الدرس 2معادلات الحركة المتسارعة بانتظام في خط مستقيم

هي صيغ رياضية تمكننا من دراسة وحساب الكميات الفيزيائية الخاصة بالحركة عندما يتحرك الجسم بتسارع ثابت (منتظم) في خط مستقيم وفي اتجاه واحد، وهي تربط بين خمس كميات فيزيائية للحركة.

الكتاب صفحة 49

الإزاحة Δx، والسرعة الابتدائية v₀، والسرعة النهائية v، والتسارع a، والزمن t.

الكتاب صفحة 49

الأولى v = v₀ + at وتُستخدم عندما لا تملك معلومة عن الإزاحة (Δx) ولا تحتاج إلى حسابها. والثانية Δx = v₀t + ½ at² وتُستخدم عندما لا تملك معلومة عن السرعة النهائية (v) ولا تحتاج إلى حسابها. والثالثة v² = v₀² + 2a(Δx) وتُستخدم عندما لا تملك معلومة عن الزمن (t) ولا تحتاج حسابه.

الكتاب صفحة 50

ميل الخط البياني للعلاقة بين (السرعة – الزمن) يساوي التسارع a. وميل الخط البياني للعلاقة بين (الإزاحة – مربع الزمن) عند البدء من السكون يساوي نصف التسارع ½ a. وميل الخط البياني للعلاقة بين (مربع السرعة – الإزاحة) يساوي ضعف التسارع 2a.

الكتاب صفحة 55

الإزاحة = المساحة تحت منحنى (السرعة – الزمن). نقسم المساحة إلى مستطيل ومثلث: مساحة المثلث = ½ t (v − v₀) = ½ t (at) = ½ at²، ومساحة المستطيل = v₀ t. وبجمع المساحتين نحصل على Δx = v₀t + ½ at².

الكتاب صفحة 54

لأن الإزاحة (Δx) اللازمة لتوقف السيارة تتناسب طرديًا مع مربع السرعة (v²)، فأي زيادة بسيطة في السرعة تؤدي إلى زيادة كبيرة في مسافة التوقف.

الكتاب صفحة 55

لأن الكتاب افترض أن سرعة النبضة العصبية ثابتة وتساوي (100) m/s، والسرعة الثابتة لا يتغير متجهها خلال وحدة الزمن، فيكون التسارع a = 0 m/s².

الكتاب صفحة 51

أثبت في عام 1905 أن قوانين الحركة التي ندرسها تصبح غير دقيقة عند السرعات العالية جدًا، وأن سرعة الضوء هي السرعة القصوى في الكون ولا يمكن لأي جسم ذي كتلة أن يصل إليها أو يتجاوزها.

الكتاب صفحة 61

يتنبأ الفيزيائيون بنواتج الحركة باستخدام معادلات الحركة المتسارعة بانتظام في خط مستقيم؛ فإذا تحرك الجسم بتسارع منتظم (ثابت) في خط مستقيم قدّمت لنا هذه المعادلات قوانين رياضية دقيقة تربط الإزاحة والسرعة الابتدائية والسرعة النهائية والتسارع والزمن، فنحسب أي كمية مجهولة من الكميات المعلومة. ولذلك يستخدمها المهندسون وخبراء الأرصاد وشرطة المرور لوصف الحركة بدقة متناهية.

نعم. طول آثار الإطارات (50) m يمثل الإزاحة Δx، والسرعة النهائية v = 0 لأن السيارة توقفت، ومقدار التباطؤ a معلوم من قوة المكابح. وبما أن الزمن مجهول ولا نحتاجه، نستخدم المعادلة الثالثة v² = v₀² + 2a(Δx) ونحل لإيجاد السرعة الابتدائية v₀، ثم نقارنها بالسرعة القانونية (80) km/h للتأكد من صحة ادعاء السائق.

المعادلة الثالثة v² = v₀² + 2a(Δx)؛ لأن المعطيات المتاحة هي الإزاحة (طول آثار الإطارات) والسرعة النهائية (صفر عند التوقف) والتسارع، ولا نملك معلومة عن الزمن ولا نحتاج إلى حسابه، وهذه المعادلة هي الوحيدة التي لا يظهر فيها الزمن.

