الرياضيات

الوحدة 1: الوحدة الأولى: النهايات والاتصال

الدرس 7الاتصال على فترة

من كتاب التمارينالرياضيات — الصف الثاني عشر (علمي) — الفصل الدراسي الأول — كرّاسة التمارين · من صفحة 27

أهداف الدرس

  • بحث الاتصال على الفترة والمجال.
  • تطبيق النهايات والاتصال في اختبار الوحدة.
  • حل التمارين الإثرائية مع حفظ قيود المجال.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 170:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 1تمرّن 1–7 — الاتصال على فترة — Continuity on an Interval2:17

مقاطع الدرس

0 من 1 مكتمل

تمرّن 1–7 — الاتصال على فترة — Continuity on an Interval(ص 27)

  1. شرح تعليمي: A (1–5)
  2. الأولى والثانية متصلتان على الفترتين. الثالثة تفقد التعريف داخل الفترة، وكذلك الرابعة.
  3. x − 3 = 0 ⇒ x = 3
  4. x² − 5x + 4 = 0 ⇒ x = 1 أو x = 4
  5. في الخامسة نتحقق من الداخل عند طرفي الفترة.
  6. limx→−3⁺ f(x) = −5 = f(−3)
  7. limx→4⁻ f(x) = −12 ≠ −10 = f(4)
  1. شرح تعليمي: A (6–9)
  2. السادسة والتاسعة متصلتان على المجال كله. السابعة تنفصل عند الصفر، والثامنة عند أربعة.
  3. f₆(7) = −3 = 9/(−7 + 4)
  4. limx→0⁻ f₇(x) = 3 ≠ 2 = limx→0⁺ f₇(x)
  5. limx→4⁻ f₈(x) = −3 ≠ 9 = f₈(4)
  6. f₉(−4) = −2 ، f₉(1) = −2
  1. شرح تعليمي: A (10–11)
  2. 1 − 1 = 3 + a = b ⇒ a = −3 ، b = 0
  3. في الحادي عشر نساوي الفرع الأوسط مع الجانبين.
  4. (4 − a)/(−2 − b) = 4
  5. (1 − a)/(1 − b) = 1
  6. a = 12 + 4b ، a = b ⇒ a = b = −4
  1. شرح تعليمي: A (12–16)
  2. −x² + 5x + 6 ≥ 0 ⇒ −1 ≤ x ≤ 6
  3. الثانية عشرة متصلة على الفترة المطلوبة. الجذور التربيعية متصلة على مجالاتها مع تفسير الأطراف من داخل المجال.
  4. 8 − 2x² ≥ 0 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2
  5. x² − 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ −1 أو x ≥ 1
  6. الجذر التكعيبي والقيمة المطلقة في الأخيرتين متصلان على الأعداد الحقيقية.
  1. شرح تعليمي: B (1–6)
  2. العبارات الخمس: خاطئة، صحيحة، خاطئة، خاطئة، خاطئة. الفترة التي لا تشمل حدها لا تضمن الاتصال من جهته عند جمع الفترتين.
  3. السادسة: الاختيار الثالث، على جانبي صفر المقام دون إدخاله.
  4. x ≠ 4
  1. شرح تعليمي: B (7–11)
  2. الاختيارات بالترتيب: الثالث، الثاني، الرابع، الثالث، الأول.
  3. limx→−2⁺ f(x) = f(−2)
  4. x² − 25 > 0 ⇒ x < −5 أو x > 5
  5. −3 − m = 2m = 1 + n ⇒ m = −1 ، n = −3
  6. في التاسع يوجد اختلاف عند الصفر. في الأخير اتصال يساري عند الواحد فقط، فلا نضمّه إلى الفترة اليمنى.
  1. شرح تعليمي: اختبار الوحدة (1–11)
  2. نستخدم التعويض والتحليل والمرافق والنهاية المثلثية ومقارنة الدرجات. النتائج حسب ترتيب الأسئلة:
  3. السؤال 1
  4. 1
  5. السؤال 2
  6. 1/3
  7. السؤال 3
  8. 3
  9. السؤال 4
  10. −1/4
  11. السؤال 5
  12. 1/2
  13. السؤال 6
  14. 2
  15. السؤال 7
  16. 3
  17. السؤال 8
  18. −1/4
