المنقذ — منصة المرحلة الثانوية

أهداف الدرس

أوضّح مفهوم المحصلة، وأميّز بين الجمع الاتجاهي للكميات المتجهة والجمع الجبري للأعداد.
أحسب مجموع متجهين أو أكثر جبريًا عندما يكون لهما الاتجاه نفسه أو يكونان متعاكسين.
أحسب مقدار محصلة متجهين متعامدين بنظرية فيثاغورث، وأحدّد اتجاهها بعلاقة الظل.
أُحدّد مركبتي المتجه الرأسية والأفقية باستعمال جيب الزاوية وجيب تمامها.
أُطبّق أمثلة حسابية على تحليل المتجهات وعلى إيجاد المحصلة بالتحليل.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 600:00

المقطع 1 من 7مقدمة: حركة الأجسام في اتجاهات متعددة2:01

مقاطع الدرس

0 من 7 مكتمل

مقدمة: حركة الأجسام في اتجاهات متعددة(ص 82)

حركة الأجسام في اتجاهات متعددة تُعدُّ من أكثر الظواهر تواجدًا في حياتنا، فهي التي تُحدّد كيف تنتقل الأجسام وتصل إلى وجهاتها. إنك تشاهد أثرها كل يوم؛ فعندما تبحر في قارب الكاياك في خط مستقيم بوجود تيارات مائية جانبية، فإن مسارك الحقيقي لن يكون كما توقعت في خط مستقيم.(ص 82)

من المهم دراسة كيفية جمع المتجهات وتحليلها، حيث ستكتشف أن الجمع الحقيقي للكميات المتجهة يخضع لقواعد هندسية لا جبرية، وأن تحليل المتجه إلى مركّبتيه هو المفتاح الذي يفتح أمامك باب فهم كل حركة معقدة في الطبيعة.(ص 82)

انتبهفكِّر!! هل يمكن جمع متجهين أو أكثر كما تجمع الأعداد؟(ص 82)

أولًا: كيف يمكن جمع الكميات المتجهة؟(ص 83)

يختلف التعامل الرياضي مع الكميات المتجهة عنه في الكميات العددية، فالناتج من عمليات الجمع والضرب في المتجهات تعتمد بشكل أساسي على الاتجاه (الزاوية) بين هذه الكميات، وليس فقط على قيمها المطلقة.(ص 83)

اكتشف بنفسك (1): صالح يرتدي قميصًا أزرق، ومحمد يرتدي قميصًا أحمر، وعيسى يرتدي قميصًا أخضر(ص 83)

تعتبر القوة كمية متجهة، لذا فإن القوة الكلية المؤثرة على العربة ليست ناتج الجمع الجبري لقيمها؛ حيث يساهم أحد الأصدقاء في زيادة القوة الكلية لدفعه بنفس الإتجاه، بينما يعمل الصديق الآخر على تقليلها لدفعه في اتجاه معاكس. لذلك يطبق طريقة جمع خاصة بالمتجهات تأخذ الاتجاه بالاعتبار.(ص 83)

يُطلق على جمع المتجهات مصطلح تركيب المتجهات، وهو عمليه الاستعاضة عن متجهين أو أكثر بمتجه واحد يقوم بنفس عملهم، وناتج جمع المتجهات يُسمى المُحصلة (R). ويُمثَّل رياضيًا جمع المتجهَين A و B كالتالي: R = A + B(ص 83)

انتبهلاحظ أن علامة (+) هنا تدل على الجمع الاتجاهي الذي يأخذ الاتجاه بالحسبان وليس مجرد عملية جبر عددي للمقدار، يكون ناتج الجمع الاتجاهي كمية متجهة تُحدَّد بمقدار واتجاه. لكن كيف يمكن حساب قيمة المحصلة (R)؟(ص 83)

ثانيًا: مُحصلة متجهين لهما الاتجاه نفسه أو متعاكسان(ص 84)

اكتشف بنفسك (2): القوتان 80N و 50N في الاتجاه نفسه(ص 84)

اكتشف بنفسك (2): القوتان 80N و 50N متعاكستان في الاتجاه(ص 84)

عندما تكون المتجهات في نفس الاتجاه: نستخدم الجبر البسيط بجمع مقدار المتجهين لحساب مقدار المحصلة (R) واتجاهها يكون بنفس اتجاههم. R = A + B(ص 84)

R = A + B : محصلة متجهين لهما الاتجاه نفسه(ص 84)

أما عندما تكون المتجهات متعاكسة في الاتجاه: نستخدم الجبر البسيط من خلال حساب الفرق بين مقداري المتجهين لحساب مقدار المحصلة (R) وتكون باتجاه المتجه الأكبر منهم. R = A − B(ص 84)

R = A − B : محصلة متجهين متعاكسين في الاتجاه(ص 84)

انتبهإذا تساوى مقدار متجهين وتعاكسا اتجاهًا تكون محصلتهما تساوي صفر.(ص 84)

انتبهلاحِــظ!! إذا تم شَد جسم ساكن بقوتين متساويتين ومتعاكستين، فإن الجسم لن يتأثر بالقوة ويبقى ساكنًا.(ص 84)

