. 2

   إنّ التغيّر في طاقة الوضع التثاقلية لجسم ΔPE_g هي نتيجة تغيّر موضع مركز ثقل الجسم رأسيًا بين نقطتين بالنسبة إلى المستوى المرجعي الأفقي، أي أنّ:

3. 3
   ΔPEg = PEf − PEi = mg(hf − hi) = mgΔh
4. 4

   فإذا تحرّك مركز كتلة الجسم رأسيًا إلى أعلى تكون

5. 5
   (hf − hi) > 0
6. 6

   وبالتالي تكون

7. 7
   ΔPEg > 0.
8. 8

   أمّا الشغل المبذول من وزن الجسم خلال الإزاحة نفسها يكون

9. 9
   W = −mgh
10. 10

    ، بينما إذا تحرّك مركز كتلة الجسم رأسيًا إلى أسفل تكون

11. 11
    (hf − hi) < 0
12. 12

    وبالتالي تكون

13. 13
    ΔPEg < 0.
14. 14

    أمّا الشغل المبذول من وزن الجسم خلال الإزاحة نفسها يكون

15. 15
    W = +mgh
16. 16

    وعليه يمكننا أن نلاحظ أنّ التغيّر في مقدار طاقة الوضع التثاقلية يساوي معكوس الشغل المبذول من وزن الجسم خلال الإزاحة العمودية

17. 17
    ΔPEg = −Ww.

1. 1

   1. حلّل: أذكر المعلوم وغير المعلوم.

2. 2

   المعلوم:

3. 3
   hi = (2)m
4. 4

   عن المستوى المرجعي

5. 5
   hf = (12)m
6. 6

   عن المستوى المرجعي

7. 7

   كتلة الجسم

8. 8
   m = (5)kg
9. 9

   عجلة الجاذبية

10. 10
    g = (10)N/kg
11. 11

    غير المعلوم: (أ) الشغل الناتج عن وزن الجسم؟

12. 12

    (ب) التغيّر في مقدار الطاقة الكامنة التثاقلية؟

13. 13

    (جـ) المقارنة بين الشغل والتغيّر في مقدار الطاقة الكامنة التثاقلية؟

1. 1

   Mechanical Energy

2. 2

   تمثّل الطاقة الميكانيكية لجسم أو نظام ما بالطاقة اللازمة لتغيير موضعه أو تعديله وهي تساوي مجموع طاقة الجسم الحركية وطاقته الكامنة.

3. 3

   تُمثّل الطاقة الميكانيكية بالعلاقة الرياضية التالية:

4. 4
   ME = KE + PE

1. 1

   أوّلًا – أذكر قانون الطاقة الحركية.

2. 2

   ثانيًا – أحسب الطاقة الحركية لسيّارة كتلتها (1500)kg تتحرّك على طريق أفقية بسرعة (72)km/h.

3. 3

   ثالثًا – أحسب الطاقة الكامنة التثاقلية لكرة صغيرة كتلتها (100)g موجودة على ارتفاع (80)cm عن سطح الأرض. استعمل عجلة الجاذبية الأرضية

4. 4
   g = (10)N/kg.
5. 5

   رابعًا – تفاحة كتلتها (150)g موجودة على غصن ارتفاعه (3)m عن سطح الأرض الذي يُعتبر السطح المرجعي للطاقة الكامنة التثاقلية.

6. 6

   (أ) أحسب الطاقة الحركية للتفاحة أثناء وجودها على الغصن.

7. 7

   (ب) أحسب الطاقة الكامنة التثاقلية للتفاحة وهي معلّقة على الغصن.

8. 8

   (جـ) استخدم قانون الطاقة الحركية لتجد سرعة التفاحة بعد سقوطها مسافة (2)m من موضعها في غياب الاحتكاك مع الهواء.

9. 9

   (د) أحسب الطاقة الميكانيكية للتفاحة عند وجودها على بُعد (2)m أسفل موضعها الابتدائي.

10. 10

    (هـ) أحسب مقدار الطاقة الحركية للتفاحة لحظة اصطدامها بالأرض في غياب الاحتكاك مع الهواء.

1. 1

   خامسًا – كتلة مقدارها(5)kg رُبطت بخيط عديم الكتلة يمرّ في تجويف بكرة كتلتها(2)kg، ونصف قطرها (25)cm، مثبّتة لتدور من دون احتكاك حول محور يمرّ بمركزها (شكل 27). في لحظة

2. 2
   t = 0
3. 3

   أُفلت الجسم من ارتفاع (1.5)m من سكون ليسقط باتّجاه سطح الأرض جاعلاً البكرة تدور بسرعة زاوية ω حول محورها. علمًا أنّ القصور الذاتي الدوراني للبكرة يساوي

4. 4
   I = (1/2)mr².
5. 5

   (أ) أكتب معادلة الطاقة الحركية للنظام المؤلّف من الكتلة والبكرة عند زمن t.

6. 6

   (ب) أكتب معادلة الشغل الناتج عن وزن الجسم الساقط.

7. 7

   (جـ) ما مقدار الشغل الناتج عن وزن البكرة حول المحور الحامل للنظام؟

8. 8

   (د) استخدم قانون الطاقة الحركية لحساب سرعة الجسم لحظة ارتطامه بالأرض.

9. 9

   سادسًا – إطار درّاجة قصوره الذاتي الدوراني

10. 10
    I = (20)kg·m²
11. 11

    يدور حول محور عمودي يمرّ في مركزه بسرعة زاوية مقدارها (20)rad/s تعرّض لقوّة احتكاك مماسية أدّت إلى انخفاض سرعته إلى سرعة زاوية مقدارها (10)rad/s.

12. 12

    (أ) أحسب الطاقة الحركية الدورانية الابتدائية لإطار الدرّاجة.

13. 13

    (ب) أحسب التغيّر في مقدار الطاقة الحركية الدورانية للإطار بعد تأثير قوّة الاحتكاك عليها.

14. 14

    (جـ) استخدم قانون الطاقة الحركية لحساب مقدار الشغل الناتج عن قوّة الاحتكاك المبذولة على الإطار.