اختصار المنهج · قبل الامتحان

مراجعة سريعة: الرياضيات

ملخص كل درس وأفكاره الرئيسية وأسئلته المهمة في صفحة واحدة. اطبعها واحفظها.

كتاب الطالب· Student's Book

الوحدة 1الجبر وحل المعادلات

الدرس 1: دالة القيمة المطلقة

الصورة الأساسية لدالة القيمة المطلقة 𝑓(x) = |x|، مجالها ومجالها المقابل ℝ، ومداها [0 , ∞).
رأس منحنى الدالة 𝑓(x) = |ax + b| + c هو النقطة (−b/a , c)، ومعادلة محور التماثل x = −b/a.
مدى الدالة [c , ∞) إذا كان المنحنى مفتوحًا للأعلى، و(−∞ , c] إذا كان مفتوحًا للأسفل (عند وجود إشارة سالبة أمام القيمة المطلقة).
الإزاحة الأفقية لمنحنى 𝑓(x) = |x + a|: جهة اليمين إذا كانت a < 0، وجهة اليسار إذا كانت a > 0، بمقدار |a| وحدة.
الإزاحة الرأسية لمنحنى 𝑓(x) = |x| + a: للأعلى إذا كانت a > 0، وللأسفل إذا كانت a < 0، بمقدار |a| وحدة.
الانسحاب المركب يجمع بين إزاحة أفقية ثم إزاحة رأسية، مثل 𝑓(x) = |x − 4| + 2.
الانعكاس في محور السينات: 𝑓(x) = −|x| هو انعكاس للدالة الأساسية g(x) = |x|، ويجب أن يكون أول خطوة عند وجود إشارة سالبة.
من خواص القيمة المطلقة: |x| ≥ 0 ، |a . b| = |a| . |b| ، |a + b| ≤ |a| + |b| ، |a|² = a² ، √(x²) = |x|.

الزبدة: منحنى دالة القيمة المطلقة على شكل حرف V، ورأسها هو أدنى نقطة فيها (أو أعلى نقطة عند الانعكاس). · أي دالة قيمة مطلقة تُبنى من الدالة الأساسية g(x) = |x| بثلاث عمليات: انعكاس، إزاحة أفقية، إزاحة رأسية، وترتيبها مهم عند وجود انعكاس. · الصورة القياسية 𝑓(x) = |ax + b| + c تعطي مباشرة رأس المنحنى (−b/a , c) ومحور التماثل والمدى دون الحاجة لرسم كامل.

الأسئلة المهمة (7)

عرّف الصورة الأساسية لدالة القيمة المطلقة واذكر مكوناتها.: 𝑓: ℝ ⟶ ℝ , 𝑓(x) = |x|؛ المجال ℝ، المجال المقابل ℝ، وقاعدة الاقتران 𝑓(x) = |x|.
اذكر خواص التمثيل البياني للدالة الأساسية 𝑓(x) = |x|.: اتحاد شعاعين من نقطة بداية واحدة على شكل V، رأس المنحنى (0 , 0) وعنده أصغر قيمة، متماثل حول محور الصادات (دالة زوجية)، ومداها [0 , ∞).
كيف نوجد رأس المنحنى ومحور التماثل ومدى الدالة 𝑓(x) = |ax + b| + c؟: رأس المنحنى (−b/a , c)، محور التماثل x = −b/a، والمدى [c , ∞) إذا كانت مفتوحة للأعلى أو (−∞ , c] إذا كانت مفتوحة للأسفل (بإشارة سالبة أمام القيمة المطلقة).
اذكر قاعدة الإزاحة الأفقية لمنحنى 𝑓(x) = |x + a| عن الدالة الأساسية g(x) = |x|.: إزاحة أفقية مقدارها |a| وحدة: جهة اليمين إذا كانت a سالبة، وجهة اليسار إذا كانت a موجبة.
اذكر قاعدة الإزاحة الرأسية لمنحنى 𝑓(x) = |x| + a عن الدالة الأساسية g(x) = |x|.: إزاحة رأسية مقدارها |a| وحدة: للأعلى إذا كانت a موجبة، وللأسفل إذا كانت a سالبة.
ما ترتيب التحويلات الهندسية عند وجود انعكاس في الدالة 𝑓(x) = −|x + b| + c؟: أولًا الانعكاس في محور السينات للدالة الأساسية، ثم الإزاحة الأفقية، ثم الإزاحة الرأسية، ثم تحديد الرأس ومحور التماثل.
علّل: الإشارة السالبة خارج القيمة المطلقة في 𝑓(x) = −|ax + b| + c لا تؤثر على موضع رأس المنحنى، لكنها تجعله مفتوحًا للأسفل.: لأن رأس المنحنى يُحسب من شرط ax + b = 0 بغض النظر عن الإشارة الخارجية، لكن الإشارة السالبة تجعل كل قيم الدالة أصغر من أو تساوي c، فيفتح المنحنى للأسفل ومداه (−∞ , c].

الدرس 2: حل معادلة القيمة المطلقة

معادلة القيمة المطلقة تتضمن تعبيرًا جبريًّا داخل رمز القيمة المطلقة، وتُحل بتحويلها إلى معادلتين لا تحتويان على رمز القيمة المطلقة.
لحل |x| = A: إن كان A > 0 فحلان S.S = {A , −A}، وإن كان A = 0 فحل وحيد S.S = {0}، وإن كان A < 0 فلا حل S.S = ∅.
لحل |ax + b| = |cx + d|: إما باستخدام الخاصية |a| = |b| ⇔ a = b أو a = −b، أو بتربيع الطرفين.
لحل |ax + b| = cx + d: نوجد أولًا شرط الحل cx + d ≥ 0، ثم نحل الحالتين ونتحقق من كل حل بمقارنته بشرط الحل، ونرفض ما لا يحققه.
من خواص القيمة المطلقة المهمة في الحل: |a . b| = |a| . |b| ، |x − a| = |a − x| ، |x| = |−x| ، |a| ≥ 0 ، √(x²) = |x|.
مجموعة الحل S.S تمثّل جميع قيم المتغير التي تجعل المعادلة صحيحة.

الزبدة: كل معادلة قيمة مطلقة تتحول إلى حالتين: العبارة داخل القيمة المطلقة موجبة، أو سالبة. · عندما يحتوي الطرف الآخر من المعادلة على المتغير (cx + d)، لا بد من التحقق من شرط الحل قبل قبول أي إجابة. · القيمة المطلقة لا تكون سالبة أبدًا؛ فإذا ساوت المعادلة عددًا سالبًا مباشرة فلا حل لها.

الأسئلة المهمة (6)

عرّف معادلة القيمة المطلقة.: معادلة تتضمن تعبيرًا جبريًّا داخل رمز القيمة المطلقة، ويمكن تحويلها إلى معادلتين لا تحتويان على رمز القيمة المطلقة بجعل العبارة داخلها موجبة مرة وسالبة مرة أخرى.
اذكر حالات حل المعادلة |x| = A الثلاث.: إذا كانت A > 0 فللمعادلة حلان x = A، x = −A. إذا كانت A = 0 فحل وحيد x = 0. إذا كانت A < 0 فلا يوجد حل S.S = ∅.
اذكر طريقتين لحل معادلة على الصورة |ax + b| = |cx + d|.: باستخدام خواص القيمة المطلقة (|a| = |b| ⇔ a = b أو a = −b)، أو بتربيع الطرفين ثم حل المعادلة الناتجة.
علّل: عند حل معادلة على الصورة |ax + b| = cx + d يجب التحقق من شرط الحل.: لأن القيمة المطلقة دائمًا غير سالبة، فلا بد أن يكون الطرف الأيمن cx + d ≥ 0 حتى يكون الحل الناتج مقبولًا؛ وأي حل لا يحقق هذا الشرط يُرفض.
اذكر خاصيتين من خواص القيمة المطلقة تُستخدمان في حل المعادلات.: |a . b| = |a| . |b| و|x − a| = |a − x|، إلى جانب خواص أخرى مثل |a| ≥ 0 و|x| = |−x|.
ما مجموعة حل المعادلة |x + 4| + 23 = 17؟ ولماذا؟: S.S = ∅، لأن |x + 4| = 17 − 23 = −6، والقيمة المطلقة لا تساوي عددًا سالبًا أبدًا.

الدرس 3: حل معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد (جبريًّا وبيانيًّا)

لحل معادلة تربيعية بيانيًّا: نضع المعادلة بالصورة ax² + bx + c = 0، نرسم منحنى 𝑓(x) = ax² + bx + c، ونجد نقاط تقاطعه مع محور السينات.
عدد نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات يحدد عدد حلول المعادلة: نقطتان (حلّان مختلفان)، نقطة واحدة (حلّان متساويان)، لا يوجد تقاطع (لا حل حقيقي).
القانون العام لحل المعادلة التربيعية: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.
المميز Δ = b² − 4ac يحدد عدد الحلول الحقيقية دون حل المعادلة: Δ > 0 (حلّان مختلفان)، Δ = 0 (حلّان متساويان)، Δ < 0 (لا يوجد حل حقيقي).
عندما يكون b = 0 يبسط القانون إلى x = ±√(−4ac) / 2a.
عندما يكون Δ = 0 يكون الحل الوحيد للمعادلة x = −b/2a.
تُستخدم المعادلة التربيعية في حل مسائل حياتية مثل الأعداد المتتالية ومسائل المساحات والأبعاد، مع رفض القيم السالبة غير المنطقية للأبعاد.

الزبدة: حل المعادلة التربيعية بيانيًّا يعتمد على إيجاد نقاط تقاطع منحنى الدالة التربيعية مع محور السينات. · المميز Δ = b² − 4ac هو مفتاح معرفة عدد حلول المعادلة التربيعية دون حلها. · القانون العام x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a يحل أي معادلة تربيعية مهما تعذّر تحليلها. · في المسائل الحياتية نرفض الحلول التي تخالف طبيعة المسألة، كالأبعاد السالبة.

الأسئلة المهمة (7)

اذكر خطوات حل معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد بيانيًّا.: 1) ضع المعادلة على الصورة ax²+bx+c=0. 2) افرض 𝑓(x)=ax²+bx+c وارسم منحناها. 3) عيّن نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات؛ إحداثياتها السينية هي حلول المعادلة.
عرّف مميز المعادلة التربيعية، واذكر رمزه.: هو المقدار b² − 4ac في المعادلة ax²+bx+c=0، ويرمز له بالرمز Δ، وهو الذي يحدد عدد الحلول الحقيقية للمعادلة ونوع جذريها دون حلها.
اكتب القانون العام لحل المعادلة التربيعية.: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
علّل: إذا كان مميز المعادلة التربيعية أقل من الصفر فلا يوجد لها حل حقيقي.: لأن القانون العام يتضمن الجذر التربيعي للمميز √Δ، والجذر التربيعي لعدد سالب غير معرّف في مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ.
متى يكون للمعادلة التربيعية حلّان حقيقيان متساويان؟ وما قيمة الحل في هذه الحالة؟: عندما يكون المميز Δ = 0، وتكون قيمة الحل الوحيد x = −b/2a.
عددان فرديان متتاليان مجموع مربعيهما 34، فما العددان؟: بفرض العدد الأول x والثاني x+2: x²+(x+2)²=34 ⇒ x²+2x−15=0 ⇒ (x−3)(x+5)=0 ⇒ x=3 أو x=−5. العددان 3, 5 أو −5, −3.
متى يكون منحنى الدالة التربيعية 𝑓(x)=ax²+bx+c مفتوحًا للأسفل؟: عندما يكون المعامل الرئيسي a عددًا سالبًا (a < 0).

الدرس 4: مجموع وناتج ضرب جذري المعادلة التربيعية وتكوين المعادلة بمعلومية جذريها

مجموع جذري المعادلة التربيعية ax²+bx+c=0 هو ℓ+m = −b/a، وحاصل ضرب الجذرين هو ℓ.m = c/a.
يمكن إيجاد مجموع الجذرين وحاصل ضربهما دون حل المعادلة، بمجرد معرفة a, b, c.
إذا عُلم جذرا معادلة تربيعية ℓ, m فإن المعادلة تكون على الصورة x² − (ℓ+m)x + (ℓ.m) = 0، أو (x−ℓ)(x−m) = 0.
لأي معادلة تربيعية جذراها ℓ, m يوجد عدد غير منتهٍ من المعادلات المكافئة لها بنفس الجذرين، على الصورة k[x²−(ℓ+m)x+(ℓ.m)]=0.
عندما b=0 يكون الجذران نظيرين جمعيين (مجموعهما صفر)، وعندما c=a يكون الجذران نظيرين ضربيين (حاصل ضربهما 1).
يمكن تكوين معادلة تربيعية جديدة جذراها مرتبطان بجذري معادلة معلومة (مثل 2ℓ, 2m أو ℓ², m²) باستخدام مجموع وحاصل ضرب الجذرين الأصليين.
من الصيغ المفيدة: ℓ²+m² = (ℓ+m)²−2ℓ.m، وl−m = √(b²−4ac)/a.

الزبدة: مجموع وحاصل ضرب جذري المعادلة التربيعية يُحسبان مباشرة من معاملاتها (−b/a وc/a) دون الحاجة لحل المعادلة. · معرفة مجموع وحاصل ضرب جذرين تكفي لتكوين المعادلة التربيعية التي هما جذراها: x²−(مجموع الجذرين)x+(حاصل ضرب الجذرين)=0. · لكل زوج من الجذرين عدد غير منتهٍ من المعادلات التربيعية المكافئة، بضرب المعادلة في ثابت k ≠ 0.