مثالمثـــــــال (1): تعطلت سيارة في أحد الطرق فتوقفت عن الحركة، نزل صاحبها وصديقه لدفعها إلى أقرب محطة، فكان صاحب السيارة يدفعها بقوة (300) نيوتن وصديقه يدفعها بقوة (200) نيوتن في نفس اتجاه الحركة، احسب: ١. مقدار محصلة قوة الرجلين. ٢. مقدار المحصلة إذا علمت أن قوى الاحتكاك في الطريق والمعاكسة لحركة دفعهما تساوي (150) نيوتن.(ص 85)

الخطوة 1: ابدأ بكتابة ما تعرفه ثم ما تريد معرفته.
قوة صاحب السيارة F1 = 300 N
قوة الصديق F2 = 200 N
قوة الاحتكاك f = 150 N
الخطوة 2: اختر المعادلة المناسبة لك وابدأ بالحل.
1. FR = F1 + F2 = 300 + 200 = 500N
2. FR2 = FR − f = 500 − 150 = 350N

اكتشف بنفسك (3): سرعة الكرة 50 km/h وسرعة الرياح 10 km/h في الحالتين(ص 85)

ثالثًا: مُحصلة متجهين متعامدين(ص 86)

الشكل الذي أمامك يوضح طفلًا يرمي طائرة ورقية، هل تتحرك الطائرة بشكل مستقيم؟ أم أن اتجاه الرياح سيؤثر عليها ويعطيها اتجاهًا جديدًا؟ في علم الفيزياء، نادرًا ما تتأثر الأجسام بقوة واحدة وفي اتجاه واحد، فعندما يقع جسم تحت تأثير كميتين متجهتين (مثل قوتين أو سرعتين) بينهما زاوية (90°)، فإن الجسم لا يتأثر بأي منهما بشكل منفرد، بل يستجيب لهما معًا في وقت واحد ويتحرك تبعًا لمحصلتهما.(ص 86)

بما أن المتجهين متعامدان، فهما يصنعان زاوية قائمة، يمكن أن تتدخل الرياضيات لتبسيط الفيزياء، لاحظ المثلث القائم الزاوية حيث يمثل المتجهان ضلعي القائمة، تمثل المحصلة وتر هذا المثلث. لذلك يمكن تطبيق نظرية فيثاغورث لحساب مقدار هذه المحصلة.(ص 86)

الجدول (٢): R = √(A² + B²) ، R: مقدار المحصلة، A و B: مقدار كل من المتجهين(ص 86)

لحساب اتجاه المحصلة نطبق هذه العلاقة: tan θ = B / A ومنها θ = tan⁻¹ (B / A) حيث θ الزاوية بين المحصلة والمحور الأفقي x ، و A و B مقدار كل من المتجهين.(ص 86)

الجدول (٣): tan θ = B/A ، θ = tan⁻¹ B/A ، θ: الزاوية بين المحصلة والمحور الافقي x ، A و B: مقدار كل من المتجهين(ص 86)

شكل مثال (2): F1 = 10 N ، F2 = 5 N ، R (المحصلة) ، θ(ص 87)

مثالمثـــــــال (2): قوتان متعامدتان مقدارهما F1 = (10)N و F2 = (5)N يؤثران على جسم موضوع على سطح طاولة كما بالشكل المقابل، احسب مقدار واتجاه المحصلة التي يتحرك بها الجسم.(ص 87)

الخطوة 1: ابدأ بكتابة ما تعرفه.
القوة الأفقية F1 = (10)N
القوة الرأسية F2 = (5)N
الخطوة 2: اختر المعادلة المناسبة لك وابدأ بالحل.
FR = √(F1² + F2²) = √(10² + 5²) = 11.18 N
θ = tan⁻¹ (F2 / F1) = tan⁻¹ (5 / 10) = 26.56°

اكتشف بنفسك (4): سرعة القارب (10) km/h عموديًا على تيار مائي سرعته (8) km/h(ص 87)

رابعًا: تحليل المتجهات(ص 88)

اكتشف بنفسك (5): زورق «منتصر» يسحب مركب الصيد بحبل يميل على الأفق بزاوية 30°(ص 88)

تحليل المتجهات هو عملية عكسية لجمع المتجهات، فهي تفكيك متجه واحد مائل بزاوية، إلى متجهين متعامدين على محور (x) ومحور (y) يسميان (مركبات المتجه) يقومان بنفس عمله تمامًا.(ص 88)

يمكن تحليل المتجه A الواقع في مستوى (x، y) ، كما في الشكِل (7)، إلى مركبتين متعامدتين، هما:
1. المركبة الأفقية Ax: تُمثّل مسقط المتجه A على المحور المجاور للزاوية: Ax = A cos(θ)
2. المركبة العمودية Ay: تُمثّل مسقط المتجه A على المحور المقابل للزاوية (البعيد عن الزاوية): Ay = A sin(θ)

انتبهلذلك يمكن تعريف تحليل المتجهات بأنه استبدال متجه ما بمتجهين متعامدين يقومان بنفس عمله.(ص 88)

اكتشف بنفسك (6): متجه القوة F = 40N المؤثرة على جسم(ص 89)

عمليتي جمع المتجهات وتحليلها هما عمليتان متعاكستان، حيث يمثل المتجه محصلة جمع المركبتين الناتجتين عن تحليله ويكون متحدًا معهما في نقطة البداية. أي أن A = Ax + Ay(ص 89)