الخطوة 1: v₀ = 22.2 m/s ، a = − 2 m/s² ، t = 8 s ، v = ? الخطوة 2: v = v₀ + at ⟵ v = 22.2 + (−2 × 8) ⟵ v = 6.2 m/s. لاحظ أن الشاحنة ستتحرك بسرعة مقدارها (6.2 m/s) بعد مرور (8 s)، وهذا يبدو منطقيًا، لأن سرعتها تتناقص بمقدار (2 m/s) كل ثانية لمدة (8 s).

الخطوة 1: v₀ = 20 m/s ، a = 1.5 m/s² ، t = 6 s ، v = ? الخطوة 2: الإزاحة مفقودة ولا تُطلب، فنستخدم المعادلة الأولى: v = v₀ + at ⟵ v = 20 + (1.5 × 6) = 20 + 9 ⟵ v = 29 m/s.

الخطوة 1: v₀ = 100 m/s ، a = 0 m/s² ، Δx = 1.7 m ، t = ? الخطوة 2: Δx = v₀t + ½ at² ⟵ 1.7 = (100 × t) + (½ × 0 × t²) ⟵ 1.7 = 100 t ⟵ t = 0.017 s.

الخطوة 1: v₀ = 0 m/s (بدأ من السكون) ، a = 4 m/s² ، t = 5 s ، Δx = ? الخطوة 2: السرعة النهائية مفقودة ولا تُطلب، فنستخدم المعادلة الثانية: Δx = v₀t + ½ at² ⟵ Δx = 0 + (½ × 4 × 5²) = 2 × 25 ⟵ Δx = 50 m.

الخطوة 1: v₀ = 27.7 m/s ، a = 2 m/s² ، Δx = 30 m ، v = ? الخطوة 2: v² = v₀² + 2a(Δx) ⟵ v² = (27.7)² + (2 × 2 × 30) = 767.29 + 120 = 887.29 ⟵ v = √887.29 ⟵ v = 29.78 m/s.

عند التوقف تكون السرعة النهائية صفرًا، فنستخدم المعادلة الثالثة: 0 = v² + 2a(Δx) ⟵ Δx = − v² ÷ (2a). أي أن مسافة التوقف تتناسب طرديًا مع مربع السرعة الابتدائية. وعند سرعة ابتدائية 2v يصير مربعها 4v²، فتكون مسافة التوقف الجديدة = 4Δx، أي أربعة أمثال المسافة الأولى.

الإجابة تكمن في الهندسة! حيث إن الإزاحة = المساحة تحت منحنى (السرعة – الزمن). نقسم المنحنى إلى قسمين (مستطيل و مثلث): 1- مساحة المثلث: ½ t (v − v₀) = ½ t (at) = ½ at². 2- مساحة المستطيل: [v₀ t]. ∴ الإزاحة = مساحة المثلث + مساحة المستطيل ⟵ Δx = v₀t + ½ at².

الخطوة 1: v₀ = 0 m/s ، v = 20 m/s ، Δt = 4 s. الخطوة 2: 1. slope = Δy/Δx = Δv/Δt = (20 − 0) / (4 − 0) = 5. 2. الميل يمثل تسارع الجسم و يساوي (5) m/s². 3. v = v₀ + at ⟵ v = 0 + (5 × 10) ⟵ v = 50 m/s.

الخطوة 1: ميل الخط البياني Δx / Δt² = 3. الخطوة 2: 1. ميل الخط البياني للعلاقة بين (x − t²) يساوي ½ a ⟵ slope = ½ a = 3 ⟵ a = 2 × 3 = 6 m/s². 2. Δx = v₀t + ½ at² ⟵ d = 0 + (½ × 6 × 5²) = 3 × 25 ⟵ d = 75 m.

عند التوقف: 0 = v₀² + 2a(Δx) ⟵ Δx = − v₀² ÷ (2a)، أي أن الإزاحة اللازمة للتوقف تتناسب طرديًا مع مربع السرعة الابتدائية، والتسارع نفسه لأن المكابح بنفس القوة والسيارتان من نفس النوع. وبما أن سرعة السيارة (ب) مضاعفة (160 km/h) فإن مربع سرعتها يصير أربعة أمثال، فتكون إزاحتها = 4 × 10 = 40 m.