الأسئلة المهمة (7)

اكتب علاقة مجموع جذري المعادلة ax²+bx+c=0 وحاصل ضرب جذريها بمعاملاتها.: مجموع الجذرين = −b/a، وحاصل ضرب الجذرين = c/a.
إذا عُلم جذرا معادلة تربيعية ℓ, m فما الصورة العامة لهذه المعادلة؟: x² − (ℓ+m)x + (ℓ.m) = 0، ويمكن كتابتها أيضًا (x−ℓ)(x−m) = 0.
علّل: يوجد عدد غير منتهٍ من المعادلات التربيعية لها نفس الجذرين.: لأن ضرب طرفي المعادلة x²−(ℓ+m)x+(ℓ.m)=0 في أي ثابت k≠0 لا يغيّر جذريها، فتنتج الصورة k[x²−(ℓ+m)x+(ℓ.m)]=0 لعدد غير منتهٍ من قيم k.
متى يكون جذرا المعادلة التربيعية نظيرين جمعيين؟ ومتى يكونان نظيرين ضربيين؟: نظيران جمعيان عندما b=0 (مجموعهما صفر). نظيران ضربيان عندما c=a (حاصل ضربهما 1).
إذا كان ℓ, m جذرا المعادلة 2x²−8x+5=0، أوجد قيمة ℓ²+m².: ℓ+m=4، ℓ.m=5/2، فـ ℓ²+m² = (4)² − 2(5/2) = 16−5 = 11.
عددان حقيقيان مجموعهما 2 وحاصل ضربهما −35، أوجد العددين.: المعادلة x²−2x−35=0، بالتحليل (x−7)(x+5)=0، فالعددان 7, −5.
اذكر كيف تُكوّن معادلة تربيعية جذراها 2ℓ, 2m إذا عُلم مجموع وحاصل ضرب الجذرين الأصليين ℓ, m.: مجموع الجذرين الجديد = 2(ℓ+m)، وحاصل ضربهما = 4(ℓ.m)، ثم نكوّن المعادلة x² − (2ℓ+2m)x + (2ℓ.2m) = 0.

الدرس 5: حل متباينة من الدرجة الثانية

لحل متباينة تربيعية بالتحليل: أضع الصورة القياسية، أحللها إلى عاملين، ثم أطبق خواص حاصل الضرب (a.b ≥ 0 أو a.b ≤ 0).
لدراسة إشارة الدالة الخطية g(x) = ax + b: أجد الجذر x = −b/a، وتكون الإشارة مماثلة لإشارة a يمين الجذر ومخالفة له يساره.
لدراسة إشارة الدالة التربيعية 𝑓(x) = ax² + bx + c أستخدم المميز Δ: إذا Δ > 0 فالإشارة بين الجذرين تخالف إشارة a وخارجهما تتبعه؛ إذا Δ = 0 فالإشارة تتبع a في كل مكان ما عدا عند الجذر؛ إذا Δ < 0 فالإشارة تتبع a على كامل خط الأعداد.
لحل متباينة على صورة (ax + b)² < c مع c سالب: الحل ∅. ولحل صورة x² < عدد موجب: نأخذ الجذر التربيعي ونستخدم خاصية القيمة المطلقة.
الحالات الخاصة: x² < 0 حلها ∅، x² ≤ 0 حلها {0}، x² ≥ 0 حلها ℝ، x² > 0 حلها ℝ − {0}.
مجموعة حل المتباينة التربيعية تُكتب على صورة فترة، وتُمثَّل على خط الأعداد.

الزبدة: حل المتباينة التربيعية يعني إيجاد قيم x التي يكون عندها منحنى الدالة أعلى أو أسفل محور السينات. · إشارة الدالة التربيعية تتحدد من قيمة المميز Δ (عدد الجذور الحقيقية) ومن إشارة معامل x². · القيمة المطلقة تربط بين متباينة على صورة تربيع بسيط (ax + b)² ومتباينة خطية بسيطة.

الأسئلة المهمة (7)

ما معنى حل متباينة من الدرجة الثانية؟: هو إيجاد جميع قيم x التي يكون عندها منحنى الدالة أعلى محور السينات (إذا كانت الدالة موجبة) أو أسفله (إذا كانت سالبة)، وتُكتب مجموعة الحل على صورة فترة.
اذكر خطوات دراسة إشارة الدالة الخطية g(x) = ax + b.: أضع g(x) = 0 فأجد x = −b/a، أحدد هذا العدد على خط الأعداد، ثم تكون إشارة g(x) مماثلة لإشارة a يمين العدد −b/a ومخالفة لها يساره.
اذكر خطوات دراسة إشارة الدالة التربيعية 𝑓(x) = ax² + bx + c.: أوجد المعادلة 𝑓(x) = 0 وأحسب Δ = b² − 4ac. إذا Δ > 0 (جذران مختلفان) فالإشارة تخالف a بين الجذرين وتتبعه خارجهما. إذا Δ = 0 (جذر مضاعف) فالإشارة تتبع a في كل مكان ما عدا عند الجذر. إذا Δ < 0 (لا جذور حقيقية) فالإشارة تتبع a على طول خط الأعداد.
ما الفرق بين حل معادلة الدرجة الثانية وحل متباينة الدرجة الثانية في متغير واحد؟: حل معادلة الدرجة الثانية عادة قيم معدودة (نقاط على خط الأعداد)، بينما حل متباينة الدرجة الثانية مجموعة من القيم (فترة) تحقق المتباينة.
ما علاقة دراسة إشارة الدالة التربيعية بحل متباينات الدرجة الثانية؟: دراسة إشارة الدالة التربيعية تحدد الفترات التي تكون فيها الدالة موجبة أو سالبة أو تساوي صفرًا، وهذه الفترات نفسها هي مجموعة حل المتباينة المناظرة (سواء كانت >، <، ≥، أو ≤).
أوجد مجموعة حل كل من المتباينتين: x² < 0 و x² ≥ 0.: x² < 0 حلها ∅ لأنه لا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب. x² ≥ 0 حلها ℝ لأن مربع أي عدد حقيقي أكبر من أو يساوي الصفر دائمًا.
اكتشف الخطأ: تقول نور إن المتباينة −x² + 2x − 7 < 0 لا حلول لها. بيّن خطأها وصححه.: بضرب طرفي المتباينة في −1 (مع عكس الاتجاه): x² − 2x + 7 > 0. مميزها Δ = 4 − 28 = −24 < 0 وa = 1 > 0، فالمقدار موجب لكل x ∈ ℝ، أي إن −x² + 2x − 7 < 0 صحيحة لكل عدد حقيقي، فمجموعة الحل هي ℝ وليست ∅ كما قالت نور.

الوحدة 2الهندسة المستوية

الدرس 1: التناسب

النسبة مقارنة بين كميتين من النوع نفسه، تُكتب a:b أو a/b؛ والتناسب تساوي نسبتين أو أكثر.
خاصية الضرب التقاطعي: a/b = c/d ⟺ a.d = b.c (حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين).
من a/b = c/d ينتج: b/a = d/c، وa/c = b/d، وc/a = d/b.
إذا كان a/b = c/d = k فإن a = bk, c = dk؛ وهذا الافتراض يبسّط حل المسائل الجبرية على التناسب.
في مجموعة نسب متساوية، مجموع المقدمات على مجموع التوالي (كلها أو بعضها) يساوي أيًّا من النسب الأصلية.
التناسب المتسلسل: a, b, c في تناسب متسلسل ⟺ a/b = b/c ⟺ b² = a.c، وb هو الوسط المتناسب = ± √(a.c).
في تناسب متسلسل من أربعة حدود a/b = b/c = c/d = k فإن c = dk، b = dk²، a = dk³.

الزبدة: التناسب أداة لربط عدة نسب بثابت مشترك k يسهّل حل المعادلات الجبرية. · الوسط المتناسب بين عددين (نفس الإشارة) له قيمتان: موجبة وسالبة، لأن للجذر التربيعي إشارتين. · عند حل تناسب متسلسل من عدة حدود يجب التحقق من توافق الحل مع جميع النسب المعطاة معًا، لا مع جزء منها فقط، تجنبًا للحلول الزائدة.

الأسئلة المهمة (7)

عرّف النسبة والتناسب.: النسبة: مقارنة بين كميتين من النوع نفسه ولهما نفس وحدة القياس، تكتب a:b أو a/b. التناسب: تساوي نسبتين أو أكثر.
اذكر خاصية الضرب التقاطعي، ووضح المقصود بطرفي التناسب ووسطيه.: إذا كان a/b = c/d فإن a.d = b.c (حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين). في a/b = c/d يسمى a, d طرفي التناسب، ويسمى b, c وسطي التناسب.
إذا كان a/b = c/d، اذكر ثلاث نسب أخرى يمكن استنتاجها من هذه العلاقة.: يمكن استنتاج: b/a = d/c (قلب النسبتين)، وa/c = b/d (تبديل الوسطين)، وc/a = d/b (تبديل الطرفين والوسطين معًا).
عرّف التناسب المتسلسل، واكتب العلاقة بين حدوده الثلاثة.: a, b, c في تناسب متسلسل إذا وفقط إذا كان a/b = b/c، أي b² = a.c، حيث b هو الوسط المتناسب = ± √(a.c).
أوجد الوسط المتناسب بين العددين 9 و16.: b = ± √((9)(16)) = ± √144 = ± 12.
فكر معي: طالب استنتج a:b:c = 2:3:5 مباشرة من المعادلة 2a = 3b = 5c. بيّن لماذا هذا خطأ واذكر الطريقة الصحيحة.: كتابة النسبة من معاملات المعادلة مباشرة (2:3:5) خطأ لأنها تعكس علاقة عكسية لا طردية. الطريقة الصحيحة: القسمة على المضاعف المشترك الأصغر (30): a/15 = b/10 = c/6، فتكون a:b:c = 15:10:6.
فكر معي: عند حل قيمة x في التناسب المتسلسل 6, x, 54, 162، حلّ فهد باستخدام 6/x = 54/162 فحصل على x = 18، وحلّ إبراهيم باستخدام 6/x = x/54 فحصل على x = ± 18. أي الحلّين صحيح؟ ولماذا؟: الإجابة الصحيحة الوحيدة x = 18. لأن x = −18 لا يحقق النسبة الثالثة المعطاة 54/162 = 1/3 الموجبة (بينما −18/54 = −1/3)، فهو حل زائد ناتج عن استخدام إبراهيم لجزء فقط من المعطيات (الحدود الثلاثة الأولى) دون التحقق من توافقه مع النسبة الرابعة.

الدرس 2: تشابه المضلعات

المضلعان متشابهان إذا تساوت قياسات زواياهما المتناظرة وتناسبت أطوال أضلاعهما المتناظرة معًا (تعميم 1).
كل مضلعين متطابقين متشابهان، ونسبة التشابه بينهما تساوي 1 (تعميم 2)، لكن العكس ليس صحيحًا دائمًا.
تشابه المضلعات علاقة متعدية: إذا شابه A المضلع B وشابه B المضلع C فإن A يشابه C (تعميم 3).
الشكلان الهندسيان متشابهان إذا كان أحدهما تكبيرًا أو تصغيرًا أو مطابقًا للآخر.
نسبة التشابه = النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين = النسبة بين محيطي الشكلين المتشابهين.
مربع نسبة التشابه = النسبة بين مساحتي الشكلين المتشابهين.
إذا كانت نسبة تشابه المضلع A إلى المضلع B تساوي k: فـ k>1 تكبير، و0<k<1 تصغير، وk=1 تطابق.

الزبدة: التشابه يحتاج شرطين معًا: تساوي الزوايا المتناظرة وتناسب الأضلاع المتناظرة، لا يكفي أحدهما وحده. · نسبة التشابه تنتقل مباشرة إلى نسبة المحيطين، لكنها تُربَّع عند حساب نسبة المساحتين. · التطابق حالة خاصة من التشابه، تتحقق عندما تكون نسبة التشابه مساوية 1.

الأسئلة المهمة (7)

عرّف تشابه المضلعين، واذكر شرطيه.: مضلعان لهما العدد نفسه من الأضلاع يكونان متشابهين إذا تساوت قياسات زواياهما المتناظرة، وتناسبت أطوال أضلاعهما المتناظرة معًا.
ما نسبة التشابه؟: هي النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين في مضلعين متشابهين.
علّل: كل مضلعين متطابقين متشابهان.: لأن قياسات زواياهما المتناظرة متساوية، والنسبة بين كل ضلعين متناظرين فيهما تساوي 1، وهذان هما شرطا التشابه.
اذكر نص تعميم تعدي التشابه.: إذا كان المضلع A يشابه المضلع B، وكان المضلع B يشابه المضلع C، فإن المضلع A يشابه المضلع C.
ما العلاقة بين نسبة التشابه ومحيطي شكلين متشابهين؟: النسبة بين محيطي الشكلين المتشابهين تساوي نسبة التشابه نفسها.
ما العلاقة بين نسبة التشابه ومساحتي شكلين متشابهين؟: النسبة بين مساحتي الشكلين المتشابهين تساوي مربع نسبة التشابه.
متى يكون المضلع A تصغيرًا للمضلع B؟: عندما تكون نسبة تشابه المضلع A إلى المضلع B (k) محصورة بين 0 و1، أي 0 < k < 1.

الدرس 3: تشابه المثلثات

تشابه المثلثات حالة خاصة من تشابه المضلعات، ويكفي التحقق من شرط واحد فقط لإثباته، لأن الشرط الآخر يتحقق تلقائيًا.
نظرية (1): تطابق زاويتين في مثلث مع زاويتين في مثلث آخر يكفي لإثبات تشابههما.
إذا تطابقت زاويتان في مثلثين فإن الزاوية الثالثة تتطابق تلقائيًا.
نظرية (2): تناسب أطوال الأضلاع الثلاثة المتناظرة في مثلثين يكفي لإثبات تشابههما.
نظرية (3): تطابق زاوية واحدة مع تناسب طولي الضلعين المحددين لها يكفي لإثبات تشابه المثلثين.
من أدوات إثبات تطابق الزوايا: الزوايا المشتركة، والزوايا المتقابلة بالرأس، والزوايا الناتجة عن خطين متوازيين وقاطع لهما.
طريقة المرآة تطبيق عملي على تشابه المثلثات، وتعتمد على تساوي زاوية السقوط وزاوية الانعكاس، لقياس ارتفاعات ومسافات يصعب قياسها مباشرة.