انتبهقسِّم كل صعوبة تواجهها إلى أجزاء صغيرة بقدر ما يلزم لحلها. رينيه ديكارت(ص 89)

شكل مثال (3): v = 120 km/h بزاوية 35° مع سطح الارض (المحور الأفقي)(ص 90)

مثالمثـــــــال (3): أوجد مركبتي السرعة المتّجهة v لطائرة مروحية تتحرك بسرعة (120) km/h بزاوية مقدارها 35° مع سطح الأرض (المحور الأفقي) كــما في الشكل الموضح.(ص 90)

الخطوة 1: ابدأ بكتابة ما تعرفه ثم ما تريد معرفته.
السرعة المتجهة v = 120 km/h
زاوية ميل المتجه على المحور الأفقي θ = 35°
المركبة الأفقية للسرعة vx = ?
المركبة الرأسية للسرعة vy = ?
الخطوة 2: اختر المعادلة المناسبة لك وابدأ بالحل.
المركبة الأفقية للسرعة:
vx = v cosθ = 120 × cos(35) = 98.29 km/h
المركبة الرأسية للسرعة:
vy = v sinθ = 120 × sin(35) = 68.82 km/h

شكل مثال (4): A بزاوية 53° و B بزاوية 130°(ص 91)

مثالمثـــــــال (4): الرسم البياني يبين قوتين A = (4)N و B = (5)N ، أوجد مركبتيها.(ص 91)

الخطوة 1: ابدأ بكتابة ما تعرفه.
باعتبار محور الاسناد هو المحور x+
التمثيل الحسابي لمتجه القوة A = (4 N ، 53°)
التمثيل الحسابي لمتجهة القوة B = (5 N ، 130°)
الخطوة 2: اختر المعادلة المناسبة لك وابدأ بالحل.
Ax = A cos θ = 4 × cos(53) = 2.407 N
Bx = B cos θ = 5 × cos(130) = −3.213 N
الإشارة في الناتج تدل على اتجاه متجه المركبة بالنسبة لمحور الاسناد.
Ay = A sin θ = 4 × sin(53) = 3.195 N
By = B sin θ = 5 × sin(130) = 3.830 N

اتجاه مركبتي المتجه B واتجاه مركبتي المتجه A بالنسبة لمحور الاسناد(ص 91)

انتبهباعتبار محور الاسناد x− ، فإن المتجه B يميل عنه بزاوية 50° ، فتكون المركبتين كالتالي: Bx = 5 cos 50° = 3.213 N و By = 5 sin 50° = 3.830 N . لاحظ تساوي المركبة الأفقية للمتجه B في الحالتين مقدارًا واتجاهًا، كذلك متجه المركبة الرأسية.(ص 91)

تحقق مما تعلمت: مجموعة من القوى تؤثر على القارب الموضح بالشكل(ص 92)

إضاءة فيزيائية: إيجاد محصلة متجهين أو أكثر بالتحليل(ص 92)

إيجاد محصلة متجهين بالتحليل: Rx = Ax + Bx ، Ry = Ay + By(ص 92)

تعتبر عملية تحليل المتجهات عملية معاكسة لعملية الجمع، إلا أنه يمكن تطبيق عملية تحليل عدة متجهات بهدف جمعها! كيف يمكن ذلك؟ لحساب محصلة المتجهين (A) و (B) كما في الشكل المقابل، يمكن أولًا تحليل كل منهما إلى المركبتين الأفقية والرأسية، يتم جمع المركبتين الأفقيتين للمتجهين فيكون ناتج الجمع مساويًا لقيمة مركبة المحصلة الأفقية Rx = Ax + Bx ، وناتج جمع المركبتين الرأسيتين يمثل قيمة المركبة الرأسية للمحصلة Ry = Ay + By ، ومن ثم باستخدام قانون فيثاغورث يمكن حساب مقدار المحصلة: R = √(Rx² + Ry²)(ص 92)

أنــــــت الـــفـــيـــزيـــائـــي: تقويم الدرس(ص 93)

يختم الكتاب الدرس بسؤالين. السؤال الأول اختيار من متعدد بفرعين: الأول عن مقدار القوة المحصلة المؤثرة على صندوق تؤثر عليه قوتان مقدارهما (30) N و (45) N ، والثاني عن مقدار المركبة التي تتحرك بتأثيرها حقيبة يسحبها رجل بقوة (23) N بزاوية مع الأفق. والسؤال الثاني مسألة بفرعين عن إزاحة مركبتها الأفقية (450) m وزاوية ميلها 70° على المحور الأفقي. وستجد نصوصها وحلولها كاملة في قسم تمارين الكتاب.(ص 93)

