الدرس 4حركة المقذوفات

المقذوف أو القذيفة هو كل جسم يُطلق في الهواء تحت تأثير قوة الجاذبية الأرضية ومقاومة الاحتكاك بالهواء، وهو يعتبر من الأمثلة الهامة على الحركة بتسارع.

الكتاب صفحة 102

مسار منحنٍ يرتفع حتى يصل إلى أقصى ارتفاع (h) ثم يعود إلى أسفل ويرتطم بالأرض بنفس سرعته الابتدائية عند نفس المستوى الذي أُطلق منه (مع إهمال مقاومة الهواء)، ويُسمى هذا المسار (القطع المكافئ).

الكتاب صفحة 103

على المحور الأفقي: لا تتأثر الحركة بقوة الجاذبية الأرضية، وبإهمال مقاومة الهواء تنعدم القوى المؤثرة، فتظل المُركبة الأفقية للسرعة (vₓ) ثابتة في المقدار والاتجاه وتقطع مسافات متساوية خلال أزمنة متساوية. وعلى المحور الرأسي: تتأثر المُركبة الرأسية (v_y) بقوة الجاذبية الأرضية (وزن القذيفة) فتتحرك بتسارع منتظم (9.8) m/s²، فيقل مقدارها بانتظام في الصعود حتى تصبح صفرًا عند أقصى ارتفاع، ثم يتزايد بانتظام في النزول حتى تصل إلى الهدف بنفس السرعة التي قُذِفت فيها.

الكتاب صفحة 104

لأن الحركة الأفقية للقذيفة لا تتأثر بقوة الجاذبية الأرضية، وبإهمال مقاومة الهواء تنعدم القوى المؤثرة عليها بالاتجاه الأفقي، ولذلك تقطع مسافات متساوية خلال أزمنة متساوية.

الكتاب صفحة 104

زمن الوصول لأقصى ارتفاع: t_h = v₀ sin θ / g. وزمن التحليق: T = 2 t_h. والمدى الأفقي: R = T × v₀ cos θ أو R = v₀² sin 2θ / g. وأقصى ارتفاع: h = (v₀ sin θ)² / 2g.

الكتاب صفحة 107

لأن القذف بزاوية يعطي السهم مُركبة رأسية للسرعة (v₀ sin θ) ترفعه لأعلى فيزداد زمن تحليقه في الهواء، وبما أن المدى الأفقي R = T × v₀ cos θ فإن زيادة زمن التحليق تزيد المدى الأفقي الذي يقطعه السهم، فيصل إلى أهداف أبعد.

الكتاب صفحة 102

أي زاويتين يُقذف بهما المقذوف بالسرعة نفسها ويكون مجموعهما (90°) لهما المدى الأفقي نفسه، مثل (30°) و(60°). وأكبر مدى يصل إليه المقذوف يكون عند الزاوية (45°).

الكتاب صفحة 108

يصل الجسمان إلى الأرض في نفس اللحظة؛ لأن الحركة الأفقية لا ترتبط بالحركة الرأسية ولا تؤثر عليها إطلاقًا، والجسمان يخضعان لنفس الجاذبية الأرضية ويسقطان من نفس الارتفاع وبدأ كلاهما السقوط بسرعة رأسية تساوي صفرًا، فيستغرقان نفس الزمن للوصول إلى الأرض. والسرعة الأفقية للجسم الساقط من الطائرة تجعله يندفع للأمام في مسار منحني لكنها لا تُسرّع ولا تبطئ زمن نزوله.

الكتاب صفحة 110

المقذوف أو القذيفة هو كل جسم يُطلق في الهواء تحت تأثير قوة الجاذبية الأرضية ومقاومة الاحتكاك بالهواء. ونستفيد من فيزياء المقذوفات في حياتنا في كثير من المواقف: في الملاعب حين يرسم لاعبو كرة القدم والسلة أقواسًا دقيقة في الهواء للوصول إلى الهدف، وفي انسياب خيوط الماء من النوافير العامة، وفي رمي الرمح والسهام، وفي المدفعية لتحديد زاوية القذف المناسبة للمدى المطلوب، وفي الجيولوجيا للتنبؤ بمناطق سقوط ما يقذفه البركان من حمم وصخور ورماد وتقييم المخاطر المحتملة.