الزبدة: لإثبات تشابه مثلثين، يكفي أحد الشروط الثلاثة: تطابق زاويتين (نظرية 1)، أو تناسب الأضلاع الثلاثة (نظرية 2)، أو تطابق زاوية مع تناسب ضلعيها (نظرية 3). · الزوايا المشتركة والمتقابلة بالرأس والناتجة عن التوازي هي أدوات أساسية لإثبات تطابق الزوايا في براهين التشابه. · تشابه المثلثات أداة عملية لحساب أطوال أو ارتفاعات يصعب قياسها بشكل مباشر، كما في طريقة المرآة.

الأسئلة المهمة (7)

اذكر نص نظرية (1) لتشابه المثلثين.: يتشابه المثلثان إذا تطابقت زاويتان في أحد المثلثين مع زاويتين في المثلث الآخر.
اذكر نص نظرية (2) لتشابه المثلثين.: يتشابه المثلثان إذا تناسبت أطوال أضلاعهما المتناظرة.
اذكر نص نظرية (3) لتشابه المثلثين.: يتشابه المثلثان إذا طابقت زاوية في أحدهما زاوية في المثلث الآخر، وتناسب طولا الضلعين المحددين لهاتين الزاويتين.
علّل: يكفي شرط واحد لإثبات تشابه مثلثين، مع أن تشابه المضلعات عمومًا يحتاج شرطين معًا.: لأن تشابه المثلثات حالة خاصة من تشابه المضلعات، وتحقق أحد الشرطين (تساوي زاويتين متناظرتين أو تناسب الأضلاع المتناظرة) في المثلث يستلزم تحقق الشرط الآخر تلقائيًا معه.
ماذا ينتج إذا تطابقت زاويتان في مثلث مع زاويتين في مثلث آخر؟: تطابق الزاوية الثالثة في المثلث الأول مع الزاوية الثالثة في المثلث الآخر تلقائيًا، ويكون المثلثان متشابهين.
كيف تُستخدم فكرة تشابه المثلثات في قياس ارتفاع مبنى بطريقة المرآة؟: توضع مرآة بين الشخص والمبنى، وبما أن زاوية السقوط تساوي زاوية الانعكاس يتكون مثلثان متشابهان: مثلث ارتفاع الشخص وبعده عن المرآة، ومثلث ارتفاع المبنى وبعد المرآة عنه، فيُستخدم التناسب بينهما لإيجاد ارتفاع المبنى.
ماذا نعني بعبارة (بالتوازي والتناظر)؟: نعني وجود مستقيمين متوازيين وقاطع لهما وزاويتان في وضع تناظر.

الدرس 4: التشابه في المثلثات القائمة الزاوية

العمود المرسوم من رأس القائمة على الوتر في مثلث قائم الزاوية يقسمه إلى مثلثين متشابهين، وكل منهما يشابه المثلث الأصلي.
نظرية إقليدس الأولى: (AD)² = DC × DB، حيث AD العمود المرسوم على الوتر.
نظرية إقليدس الثانية: (AB)² = BD × BC، و(AC)² = CD × CB، و(AB) × (AC) = (AD) × (BC).
AD وسط متناسب بين BD و DC؛ AB وسط متناسب بين BC و BD؛ AC وسط متناسب بين BC و CD.
نظرية فيثاغورث تُستنتج بجمع طرفي علاقتي نظرية إقليدس الثانية: (AB)² + (AC)² = (BC)².
إقليدس عالم رياضيات يُلقَّب بأبي الهندسة، ومؤلف كتاب «العناصر».

الزبدة: كل عمود من رأس الزاوية القائمة على الوتر يفتح باب التشابه الثلاثي: المثلث الأصلي ومثلثاه الفرعيان متشابهة جميعًا. · نظريتا إقليدس أداتان لحساب أطوال أضلاع المثلث القائم دون قياس مباشر، بربط الوتر بقطعتيه. · نظرية فيثاغورث حالة خاصة تنتج من جمع علاقتي نظرية إقليدس الثانية.

الأسئلة المهمة (6)

اذكر نص نظرية إقليدس الأولى (نتيجة 1).: مربع طول العمود المرسوم من رأس القائمة على الوتر في مثلث قائم الزاوية يساوي ناتج ضرب طولي القطعتين المستقيمتين اللتين ينقسم إليهما الوتر بهذا العمود: (AD)² = DC × DB.
اذكر نص نظرية إقليدس الثانية (نتيجة 2) بأجزائها الثلاثة.: إذا كان ABC قائم الزاوية في A و AD ⊥ BC فإن: (AB)² = BD × BC، و(AC)² = CD × CB، و(AB) × (AC) = (AD) × (BC).
ما المقصود بالوسط المتناسب (الهندسي)؟ ومن هو الوسط المتناسب بين BD و DC في المثلث القائم؟: الوسط المتناسب بين طولين هو الطول الذي يحقق أن مربعه يساوي حاصل ضربهما. في مثلث قائم الزاوية، AD هو الوسط المتناسب بين BD و DC لأن (AD)² = BD × DC.
اذكر خطوات النشاط الاستكشافي الذي يثبت أن العمود من رأس القائمة على الوتر يقسم المثلث إلى ثلاثة مثلثات متشابهة.: قص مستطيل عند قطره لتكوين مثلث قائم الزاوية ABC، ثم رسم BD ⊥ AC داخله، فينتج مثلثان DAB و DCB. تُثبت العلاقات الثلاث: ABC يشابه DAB، وABC يشابه DCB، وDCB يشابه DAB.
علّل: يمكن استخدام نظرية إقليدس لإثبات نظرية فيثاغورث.: لأن جمع علاقتي نظرية إقليدس الثانية: (AB)² = BD×BC و(AC)² = CD×BC ينتج (AB)² + (AC)² = BC×(BD+CD) = BC×BC = (BC)²، وهي نظرية فيثاغورث.
إذا كان DC = 9، DB = 16 في مثلث قائم الزاوية في A، أوجد طولي AD و AC.: AD = 12 (لأن (AD)² = 9×16 = 144)، وAC = 15 (لأن BC = 25، و(AC)² = 9×25 = 225).

الدرس 5: التناسبات والمثلثات المتشابهة

نظرية المستقيم الموازي: مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين يقسمهما إلى أجزاء أطوالها متناسبة، وعكسها صحيح.
نظرية طاليس: مستقيمان يقطعان ثلاث مستقيمات متوازية أو أكثر، ينتج عنهما قطع مستقيمة متناسبة على القاطعين، لكن عكسها ليس صحيحًا بالضرورة.
نظرية منصف الزاوية في مثلث: منصّف زاوية رأس المثلث يقسم القاعدة المقابلة إلى جزأين نسبتهما تساوي نسبة طولي الضلعين الآخرين، أي AB/AC = BD/DC.
عند مقارنة ضلع كامل بجزء ضلع في التناسب يجب الانتباه للتناظر الصحيح بين الأطوال، كما في خطأ إبراهيم عند إيجاد BC.
يقتصر تطبيق نظرية منصف الزاوية في هذا الدرس على المنصّف الداخلي فقط.

الزبدة: التوازي داخل المثلث (نظرية المستقيم الموازي) ينتج تناسبًا بين أجزاء الضلعين المقطوعين، وعكس هذه النظرية صحيح. · نظرية طاليس تعمم فكرة التناسب على أي عدد من المستقيمات المتوازية، لكن تساوي النسب وحده لا يثبت التوازي. · نظرية منصف الزاوية تربط طولي ضلعي المثلث بالجزأين الناتجين عن تقسيم القاعدة بالمنصّف.

الأسئلة المهمة (6)

اذكر نص نظرية المستقيم الموازي لأحد أضلاع مثلث، وعكسها.: إذا وازى مستقيم أحد أضلاع مثلث وقطع ضلعيه الآخرين، فإنه يقسم هذين الضلعين إلى أجزاء أطوالها متناسبة. وعكسها صحيح: إذا كانت الأجزاء متناسبة فالمستقيم يوازي الضلع الثالث.
اذكر نص نظرية طاليس.: إذا قطع مستقيمان ثلاث مستقيمات متوازية أو أكثر، فإن أطوال القطع المستقيمة الناتجة على أحد القاطعين تكون متناسبة مع أطوال القطع الناتجة على القاطع الآخر.
اذكر نص نظرية منصف الزاوية في مثلث.: إذا نصّفت زاوية رأس مثلث الداخلة، قسم المنصّف قاعدة المثلث إلى جزئين النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين للمثلث.
علّل: طريقة إبراهيم في حساب BC غير صحيحة رغم أنه استخدم نسبة صحيحة لإيجاد AD.: لأنه قارن ED (ضلع كامل في المثلث الصغير) بالجزء EB بدلًا من الضلع الكامل AB؛ النسبة الصحيحة هي ED/BC = AE/AB وليس AE/EB، فحصل على BC خاطئ (18 بدلًا من 24).
هل عكس نظرية طاليس صحيح دائمًا؟ وضّح بمثال من الدرس.: لا. مثال الكتاب: مستقيمات L، M، N غير متوازية لكن AB/BC = 3/6 = 1/2 وED/DF = 2/4 = 1/2 (النسبتان متساويتان) دون أن تكون المستقيمات متوازية.
في مثلث ABC، AD ينصّف الزاوية A، إذا كان AB = 6، AC = 4، BC = 8، أوجد DB وDC.: DB/DC = AB/AC = 6/4 = 3/2، وDB+DC = 8، فيكون DB = 4.8، DC = 3.2.

كتاب الطالب· Student's Book

الوحدة 1الوحدة الأولى: الأعداد الحقيقية

الدرس 1: الجذور والتعبيرات الجذرية

لكل عدد حقيقي موجب جذران تربيعيان أحدهما موجب والآخر سالب، ولكل عدد حقيقي جذر تكعيبي حقيقي واحد.
العدد السالب ليس له جذر تربيعي حقيقي، أما جذره التكعيبي فموجود وسالب.
إذا كان A³ = B فإن A = ∛B، حيث 3 «دليل الجذر» وB «المجذور»، و∛x³ = x لكل x ∈ ℝ.
شروط «أبسط صورة»: لا عوامل أسّها ≥ دليل الجذر، ولا جذر في المقام، ولا كسر تحت الجذر، ودليل الجذر أصغر ما يمكن.
√x² = |x| دائمًا، بينما ∛x³ = x بلا قيمة مطلقة.
لا نجمع التعبيرات الجذرية ولا نطرحها إلا إذا تشابهت في دليل الجذر والمجذور معًا، بعد وضعها في أبسط صورة.
√(x • y) = √x • √y و√(x/y) = √x/√y لكل x , y ∈ ℝ⁺ ∪ {0} مع y ≠ 0، والخاصيتان نفساهما للجذر التكعيبي لكل x , y ∈ ℝ.
لجعل المقام عددًا نسبيًّا نضرب بسط الكسر ومقامه في «المرافق»، والمرافق ليس وحيدًا.

الزبدة: التبسيط في الجذور معناه تحليل المجذور إلى مربعات كاملة أو مكعبات كاملة ثم سحبها خارج الجذر. · الجذر التربيعي يفرض شرط عدم السالبية ويظهر القيمة المطلقة، أما الجذر التكعيبي فيقبل جميع الأعداد الحقيقية بلا قيمة مطلقة. · المرافق أداة لتحويل مقام غير نسبي إلى مقام نسبي دون تغيير قيمة الكسر.

الأسئلة المهمة (8)

عرّف «الجذر التكعيبي» للعدد B، وحدّد «دليل الجذر» و«المجذور».: إذا كان A³ = B فإن A = ∛B وتقرأ الجذر التكعيبي للعدد B، حيث 3 هو دليل الجذر وB هو المجذور.
كم جذرًا تربيعيًّا حقيقيًّا وكم جذرًا تكعيبيًّا حقيقيًّا لكل من: عدد موجب، الصفر، عدد سالب؟: العدد الموجب: جذران تربيعيان وجذر تكعيبي واحد. الصفر: جذر تربيعي واحد وجذر تكعيبي واحد. العدد السالب: لا جذر تربيعي حقيقي وجذر تكعيبي واحد.
اذكر شروط كون التعبير الجذري في «أبسط صورة».: ألا يكون للمجذور عوامل مرفوعة لقوة أكبر من أو تساوي دليل الجذر، وألا يكون المقام جذرًا، وألا يكون المجذور كسرًا، وأن يكون دليل الجذر أصغر عدد صحيح موجب ممكن.
علّل: نكتب √(4x⁶) = |2x³| ولا نكتبها 2x³ مباشرة.: لأن √x² = |x| لكل x حقيقي، وقد يكون x سالبًا فيصير 2x³ سالبًا بينما الجذر التربيعي لا يكون سالبًا؛ فتكون النتيجة 2x³ إذا كان x ≥ 0 و−2x³ إذا كان x < 0.
متى يكون التعبيران الجذريان متشابهين؟ ولماذا يجب التبسيط قبل الحكم؟: يكونان متشابهين عندما يكون لهما دليل الجذر نفسه والمجذور نفسه. ويجب وضعهما في أبسط صورة أولًا لأن التشابه قد لا يظهر قبل التبسيط، مثل √27 و√12.
عرّف «المترافقين»، وأعطِ مثالًا من الكتاب.: إذا كان x, y تعبيرين جذريين يمثلان أعدادًا غير نسبية وكان ناتج ضرب x في y عددًا نسبيًّا فإن x, y مترافقان؛ مثل (3 + √2) و(3 − √2) لأن حاصل ضربهما 9 − 2 = 7 وهو عدد نسبي.
كيف نكتب الكسر 3/∛5 بحيث يكون المقام عددًا نسبيًّا؟: نضرب بسط الكسر ومقامه في ∛5² وهو مرافق المقام، فيصير المقام ∛5³ = 5، والناتج 3∛25/5.
علّل: √−4 ∉ ℝ.: لأن العدد السالب ليس له جذر تربيعي حقيقي؛ فلا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب.