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

8 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 8

المسألة · الكتاب ص 85
تعطلت سيارة في أحد الطرق فتوقفت عن الحركة، نزل صاحبها وصديقه لدفعها إلى أقرب محطة، فكان صاحب السيارة يدفعها بقوة (300) نيوتن وصديقه يدفعها بقوة (200) نيوتن في نفس اتجاه الحركة، احسب: 1. مقدار محصلة قوة الرجلين. 2. مقدار المحصلة إذا علمت أن قوى الاحتكاك في الطريق والمعاكسة لحركة دفعهما تساوي (150) نيوتن.
المعطيات
1. قوة صاحب السيارة F1 = 300 Nمن هنا
2. قوة الصديق F2 = 200 Nمن هنا
3. قوة الاحتكاك f = 150 Nمن هنا
4. القوتان F1 و F2 في نفس اتجاه الحركة، وقوة الاحتكاك معاكسة لها
1. F1 = 300 N ، F2 = 200 N ، f = 150 N
  الخطوة 1: ابدأ بكتابة ما تعرفه ثم ما تريد معرفته
المعلم: الخُطْوَةُ الأُولَى فِي طَرِيقَةِ الكِتابِ أَنْ نَبْدَأَ بِكِتابَةِ ما نَعْرِفُهُ ثُمَّ ما نُرِيدُ مَعْرِفَتَهُ. قُوَّةُ صاحِبِ السَّيّارَةِ ثَلاثُمِئَةِ نِيُوتِنَ، وَقُوَّةُ الصَّدِيقِ مِئَتا نِيُوتِنَ، وَقُوَّةُ الِاحْتِكاكِ مِئَةٌ وَخَمْسُونَ نِيُوتِنَ. وَرَتِّبِ المُعْطَياتِ دائِمًا قَبْلَ الحِسابِ حَتَّى لا تَخْتَلِطَ عَلَيْكَ القُوَى.
الخطوة 1 من 5

الملخص

جمع المتجهات يُسمى تركيب المتجهات، وهو الاستعاضة عن متجهين أو أكثر بمتجه واحد يقوم بنفس عملهم، وناتج الجمع يُسمى المُحصلة R، ويُكتب R = A + B.
علامة (+) في جمع المتجهات تدل على الجمع الاتجاهي الذي يأخذ الاتجاه بالحسبان، وناتجه كمية متجهة تُحدَّد بمقدار واتجاه.
متجهان في الاتجاه نفسه: R = A + B ، واتجاه المحصلة بنفس اتجاههما. ومتجهان متعاكسان: R = A − B ، واتجاه المحصلة باتجاه المتجه الأكبر.
إذا تساوى مقدار متجهين وتعاكسا اتجاهًا كانت محصلتهما تساوي صفرًا، ويبقى الجسم الساكن ساكنًا.
متجهان متعامدان: يمثلان ضلعي القائمة والمحصلة هي الوتر، فيكون R = √(A² + B²) ، واتجاهها θ = tan⁻¹ (B / A) مع المحور الأفقي.
تحليل المتجهات هو استبدال متجه ما بمتجهين متعامدين يقومان بنفس عمله، وهما مركبتا المتجه: Ax = A cos(θ) و Ay = A sin(θ).
المركبة الأفقية هي مسقط المتجه على المحور المجاور للزاوية، والمركبة العمودية هي مسقطه على المحور المقابل للزاوية (البعيد عنها).
الجمع والتحليل عمليتان متعاكستان: A = Ax + Ay. ولإيجاد محصلة عدة متجهات نحلّلها ثم نجمع المركبات الأفقية معًا والرأسية معًا ثم نطبق فيثاغورث.

الأفكار الرئيسية

الكميات المتجهة لا تُجمع جمعًا جبريًا بسيطًا، بل يعتمد ناتج جمعها على الزاوية بينها، ولذلك يُسمى الجمع فيها جمعًا اتجاهيًا وناتجه هو المحصلة.
كلمة «متعامدان» في المسألة هي مفتاح الحل: فيثاغورث لمقدار المحصلة، وعلاقة الظل العكسي لاتجاهها.
تحليل المتجه إلى مركبتين متعامدتين يفكّ أي حركة أو قوة مائلة إلى جزأين بسيطين، وهو العملية العكسية لجمع المتجهات.

الأسئلة المهمة

عرّف المُحصلة.

المُحصلة هي ناتج جمع المتجهات، أي المتجه الواحد الذي يقوم بنفس عمل متجهين أو أكثر، ويُرمز لها بالرمز R.

الكتاب صفحة 83

ما المقصود بتركيب المتجهات؟

تركيب المتجهات هو المصطلح الذي يُطلق على جمع المتجهات، وهو عملية الاستعاضة عن متجهين أو أكثر بمتجه واحد يقوم بنفس عملهم.

الكتاب صفحة 83

علّل: القوة الكلية المؤثرة على العربة ليست ناتج الجمع الجبري لقيم القوى المؤثرة عليها.

لأن القوة كمية متجهة، فيساهم الصديق الذي يدفع بنفس الاتجاه في زيادة القوة الكلية، بينما يعمل الصديق الذي يدفع في اتجاه معاكس على تقليلها؛ لذلك تُطبَّق طريقة جمع خاصة بالمتجهات تأخذ الاتجاه بالاعتبار.

الكتاب صفحة 83

كيف تحسب محصلة متجهين لهما الاتجاه نفسه؟ وكيف تحسبها إذا كانا متعاكسين؟

إذا كان لهما الاتجاه نفسه نستخدم الجبر البسيط بجمع مقدار المتجهين: R = A + B ، ويكون اتجاه المحصلة بنفس اتجاههما. وإذا كانا متعاكسين نحسب الفرق بين مقداريهما: R = A − B ، وتكون المحصلة باتجاه المتجه الأكبر منهما.