للفيزياء دور أساسي في ذلك ولم يكن استعراضًا سينمائيًا. رفع القوس بزاوية يعطي السهم مُركبة رأسية للسرعة الابتدائية (v₀ sin θ) ترفعه لأعلى فيزداد زمن تحليقه في الهواء، وبما أن المدى الأفقي R = T × v₀ cos θ فإن زيادة زمن التحليق تزيد المدى الأفقي الذي يقطعه السهم فيصل إلى صفوف العدو البعيدة. أما الرمي الأفقي المباشر فلا يعطي السهم مُركبة رأسية صاعدة فيقصر زمن بقائه في الهواء ويقل مداه.

لعبة البولينج: يُرسم المسار خطًا مستقيمًا أفقيًا على المحور الأفقي (x) دون ارتفاع. ووصف الحركة: حركة في خط مستقيم أي في بُعد واحد، وسرعتها في اتجاه واحد ولا يرتفع الجسم عن الأرض. لعبة رمي الرمح: يُرسم المسار قوسًا منحنيًا يصعد حتى أقصى ارتفاع ثم يهبط إلى الأرض (قطع مكافئ). ووصف الحركة: حركة مقذوف في بُعدين (أفقي ورأسي)، فيها حركة أفقية منتظمة السرعة وحركة رأسية بتسارع الجاذبية الأرضية، وهما متزامنتان غير مترابطتين.

عندما تقف أمامهما: ترى مسارًا منحنيًا (قطع مكافئ) يصعد حتى أقصى ارتفاع ثم يهبط، لأنك ترى الحركة في بُعدين معًا: الأفقي والرأسي. وعندما تنظر إليهما رأسيًا من أعلى عمارة: ترى خطًا مستقيمًا أفقيًا فقط بين الولدين، لأنك ترى المُركبة الأفقية وحدها وهي منتظمة، ولا يظهر لك البُعد الرأسي من هذه الزاوية. ويستنتج من النشاط أن للمقذوف حركتين: أفقية ورأسية، غير مترابطتين ولكن متزامنتين.

الخطوة 1: ابدأ بكتابة ما تعرفه: السرعة الابتدائية v₀ = 75 m/s ، زاوية القذف θ = 50° ، تسارع الجاذبية الأرضية g = 9.8 m/s². الخطوة 2: اختر المعادلة المناسبة لك وابدأ بالحل. 1. زمن أقصى ارتفاع: t_h = v₀ sin θ / g = 75 sin 50 / 9.8 = 5.86 s 2. زمن التحليق: T = 2 × 5.86 = 11.72 s

المعطيات: v₀ = 0.1 m/s ، θ = 30° ، g = 9.8 m/s². زمن الوصول لأقصى ارتفاع: t_h = v₀ sin θ / g = 0.1 × sin 30 / 9.8 = 0.05 / 9.8 = 0.0051 s زمن التحليق: T = 2 t_h = 2 × 0.0051 = 0.0102 s

الخطوة 1: ابدأ بكتابة ما تعرفه: السرعة الابتدائية v₀ = 50 m/s ، زاوية القذف θ = 30° ، تسارع الجاذبية الأرضية g = 9.8 m/s² ، الزمن t = 2 s. الخطوة 2: اختر المعادلة المناسبة لك وابدأ بالحل. 1. المسافة الأفقية بعد مرور (2) s: Δx = v₀ cos θ × t = 50 cos 30 × 2 = 86.6 m 2. المدى الأفقي: R = v₀² sin(2θ) / g = 50² sin(2 × 30) / 9.8 = 220.92 m

عند θ = 60°: R = v₀² sin(2θ) / g = 50² × sin(2 × 60) / 9.8 = 2500 × sin 120 / 9.8 = 2500 × 0.866 / 9.8 = 220.92 m عند θ = 45°: R = 50² × sin(2 × 45) / 9.8 = 2500 × sin 90 / 9.8 = 2500 × 1 / 9.8 = 255.10 m الاستنتاج: مدى الزاوية (30°) والزاوية (60°) متساويان، وهذا ينطبق على أي زاويتين يُقذف بهما المقذوف ويكون مجموعهما (90°). كما أن المدى الأفقي للزاوية (45°) يكون أبعد مدى يصل إليه المقذوف.

الخطوة 1: ابدأ بكتابة ما تعرفه: السرعة الابتدائية v₀ = 10 m/s ، زاوية القذف θ = 60° ، تسارع الجاذبية الأرضية g = 9.8 m/s². الخطوة 2: اختر المعادلة المناسبة لك وابدأ بالحل. 1. v₀y = v₀ sin θ = 10 sin 60 = 8.66 m/s ، و v₀ₓ = v₀ cos θ = 10 cos 60 = 5 m/s 2. h = (v₀ sin θ)² / 2g = (10 sin 60)² / 2(9.8) = 75 / 19.6 = 3.83 m ملاحظة: الناتج المطبوع في الكتاب (4.12) m، والحساب الدقيق بالمعادلة نفسها يعطي 3.83 m.