الدرس 2: الأسس النسبية

دليل الجذر في الصورة الجذرية يصبح مقامًا للأس في الصورة الأسية، فـ x^(1/n) = ⁿ√x.
إذا كان بسط الأس غير الواحد فإن x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ) = (ⁿ√x)ᵐ بشرط أن يكون m/n في أبسط صورة.
تعريف الجذر النوني: إذا كان b = ⁿ√a عددًا حقيقيًّا فإن a = bⁿ حيث n ∈ ℤ⁺ و n ≥ 2.
ⁿ√(xⁿ) = |x| إذا كان n زوجيًّا، و ⁿ√(xⁿ) = x إذا كان n فرديًّا.
قوانين الأسس النسبية هي قوانين الأسس نفسها: bᵐ • bⁿ = bᵐ⁺ⁿ ، (bᵐ)ⁿ = bᵐ·ⁿ ، (a • b)ⁿ = aⁿ • bⁿ ، b⁻ⁿ = 1/bⁿ ، bᵐ/bⁿ = bᵐ⁻ⁿ ، (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.
قوانين الجذور النونية: ⁿ√x • ⁿ√y = ⁿ√(x • y) ، و ⁿ√x/ⁿ√y = ⁿ√(x/y) بشرط y ≠ 0 ، و ⁿ√(ᵐ√x) = ᵐ·ⁿ√x.
لضرب الجذور النونية أو قسمتها يمكن استعمال الصورة الأسية أو قوانين الجذور النونية، والنتيجة واحدة.

الزبدة: الجذر والأس النسبي وجهان لشيء واحد: المقام هو دليل الجذر، والبسط هو أس المجذور. · الدليل الزوجي يفرض القيمة المطلقة، أما الدليل الفردي فلا. · كل مسألة في هذا الدرس تُحل بطريقتين: قوانين الأسس أو قوانين الجذور النونية.

الأسئلة المهمة (7)

اكتب العلاقة التي تربط بين الصورة الجذرية والصورة الأسية لعدد.: x^(1/n) = ⁿ√x ، وبصورة أعم x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ) = (ⁿ√x)ᵐ حيث m/n في أبسط صورة.
عرّف «الجذر النوني» للعدد a.: إذا كان a عددًا حقيقيًّا و n ∈ ℤ⁺ ، n ≥ 2 ، وكان ⁿ√a عددًا حقيقيًّا يساوي b حيث b = ⁿ√a ، فإن a = bⁿ.
متى نكتب ⁿ√(xⁿ) = |x| ومتى نكتبها x؟ ولماذا؟: نكتبها |x| إذا كان n عددًا زوجيًّا، ونكتبها x إذا كان n عددًا فرديًّا؛ لأن الجذر ذا الدليل الزوجي لا يكون سالبًا، بينما الجذر ذو الدليل الفردي يحتفظ بإشارة المجذور.
اكتب العدد 25^(3/2) بالصورة الجذرية، مبيّنًا الخطوات.: 25^(3/2) = 25^(3 × 1/2) = (25³)^(1/2) = √25³.
اذكر قوانين الجذور النونية الثلاثة.: ⁿ√x • ⁿ√y = ⁿ√(x • y) ، و ⁿ√x/ⁿ√y = ⁿ√(x/y) بشرط y ≠ 0 ، و ⁿ√(ᵐ√x) = ᵐ·ⁿ√x حيث ⁿ√(ᵐ√x) ∈ ℝ.
علّل: يمكن حل ∛16/∛2 بطريقتين مختلفتين والنتيجة واحدة.: لأن الصورة الجذرية والصورة الأسية تعبيران عن الشيء نفسه؛ فالطريقة الأولى تستعمل قانون قسمة الجذور النونية والثانية تستعمل قانون قسمة الأسس، وكلتاهما تعطيان 2.
كيف نُدخل الأس النسبي إلى الآلة الحاسبة؟: نستخدم مفتاح الأس ونضع الأس النسبي بين قوسين؛ فمثلًا 432^(3/5) تُدخل هكذا: 432 ^ (3 ÷ 5).

الدرس 3: حل المعادلات

«المعادلة الجذرية» معادلة يكون فيها أس المتغير عددًا نسبيًّا أو يتضمن المجذور متغيرًا.
خطوات حل المعادلة الجذرية أربع: افصل الجذر، حدّد شرط الحل، ارفع الطرفين إلى أس مناسب، تأكد من تحقق الشرط.
شرط الحل: إذا كان دليل الجذر زوجيًّا فما تحت الجذر ≥ 0 وكل من طرفي المعادلة ≥ 0؛ وإذا كان فرديًّا فما تحت الجذر ينتمي إلى ℝ.
رفع طرفي المعادلة إلى قوة قد يُنتج «حلولًا دخيلة» لا تحقق الشرط، فيجب استبعادها.
لحل معادلة على صورة x^(m/n) = b نرفع الطرفين إلى الأس n/m، فتظهر القيمة المطلقة إذا كان m زوجيًّا.
إذا احتوت المعادلة على جذرين فُصل كل جذر في طرف ثم رُبّع الطرفان.
«المعادلة الأسية» تُحل بتوحيد الأساس ثم مساواة الأسّين: إذا كان aᵐ = aⁿ فإن m = n بشرط a ∉ {−1 , 0 , 1}.
قد يكون الأس «كثيرة حدود»، فتُساوى كثيرتا الحدود وتُحل المعادلة الناتجة بالتحليل.

الزبدة: الجذر لا يعطي ناتجًا سالبًا، ولهذا يسبق شرطُ الحل الحلَّ نفسه ويحكم عليه. · كل حل نحصل عليه بعد رفع الطرفين إلى قوة يبقى مشكوكًا فيه حتى يُختبر بالشرط. · المعادلة الأسية تُحل بتوحيد الأساس، تمامًا كما تُحل الجذرية بتوحيد الصورة وإزالة الجذر.

الأسئلة المهمة (8)

عرّف «المعادلة الجذرية»، وأعطِ مثالًا ومثالًا مضادًّا من الكتاب.: هي معادلة يكون فيها أس المتغير عددًا نسبيًّا (ليس عددًا صحيحًا) أو يتضمن المجذور متغيرًا؛ فمثلًا 3 + √x = 10 معادلة جذرية، و(x − 2)^(1/2) = 1 معادلة جذرية، أما √3 + x = 1 فليست معادلة جذرية.
اذكر خطوات حل المعادلة الجذرية كما وردت في الكتاب.: الأولى: أفصل الجذر إلى أحد طرفي المعادلة. الثانية: حدد شرط الحل. الثالثة: ارفع طرفي المعادلة إلى أس مناسب يحذف الجذر. الرابعة: تأكد من أن الحل يحقق الشرط.
ما «الحل الدخيل»؟ ومتى يظهر؟ وكيف نتخلص منه؟: هو حل نحصل عليه من المعادلة لكنه لا يحقق شرط الحل. ويظهر عند رفع طرفي المعادلة إلى قوة ما. ونتخلص منه بالخطوة الرابعة، أي بفحص كل حل مع الشرط واستبعاد ما لا يحققه، كما استُبعد x = 4 في مثال (3).
علّل: مجموعة حل المعادلة 6 + √(x − 1) = 3 هي المجموعة الخالية.: لأننا بعد فصل الجذر نحصل على √(x − 1) = −3، والجذر التربيعي موجب أو صفر ولا يساوي عددًا سالبًا، فلا توجد قيمة لـ x تحقق المعادلة.
اكتب الخاصية المستخدمة في حل المعادلات الأسية، وشرطها.: ليكن a عددًا حقيقيًّا حيث a ∉ {−1 , 0 , 1} و m , n عددان صحيحان؛ إذا كان aᵐ = aⁿ فإن m = n.
علّل: استُثنيت الأعداد −1 و0 و1 من أساس المعادلة الأسية.: لأنها تنقض القاعدة؛ فمثلًا 1¹⁷ = 1¹⁸ ولكن 17 ≠ 18، و(−1)¹³ = (−1)³ ولكن 13 ≠ 3، و0⁴ = 0³ ولكن 4 ≠ 3.
كيف نتصرف إذا احتوت المعادلة على جذرين؟: نفصلهما بحيث يحتوي كل طرف في المعادلة على جذر، ثم نحدد شرط الحل من المجذورين معًا، ثم نربّع الطرفين.
في مسألة «المرشد لحل المسائل»: ما نسبة حجم الكرة إلى حجم المكعب المحاط بها؟: حجم المكعب x³، وقطر الكرة هو قطر المكعب AB = x√3 فيكون نصف القطر R = x√3/2، وحجم الكرة ≈ 1.57√3 x³، فتكون النسبة ((1.57) × x³√3)/x³ = 2.72/1 أي حوالي 2.72 ∶ 1.

الوحدة 2الوحدة الثانية: الدوال الحقيقية

الدرس 1: مجال الدالة

«العلاقة» هي أي مجموعة من الأزواج المرتبة؛ المساقط الأولى تكوّن «المجال»، والمساقط الثانية تكوّن «المدى» وهو مجموعة جزئية من «المجال المقابل».
العلاقة تكون «دالة» عندما يرتبط كل عنصر في المجال بعنصر واحد وفقط من المجال المقابل.
«الدالة الحقيقية» هي التي مجالها ومجالها المقابل مجموعتان جزئيتان من الأعداد الحقيقية.
«اختبار المستقيم الرأسي»: إذا تقاطع كل مستقيم رأسي مع بيان العلاقة بنقطة واحدة على الأكثر فالعلاقة دالة.
«مجال الدالة» هو مجموعة قيم x الحقيقية التي ينتج عنها قيم حقيقية لـ y.
مجال كثيرة الحدود هو ℝ، ومجال الدالة النسبية ℝ عدا أصفار المقام، ومجال الجذر ذي الدليل الزوجي يشترط g(x) ≥ 0، والجذر ذو الدليل الفردي مجاله مجال g.
مجال المجموع والفرق والضرب هو تقاطع مجالي الدالتين، ومجال القسمة هو التقاطع نفسه بعد حذف أصفار المقام.

الزبدة: الدالة قيد على العلاقة: لكل مدخل مخرج واحد فقط، لا أكثر ولا أقل. · إيجاد المجال معناه جمع كل الشروط التي تمنع الرياضيات من الانهيار: لا جذر لعدد سالب بدليل زوجي، ولا قسمة على صفر. · عند تركيب دالتين نأخذ تقاطع المجالين ثم نستبعد أصفار المقام.

الأسئلة المهمة (8)

عرّف «الدالة»، ومتى تسمى «دالة حقيقية»؟: عندما يكون كل عنصر (عدد) في المجال مرتبطًا بعنصر (عدد) واحد وفقط من المجال المقابل، فإن العلاقة تسمى دالة. وتسمى دالة حقيقية إذا كان مجالها والمجال المقابل مجموعتين جزئيتين من الأعداد الحقيقية.
ما الفرق بين «المجال المقابل» و«المدى»؟: المجال المقابل هو المجموعة الثانية كاملة، أما المدى فهو مجموعة المساقط الثانية للأزواج المرتبة فقط، أي العناصر التي اقترنت فعلًا، وهو مجموعة جزئية من المجال المقابل.
اذكر نص «اختبار المستقيم الرأسي».: إذا تقاطع كل مستقيم رأسي مع بيان علاقة ما بنقطة واحدة على الأكثر، فإن هذه العلاقة تكون دالة.
علّل: العلاقة r₁ في مثال توضيحي (1) لا تمثل دالة.: لأن العنصر 6 من المجال لم يقترن بعنصر من المجال المقابل، وشرط الدالة أن يقترن كل عنصر من المجال بعنصر واحد وفقط.
علّل: العلاقة r₄ في مثال توضيحي (1) لا تمثل دالة حقيقية.: لأن العنصر 3 من المجال يقترن بعنصرين من المجال المقابل هما 2 و4، وشرط الدالة عنصر واحد وفقط.
اذكر قاعدة مجال الدالة 𝑓(x) = ⁿ√(g(x)) في حالتي n الزوجي والفردي.: إذا كان n عددًا زوجيًّا فمجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي تحقق الشرط g(x) ≥ 0. وإذا كان n عددًا فرديًّا فمجالها هو مجال الدالة g.
أوجد مجال الدالة h(x) = (x + 2)/(x − 4) موضّحًا الخطوات.: الدالة نسبية، والبسط والمقام كثيرتا حدود مجالهما ℝ. ولإيجاد أصفار المقام: x − 4 = 0 ومنه x = 4. إذن مجال h = ℝ/{4} أو (−∞ , 4) ∪ (4 , ∞).
أوجد مجال الدالة v(x) = √(3x − 4)/(x − 2).: مجال البسط يتطلب 3x − 4 ≥ 0 أي x ≥ 4/3 فمجاله [4/3 , ∞)، والمقام كثيرة حدود مجالها ℝ وأصفاره {2}. فيكون مجال v = [4/3 , ∞)/{2} أو [4/3 , 2) ∪ (2 , ∞).

الدرس 2: الدوال التربيعية ونمذجتها

الصورة العامة للدالة التربيعية: 𝑓(x) = ax² + bx + c حيث a,b,c ∈ ℝ و a ≠ 0 ؛ فيها ax² «حد من الدرجة الثانية»، و bx «حد من الدرجة الأولى»، و c «حد مطلق (ثابت)».
أكبر أس لمتغير ما في الدالة التربيعية هو (2)، وتكون الدالة خطية إذا كان أكبر أس لمتغير فيها هو (1)؛ ولمعرفة النوع نكتب الدالة بالصورة العامة أولًا بالتوزيع بالضرب وجمع الحدود المتشابهة.
تمثل الدالة التربيعية بيانيًّا بمنحنى متماثل حول المستقيم الرأسي المار برأس المنحنى، ويسمى شكله «قطعًا مكافئًا» (parabola)، والإحداثي السيني للرأس x = −b⁄2a وهو معادلة «محور التماثل».
لنمذجة بيانات جدول بدالة تربيعية: نفرض 𝑓(x) = ax² + bx + c ، ونعوّض بثلاثة أزواج مرتبة من الجدول فينتج نظام ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل يحل بطريقة الحذف أو التعويض أو بآلة حاسبة، ثم نتحقق بالتعويض ببقية الأزواج.

