الرياضيات

الوحدة 1: الوحدة الأولى: النهايات والاتصال

الدرس 6نظريات الاتصال

من كتاب التمارينالرياضيات — الصف الثاني عشر (علمي) — الفصل الدراسي الأول — كرّاسة التمارين · من صفحة 24

أهداف الدرس

  • بحث الاتصال باستخدام نظريات العمليات.
  • تركيب الدوال مع مراعاة المجال.
  • تمييز نقاط الانفصال.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 90:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 1تمرّن 1–6 — نظريات الاتصال — Continuous Theorems1:08

مقاطع الدرس

0 من 1 مكتمل

تمرّن 1–6 — نظريات الاتصال — Continuous Theorems(ص 24)

  1. شرح تعليمي: تمارين A (1–5)
  2. الدوال الخمس متصلة عند نقاطها المطلوبة. نفحص المقام والجذر قبل التعويض.
  3. f₁(2) = 3
  4. f₂(−1) = 4
  5. f₃(3) = 21
  6. f₄(−1) = −1/2
  7. f₅(−5) = 2
  1. شرح تعليمي: A (6)
  2. (g ∘ f)(x) = (−x + 2)² − 3 = x² − 4x + 1
  3. (g ∘ f)(−1) = 6
  4. (f ∘ g)(x) = −(x² − 3) + 2 = −x² + 5
  5. (f ∘ g)(−1) = 4
  1. شرح تعليمي: A (7–8)
  2. (f ∘ g)(x) = √(x² + 4)
  3. (g ∘ f)(x) = x + 4 ، x ≥ 0
  4. وفي السؤال الثامن نحفظ مجال الجذر الأصلي بعد التبسيط.
  5. (g ∘ f)(x) = 1/(x² + 7) ، x ≤ −3 أو x ≥ 3
  6. (g ∘ f)(4) = (g ∘ f)(−4) = 1/23
  1. شرح تعليمي: A (9–11)
  2. (g ∘ f)(x) = √(2x² + 1)
  3. (g ∘ f)(−2) = 3
  4. |√4 − 3| = 1
  5. √(3² + 1) − |3 − 3| = √10
  6. كل دالة متصلة عند النقطة المطلوبة بنظريات التركيب والعمليات.
  1. شرح تعليمي: B (1–5)
  2. الترتيب: صحيحة، خاطئة، صحيحة، صحيحة، صحيحة. الثانية غير معرفة عند الصفر؛ باقي المقامات والجذور تسمح بالاتصال عند النقاط المطلوبة.
  1. شرح تعليمي: B (6–7)
  2. x² + 9 > 0
  3. السادس بلا نقاط انفصال، والسابع ينفصل عند صفري المقام.
  4. x² − 1 = 0 ⇒ x = ±1
  1. شرح تعليمي: B (8–9)
  2. (g ∘ f)(x) = (x² + 3)/x²
  3. (f ∘ g)(x) = (x² + 3)/√(x²) = (x² + 3)/|x|
  4. في السؤالين المدخل غير صفري.
  1. شرح تعليمي: B (10–12)
  2. g(0) = −3
  3. f(−3) = √16 = 4
  4. القيمة المطلقة تحفظ الاتصال. وفي السؤال الأخير نختار قيمة تجعل الجذر معرفًا في جوار النقطة من الجهتين.
  5. a = 4

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

3 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 3

  1. المسألة · الكتاب ص 24

    إذا f(x)=−x+2 وg(x)=x²−3، أوجد (g∘f)(−1).

    المعطيات

    1. إذا f(x)=−x+2 وg(x)=x²−3، أوجد (g∘f)(−1).من هنا
    1. f(−1) = −(−1) + 2 = 3

    المعلم: نَبْدَأُ بِالْمُعْطَى وَنُعَوِّضُ أَوْ نُحَلِّلُ الْعِبَارَةَ الْمَطْلُوبَةَ.

    الخطوة 1 من 3

الملخص

  • نفحص المجال أولًا.
  • العمليات تحفظ الاتصال حيث تكون معرفة.
  • المقام غير الصفري شرط للقسمة.
  • التركيب يبدأ بالدالة الداخلية.
  • التبسيط لا يوسع مجال المركبة.

الأفكار الرئيسية

  1. ترتيب التركيب مهم.
  2. الجذر التربيعي يتطلب مقدارًا غير سالب.
  3. الجذر التكعيبي متصل على ℝ.

الأسئلة المهمة

ما أول خطوة في الاتصال؟

فحص المجال.

الكتاب صفحة 24

كيف نركب دالتين؟

نبدأ بالداخلية ثم الخارجية.

الكتاب صفحة 24

هل القسمة تحفظ الاتصال دائمًا؟

بشرط عدم انعدام المقام.

الكتاب صفحة 25

ما جذر مربع عدد؟

قيمته المطلقة.