  19. السؤال 9
  20. 1/3
  21. السؤال 10
  22. 2
  23. السؤال 11
  24. 1
  1. شرح تعليمي: اختبار الوحدة (12–15)
  2. (x² − 5x + 6)/(x² − 4) = (x − 3)/(x + 2) ، x ≠ ±2
  3. f(2) = −1/4
  4. المقاربات في الثالث عشر عند سالب اثنين، وفي الرابع عشر عند الصفر وسالب اثنين.
  5. في الخامس عشر النهاية عند سالب واحد تساوي واحدًا، وعند الصفر صفر، وعند الواحد غير موجودة. الاتصال عند سالب واحد فقط.
  1. شرح تعليمي: اختبار الوحدة (16–21)
  2. السادس عشر ينفصل عند موجب وسالب اثنين، والسابع عشر متصل على الأعداد الحقيقية.
  3. السؤال 18: y = 0 ، x = 1
  4. السؤال 19: y = 2 ، x = 0 ، x = −2
  5. k₂₀ = 8
  6. k₂₁ = 1/2
  1. شرح تعليمي: اختبار الوحدة (22–23)
  2. (g ∘ f)(x) = x²
  3. (g ∘ f)(0) = 0
  4. (f ∘ g)(x) = √((x² − 5)² + 5)
  5. (f ∘ g)(0) = √30
  6. الأخيرة متصلة على مجالها الذي يستثني خمس عشرة، وعند اثنين يلتقي الفرعان بالقيمة واحد.
  1. شرح تعليمي: الإثراء (1–2)
  2. limx→2 √(3x − 2) = 2
  3. قد توجد نهاية حاصل الضرب رغم أن نهاية أحد العاملين لا توجد. في الفروع الثلاثة الأولى نهايات الضرب:
  4. 1 ، −8 ، 0
  5. أما الفرع الرابع فحاصل الضرب له جهتان متعاكستان.
  6. f(x)g(x) = 5/(x − 3)
  1. شرح تعليمي: الإثراء (3–5)
  2. لو تغيّرت إشارة دالة متصلة غير منعدمة لمرّت بالصفر، وهذا يناقض المعطى. والقيمة المطلقة تحفظ الاتصال بتركيب الدوال.
  3. limx→1⁻ f(x) = 3
  4. limx→1⁺ f(x) = −3
  5. في الخامس لا توجد النهاية ولا الاتصال عند الواحد.
  1. شرح تعليمي: الإثراء (6–7)
  2. (f ∘ g)(x) = √(6x − 7) ، x ≥ 7/6
  3. (g ∘ f)(x) = 3√(2x + 1) − 4 ، x ≥ −1/2
  4. المطلوب عند سالب ما لا نهاية للمركبة الثانية غير متاح في مجالها؛ نحفظ السؤال ونبين السبب.
  5. a = 0 ، b = 2
  1. شرح تعليمي: الإثراء (8–10)
  2. (g ∘ f)(x) = 1/(x² − 4)
  3. في الثامن نحفظ مجال الجذر؛ الانفصال عند موجب وسالب اثنين غير قابل للإزالة.
  4. (f ∘ g)(x) = 4/(x² − 4) + 1
  5. y = 1 ، x = ±2
  6. في العاشر الاتصال عند أربعة قائم، وعند ثماني عشرة غير قائم لاختلاف الفرعين.
  1. شرح تعليمي: الإثراء (11–16)
  2. النتائج بالترتيب:
  3. السؤال 11
  4. −4
  5. السؤال 12
  6. 0
  7. السؤال 13
  8. 3x²
  9. السؤال 14
  10. 1/2
  11. السؤال 15
  12. 0
  13. السؤال 16
  14. +∞
  15. نستخدم التحليل والتوسيع ومقارنة الدرجات، مع الانتباه إلى جهة الاقتراب.
  1. شرح تعليمي: الإثراء (17–18)
  2. الرسم التالي حل تعليمي للسؤال، وليس رسمًا منقولًا من الكتاب.
  3. نرسم الفرع الأيسر مع نقطة مصمتة عند ارتفاع واحد، والأيمن مع دائرة مفتوحة عند الأصل.
  4. limx→0⁻ f(x) = 1 ≠ 0 = limx→0⁺ f(x)
  5. في الأخير: فرع أ عند سالب اثنين غير قابل للإزالة. ب عند الصفر قفزة وعند ثلاثة تعالج بالقيمة واحد. ج يعالج عند اثنين بالقيمة سالب أربعة دون الثلاثة. د يعالج عند الواحد بالقيمة اثنين دون سالب واحد.
شرح تعليمي: الإثراء (17–18)
شرح تعليمي: الإثراء (17–18)