الزبدة: الدالة تربيعية إذا أمكن كتابتها بالصورة 𝑓(x) = ax² + bx + c بشرط a ≠ 0 ؛ والحكم على نوعها يكون بعد ردّها إلى هذه الصورة لا من شكلها الظاهر. · النمذجة تعني إيجاد ثوابت الدالة a و b و c من أزواج الجدول، فتتحول أرقام الجدول إلى دالة تتنبأ بقيم لم ترد فيه.

الأسئلة المهمة (5)

ما الصورة العامة للدالة التربيعية؟ وما اسم كل حد من حدودها؟: الصورة العامة هي 𝑓(x) = ax² + bx + c حيث a,b,c ∈ ℝ و a ≠ 0. والحد ax² يسمى «حدًّا من الدرجة الثانية»، والحد bx يسمى «حدًّا من الدرجة الأولى»، والحد c يسمى «حدًّا مطلقًا (ثابتًا)».
كيف تميّز بين الدالة الخطية والدالة التربيعية؟: بأكبر أس للمتغير بعد كتابة الدالة بالصورة العامة: أكبر أس لمتغير ما في الدالة التربيعية هو (2)، وتكون الدالة خطية إذا كان أكبر أس لمتغير فيها هو (1). فإن كانت الدالة على صورة أقواس مضروبة نفتح الأقواس بالتوزيع بالضرب ثم نجمع الحدود المتشابهة، ثم نحكم.
ما شكل التمثيل البياني للدالة التربيعية؟ وما محور التماثل؟: تمثل الدالة التربيعية بيانيًّا بمنحنى متماثل حول المستقيم الرأسي الذي يمر برأس المنحنى، ويسمى شكل المنحنى «قطعًا مكافئًا» (parabola). والإحداثي السيني لرأس هذا المنحنى x = −b⁄2a وهو معادلة المستقيم الرأسي الذي يسمى «محور التماثل».
اذكر الإجراءات اللازمة لحل ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل.: لحل ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل يمكن استخدام طريقة الحذف أو طريقة التعويض. تقوم طريقة التعويض على عزل أحد المجاهيل في إحدى المعادلات والتعويض عن هذا المجهول بما يساويه في المعادلتين الباقيتين، وهكذا نحصل على نظام معادلتين بمجهولين يسهل حلّه. أما طريقة الحذف فتقوم على استخدام العمليات الأربع على المعادلات بحيث يتم إلغاء أحد المجاهيل وينتج من ذلك نظام معادلتين بمجهولين.
علّل: لا يكفي أن نعوّض بزوجين مرتبين من الجدول لنجد الدالة التربيعية التي تنمذج بياناته.: لأن الدالة التربيعية 𝑓(x) = ax² + bx + c فيها ثلاثة ثوابت مجهولة هي a و b و c، والزوجان يعطيان معادلتين فقط، والنظام الناتج لا يكفي لتعيين ثلاثة مجاهيل. لذلك اختار الكتاب في كل نشاط ثلاثة أزواج مرتبة ليكوّن نظام ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل، ثم تحقق من صحة الدالة بالتعويض ببقية الأزواج.

الدرس 3: الدوال التربيعية والقطوع المكافئة

«رأس القطع المكافئ» هو أعلى (أو أدنى) نقطة في القطع المكافئ؛ فإن كانت أعلى نقطة فللدالة عندها «قيمة عظمى» وفتحة القطع لأسفل، وإن كانت أدنى نقطة فللدالة عندها «قيمة صغرى» وفتحة القطع لأعلى.
«محور التماثل (التناظر)» يقسم القطع المكافئ إلى جزئين متطابقين، ومعادلته x = x₁ حيث x₁ الإحداثي السيني لنقطة رأس القطع، وكل نقطتين متناظرتين تقعان على البعد نفسه منه.
معادلة الدالة التي تمثل قطعًا مكافئًا رأسه (0, 0) هي y = ax² ، ومحور تماثله x = 0 ، ولإيجاد a نستخدم إحداثيات نقطة على المنحنى غير نقطة الرأس.
يتغير «اتساع القطع المكافئ» تبعًا لتغير معامل حد الدرجة الثانية؛ فكلما زادت قيمة المعامل ضاق القطع المكافئ.
المعادلة y = a(x − h)² + k ، حيث a ≠ 0 و h ,k ∈ ℝ ، تسمى «معادلة القطع المكافئ بدلالة إحداثيات رأسه (h, k)» وهي عبارة عن إزاحة لبيان الدالة y = ax² .
من المعادلة y = a(x − h)² + k نعرف: الرأس (h, k) ، ومحور التماثل x = h ، والفتحة لأعلى إذا كانت a موجبة ولأسفل إذا كانت a سالبة، والرسم أوسع من y = x² إذا كان | a | < 1 وأضيق منه إذا كان | a | > 1 .

الزبدة: معادلة القطع المكافئ بدلالة إحداثيات رأسه y = a(x − h)² + k تختصر كل خواصه: الرأس ومحور التماثل واتجاه الفتحة والاتساع. · إذا كان رأس القطع نقطة الأصل فمعادلته y = ax² ، وقيمة a تُوجد بالتعويض بإحداثيات أي نقطة على المنحنى غير نقطة الرأس. · إشارة a تحدد اتجاه فتحة القطع ونوع القيمة عند الرأس: a موجبة تعني فتحة لأعلى وقيمة صغرى، و a سالبة تعني فتحة لأسفل وقيمة عظمى.

الأسئلة المهمة (6)

عرّف «رأس القطع المكافئ».: هو أعلى (أو أدنى) نقطة في القطع المكافئ الذي يمثّل الدالة التربيعية بيانيًّا؛ فإن كان أعلى نقطة فللدالة عنده أكبر قيمة وتسمى «قيمة عظمى» وفتحة القطع لأسفل، وإن كان أدنى نقطة فللدالة عنده أصغر قيمة وتسمى «قيمة صغرى» وفتحة القطع لأعلى.
عرّف «محور التماثل (التناظر)» واكتب معادلته.: هو المستقيم الذي يقسم القطع المكافئ إلى جزئين متطابقين، كل جزء صورة للآخر بالانعكاس في المحور، فكل نقطة على القطع تناظرها نقطة أخرى تقع على البعد نفسه من المحور. ومعادلته x = x₁ حيث x₁ الإحداثي السيني لنقطة رأس القطع.
علّل: القطع المكافئ الذي معادلته y = −1⁄2 x² مفتوح إلى أسفل.: لأن معامل حد الدرجة الثانية a = −1⁄2 و −1⁄2 < 0 ، وتكون فتحة القطع المكافئ إلى الأسفل عندما تكون a سالبة.
اذكر المعلومات التي تمدك بها المعادلة y = a(x − h)² + k .: تمدك بأربع معلومات: رأس المنحنى هو النقطة (h, k) ، ومحور التماثل هو الخط x = h ، وفتحة القطع إلى الأعلى عندما تكون a موجبة وإلى الأسفل عندما تكون a سالبة، والرسم يكون أوسع من رسم y = x² إذا كان | a | < 1 وأضيق منه إذا كان | a | > 1 .
كيف يؤثر تغير معامل حد الدرجة الثانية في القطع المكافئ؟: كل القطوع المكافئة لها الشكل العام نفسه، ويتغير «اتساع القطع المكافئ» تبعًا لتغير معامل حد الدرجة الثانية؛ فكلما زادت قيمة المعامل صار القطع أضيق، وكلما صغرت صار أوسع، كما في منحنيات y = 2x² و y = x² و y = 1⁄2 x² .
قارن بين تأثير قيمة a الموجبة وقيمة a السالبة في المعادلة y = a(x − h)² + k .: إذا كانت a موجبة فإن فتحة القطع المكافئ إلى الأعلى ويكون عند الرأس قيمة صغرى للدالة، وإذا كانت a سالبة فإن فتحة القطع المكافئ إلى الأسفل ويكون عند الرأس قيمة عظمى للدالة.

الدرس 4: مقارنة بين صورة معادلة الدالة التربيعية بدلالة إحداثيات رأس المنحنى والصورة العامة (إثرائي)

إذا كتبت معادلة الدالة في «الصورة العامة» y = ax² + bx + c ، a ≠ 0 ، فإن الإحداثي السيني «لرأس القطع المكافئ» هو: h = −b/2a .
لإيجاد الإحداثي الصادي k عوّض بقيمة الإحداثي السيني h في المعادلة الأصلية ثم بسّط.
صورة المعادلة بدلالة إحداثيات رأس المنحنى هي: y = a(x − h)² + k ، a ≠ 0 ، حيث (h, k) إحداثيا الرأس.
كل زوج من المعادلتين — الواحدة بالصورة العامة والأخرى بدلالة إحداثيات الرأس — معادلتان متكافئتان، ورسماهما منحنى واحد.
محور التماثل يمر برأس القطع المكافئ، ومعادلته: x = −b/2a .
للتحويل من صورة الرأس إلى الصورة العامة: أوجد حاصل ضرب القوسين، ثم استخدم خاصية التوزيع، ثم بسّط.
في المسائل الحياتية: القيمة العظمى (أكبر مساحة أو أعلى ربح) تتحقق عند رأس المنحنى، فالسعر أو البعد هو x = −b/2a ، وقيمة العظمى هي قيمة الدالة عند هذه النقطة.

الزبدة: الصورة العامة والصورة بدلالة إحداثيات رأس المنحنى وجهان لمعادلة واحدة، والجسر بينهما هو h = −b/2a ثم التعويض لإيجاد k. · رأس القطع المكافئ ليس مفهومًا نظريًا فقط: عنده تتحقق أكبر مساحة وأعلى ربح في المسائل الحياتية. · إذا عُلم الرأس وعُلمت الصورة العامة، أمكنك إيجاد المعاملات إما بالتعويض وحل النظام، وإما بالمقارنة بين الصورتين.

الأسئلة المهمة (6)

كيف تجد الإحداثي السيني لرأس منحنى دالة تربيعية مكتوبة بالصورة العامة y = ax² + bx + c ؟: بالقانون h = −b/2a ؛ أي أقسم سالب معامل x على ضعف معامل x² .
كيف تجد الإحداثي الصادي k لرأس المنحنى؟: عوّض بقيمة الإحداثي السيني h في المعادلة الأصلية ثم بسّط، فالناتج هو k . ففي مثال (1) عند h = −2.5 كان k = 2(−2.5)² + 10(−2.5) + 7 = −5.5 .
ما العلاقة بين محور التماثل ورأس القطع المكافئ، وما معادلة محور التماثل للقطع المكافئ y = ax² + bx + c ؟: محور التماثل يمر برأس القطع المكافئ، فمعادلته هي الإحداثي السيني للرأس نفسه: x = −b/2a . فمثلًا محور تماثل y = 2x² + 10x + 7 هو x = −10/2(2) = −2.5 .
كيف تحوّل معادلة من الصورة بدلالة إحداثيات الرأس إلى الصورة العامة؟: أوجد حاصل ضرب القوسين أولًا، ثم استخدم خاصية التوزيع، ثم بسّط. ففي مثال (3): y = 3(x − 1)² + 12 ⇒ y = 3(x² − 2x + 1) + 12 ⇒ y = 3x² − 6x + 3 + 12 ⇒ y = 3x² − 6x + 15 .
لماذا نستخدم رأس القطع المكافئ في مسائل أكبر مساحة وأعلى ربح؟: لأن المساحة أو الربح تُنمذج بدالة تربيعية بيانها قطع مكافئ له قيمة عظمى عند رأس المنحنى، فتتحقق القيمة العظمى عند x = −b/2a ، وقيمة العظمى هي قيمة الدالة عند هذه النقطة.
ما الصيغة التي تربط بين a و b و h والتي توصّلت إليها في فقرة «عمل تعاوني»؟: من أول زوجين حيث a = 1 كانت h = −b/2 ، وبتوسيعها بالزوجين الأخيرين تصبح h = −b/2a .

الدرس 5: المعكوسات ودوال الجذر التربيعي

إذا كان (a, b) زوجًا مرتبًا من علاقة r فإن (b, a) زوج مرتب من معكوس هذه العلاقة، ويرمز لمعكوس العلاقة r بالرمز r⁻¹.
مدى العلاقة r هو مجال معكوسها، ومجال r هو مدى معكوسها؛ فالمجال والمدى يتبادلان مواقعهما.
المستقيم y = x هو خط انعكاس لبيان العلاقة وبيان معكوسها، ولرسم المعكوس اعكس ترتيب كل زوج مرتب.
معكوس الدالة الخطية هو دالة خطية أيضًا، ولكن معكوس الدالة عمومًا ربما لا يكون دالة كما في 𝑓(x) = x² + 3.
لإيجاد المعكوس جبريًا: عوّض عن 𝑓(x) بـ y ، ثم بدّل x , y ، ثم حل بالنسبة إلى y.
المعادلة y = √x دالة جذر تربيعي، مجالها [0, ∞) ومداها [0, ∞).
بيان y = √(x − h) + k ينتج من إزاحة بيان y = √x : h موجبة يمينًا و h سالبة يسارًا، و k موجبة إلى الأعلى و k سالبة إلى الأسفل، ويبدأ البيان عند النقطة (h, k).

الزبدة: المعكوس يعكس الترتيب فقط: ما كان مدخلًا صار مخرجًا، ولذلك يتبادل المجال والمدى وينعكس البيان حول المستقيم y = x. · لكل علاقة معكوس، لكن هذا المعكوس ليس دالة دائمًا؛ وتقييد مجال الدالة الأصلية هو الذي يجعل معكوسها دالة. · دالة الجذر التربيعي y = √(x − h) + k ليست دالة جديدة، بل هي دالة المرجع y = √x بعد إزاحة أفقية ورأسية.