الكتاب صفحة 84

متى تكون محصلة متجهين تساوي صفرًا؟ وما أثر ذلك على جسم ساكن؟

تكون المحصلة صفرًا إذا تساوى مقدار المتجهين وتعاكسا اتجاهًا. وإذا تم شَد جسم ساكن بقوتين متساويتين ومتعاكستين فإن الجسم لن يتأثر بالقوة ويبقى ساكنًا.

الكتاب صفحة 84

اكتب العلاقة التي يُحسب بها مقدار محصلة متجهين متعامدين، والعلاقة التي يُحسب بها اتجاهها.

مقدار المحصلة: R = √(A² + B²) حيث R مقدار المحصلة و A و B مقدار كل من المتجهين. واتجاهها: tan θ = B / A ومنها θ = tan⁻¹ (B / A) حيث θ الزاوية بين المحصلة والمحور الأفقي x.

الكتاب صفحة 86

عرّف تحليل المتجهات، واذكر مركبتي المتجه والعلاقة الخاصة بكل منهما.

تحليل المتجهات هو استبدال متجه ما بمتجهين متعامدين يقومان بنفس عمله. ومركبتا المتجه هما: المركبة الأفقية Ax وتمثل مسقط المتجه على المحور المجاور للزاوية وتُحسب من Ax = A cos(θ) ، والمركبة العمودية Ay وتمثل مسقط المتجه على المحور المقابل للزاوية (البعيد عن الزاوية) وتُحسب من Ay = A sin(θ).

الكتاب صفحة 88

ما العلاقة بين عملية جمع المتجهات وعملية تحليل المتجهات؟

هما عمليتان متعاكستان، حيث يمثل المتجه محصلة جمع المركبتين الناتجتين عن تحليله ويكون متحدًا معهما في نقطة البداية، أي أن A = Ax + Ay.

الكتاب صفحة 89

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

في الشكل المقابل، صالح الذي يرتدي قميصًا أزرق، أراد أن يدفع عربةً ثقيلة، فقرر صديقاه أن يساعداه في دفعها، محمد يرتدي قميصًا أحمر وعيسى يرتدي قميصًا أخضر. أي من الصديقين سيستطيع المساعدة؟ وأيهما يعيق حركة العربة؟ علّل إجابتك.

متوسط

لاحظ الصورتين للاعب يركل الكرة في محاولة إصابة الهدف، هل تستطيع حساب مقدار واتجاه السرعة النهائية التي تصل بها الكرة إلى الهدف في كل من الحالتين؟

متوسط

قام زورق منتصر بربط حبل يميل على الأفق بزاوية 30° بمركب الصيد وجره بقوة شد ثابتة مقدارها (5000) N ، إلا أن قبطان مركب الصيد لاحظ من خلال أجهزة القياس على متنه أن القوة الفعلية التي تتسبب في حركة المركب للأمام هي (4330.12) N . لماذا كانت القوة التي حركت القارب أقل من قوة شد زورق منتصر؟

صعب

أثرت مجموعة من القوى على القارب الموضح بالشكل، احسب محصلة القوة المؤثرة على القارب مقدارًا واتجاهًا.

صعب

مصطلحات الدرس

المُحصلة (R): ناتج جمع المتجهات، وهي المتجه الواحد الذي يقوم بنفس عمل متجهين أو أكثر.
تركيب المتجهات: المصطلح الذي يُطلق على جمع المتجهات، وهو عمليه الاستعاضة عن متجهين أو أكثر بمتجه واحد يقوم بنفس عملهم.
الجمع الاتجاهي: جمع يأخذ الاتجاه بالحسبان وليس مجرد عملية جبر عددي للمقدار، وناتجه كمية متجهة تُحدَّد بمقدار واتجاه.
تحليل المتجهات: استبدال متجه ما بمتجهين متعامدين يقومان بنفس عمله.
مركبات المتجه: المتجهان المتعامدان على محور (x) ومحور (y) الناتجان من تفكيك متجه واحد مائل بزاوية، ويقومان بنفس عمله تمامًا.
المركبة الأفقية (Ax): تُمثّل مسقط المتجه على المحور المجاور للزاوية، وتُحسب من العلاقة Ax = A cos(θ).
المركبة العمودية (Ay): تُمثّل مسقط المتجه على المحور المقابل للزاوية (البعيد عن الزاوية)، وتُحسب من العلاقة Ay = A sin(θ).
محور الإسناد: المحور الذي تُقاس منه زاوية ميل المتجه، والإشارة في ناتج المركبة تدل على اتجاه متجه المركبة بالنسبة له.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 21 تمرينًا.

فكِّر !!هل يمكن جمع متجهين أو أكثر كما تجمع الأعداد؟(ص 82)

لا يمكن ذلك دائمًا. فالتعامل الرياضي مع الكميات المتجهة يختلف عنه في الكميات العددية؛ لأن ناتج الجمع في المتجهات يعتمد بشكل أساسي على الاتجاه (الزاوية) بين هذه الكميات وليس فقط على قيمها المطلقة. فإذا كان للمتجهين الاتجاه نفسه جمعناهما جبريًا R = A + B ، وإذا كانا متعاكسين طرحناهما R = A − B ، وإذا كانا متعامدين لجأنا إلى نظرية فيثاغورث R = √(A² + B²). لذلك يُسمى جمع المتجهات جمعًا اتجاهيًا لا جمعًا عدديًا.