الكتاب صفحة 25

هل التبسيط يغير المجال؟

لا يزيل قيود المجال الأصلي.

الكتاب صفحة 24

اختبار الدرس

أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.

سؤال 1
1

قيمة x² − |2x − 3| عند 2؟

متوسط
سؤال 2
2

إذا f(x)=−x+2 وg(x)=x²−3 فأوجد (g∘f)(−1).

متوسط
سؤال 3
3

هل يجوز توسيع مجال المركبة بعد اختصار عبارتها؟

متوسط
سؤال 4
4

نقاط انفصال (x²−4)/(x²−1)؟

متوسط
سؤال 5
5

√(x²) يساوي:

متوسط
سؤال 6
6

إذا g متصلة، فإن |g| متصلة.

متوسط
سؤال 7
7

إذا g(0)=−3 وf(x)=√(x²+7)، فأوجد f(g(0)).

متوسط
سؤال 8
8

هل 1/(x²+9) متصلة على ℝ؟

متوسط

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

سؤال 1
1

أوجد قيمة ∛x/(x²+1) عند −1.

متوسط
سؤال 2
2

أوجد قيمة √(2x²+1) عند −2.

متوسط
سؤال 3
3

في A8، أوجد المركبة عند 4.

متوسط

مصطلحات الدرس

تركيب
تطبيق دالة على ناتج أخرى.
مجال
المدخلات المسموح بها.
اتصال
مساواة النهاية لقيمة الدالة.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 23 تمرينًا.

A (1)في التمارين (1–5)، ابحث اتصال كل دالة مما يلي عند x = c: f(x) = x² − |2x − 3| ، x = 2(ص 24)

حل تعليمي: متصلة عند النقطة المطلوبة؛ النهاية والقيمة تساويان 3.

A (2)في التمارين (1–5)، ابحث اتصال كل دالة مما يلي عند x = c: f(x) = (x +3)/(x² +1) − 3/x ، x = −1(ص 24)

حل تعليمي: متصلة عند النقطة المطلوبة؛ النهاية والقيمة تساويان 4.

A (3)في التمارين (1–5)، ابحث اتصال كل دالة مما يلي عند x = c: f(x) = x² + 3x + |x| ، x = 3(ص 24)

حل تعليمي: متصلة عند النقطة المطلوبة؛ النهاية والقيمة تساويان 21.

A (4)في التمارين (1–5)، ابحث اتصال كل دالة مما يلي عند x = c: f(x) = ∛x/(x² + 1) ، x = −1(ص 24)

حل تعليمي: متصلة عند النقطة المطلوبة؛ النهاية والقيمة تساويان −1/2.

A (5)في التمارين (1–5)، ابحث اتصال كل دالة مما يلي عند x = c: f(x) = √(x² + 5x + 4) ، x = −5(ص 24)

حل تعليمي: متصلة عند النقطة المطلوبة؛ النهاية والقيمة تساويان 2.

A (6)الدالتان f ، g معرفتان على ℝ كما يلي: f(x) = −x + 2 g(x) = x² − 3 أوجد:(a) (g ∘f)(x)(b) (g ∘f)(−1)(c) (f ∘g)(x)(d) (f ∘g)(−1)(ص 24)

حل تعليمي:(a) x² − 4x + 1(b) 6(c) −x² + 5(d) 4.

A (7)الدالتان f ، g معرفتان كما يلي: f(x) = √x ، g(x) = x² + 4. أوجد:(a) (f ∘g)(x)(b) (f ∘g)(2)(c) (g ∘f)(x)(d) (g ∘f)(2)(ص 24)

حل تعليمي:(a) √(x² +4)، المجال ℝ.(b) 2√2.(c) x + 4، المجال x ≥ 0.(d) 6.

A (8)الدالتان f ، g معرفتان كما يلي: f(x) = √(x² −9) ، g(x) = 1/(x² + 16). أوجد:(a) الدالة المركبة (g ∘f)(x)(b) (g ∘f)(4) ، (g ∘f)(−4)(ص 24)

حل تعليمي:(a) 1/(x² +7)، مع x ≤ −3 أو x ≥ 3.(b) كلتاهما 1/23.

A (9)لتكن: f(x) = 2x² − 3 ، g(x) = √(x + 4). ابحث اتصال الدالة g ∘ f عند x = −2.(ص 25)

حل تعليمي: المركبة √(2x² + 1) متصلة على ℝ؛ قيمتها عند −2 تساوي 3.

A (10)ابحث اتصال الدالة f: f(x) = |√x − 3| عند x = 4.(ص 25)

حل تعليمي: متصلة عند 4 وقيمتها 1، بتركيب الجذر والقيمة المطلقة.

A (11)ابحث اتصال الدالة g: g(x) = √(x² + 1) − |x − 3| عند x = 3.(ص 25)

حل تعليمي: متصلة عند 3 وقيمتها √10.