المعطيات: θ = 55° ، g = 9.8 m/s² ، زمن الوصول لأقصى ارتفاع t_h = 3 s. من العلاقة t_h = v₀ sin θ / g نحصل على المُركبة الرأسية للسرعة الابتدائية: v₀ sin θ = g × t_h = 9.8 × 3 = 29.4 m/s ثم نعوض في علاقة أقصى ارتفاع: h = (v₀ sin θ)² / 2g = (29.4)² / 2(9.8) = 864.36 / 19.6 = 44.1 m

سيصل الجسمان إلى الأرض في نفس اللحظة. والسبب أن الحركة الأفقية لا ترتبط بالحركة الرأسية وبالتالي لا تؤثر إطلاقًا عليها؛ ففي الحركة الرأسية يخضع الجسمان لنفس الجاذبية الأرضية، وبما أنهما يسقطان من نفس الارتفاع وكلاهما بدأ السقوط بسرعة رأسية تساوي صفرًا، فإنهما سيستغرقان نفس الزمن للوصول إلى الأرض. والسرعة الأفقية للجسم الساقط من الطائرة تجعله يندفع للأمام في مسار منحني، لكنها لا تُسرّع ولا تبطئ من زمن نزوله للأسفل.

المعطيات: v₀ = 22.5 m/s ، θ = 53° ، g = 9.8 m/s². المُركبة الرأسية للسرعة الابتدائية: v₀ sin θ = 22.5 × sin 53 = 17.97 m/s h = (v₀ sin θ)² / 2g = (17.97)² / 2(9.8) = 322.9 / 19.6 = 16.47 m

زمن الوصول لأقصى ارتفاع: t_h = v₀ sin θ / g = 17.97 / 9.8 = 1.83 s زمن التحليق: T = 2 t_h = 2 × 1.83 = 3.67 s

R = v₀² sin(2θ) / g = (22.5)² × sin(2 × 53) / 9.8 = 506.25 × sin 106 / 9.8 = 506.25 × 0.961 / 9.8 = 49.66 m ويمكن التحقق من الناتج بالعلاقة الأخرى: R = T × v₀ cos θ = 3.67 × 22.5 × cos 53 = 49.66 m

(45°). لأن المدى الأفقي R = v₀² sin 2θ / g، وتبلغ sin 2θ أكبر قيمة لها وهي (1) عندما تكون 2θ = 90° أي θ = 45°، ولذلك يكون المدى الأفقي للزاوية (45°) أبعد مدى يصل إليه المقذوف.

(70°). لأن أي زاويتين يُقذف بهما المقذوف بالسرعة نفسها ويكون مجموعهما (90°) لهما المدى الأفقي نفسه، و 20° + 70° = 90°.

المقذوفات (المقذوف أو القذيفة).

أقصى ارتفاع (h).

المُركبة الأفقية: v₀ₓ = v₀ cos θ = 10 × cos 50 = 6.43 m/s المُركبة الرأسية: v₀y = v₀ sin θ = 10 × sin 50 = 7.66 m/s

عند أقصى ارتفاع تكون المُركبة الرأسية للسرعة: v_y = 0 (لأن المُركبة الرأسية تتناقص بانتظام في الصعود حتى تصبح صفرًا عند أقصى ارتفاع). أما المُركبة الأفقية فتبقى كما هي دون تغيّر: vₓ = v₀ₓ = 6.43 m/s (لأنها ثابتة في المقدار والاتجاه).

المدى الأفقي: R = v₀² sin(2θ) / g = 10² × sin(2 × 50) / 9.8 = 100 × sin 100 / 9.8 = 100 × 0.985 / 9.8 = 10.05 m أقصى ارتفاع: h = (v₀ sin θ)² / 2g = (10 sin 50)² / 2(9.8) = (7.66)² / 19.6 = 58.68 / 19.6 = 2.99 m

زمن أقصى ارتفاع: t_h = v₀ sin θ / g = 10 × sin 50 / 9.8 = 7.66 / 9.8 = 0.78 s زمن التحليق: T = 2 t_h = 2 × 0.78 = 1.56 s