الأسئلة المهمة (8)

عرّف معكوس العلاقة r كما ورد في الكتاب.: إذا كانت r علاقة تصل بين عنصر a من مجال r وعنصر b من مدى r فإن معكوس العلاقة r يصل من b إلى a؛ أي إذا كان (a, b) زوجًا مرتبًا من العلاقة r فإن (b, a) زوج مرتب من معكوس هذه العلاقة، ويرمز له بالرمز r⁻¹.
ما العلاقة بين مجال العلاقة ومدى معكوسها؟: مدى العلاقة r هو مجال معكوس هذه العلاقة، ومجال r هو مدى معكوسها.
علّل: العلاقة S في المثال التوضيحي تمثل دالة بينما معكوسها لا يمثل دالة.: العلاقة S تمثل دالة لأن كل عنصر من المجال يقترن بعنصر واحد فقط من المجال المقابل، بينما معكوس S لا يمثل دالة لأن العنصر (1) من المجال يقترن بعنصرين من المجال المقابل.
اذكر خطوات إيجاد معكوس الدالة جبريًا.: إذا كانت الدالة تستخدم الرمز 𝑓(x) عوّض عن 𝑓(x) بـ y ، ثم بدّل بين متغيري الدالة x , y ، ثم حل المعادلة بالنسبة إلى y ؛ فتكون المعادلة الناتجة هي معكوس الدالة.
أوجد معكوس الدالة 𝑓(x) = x² + 3 ثم ناقش: هل المعكوس دالة؟: نعوض عن 𝑓(x) بـ y فتصير y = x² + 3 ، ثم نبدل x , y فتصير x = y² + 3 ، ثم x − 3 = y² ، ثم y = ± √(x − 3). ومعكوس الدالة ربما لا يكون دالة، لأن معكوس القطع المكافئ قطع مكافئ مفتوح لليمين وتوجد قيمتان لـ y لبعض قيم x. أما عند x ≥ 0 فالمعكوس y = √(x − 3) وهو دالة، وعند x ≤ 0 فالمعكوس y = −√(x − 3) وهو دالة أيضًا.
ما مجال الدالة y = √x ومداها؟ ولماذا؟: المجال [0, ∞) لأن الدالة معرفة فقط بالنسبة إلى صفر وإلى القيم الموجبة لـ x أي عندما x ≥ 0 ، والمدى [0, ∞) لأن y ≥ 0 وهي قيم الدالة عند المجال المعطى.
كيف تحصل على بيان الدالة y = √(x + 3) − 4 من بيان دالة المرجع y = √x ؟: بإزاحة بيان الدالة y = √x ثلاث وحدات إلى اليسار لأن h = −3 سالبة، وأربع وحدات إلى الأسفل لأن k = −4 سالبة، فيبدأ البيان عند النقطة (−3, −4).
ما دور المستقيم y = x في رسم معكوس العلاقة؟: المستقيم y = x هو خط انعكاس لبيان العلاقة وبيان معكوسها؛ فكل نقطة في أحد البيانين تقابلها نقطة في الآخر منعكسة حول هذا المستقيم.

الدرس 6: حل المتباينات

لحل متباينة من الدرجة الثانية في متغير واحد: نكتب المعادلة المناظرة، ونحللها إلى عوامل أولية، ونجد أصفارها، ثم نكوّن الجدول ونقرأ منه مجموعة الحل.
عند ضرب طرفي متباينة في عدد سالب نعكس علاقة الترتيب، ويمكنك ضرب طرفي المتباينة في (−1) للسهولة حين يكون معامل x² سالبًا.
لحل متباينة تتضمن حدوديات نسبية: ننقل كل الحدود إلى طرف واحد ونوحّد المقام حتى تصير المتباينة كسرًا واحدًا مقارنًا بالصفر، ثم نحدد أصفار البسط وأصفار المقام ونستخدم الجدول.
الحدوديات النسبية غير معرّفة عند أصفار المقام، فتُكتب في الجدول «غير معرفة» عند تلك القيم وتُستبعد من مجموعة الحل.
من المهم جدًا تحديد أصفار المقام قبل الاختصار، كما في مثال (7) حيث بقيت x = 3 مستبعدة بعد اختصار العامل (x − 3) فكانت مجموعة الحل (2, ∞)/{3} = (2, 3) ∪ (3, ∞).
مجال الدالة الجذرية هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي تحقق شرط أن يكون المقدار تحت الجذر ≥ 0، فتتحول المسألة إلى متباينة تُحل بالجدول.
اتحاد فترتين يُكتب بصورة أخرى: (−∞, a) ∪ (b, ∞) = ℝ /[a, b] ، و(−∞, a] ∪ (b, ∞) = ℝ /(a, b] ، و(−∞, a) ∪ [b, ∞) = ℝ /[a, b) ، و(−∞, a] ∪ [b, ∞) = ℝ /(a, b).
في المسائل الحياتية نلتزم بالمجال الواقعي للمتغير، فيبدأ الجدول وينتهي عند طرفي هذا المجال كما في مثال (3) حيث كان x ∈ (0, 10).
بيانيًا: 𝑓(x) < y في الفترات التي يقع فيها المنحنى أسفل المستقيم، و𝑓(x) > y حيث يقع فوقه، ونقاط التقاطع هي حلول 𝑓(x) = y.

الزبدة: الجدول هو أداة الدرس الأولى: أصفار العوامل تقسم خط الأعداد إلى فترات، وإشارة الحاصل في كل فترة تحدد مجموعة الحل. · المتباينة النسبية تُحل بالجدول نفسه، لكن أصفار المقام تُستبعد دائمًا لأن الكسر غير معرّف عندها. · مجال الدالة الجذرية مسألة متباينة: ما تحت الجذر يجب أن يكون أكبر من الصفر أو يساويه. · الرسم البياني يعطي مجموعة الحل بالنظر إلى موقع المنحنى من المستقيم، والحل الجبري بالجدول يؤكد النتيجة نفسها.

الأسئلة المهمة (8)

ما خطوات حل متباينة من الدرجة الثانية في متغير واحد كما في الكتاب؟: نكتب المعادلة المناظرة بوضع علامة يساوي بدل علامة المتباينة، ثم نحللها إلى عوامل أولية، ثم نجد أصفار كل عامل، ثم نتبع إشارة كل عامل قبل صفره وبعده، ثم نكوّن الجدول ونقرأ إشارة حاصل الضرب في كل فترة، ونأخذ الفترات التي تحقق المتباينة المطلوبة.
لماذا نعكس علاقة الترتيب عند ضرب طرفي المتباينة في عدد سالب؟: لأن الضرب في عدد سالب يقلب ترتيب العددين على خط الأعداد، فالأكبر يصير أصغر والأصغر يصير أكبر؛ ولذلك يذكّرنا الكتاب: «عند ضرب طرفي متباينة في عدد سالب نعكس علاقة الترتيب»، كما في مثال (2) حين صارت −x² + 7x − 10 ≤ 0 هي x² − 7x + 10 ≥ 0.
لماذا تُستبعد أصفار المقام من مجموعة حل المتباينة النسبية؟: لأن «الحدوديات النسبية غير معرّفة عند أصفار المقام»، فالكسر لا قيمة له عندها؛ ولذلك نكتب في الجدول كلمة «غير معرفة» مكان الإشارة عند تلك القيمة ولا ندخلها في مجموعة الحل، كما في مثال (5) حيث خرجت x = −2 بقوس مفتوح.
كيف تجد مجال الدالة 𝑓(x) = √(x² − 4)؟: مجال الدالة 𝑓 هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي تحقق الشرط x² − 4 ≥ 0. نوجد المعادلة المناظرة x² − 4 = 0 ونحللها (x − 2)(x + 2) = 0 فنجد x = 2 أو x = −2، ثم نكوّن الجدول فنجد أن الحاصل موجب أو صفر على (−∞, −2] ∪ [2, +∞) = ℝ /(−2, 2)، وهو المجال.
ما الصورة الأخرى لكتابة الفترة (−∞, a] ∪ [b, ∞)؟: هي ℝ /(a, b) كما في جدول الكتاب؛ ولاحظ أن القوسين ينقلبان: الطرف المغلق في الصورة الأولى يصير مفتوحًا في الصورة الأخرى.
في مثال (7) لماذا كانت القيمة x = 3 غير مقبولة رغم اختصار العامل (x − 3)؟: لأنها صفر المقام في المتباينة قبل الاختصار، والحدودية النسبية غير معرّفة عندها؛ ولهذا يقول الكتاب: «من المهم جدًا تحديد أصفار المقام قبل الاختصار»، فكانت مجموعة الحل (2, ∞)/{3} = (2, 3) ∪ (3, ∞).
كيف تقرأ من الرسم البياني مجموعة حل المتباينة 𝑓(x) < y؟: نحدد أولًا نقطتي تقاطع المستقيم مع المنحنى، ثم نأخذ الفترات التي يقع فيها المنحنى أسفل المستقيم. ففي مثال (8) قطع المستقيم y = 5 المنحنى في (−4, 5) و(2, 5)، ونلاحظ أن 𝑓(x) < 5 ∀ x ∈ (−4, 2).
في مثال (3) لماذا كان المجال الواقعي للمتغير x هو (0, 10)؟: لأن المحيط 20 m فيكون L + W = 10 m، وإذا كان أحد البعدين x فالبعد الآخر 10 − x، والبعدان طولان موجبان، فيلزم 0 < x < 10 أي x ∈ (0, 10)؛ ولذلك كوّن الكتاب الجدول من 0 إلى 10 لا من −∞ إلى +∞.

الوحدة 3الوحدة الثالثة: كثيرات الحدود

الدرس 1: دوال القوى ومعكوساتها

دوال القوى هي الدوال التي على الشكل y = axⁿ ، a ≠ 0 ، n ∈ ℤ⁺ ، ويمكن كتابتها أيضًا على الصورة 𝑓(x) = axⁿ .
بيان الدوال التي على الصورة y = axⁿ حيث n عدد زوجي موجب و a ≠ 0 يشبه بيان y = x² و y = x⁴ ، وبيانها حيث n عدد فردي موجب يشبه بيان y = x³ .
تكون الدالة y = 𝑓(x) التي مجالها D دالة زوجية إذا وفقط إذا كان ∀x ∈ D ، −x ∈ D و 𝑓(−x) = 𝑓(x) .
تكون الدالة y = 𝑓(x) التي مجالها D دالة فردية إذا وفقط إذا كان ∀x ∈ D ، −x ∈ D و 𝑓(−x) = −𝑓(x) .
المحور الصادي هو محور تماثل (تناظر) لبيان كل دالة زوجية، ونقطة الأصل هي نقطة تماثل (تناظر) لبيان كل دالة فردية، وتوجد دوال ليست زوجية وليست فردية.
إذا كان (a, b) عنصرًا من العلاقة r فإن (b, a) عنصر من معكوسها r⁻¹ ، ومجال معكوس العلاقة هو مدى العلاقة، والمستقيم y = x خط تناظر بين نقاط العلاقة ونقاط معكوسها.
لإيجاد معكوس دالة: اعكس المتغيرين x , y ثم حل بالنسبة إلى y ، وليس بالضرورة أن يكون المعكوس دالة.
يرمز لمعكوس الدالة 𝑓 بالرمز 𝑓⁻¹ ، وعندما يقطع مستقيم رأسي المنحنى في موضعين فهذا المنحنى لا يمثل دالة.

الزبدة: زوجية الدالة أو فرديتها سؤال عن التماثل: المحور الصادي مرآةٌ للزوجية، ونقطة الأصل مركزُ دورانٍ للفردية. · الحكم على الدالة يكون بالحساب (نعوّض عن x بـ −x) أو بالنظر إلى الشكل البياني، والنتيجة واحدة. · الأس الزوجي يبتلع الإشارة السالبة فتبقى الدالة كما هي، والأس الفردي يُخرجها فتنقلب إشارة الدالة كلها. · معكوس الدالة يُوجد بعكس المتغيرين ثم الحل في y ، وقد يخرج معكوسًا ليس دالة إذا ظهرت الإشارتان ± .

الأسئلة المهمة (8)

متى تكون الدالة «دالة قوى»؟ اكتب صورتها العامة بشروطها.: تكون دوال القوى على الشكل: y = axⁿ ، بشرط أن يكون a ≠ 0 وأن يكون n ∈ ℤ⁺ أي عددًا صحيحًا موجبًا. ويمكن كتابتها أيضًا على الصورة 𝑓(x) = axⁿ .
عرّف الدالة الزوجية.: تكون الدالة y = 𝑓(x) التي مجالها D دالة زوجية إذا وفقط إذا كان: (1) ∀x ∈ D ، −x ∈ D . (2) 𝑓(−x) = 𝑓(x) .
عرّف الدالة الفردية.: تكون الدالة y = 𝑓(x) التي مجالها D دالة فردية إذا وفقط إذا كان: (1) ∀x ∈ D ، −x ∈ D . (2) 𝑓(−x) = −𝑓(x) .
ما العلامة البصرية التي تميّز بيان الدالة الزوجية عن بيان الدالة الفردية؟: في مستوى الإحداثيات، المحور الصادي هو محور تماثل (تناظر) لبيان كل دالة زوجية، أما بيان الدالة الفردية فنقطة الأصل هي نقطة تماثل (تناظر) له؛ ويكون لبيان دالة نقطة تماثل إذا دار بيان الدالة بزاوية قياسها 180° حول هذه النقطة وانطبق على نفسه.
علّل: الدالة h(x) = 4 دالة زوجية.: لأنها دالة ثابتة، فمهما عوّضنا عن x تبقى قيمتها 4 ، أي أن h(−x) = 4 = h(x) ، ∀x ، −x ∈ ℝ ، فيتحقق شرطا الزوجية.
علّل: الدالة y = (x + 2)² ليست زوجية وليست فردية.: بفرض أن y = v(x) ، فإن v(−x) = (−x + 2)² ≠ (x + 2)² ، ∀x ، −x ∈ ℝ ، أي v(−x) ≠ v(x) فليست زوجية؛ وكذلك v(−x) ≠ −(x + 2)² أي v(−x) ≠ −v(x) فليست فردية. ∴ الدالة ليست زوجية وليست فردية.
اذكر خطوات إيجاد معكوس الدالة كما في الكتاب، مطبقًا على y = 2x⁴ .: لاحظ أن y ≥ 0 ، ثم اعكس المتغيرين x , y فتصير x = 2y⁴ ، ثم حل بالنسبة إلى المتغير y فتصير x/2 = y⁴ ، ثم أوجد الجذر الرابع لكل من الطرفين فتصير (x/2)^(1/4) = |y| ، x ⩾ 0 ، ومنها ±(x/2)^(1/4) = y . ∴ معكوس y = 2x⁴ هو y = ± ⁴√(x/2) .
متى لا يكون معكوس الدالة دالة؟: بعض العلاقات تعتبر دوال، فإذا كان لدينا دالة فيمكننا إيجاد معكوسها، مع ملاحظة أنه ليس بالضرورة أن يكون المعكوس دالة؛ فمعكوس y = x² هو y = ±√x وهو ليس دالة، لأن المستقيم الرأسي يقطع منحناه في موضعين، وعندما يقطع مستقيم رأسي المنحنى في موضعين فهذا المنحنى لا يمثل دالة.

