الدرس 3ضرب المُتجهات

لأن ناتج الضرب الاتجاهي ( a⃗ × b⃗ ) يساوي في المقدار ناتج الضرب الاتجاهي ( b⃗ × a⃗ ) ، إلا أن اتجاه كلًا من المتجهين الناتجين متعاكس؛ فالمقدار متساوٍ والاتجاه مختلف، لذا لا تتحقق الخاصية الإبدالية.

الكتاب صفحة 97

لأن ناتج الضرب العددي كمية عددية ليس لها اتجاه، والمقداران متساويان في الحالتين؛ لذلك فإن ( a⃗ . b⃗ ) يساوي ( b⃗ . a⃗ ).

الكتاب صفحة 98

الضرب العددي: يسمى أيضًا الضرب النقطي، ورمزه (.) ، وناتجه كمية عددية، وعلاقته A⃗ . B⃗ = A B cos θ ، وله خاصية إبدالية. والضرب الاتجاهي: يسمى أيضًا الضرب التقاطعي، ورمزه (x) ، وناتجه كمية متجهة، وعلاقته A⃗ × B⃗ = A B sin θ ، وليس له خاصية إبدالية، ويُحدَّد اتجاه ناتجه بقاعدة اليد اليمنى.

الكتاب صفحة 96

1. افرد يدك اليمنى، مد أصابع اليد اليمنى على المتجه الأول. 2. اثنِ الأصابع باتجاه المتجه الثاني عبر الزاوية الأصغر. 3. اتجاه الإبهام يشير إلى اتجاه الناتج.

الكتاب صفحة 96

حاصل الضرب كمية متجهة؛ لأن ضرب المتجه في عدد يعطي متجهًا جديدًا مقداره يساوي حاصل ضرب القيمة المطلقة للعدد في مقدار المتجه الأصلي، ويبقى له اتجاه يتأثر بإشارة العدد.

الكتاب صفحة 95

يصبح مقدار المتجه الجديد مساويًا لحاصل ضرب القيمة المطلقة للعدد في مقدار المتجه الأصلي، ويكون اتجاه المتجه الناتج عكس اتجاه المتجه الأصلي؛ لأن الاتجاه يتأثر بإشارة العدد.

الكتاب صفحة 95

سُمّي الضرب العددي بالضرب النقطي لأن رمز عملية الضرب المستخدمة فيه هو النقطة (.) ، وسُمّي الضرب الاتجاهي بالضرب التقاطعي لأن رمز عملية الضرب المستخدمة فيه هو العلامة (x).

الكتاب صفحة 96

نعم تطبق عملية الضرب على الكميات المتجهة. فالكمية المتجهة يمكن ضربها بأي كمية سواء كانت عددية أو متجهة أخرى، بخلاف الجمع الذي لا يجوز فيه جمع كمية متجهة بكمية عددية. وضرب المتجهات نوعان عند الضرب في متجه آخر: الضرب الاتجاهي وناتجه كمية متجهة، والضرب العددي وناتجه كمية عددية.

القوة: كمية متجهة. التسارع: كمية متجهة. الكتلة: كمية عددية. لأن القوة والتسارع لا يكتمل وصفهما إلا بذكر الاتجاه مع المقدار، أما الكتلة فيكفي لوصفها المقدار فقط.

كمية متجهة. لأن ضرب المتجه في عدد يعطي متجهًا جديدًا مقداره يساوي حاصل ضرب القيمة المطلقة للعدد في مقدار المتجه الأصلي، ويبقى له اتجاه يتأثر بإشارة العدد. ومثال ذلك القانون الثاني لنيوتن F⃗ = m a⃗ حيث الكتلة عددية والتسارع متجه فتكون القوة متجهة.

من الصيغة الرياضية للقانون الثاني لنيوتن: F⃗ = m a⃗ ، ومنها a⃗ = F⃗ / m . فيكون مقدار التسارع a = 50 ÷ 10 = 5 m/s² . وبما أن الكتلة عدد موجب فإن اتجاه التسارع هو اتجاه القوة نفسه، أي a⃗ = (5 m/s² ، 30°).

يصبح متجه السرعة الجديد (2 v⃗) ؛ أي أن مقداره يساوي مثلي المقدار الأول لأننا ضربنا المتجه في العدد (2) ، ويبقى اتجاهه كما هو باتجاه الشرق لأن العدد موجب فلا يغيّر الاتجاه.

يصبح متجه السرعة الجديد (−2 v⃗) ؛ أي أن مقداره يساوي مثلي المقدار الأول لأن المقدار يساوي القيمة المطلقة للعدد مضروبة في مقدار المتجه الأصلي، أما الاتجاه فينعكس ليصير باتجاه الغرب أي معاكسًا للحركة، لأن إشارة العدد سالبة.

اتجاه الناتج من A⃗ × B⃗ : عمودي على مستوى الصفحة للداخل. واتجاه الناتج من B⃗ × A⃗ : عمودي على مستوى الصفحة للخارج. والسبب أننا في الحالة الأولى نمد أصابع اليد اليمنى على A⃗ ثم نثنيها نحو B⃗ عبر الزاوية الأصغر فيشير الإبهام إلى داخل الصفحة، وفي الحالة الثانية نبدأ من B⃗ نحو A⃗ فيشير الإبهام إلى خارجها.