أ. نأخذ نقطتين واضحتين من الرسم: عند الإزاحة (0) m يكون مربع السرعة (0) ، وعند الإزاحة (50) m يكون مربع السرعة (500). إذن slope = Δv² / Δx = (500 − 0) / (50 − 0) = 10. ب. ميل الخط البياني للعلاقة بين (مربع السرعة – الإزاحة) يساوي 2a، إذن 2a = 10 ⟵ a = 5 m/s².

الخطوة 1: v₀² = 100 (m/s)² ، v² = 625 (m/s)² ، x₁ = 0 m ، x₂ = 75 m. الخطوة 2: 1. slope = 2a ⟵ Δv²/Δx = 2a ⟵ (625 − 100) / (75 − 0) = 7 ⟵ a = 3.5 m/s². 2. v = v₀ + at ⟵ 20 = 10 + (3.5 × t) ⟵ t = 2.85 s.

لا، لن يتمكن من التوقف قبل العوامة. نحسب الإزاحة اللازمة للتوقف التام (v = 0): 0 = (30)² + 2(−3.50)Δx ⟵ 7Δx = 900 ⟵ Δx = 128.6 m تقريبًا، وهي أكبر من (100) m التي تفصله عن العوامة.

الزمن مفقود، فنستخدم المعادلة الثالثة: v² = v₀² + 2a(Δx) ⟵ v² = (30)² + 2(−3.50)(100) = 900 − 700 = 200 ⟵ v = √200 ⟵ v = 14.14 m/s تقريبًا.

نستخدم المعادلة الأولى: v = v₀ + at ⟵ 14.14 = 30 + (−3.50 × t) ⟵ 3.50 t = 15.86 ⟵ t = 4.53 s تقريبًا.

عند التوقف التام v = 0: 0 = (30)² + 2(−3.50)Δx ⟵ Δx = 900 ÷ 7 = 128.6 m تقريبًا. وبما أن العوامة تبعد (100) m فإن الزورق سيتجاوزها بمقدار 128.6 − 100 = 28.6 m تقريبًا.

أقصى إزاحة هي الإزاحة اللازمة للتوقف التام نفسها، أي Δx = 900 ÷ 7 = 128.6 m تقريبًا؛ فلو كانت المسافة بين الزورق والعوامة (128.6) m لتوقف عندها تمامًا دون أن يتجاوزها.

الإجابة الصحيحة: 200. الحل: Δx = v₀t + ½ at² = (10 × 10) + (½ × 2 × 10²) = 100 + 100 = 200 m.

الإجابة الصحيحة: 20. الحل: بمقارنة العلاقة المعطاة بالمعادلة الثانية Δx = v₀t + ½ at² نجد أن v₀ = 50 m/s وأن ½ a = 10، ومنها a = 20 m/s². والتسارع منتظم فقيمته نفسها عند أي زمن، ومنها عند (3) s.

(×) عبارة غير صحيحة. التعليل: عند البدء من السكون تكون Δx = ½ at²، أي أن المسافة تتناسب طرديًا مع مربع الزمن لا مع الزمن نفسه، ولهذا يكون التمثيل البياني للعلاقة بين الإزاحة والزمن منحنى، ويصير خطًا مستقيمًا فقط عند رسم الإزاحة مع مربع الزمن.

(✓) عبارة صحيحة. التعليل: من المعادلة الثالثة عند v₀ = 0 يكون v² = 2a(Δx)، والمقدار 2a ثابت، فيكون مربع السرعة النهائية متناسبًا طرديًا مع الإزاحة، ولذلك يكون التمثيل البياني خطًا مستقيمًا يمر بنقطة الأصل.

نحوّل السُمك إلى أمتار: Δx = 20 cm = 0.2 m، والتسارع سالب لأن السرعة تتناقص: a = − 3×10⁵ m/s². أ. v² = v₀² + 2a(Δx) ⟵ v² = (500)² + 2(−3×10⁵)(0.2) = 250000 − 120000 = 130000 ⟵ v = √130000 ⟵ v = 360.6 m/s تقريبًا. ب. لإيقاف الرصاصة داخل اللوح تكون v = 0: 0 = (500)² + 2(−3×10⁵)Δx ⟵ 600000 Δx = 250000 ⟵ Δx = 0.42 m تقريبًا، أي 41.7 cm تقريبًا.