الدرس 2: الدوال الحدودية

الدالة الحدودية (كثيرة الحدود) تنتج من جمع دوال قوى وثوابت أو طرحها، وصورتها العامة P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ حيث n عدد صحيح غير سالب والمعاملات أعداد حقيقية.
الصورة العامة هي ترتيب الحدود تنازليًّا بحسب درجاتها بعد جمع كل الحدود المتشابهة.
أسماء الحدود في P(x) = 2x³ − 5x² − 2x − 5 هي: 2 المعامل الرئيسي، و x³ حد تكعيبي، و 5x² حد تربيعي، و 2x حد خطي، و 5 حد ثابت.
التصنيف بالدرجة: صفرية «ثابتة»، أولى «خطية»، ثانية «تربيعية»، ثالثة «تكعيبية»، رابعة «ذات القوة الرابعة». والتصنيف بعدد الحدود: حد واحد «أحادية»، وحدان «ثنائية»، وثلاثة «ثلاثية»، وأربعة «رباعية».
إذا كانت الدالة الحدودية من الدرجة n فإن لها على الأكثر (n + 1) حدًّا.
سلوك النهاية يصف امتداد طرفي المنحنى الأيمن والأيسر، وله أربعة نماذج: لأعلى ولأعلى، لأسفل ولأسفل، لأعلى ولأسفل، لأسفل ولأعلى.
يعين سلوك النهاية الحد الذي له أعلى درجة: الدرجة الزوجية تجعل الطرفين متفقين والفردية تجعلهما متعاكسين، والمعامل الرئيسي الموجب يجعل الطرف الأيمن لأعلى والسالب يجعله لأسفل.
يمكن نمذجة بيانات الحياة بكثيرة حدود من الدرجة الثالثة أو أكثر بالآلة الحاسبة البيانية، ثم استعمال جدول القيم للتقدير كما في نشاط إنتاج الذهب.

الزبدة: لتصنيف كثيرة حدود تحتاج أمرين فقط بعد كتابتها في الصورة العامة: أعلى درجة فيها، وعدد حدودها. · الحد ذو أعلى درجة وحده يحكم شكل طرفي المنحنى: الدرجة تقرر هل الطرفان متفقان أم متعاكسان، وإشارة المعامل الرئيسي تقرر اتجاه الطرف الأيمن. · كثيرة الحدود ليست تمرينًا مجردًا؛ فهي نموذج يقدّر بيانات حقيقية مثل إنتاج العالم من الذهب.

الأسئلة المهمة (7)

عرّف الدالة الحدودية (كثيرة الحدود) كما في الكتاب، واكتب صورتها العامة.: عندما تجمع دوال قوى وثوابت أو تطرحها فإنك تحصل على دالة حدودية (دالة كثيرة الحدود)، وصورتها العامة P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ حيث n عدد صحيح غير سالب و aₙ , aₙ₋₁ , aₙ₋₂ ... , a₀ أعدادًا حقيقية.
ما المقصود بالصورة العامة لكثيرة الحدود؟: هي ترتيب حدود كثيرة الحدود تنازليًّا بحسب درجاتها بعد جمع كل الحدود المتشابهة؛ فمثلًا −7x + 5x⁴ صورتها العامة 5x⁴ − 7x.
بكم طريقة تصنف كثيرة الحدود؟ اذكرهما مع مثال.: تصنف بطريقتين: بأعلى درجة لها، وبعدد الحدود التي تحتويها. فمثلًا 3x² + 5x − 2 من الدرجة الثانية فتسمى تربيعية، ولها ثلاثة حدود فتسمى ثلاثية.
علّل: كثيرة الحدود من الدرجة n لها على الأكثر (n + 1) حدًّا.: لأن الصورة العامة تبدأ بالحد ذي الدرجة n ثم تتنازل درجة درجة حتى الحد الثابت الذي درجته صفر، فالدرجات الممكنة هي n ، n − 1 ، ... ، 1 ، 0 وعددها (n + 1) حدًّا.
ما سلوك النهاية؟ وكم نموذجًا له لكثيرة حدود؟: سلوك النهاية لمنحنى دالة يصف امتداد طرفيه الأيمن والأيسر، وتوجد أربعة نماذج لسلوك النهاية لكثيرة حدود وهي: لأعلى ولأعلى، لأسفل ولأسفل، لأعلى ولأسفل، لأسفل ولأعلى.
أي الحدود يعين سلوك النهاية لكثيرة الحدود؟: الحد الذي له أعلى درجة في كثيرة الحدود؛ فدرجته (زوجية أم فردية) تحدد هل الطرفان متفقان أم متعاكسان، وإشارة معامله الرئيسي تحدد اتجاه الطرف الأيمن.
كيف تنمذج بيانات واقعية بكثيرة حدود كما في نشاط إنتاج الذهب؟: تستخدم آلة حاسبة بيانية، وتدخل البيانات بحيث يمثل 0 السنة الأولى (1975)، وتختار نموذجًا من الدرجة الرابعة، فتعطيك الآلة المعاملات فتكتب المعادلة 𝑓(x) = 0.0009033x⁴ − 0.05193x³ + 0.959x² − 3.899x + 38.86 ، ثم تستخدم جدول القيم لتقدير القيمة المطلوبة مثل 𝑓(13) ≈ 61.96.

الوحدة 4الوحدة الرابعة: الدوال الأسية والدوال اللوغاريتمية

الدرس 1: استكشاف النماذج الأسية

الدالة الأسية صورتها y = abˣ ، حيث ∀x ∈ ℝ ، و a ∈ ℝ* عدد ثابت، و b ∈ ℝ⁺ − {1} هو الأساس.
عندما تكون b > 1 فإن الدالة تمثل نموًا أسيًا، وتكون b هي عامل النمو.
عندما تكون 0 < b < 1 فإن الدالة تمثل تضاؤلًا أسيًا، وتكون b هي عامل التضاؤل.
لنمذجة التغير السكاني بالدالة y = abˣ نوجد عامل النمو من المعادلة b = 1 + I ، حيث I معدل التغير، وقد يكون معدل تزايد أو معدل تناقص.
قيمة الثابت a تُوجد بالتعويض عن x بالصفر في سنة البدء، لأن أي عدد غير صفري مرفوع للأس صفر يساوي واحدًا.
لكتابة دالة أسية بمعلومية نقطتين نعوّض بكل نقطة في y = abˣ ، ثم نعزل a من المعادلة الأولى ونعوّض في الثانية فنجد b ثم a.
النسبة المئوية للتغير = (مقدار التغير)/(القيمة الابتدائية) × 100% ، ومقدار التغير = القيمة النهائية − القيمة الابتدائية.
في انخفاض القيمة يكون معدل التغير I سالبًا، فيكون عامل الانخفاض b = 1 + I أقل من واحد، مثل b = 1 − 0.15 = 0.85.

الزبدة: الفرق بين النمو والتضاؤل في الدالة الأسية لا يُقرأ من الثابت a بل من الأساس b وحده: أكبر من واحد نمو، وبين الصفر والواحد تضاؤل. · كل مسألة نمذجة في هذا الدرس تُحلّ بثلاث خطوات: أوجد b من معدل التغير، ثم a من سنة البدء عندما x = 0 ، ثم عوّض عن x بعدد السنوات. · الدالة الأسية تصف تغيّرًا نسبته ثابتة لا فرقه ثابت؛ ولذلك لا يكون رسمها خطًا مستقيمًا بل منحنًى.

الأسئلة المهمة (7)

عرّف الدالة الأسية كما وردت في الكتاب، مع ذكر شروط ثابتها وأساسها.: هي الدالة y = abˣ ، حيث ∀x ∈ ℝ ، و a ∈ ℝ* (عدد ثابت)، و b ∈ ℝ⁺ − {1} (الأساس)؛ وتسمى دالة أسية.
متى تمثل الدالة الأسية نموًا أسيًا ومتى تمثل تضاؤلًا أسيًا؟: عندما تكون b > 1 فإن الدالة تمثل نموًا أسيًا وتكون b هي عامل النمو، وعندما تكون 0 < b < 1 فإن الدالة تمثل تضاؤلًا أسيًا وتكون b هي عامل التضاؤل.
اذكر المعادلة التي تُوجد بها عامل النمو من معدل التغير، وبيّن نوعي معدل التغير.: عامل النمو b = 1 + I ، حيث I معدل التغير؛ ومعدل التغير I قد يكون معدل تزايد أو معدل تناقص.
علّل: عند التعويض عن x بالصفر في الدالة y = a(1.0244)ˣ نحصل مباشرة على قيمة الثابت a.: لأن أي عدد غير صفري مرفوع للأس صفر يساوي واحدًا، فيصبح y = a × 1 = a ، أي أن a هو عدد السكان في سنة البدء.
اكتب قانون النسبة المئوية للتغير ومقدار التغير كما في الكتاب.: النسبة المئوية للتغير = (مقدار التغير)/(القيمة الابتدائية) × 100% ، علمًا أن مقدار التغير = القيمة النهائية − القيمة الابتدائية.
كيف تُوجد دالة أسية بالصورة y = abˣ يمر بيانها بنقطتين معلومتين؟: نعوّض بإحداثيي النقطة الأولى في y = abˣ فنحصل على معادلة، ونعزل منها a ، ثم نعوّض بإحداثيي النقطة الثانية فنحصل على معادلة ثانية، ونعوّض فيها عن a فنجد b بخاصية قسمة الأسس، ثم نرجع لنجد a.
علّل: في مثال انخفاض قيمة السيارة كان عامل الانخفاض 0.85 وليس 1.15.: لأن معدل التغير هنا معدل تناقص فإشارته سالبة، I = − 0.15 ، وعامل الانخفاض b = 1 + I = 1 − 0.15 = 0.85 ، وهو أقل من الواحد فيدل على تضاؤل.

كتاب التمارين· Workbook

الوحدة 1الوحدة الأولى: الأعداد الحقيقية

الدرس 1: تمرّن 1-1 — الجذور والتعبيرات الجذرية

قوانين الجذر التربيعي تشترط √(x²) = |x| و√(x • y) = √x • √y و√(x⁄y) = √x ⁄ √y لكل x , y ∈ ℝ⁺ ∪ {0}، وقوانين الجذر التكعيبي نفسها لكل x , y ∈ ℝ.
الجذر التربيعي لعدد سالب غير موجود في ℝ، أمّا الجذر التكعيبي لعدد سالب فموجود ووحيد؛ ولذلك كُتب «إن أمكن» في التمرين (1).
اختصر الكسر داخل الجذر قبل أخذ الجذر: √(12⁄147) = √(4⁄49) = 2⁄7 و³√(−375⁄24) = ³√(−125⁄8) = −5⁄2.
التعبير في أبسط صورة إذا لم يبقَ عامل أُسّه ≥ دليل الجذر، ولم يكن المقام جذرًا، ولم يكن المجذور كسرًا، وكان الدليل أصغر ما يمكن.
الجمع والطرح لا يكونان إلّا بين تعبيرين متشابهين (الدليل نفسه والمجذور نفسه)، ولا يُحكم بالتشابه إلّا بعد التبسيط.
لجعل المقام عددًا نسبيًّا نضرب البسط والمقام في مرافق المقام: مرافق √a هو √a، ومرافق (√a − √b) هو (√a + √b)، ومرافق ³√5 هو ³√5².
في مسائل التعويض (7) و(8) بسّط قيمة x أوّلًا ثم عوّض؛ وفي (10) ابدأ الحساب من الجذر الأعمق واصعد.

الزبدة: كل تبسيط جذري يبدأ بتحليل المجذور إلى عوامله ثم إخراج ما أُسّه يساوي دليل الجذر. · المرافق هو التعبير الذي إذا ضُرب في المقام أعطى عددًا نسبيًّا، والمرافق ليس وحيدًا. · √(x²) = |x| دائمًا، ولا نحذف القيمة المطلقة إلّا إذا نصّ السؤال على أن x ≥ 0.

الأسئلة المهمة (6)

لماذا كُتب في التمرين (1) «أوجد إن أمكن» بينما لم تُكتب في التمرين (2)؟: لأن التمرين (1) على الجذر التربيعي، والجذر التربيعي لعدد سالب لا وجود له في ℝ، وفي التمرين فرعان مجذورهما سالب هما (g) و(k). أمّا التمرين (2) فعلى الجذر التكعيبي، ولكل عدد حقيقي (موجب أو سالب أو صفر) جذر تكعيبي حقيقي واحد.
متى نكتب √(16x²) = 4x ومتى نكتب 4|x|؟: نكتب 4|x| دائمًا لأن √(x²) = |x|. ولا نكتب 4x إلّا إذا نصّ السؤال على شرط x ≥ 0، كما في الفرع (d) من التمرين (3).
اذكر شروط أن يكون التعبير الجذري في أبسط صورة.: ألّا يكون للمجذور عوامل مرفوعة لقوة أكبر من دليل الجذر أو تساويه، وألّا يكون المقام جذرًا، وألّا يكون المجذور كسرًا، وأن يكون دليل الجذر أصغر عدد صحيح موجب ممكن.
ما مرافق المقام في الكسر 3⁄³√2 ولماذا؟: مرافقه ³√2² = ³√4، لأن ³√2 × ³√4 = ³√8 = 2 وهو عدد نسبي. ولو ضربنا في ³√2 فقط لبقي المقام ³√4 وهو جذر.
بيّن أن (√5 − 2)⁄(√5 + 2) − (9 − 4√5) = 0.: بضرب البسط والمقام في المرافق (√5 − 2) يصير الكسر (√5 − 2)²⁄(5 − 4) = (9 − 4√5)⁄1 = 9 − 4√5، وبطرح (9 − 4√5) منه يكون الناتج صفرًا.
كيف نحسب طول ضلع في مسألة الحجم مثل التمرين الموضوعي (11)؟: نكوّن معادلة الحجم بأبعاد الشكل: 5 • x • x = 40، أي 5x² = 40 ومنها x² = 8، ثم نأخذ الجذر التربيعي الموجب لأن x طول، فيكون x = 2√2 cm.