اكتشف بنفسك (1)..في الشكل المقابل، صالح الذي يرتدي قميصًا أزرق، أراد أن يدفع عربةً ثقيلة، فقرر صديقاه أن يساعداه في دفعها، محمد يرتدي قميصًا أحمر وعيسى يرتدي قميصًا أخضر. أي من الصديقين سيستطيع المساعدة ؟ وأيهما يعيق حركة العربة؟(ص 83)

محمد صاحب القميص الأحمر هو الذي سيستطيع المساعدة؛ لأنه يدفع العربة في نفس اتجاه دفع صالح فيساهم في زيادة القوة الكلية المؤثرة عليها. أما عيسى صاحب القميص الأخضر فهو الذي يعيق حركة العربة؛ لأنه يدفعها في اتجاه معاكس فيعمل على تقليل القوة الكلية. وذلك لأن القوة كمية متجهة، فالقوة الكلية المؤثرة على العربة ليست ناتج الجمع الجبري لقيمها، بل تُطبَّق طريقة جمع خاصة بالمتجهات تأخذ الاتجاه بالاعتبار.

اكتشف بنفسك (2).. — الفرع الأولتعاون رجلان لتحريك صندوق خشبي، أثَّر الأول عليه بقوة مقدارها 50 نيوتن باتجاه الشرق، أما الآخر فأثَّر بقوة 80 نيوتن بنفس الاتجاه. ما هي القوة الكلية المؤثرة على الصندوق ؟(ص 84)

القوتان في الاتجاه نفسه، فنستخدم الجبر البسيط بجمع مقدار المتجهين لحساب مقدار المحصلة: R = A + B = 80 + 50 = 130 نيوتن، ويكون اتجاهها بنفس اتجاههما أي باتجاه الشرق.

اكتشف بنفسك (2).. — الفرع الثانيلو كان مقدار القوة كافي لتحريك الصندوق. بأي اتجاه سيتحرك ؟(ص 84)

سيتحرك الصندوق باتجاه الشرق، أي بنفس اتجاه القوتين؛ لأن المتجهين لهما الاتجاه نفسه فتكون محصلتهما باتجاههما نفسه.

اكتشف بنفسك (2).. — الفرع الثالثماذا لو أثَّر الرجل الثاني بنفس القوة لكن باتجاه الغرب، ماذا سيكون تأثير القوتين على الصندوق ؟(ص 84)

تصبح القوتان متعاكستين في الاتجاه، فنستخدم الجبر البسيط من خلال حساب الفرق بين مقداريهما: R = A − B = 80 − 50 = 30 نيوتن، وتكون المحصلة باتجاه المتجه الأكبر منهما أي باتجاه الغرب (اتجاه القوة 80 نيوتن). فيتحرك الصندوق نحو الغرب بقوة محصلة مقدارها 30 نيوتن فقط.

اكتشف بنفسك (2).. — الفرع الرابعفي أي حالة سيكون من الأسهل تحريك الصندوق ؟(ص 84)

في الحالة الأولى التي تكون فيها القوتان في الاتجاه نفسه؛ لأن المحصلة فيها 130 نيوتن وهي أكبر بكثير من محصلة الحالة الثانية التي تساوي 30 نيوتن فقط. فكلما اتفق اتجاه القوى زادت المحصلة وسهُل تحريك الجسم.

مثـــــــال (1)تعطلت سيارة في أحد الطرق فتوقفت عن الحركة، نزل صاحبها وصديقه لدفعها إلى أقرب محطة، فكان صاحب السيارة يدفعها بقوة (300) نيوتن وصديقه يدفعها بقوة (200) نيوتن في نفس اتجاه الحركة، احسب: ١. مقدار محصلة قوة الرجلين. ٢. مقدار المحصلة إذا علمت أن قوى الاحتكاك في الطريق والمعاكسة لحركة دفعهما تساوي (150) نيوتن.(ص 85)

الخطوة 1: ابدأ بكتابة ما تعرفه ثم ما تريد معرفته: قوة صاحب السيارة F1 = 300 N ، قوة الصديق F2 = 200 N ، قوة الاحتكاك f = 150 N. الخطوة 2: اختر المعادلة المناسبة لك وابدأ بالحل: 1. القوتان في الاتجاه نفسه فنجمعهما: FR = F1 + F2 = 300 + 200 = 500N. 2. قوة الاحتكاك معاكسة لحركة الدفع فنطرحها: FR2 = FR − f = 500 − 150 = 350N باتجاه الحركة.

اكتشف بنفسك (3)..لاحظ الصورتين للاعب يركل الكرة في محاولة إصابة الهدف، هل تستطيع حساب مقدار واتجاه السرعة النهائية التي تصل بها الكرة إلى الهدف في كل من الحالتين؟(ص 85)

نعم. في الحالة الأولى تكون سرعة الرياح (10) km/h في نفس اتجاه سرعة الكرة (50) km/h ، فالمتجهان في الاتجاه نفسه فنجمعهما: R = A + B = 50 + 10 = 60 km/h ، واتجاهها بنفس اتجاههما أي نحو الهدف. وفي الحالة الثانية تكون سرعة الرياح (10) km/h معاكسة لسرعة الكرة (50) km/h ، فالمتجهان متعاكسان فنحسب الفرق بينهما: R = A − B = 50 − 10 = 40 km/h ، وتكون باتجاه المتجه الأكبر أي باتجاه حركة الكرة نحو الهدف.