لا، ليس للضرب الاتجاهي خاصية إبدالية. لأن ناتج ( A⃗ × B⃗ ) يساوي في المقدار ناتج ( B⃗ × A⃗ ) ، إلا أن اتجاه كلًا من المتجهين الناتجين متعاكس؛ فاختلاف الاتجاه يمنع تحقق الخاصية الإبدالية.

الخطوة 1: ابدأ بكتابة ما تعرفه: مقدار المتجه الأول a = 8 cm ، مقدار المتجه الثاني b = 6 cm ، الزاوية المحصورة θ = 30° . الخطوة 2: اختر المعادلة المناسبة وابدأ بالحل: a⃗ × b⃗ = c⃗ ، c = a b sinθ = 8 × 6 × sin30 ، c = 24 cm² . وباستخدام قاعدة اليد اليمنى يكون اتجاه المتجه ( c⃗ ) عمودي على مستوى الصفحة للخارج.

b⃗ × a⃗ = c⃗ ، c = b a sinθ = 6 × 8 × sin30 ، c = 24 cm² . وباستخدام قاعدة اليد اليمنى يكون اتجاه المتجه ( c⃗ ) عمودي على مستوى الصفحة للداخل. ويُلاحظ أن ناتج ( b⃗ × a⃗ ) يساوي في المقدار ناتج ( a⃗ × b⃗ ) إلا أن اتجاه كلًا من المتجهين الناتجين متعاكس، لذا لا يمكن اعتبار الضرب الاتجاهي إبداليًا.

الخطوة 1: ابدأ بكتابة ما تعرفه: القوة المؤثرة F = 35 N ، الزاوية المحصورة θ = 60° ، الإزاحة d = 20 m . الخطوة 2: اختر المعادلة المناسبة وابدأ بالحل: W = F⃗ . d⃗ = F d cosθ ، W = (35) . (20) . cos 60 ⟶ W = 350 J .

عند θ = 0° : A⃗ × B⃗ = 0 لأن sin0 = 0 ، و A⃗ . B⃗ = A B لأن cos0 = 1 . وعند θ = 90° : A⃗ × B⃗ = A B لأن sin90 = 1 ، و A⃗ . B⃗ = 0 لأن cos90 = 0 . وعند θ = 180° : A⃗ × B⃗ = 0 لأن sin180 = 0 ، و A⃗ . B⃗ = − A B لأن cos180 = −1 .

بما أن القوة عمودية على الباب فإن الزاوية المحصورة بين d⃗ و F⃗ تساوي θ = 90° . ومن العلاقة τ⃗ = d⃗ × F⃗ يكون مقدار العزم: τ = d F sinθ = 1.3 × 30 × sin90 = 1.3 × 30 × 1 = 39 N.m .

يبقى مقدار عزم القوة كما هو (39 N.m) ، وينعكس اتجاه متجه العزم إلى الاتجاه المعاكس فيدور الباب في الاتجاه المضاد. والسبب أن عكس اتجاه القوة يكافئ ضربها في عدد سالب، وعند ضرب متجه بعدد سالب يبقى المقدار مساويًا للقيمة المطلقة للعدد في مقدار المتجه الأصلي ويصبح الاتجاه عكس الاتجاه الأصلي.

الإجابة الصحيحة: 0° . الحل: من علاقة الضرب العددي A⃗ . B⃗ = A B cos θ نجد أن 12 = 3 × 4 × cos θ ، أي 12 = 12 cos θ ⟶ cos θ = 1 ⟶ θ = 0° .

الإجابة الصحيحة: 4√3 . الحل: من علاقة الضرب الاتجاهي A⃗ × B⃗ = A B sin θ نجد أن المقدار = 4 × 2 × sin60 = 8 × (√3/2) = 4√3 cm² .

θ = 45° . الحل: |A⃗ × B⃗| = A B sin θ و A⃗ . B⃗ = A B cos θ ، وبمساواتهما: A B sin θ = A B cos θ . وبالقسمة على A B نحصل على sin θ = cos θ ، أي tan θ = 1 ، ومنها θ = 45° .

المعطيات: a = 5 cm ، b = 7 cm ، θ = 45° . أ. a⃗ . b⃗ = a b cos θ = 5 × 7 × cos45 = 35 × 0.707 = 24.75 cm² تقريبًا. ب. a⃗ × b⃗ = a b sin θ = 5 × 7 × sin45 = 24.75 cm² تقريبًا، وباستخدام قاعدة اليد اليمنى يكون اتجاه المتجه الناتج عموديًا على مستوى الصفحة للداخل. ج. b⃗ × a⃗ = 24.75 cm² تقريبًا، وباستخدام قاعدة اليد اليمنى يكون اتجاه المتجه الناتج عموديًا على مستوى الصفحة للخارج؛ فالمقدار نفسه والاتجاه معاكس.