الدرس 2: تمرّن 1-2 — الأسس النسبية

الصورة الجذرية والصورة الأسية وجهان لشيء واحد: x^(1⁄n) = ⁿ√x و x^(m⁄n) = ⁿ√(xᵐ) = (ⁿ√x)ᵐ حيث m⁄n في أبسط صورة.
ⁿ√(xⁿ) = |x| إذا كان n زوجيًّا، و ⁿ√(xⁿ) = x إذا كان n فرديًّا؛ ولذلك ⁴√(−81) غير موجود في ℝ بينما ⁵√(−243) = −3.
قوانين الأسس النسبية هي نفسها قوانين الأسس الصحيحة: جمع الأسس في الضرب، وطرحها في القسمة، وضربها في قوة القوة، والمقلوب للأس السالب.
قوانين الجذور النونية: ⁿ√x • ⁿ√y = ⁿ√(x • y) و ⁿ√x ⁄ ⁿ√y = ⁿ√(x⁄y) و ⁿ√(ᵐ√x) = ^(m • n)√x.
حوّل الأس العشري إلى كسر عادي قبل أي خطوة: 1.5 تصير 3⁄2 و3.2 تصير 16⁄5.
عند اختلاف دلائل الجذور، الطريق الأسرع هو تحويل كل شيء إلى الصورة الأسية بأساس واحد ثم تطبيق قوانين الأسس.
خطأ التمرين (9) هو الخلط بين (a • b)ⁿ = aⁿ • bⁿ الذي يشترط تساوي الأسّين، و bᵐ • bⁿ = b^(m+n) الذي يشترط تساوي الأساسين.

الزبدة: مقام الأس النسبي هو دليل الجذر، وبسطه هو أس المجذور؛ هذه الجملة تحلّ نصف تمارين الدرس. · الدليل الزوجي يفرض القيمة المطلقة ويمنع المجذور السالب، والدليل الفردي لا يفرض شيئًا منهما. · إرجاع كل الأعداد إلى أساس واحد (غالبًا 2 أو 3 أو 5) يجعل التمارين الطويلة تختصر إلى واحد أو صفر.

الأسئلة المهمة (6)

لماذا ⁴√(−81) غير موجود في ℝ بينما ⁵√(−243) موجود؟: لأن دليل الجذر في الأولى زوجي، ولا يوجد عدد حقيقي مرفوع للقوة الرابعة يعطي عددًا سالبًا. أمّا في الثانية فالدليل فردي، و(−3)⁵ = −243، فالجذر موجود ويساوي −3.
كيف نكتب y^(3.2) بالصورة الجذرية؟: نحوّل الأس العشري إلى كسر عادي: 3.2 = 16⁄5، ثم نكتب y^(16⁄5) = ⁵√(y¹⁶) لأن مقام الأس هو دليل الجذر وبسطه أس المجذور.
بيّن أن (2 − ³√8)(2 + ³√8) يساوي صفرًا.: القوسان مترافقان فحاصل ضربهما فرق بين مربعين: 2² − (³√8)². وبما أن ³√8 = 2 يكون الناتج 4 − 4 = 0.
ما الخطأ في الحل: 5 × 5^(1⁄2) = 25^(1⁄2)؟: الخطأ هو استعمال قانون (a • b)ⁿ = aⁿ • bⁿ في موضع لا يجوز فيه، لأنه يشترط تساوي الأسّين وهما هنا مختلفان. والصواب جمع الأسّين لتساوي الأساسين: 5^(1 + 1⁄2) = 5^(3⁄2) = 5√5.
لماذا يساوي التعبير (³√(x⁶) • ⁴√(x⁵)) ⁄ (x³ • ⁸√(x²)) الواحد الصحيح؟: لأن البسط بالصورة الأسية x^(13⁄4) والمقام أيضًا x^(13⁄4)، وبطرح الأسّين يكون الناتج x⁰ = 1 (وx > 0).
متى نضع القيمة المطلقة في ناتج جذر نوني؟: نضعها كلما كان دليل الجذر زوجيًّا ولم يُعطَ شرط يضمن أن المتغير غير سالب، مثل ⁶√(x⁶) = |x| و ⁴√(y⁴) = |y|.

الدرس 3: تمرّن 1-3 — حل المعادلات

خطوات حل المعادلة الجذرية أربع: افصل الجذر، حدّد شرط الحل، ارفع الطرفين إلى أس مناسب، تحقّق من الشرط.
شرط الحل عند الدليل الزوجي: المجذور ≥ 0، وكذلك الطرف الآخر ≥ 0 إن كان يساوي الجذر؛ وعند الدليل الفردي لا شرط.
برفع الطرفين إلى المعكوس الضربي للأس النسبي: إذا كان بسط الأس زوجيًّا ظهرت القيمة المطلقة وحصلنا على حلّين، وإن كان فرديًّا فحل واحد.
الحل الدخيل هو حل يحقّق المعادلة بعد الرفع إلى قوة ولا يحقّق الشرط، ويجب رفضه ولا يُكتب في مجموعة الحل.
المعادلة الأسية تُحلّ بتوحيد الأساس ثم مساواة الأسّين، بشرط أن يكون الأساس a ∉ {−1 , 0 , 1}.
بعض المعادلات الأسية تُحلّ بالتعويض: نفرض y مساويًا للقوة فتتحول إلى معادلة تربيعية، ثم نرجع التعويض.
الفرق بين مكعبين (x − y)(x² + xy + y²) = x³ − y³ يُستعمل لجعل مقام فيه جذور تكعيبية عددًا نسبيًّا.
لا يُوزَّع الأس على الطرح، ولا يُوزَّع الجذر التربيعي على حاصل ضرب عددين سالبين؛ وهذان خطآ سؤالي «تحليل الخطأ» في هذه الصفحات.

الزبدة: شرط الحل ليس خطوة زائدة بل جزء من الحل؛ بدونه تدخل حلول لا تحقّق المعادلة الأصلية. · رفع الطرفين إلى قوة زوجية يوسّع المعادلة، فيجب التحقّق؛ ورفعها إلى قوة فردية لا يوسّعها. · توحيد الأساس هو مفتاح كل معادلة أسية، والتعويض هو مفتاح المعادلة الأسية التي فيها قوتان مرتبطتان.

الأسئلة المهمة (7)

اذكر خطوات حل المعادلة الجذرية كما في كتاب الطالب.: الأولى: أفصل الجذر إلى أحد طرفي المعادلة. الثانية: حدّد شرط الحل (إن كان الدليل زوجيًّا فالمجذور وكل من الطرفين ≥ 0، وإن كان فرديًّا فما تحت الجذر ينتمي إلى ℝ). الثالثة: ارفع طرفي المعادلة إلى أس مناسب يحذف الجذر. الرابعة: تأكّد من أن الحل يحقّق الشرط.
ما «الحل الدخيل»؟ وأعطِ مثالًا من تمارين الكرّاسة.: هو حل نحصل عليه عند رفع طرفي المعادلة إلى قوة، ولا يحقّق شرط الحل ولا المعادلة الأصلية، فيُرفض. مثاله في التمرين (3) الفرع (a): المعادلة تعطي x = −1/4 و x = 3، والشرط 2x ≥ 0 يرفض −1/4، فمجموعة الحل {3}.
لماذا نرفع طرفي المعادلة (2x − 1)^(1⁄3) = (x + 1)^(1⁄6) إلى القوة 6؟: لأن 6 هو المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الأسّين 3 و6، فيحذف الجذرين معًا في خطوة واحدة كما نصّت مساعدة الكرّاسة.
متى تظهر القيمة المطلقة عند حل معادلة على صورة (x + a)^(m⁄n) = b؟: تظهر عند رفع الطرفين إلى الأس n⁄m إذا كان m (بسط الأس) عددًا زوجيًّا، فيكون |x + a| = b^(n⁄m) وتنتج معادلتان وحلّان، كما في التمرين (1) الفرع (c) والتمرين (3) الفرع (j).
كيف نجعل مقام الكسر 1⁄(³√3 − ³√2) عددًا نسبيًّا؟: نستعمل الفرق بين مكعبين: نضرب البسط والمقام في (³√9 + ³√6 + ³√4)، فيصير المقام 3 − 2 = 1، والناتج ³√9 + ³√6 + ³√4.
ما شرط قاعدة «تساوي القوتين يعني تساوي الأسّين» في المعادلات الأسية؟: أن يكون الأساس a عددًا حقيقيًّا لا ينتمي إلى المجموعة {−1 , 0 , 1}؛ لأن هذه الأعداد تعطي قوى متساوية بأسس مختلفة، مثل 1¹⁷ = 1¹⁸ مع أن 17 ≠ 18.
ما خطأ الطالب في تبسيط 1⁄(1 − √2)² ؟: وزّع الأس على الطرح فكتب (1 − √2)⁻² = 1⁻² − (√2)⁻²، وهذا لا يجوز. والصواب فتح المربع أوّلًا: (1 − √2)² = 3 − 2√2، ثم الضرب في المرافق، فالناتج 3 + 2√2.

الوحدة 2الوحدة الثانية: الدوال الحقيقية

الدرس 1: تمرّن 2-1 — مجال الدالة

اختبار المستقيم الرأسي: إذا تقاطع كل مستقيم رأسي مع البيان بنقطة واحدة على الأكثر فالعلاقة دالة.
كل منحنى مغلق (كالبيضاوي) وكل قطع مكافئ راقد على جنبه لا يمثل دالة، لأن المستقيم الرأسي يقطعه في أكثر من نقطة.
مجال كثيرة الحدود ودالة القيمة المطلقة والجذر ذي الدليل الفردي هو ℝ؛ فهذه لا تضع قيودًا.
القيدان الوحيدان هما: المقام لا يساوي صفرًا، وما تحت الجذر ذي الدليل الزوجي لا يكون سالبًا.
الجذر الزوجي في البسط شرطه المجذور ≥ 0، وفي المقام شرطه المجذور > 0 تمامًا.
مجال المجموع أو الفرق أو حاصل الضرب هو تقاطع المجالين، ومجال خارج القسمة هو التقاطع عدا أصفار المقام.
لا تختصر الكسر قبل تحديد المجال؛ فمجال (x² − 1)⁄(x + 1)² هو ℝ/{−1} وإن بدا الكسر قابلًا للاختصار.
مجال الدالة المركبة 𝑓 ∘ g هو قيم x في مجال g التي تقع صورها g(x) في مجال 𝑓.

الزبدة: الدالة عهد: لكل قيمة من المجال صورة واحدة فقط؛ واختبار المستقيم الرأسي ترجمة بصرية لهذا العهد. · تحديد المجال ليس حفظًا بل بحثًا عن موضعين فقط: المقام والجذر الزوجي. · عند اجتماع أكثر من قيد نأخذ التقاطع لا الاتحاد، ثم نستبعد أصفار المقام في النهاية.

الأسئلة المهمة (6)

اذكر نصّ اختبار المستقيم الرأسي، ولماذا يصحّ؟: إذا تقاطع كل مستقيم رأسي مع بيان علاقة ما بنقطة واحدة على الأكثر، فإن هذه العلاقة تكون دالة. ويصحّ لأن المستقيم الرأسي يمثل قيمة واحدة لـ x؛ فإذا قطع المنحنى في نقطتين كان لهذه القيمة صورتان، وهذا يناقض تعريف الدالة.
ما الفرق بين شرط الجذر الزوجي في البسط وشرطه في المقام؟: في البسط يكفي أن يكون المجذور ≥ 0. أمّا في المقام فيجب أن يكون المجذور > 0 تمامًا، لأن الجذر لو ساوى صفرًا لصار المقام صفرًا. ولهذا كان مجال 3⁄√(2x − 6) هو (3 , ∞) لا [3 , ∞).
أوجد مجال الدالة h(x) = √(x − 2)⁄(5 + √(2x − 1)).: شرط جذر البسط x − 2 ≥ 0 أي x ≥ 2، وشرط الجذر داخل المقام 2x − 1 ≥ 0 أي x ≥ 1⁄2، والمقام 5 + √(2x − 1) لا يقلّ عن 5 فلا يكون صفرًا. وبتقاطع الشروط يكون المجال [2 , ∞).
لماذا مجال الدالة √((x − 2)²) هو ℝ بينما مجال √(x − 2) هو [2 , ∞)؟: لأن (x − 2)² مربع فلا يكون سالبًا لأي عدد حقيقي، فشرط الجذر متحقّق دائمًا. أمّا x − 2 فقد تكون سالبة، فيلزم شرط x ≥ 2.
كيف نوجد مجال الدالة المركبة 𝑓 ∘ g؟: نبدأ من مجال الدالة الداخلية g، ثم نُبقي منه القيم التي تقع صورها g(x) داخل مجال الدالة الخارجية 𝑓. ففي التمرين (11): مجال 𝑓 هو [0 , ∞) وصور g كلها مربعات غير سالبة، فالمجال هو مجال g نفسه [−2 , 2].
أوجد مجال v(x) = 3⁄(x + 1) − 2⁄(x² − 1) مع بيان القاعدة المستعملة.: القاعدة السادسة: مجال الفرق هو تقاطع مجالي الدالتين. مجال الأولى ℝ/{−1} ومجال الثانية ℝ/{−1 , 1}، فالتقاطع ℝ/{−1 , 1}.