مثـــــــال (2)قوتان متعامدتان مقدارهما F1 = (10)N و F2 = (5)N يؤثران على جسم موضوع على سطح طاولة كما بالشكل المقابل ، احسب مقدار واتجاه المحصلة التي يتحرك بها الجسم .(ص 87)

الخطوة 1: ابدأ بكتابة ما تعرفه: القوة الأفقية F1 = (10)N ، القوة الرأسية F2 = (5)N. الخطوة 2: اختر المعادلة المناسبة لك وابدأ بالحل: بما أن القوتين متعامدتان نطبق نظرية فيثاغورث: FR = √(F1² + F2²) = √(10² + 5²) = √125 = 11.18 N. ثم نحسب الاتجاه: θ = tan⁻¹ (F2 / F1) = tan⁻¹ (5 / 10) = 26.56° مع المحور الأفقي.

اكتشف بنفسك (4)..في الشكل المقابل يتحرك قارب بسرعة (10) km/h عموديًا على تيار مائي سرعته (8) km/h ، احسب السرعة التي سيتحرك بها القارب بالنسبة لليابسة وحدد اتجاهها .(ص 87)

السرعتان متعامدتان، فنطبق نظرية فيثاغورث لحساب مقدار المحصلة: R = √(A² + B²) = √(8² + 10²) = √164 = 12.80 km/h. ولحساب الاتجاه نطبق: θ = tan⁻¹ (B / A) = tan⁻¹ (10 / 8) = 51.34°. أي أن القارب سيتحرك بالنسبة لليابسة بسرعة مقدارها 12.80 km/h في اتجاه يميل بزاوية 51.34° على المحور الأفقي (اتجاه تيار الماء)، فينحرف عن مساره الرأسي بفعل التيار.

اكتشف بنفسك (5)..قام زورق منتصر بربط حبل يميل على الأفق بزاوية 30° بمركب الصيد وجره بقوة شد ثابتة مقدارها (5000) N ، إلا أن قبطان مركب الصيد لاحظ من خلال أجهزة القياس على متنه أن القوة الفعلية التي تتسبب في حركة المركب للأمام هي (4330.12) N . لماذا كانت القوة التي حركت القارب أقل من قوة شد زورق منتصر؟(ص 88)

لأن قوة الشد كمية متجهة مائلة بزاوية 30° على الأفق، فتتحلل إلى مركبتين متعامدتين تقومان بنفس عملها: مركبة أفقية Fx = F cos(θ) = 5000 × cos(30) = 4330.12 N وهي وحدها التي تتسبب في حركة المركب للأمام، ومركبة رأسية Fy = F sin(θ) = 5000 × sin(30) = 2500 N تعمل على رفع مقدمة المركب إلى أعلى ولا تسهم في دفعه للأمام. ولذلك جاءت القوة المحركة أقل من قوة الشد الكلية، ولو كان الحبل أفقيًا تمامًا لتساوت القوتان.

اكتشف بنفسك (6).. — الفرع الأولفيما يلي متجه القوة المؤثرة على جسم، أَوجد مركبتي القوة الأفقية والرأسية وحدد اتجاهها على الرسم. (المركبة الأفقية / المركبة الرأسية)(ص 89)

من الرسم: مقدار القوة F = 40N ، وتميل بزاوية 60° على الجهة السالبة من المحور الأفقي (محور الإسناد)، والمتجه متجه نحو أسفل اليسار. المركبة الأفقية: Fx = F cos(θ) = 40 × cos(60) = 40 × 0.5 = 20 N في اتجاه المحور x− (نحو اليسار). المركبة الرأسية: Fy = F sin(θ) = 40 × sin(60) = 40 × 0.866 = 34.64 N في اتجاه المحور y− (نحو الأسفل). وتُرسم المركبة الأفقية على المحور الأفقي جهة اليسار، والمركبة الرأسية على المحور الرأسي جهة الأسفل.

اكتشف بنفسك (6).. — الفرع الثانيالمركبتين الأفقية و الرأسية متجهان متعامدان، أوجد حاصل جمعهما.(ص 89)

المركبتان متعامدتان فنطبق نظرية فيثاغورث: R = √(Fx² + Fy²) = √(20² + 34.64²) = √1600 = 40 N. ولحساب الاتجاه: θ = tan⁻¹ (Fy / Fx) = tan⁻¹ (34.64 / 20) = tan⁻¹ (1.732) = 60°. أي أن حاصل جمع المركبتين متجه مقداره 40 N ويميل بزاوية 60° على المحور الأفقي، وهو المتجه الأصلي F نفسه.

اكتشف بنفسك (6).. — ماذا تلاحظ؟ماذا تلاحظ؟(ص 89)

ألاحظ أن حاصل جمع المركبتين يساوي المتجه الأصلي نفسه مقدارًا واتجاهًا. وهذا يؤكد أن عمليتي جمع المتجهات وتحليلها عمليتان متعاكستان؛ حيث يمثل المتجه محصلة جمع المركبتين الناتجتين عن تحليله ويكون متحدًا معهما في نقطة البداية، أي أن A = Ax + Ay.