B (1)في التمارين (1–5)، ظلّل a إذا كانت العبارة صحيحة و b إذا كانت العبارة خاطئة. الدالة f: f(x) = x² + |x − 1| متصلة عند x = 3.(ص 25)

حل تعليمي: صحيحة (a): مجموع دالتين متصلتين.

B (2)في التمارين (1–5)، ظلّل a إذا كانت العبارة صحيحة و b إذا كانت العبارة خاطئة. الدالة f: f(x) = (2x +5)/(x +2) − 2/x متصلة عند x = 0.(ص 25)

حل تعليمي: خاطئة (b): غير معرفة عند الصفر.

B (3)في التمارين (1–5)، ظلّل a إذا كانت العبارة صحيحة و b إذا كانت العبارة خاطئة. الدالة f: f(x) = (2x −2)/(|x| −1) متصلة عند x = 0.(ص 25)

حل تعليمي: صحيحة (a): المقام يساوي −1 عند الصفر.

B (4)في التمارين (1–5)، ظلّل a إذا كانت العبارة صحيحة و b إذا كانت العبارة خاطئة. الدالة f: f(x) = ∛(3x − 1)/x² متصلة عند x = 3.(ص 25)

حل تعليمي: صحيحة (a): المقام لا ينعدم والجذر التكعيبي متصل.

B (5)في التمارين (1–5)، ظلّل a إذا كانت العبارة صحيحة و b إذا كانت العبارة خاطئة. الدالة f: f(x) = √(−x² + 5x − 4) متصلة عند x = 2.(ص 25)

حل تعليمي: صحيحة (a): المقدار تحت الجذر موجب في جوار 2.

B (6)نقاط انفصال الدالة f: f(x) = (−x +2)/(x² +9) عند:(a) x = 3(b) x = −3(c) x = 2(d) لا يوجد نقاط انفصال(ص 25)

حل تعليمي: (d)، لأن المقام موجب دائمًا.

B (7)نقاط انفصال الدالة f: f(x) = (x² −4)/(x² −1) عند x تساوي:(a) 1 ، −1(b) 2 ، −2(c) 1 ، 2(d) −1 ، −2(ص 25)

حل تعليمي: (a)، أصفار المقام ±1.

B (8)لتكن الدالة f(x) = x² + 3 ، x ≠ 0 ، الدالة g(x) = x/(x −3) فإن (g ∘f)(x) تساوي:(a) (4x² − 18x + 27)/(x −3)²(b) x²/(x² −3)(c) (x² +3)/x²(d) x²/(x² +3)(ص 25)

حل تعليمي: (c)، بالتعويض عن مدخل الدالة g، مع x ≠ 0.

B (9)لتكن الدالة f(x) = x/√(x −3) ، الدالة g(x) = x² + 3 ، x ≠ 0 فإن (f ∘g)(x) تساوي:(a) x²/(x −3) + 3(b) x/√(x −3) + 3(c) −(x² +3)/x(d) (x² +3)/|x|(ص 25)

حل تعليمي: (d)، لأن √(x²) = |x|.

B (10)لتكن الدالة f: f(x) = √(x² +7) ، و g(x) = x² − 3 فإن (f ∘g)(0) يساوي:(a) 4(b) −4(c) 1(d) −1(ص 26)

حل تعليمي: (a): g(0) = −3 ثم f(−3) = 4.

B (11)إذا كانت g دالة متصلة عند x = 2 فإن الدالة المتصلة عند x = 2 فيما يلي هي f(x) تساوي:(a) √g(x)(b) 1/g(x)(c) g(x)/(x −2)(d) |g(x)|(ص 26)

حل تعليمي: (d)، القيمة المطلقة لا تحتاج إلى شرط إضافي على قيمة g(2).

B (12)إذا كانت الدالة f: f(x) = √(x² −a) متصلة عند x = 3 فإن a يمكن أن تساوي:(a) 4(b) 9(c) 16(d) 25(ص 26)

حل تعليمي: (a)، وفق اتصال الطرفين عند النقطة الداخلية: المقدار تحت الجذر موجب في جوار 3. أما 9 فتعطي طرف مجال واتصالًا نسبيًا يمينيًا فقط، ولا تحقق النهاية الثنائية المقصودة في الدرس.

صفحات الكتاب

صفحات هذا الدرس من كتاب التمارين الرسمي كما هي، صفحات 24 إلى 26.

صفحة 24صفحة 24صفحة 25صفحة 25صفحة 26صفحة 26

المصدر: الرياضيات — الصف الثاني عشر (علمي) — الفصل الدراسي الأول — كرّاسة التمارين

  • ص 24: «نظريات الاتصال»
  • ص 25: «ابحث اتصال الدالة»
  • ص 26: «دالة متصلة»