مثـــــــال (3)أوجد مركبتي السرعة المتّجهة v لطائرة مروحية تتحرك بسرعة (120) km/h بزاوية مقدارها 35° مع سطح الأرض (المحور الأفقي) كــما في الشكل الموضح.(ص 90)

الخطوة 1: ابدأ بكتابة ما تعرفه ثم ما تريد معرفته: السرعة المتجهة v = 120 km/h ، زاوية ميل المتجه على المحور الأفقي θ = 35° ، المركبة الأفقية للسرعة vx = ? ، المركبة الرأسية للسرعة vy = ?. الخطوة 2: اختر المعادلة المناسبة لك وابدأ بالحل: المركبة الأفقية للسرعة: vx = v cosθ = 120 × cos(35) = 98.29 km/h. المركبة الرأسية للسرعة: vy = v sinθ = 120 × sin(35) = 68.82 km/h.

مثـــــــال (4)الرسم البياني يبين قوتين A = (4)N و B = (5)N ، أوجد مركبتيها.(ص 91)

الخطوة 1: ابدأ بكتابة ما تعرفه، باعتبار محور الاسناد هو المحور x+ : التمثيل الحسابي لمتجه القوة A = (4 N ، 53°) ، والتمثيل الحسابي لمتجهة القوة B = (5 N ، 130°). الخطوة 2: اختر المعادلة المناسبة لك وابدأ بالحل: Ax = A cos θ = 4 × cos(53) = 2.407 N ، و Bx = B cos θ = 5 × cos(130) = −3.213 N (الإشارة في الناتج تدل على اتجاه متجه المركبة بالنسبة لمحور الاسناد). و Ay = A sin θ = 4 × sin(53) = 3.195 N ، و By = B sin θ = 5 × sin(130) = 3.830 N. وباعتبار محور الاسناد x− فإن المتجه B يميل عنه بزاوية 50° ، فتكون المركبتين: Bx = 5 cos 50° = 3.213 N و By = 5 sin 50° = 3.830 N ؛ لاحظ تساوي المركبة الأفقية للمتجه B في الحالتين مقدارًا واتجاهًا، كذلك متجه المركبة الرأسية.

تحقق مما تعلمت ..أثرت مجموعة من القوى على القارب الموضح بالشكل، احسب محصلة القوة المؤثرة على القارب مقدارًا واتجاهاً.(ص 92)

أولًا نجمع القوتين الأفقيتين وهما متعاكستان فنطرحهما: Rx = 700 − 300 = 400N باتجاه المتجه الأكبر أي جهة اليسار. وثانيًا المركبة الرأسية: Ry = 100N نحو الأسفل. والمركبتان متعامدتان فنطبق نظرية فيثاغورث: R = √(Rx² + Ry²) = √(400² + 100²) = √170000 = 412.31 N. ولحساب الاتجاه: θ = tan⁻¹ (Ry / Rx) = tan⁻¹ (100 / 400) = 14.03°. أي أن محصلة القوة المؤثرة على القارب مقدارها 412.31 N في اتجاه يميل بزاوية 14.03° أسفل اتجاه القوة (700N).

أنــــــت الفيزيائي — السؤال الأول / 1ضع علامة (✓) في المربع الواقع أمام أنسب إجابة: الشكل التالي يمثل قوتين تؤثران على صندوق، فإذا كان مقدار القوة الأولى (30) N ومقدار القوة الثانية (45) N ، فإن مقدار القوة المحصلة المؤثرة على الصندوق بوحدة النيوتن تساوي: (54.08 / 15 / 23 / 64.5)(ص 93)

الإجابة الصحيحة: 54.08. القوتان متعامدتان فنطبق نظرية فيثاغورث: R = √(A² + B²) = √(30² + 45²) = √(900 + 2025) = √2925 = 54.08 N. أما 15 فهي الفرق بين القوتين ولا تصح إلا لو كانتا متعاكستين، وباقي الخيارات مشتتات.

أنــــــت الفيزيائي — السؤال الأول / 2ضع علامة (✓) في المربع الواقع أمام أنسب إجابة: الشكل المقابل رجل يسحب حقيبة بقوة باتجاه يصنع زاوية مع الأفق، فإن مقدار المركبة التي تتحرك بتأثيرها الحقيبة بوحدة النيوتن تساوي: (17 / 11.5 / 23 / 19.91)(ص 93)

الإجابة الصحيحة: 11.5. المركبة التي تتحرك بتأثيرها الحقيبة هي المركبة الأفقية، ومن الشكل F = 23N والزاوية مع الأفق 60° ، فنطبق: Fx = F cos(θ) = 23 × cos(60) = 23 × 0.5 = 11.5 N. أما 19.91 فهي المركبة الرأسية Fy = 23 × sin(60) وهي ترفع الحقيبة ولا تحركها أفقيًا، و 23 هي القوة الكلية نفسها.

أنــــــت الفيزيائي — السؤال الثاني / أحل المسائل التالية: إذا كانت المركبة الأفقية لإزاحة جسم تساوي (450)m . احسب: أ. مقدار هذه الإزاحة (A).(ص 93)