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

3 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 3

  1. المسألة · الكتاب ص 28

    في A10 أوجد a وb.

    المعطيات

    1. في A10 أوجد a وb.من هنا
    1. lim_{x→1⁻}(x² − √x) = 0

    المعلم: نَبْدَأُ بِالْمُعْطَى وَنُبَسِّطُ الْعِبَارَةَ مَعَ مُرَاعَاةِ شُرُوطِهَا.

    الخطوة 1 من 3

الملخص

  • نراجع داخل الفترة وطرفيها.
  • نساوي الفروع عند نقاط الالتقاء.
  • نحفظ مجال الدالة بعد التبسيط.
  • النهاية المحدودة تسمح بإزالة بعض الانفصالات.
  • المقارب الرأسي والقفزة لا يزولان بقيمة واحدة.

الأفكار الرئيسية

  1. الاتصال على المجال غير الاتصال على ℝ.
  2. نهاية حاصل الضرب قد توجد دون نهايتي العاملين.
  3. النهاية عند اللانهاية تتطلب امتداد المجال إليها.

الأسئلة المهمة

كيف نفحص الفترة المغلقة؟

الداخل ومن جهة الداخل عند الطرفين.

الكتاب صفحة 27

كيف نجد معاملات الاتصال؟

بمساواة الفروع وقيمة الالتقاء.

الكتاب صفحة 28

هل نوسع المجال بعد التبسيط؟

لا.

الكتاب صفحة 31

هل ينعدم اتصال دالة على مجالها لنقطة خارجه؟

النقطة لا تدخل في عبارة على مجالها.

الكتاب صفحة 31

متى يزول الانفصال؟

إذا وجدت نهاية محدودة وتعينت القيمة بها.

الكتاب صفحة 33

اختبار الدرس

أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.

سؤال 1
1

هل (2x+1)/(x−3) متصلة على [0،5]؟

متوسط
سؤال 2
2

مجال √(8−2x²) هو:

متوسط
سؤال 3
3

اتصال الفترة المغلقة عند طرفها الأيسر يكون من:

متوسط
سؤال 4
4

نهاية sin(2x)/(4x) عند0؟

متوسط
سؤال 5
5

معامل اتصال (x²+2x−15)/(x−3) عند3؟

متوسط
سؤال 6
6

قد توجد نهاية حاصل الضرب دون وجود نهاية كل عامل.

متوسط
سؤال 7
7

نهاية ((x+h)³−x³)/h عند h→0؟

متوسط
سؤال 8
8

المقارب الأفقي لـ4/(x²−4)+1؟

متوسط

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

سؤال 1
1

القيمة التي تزيل انفصال (x²−5x+6)/(x²−4) عند2؟

متوسط
سؤال 2
2

نهاية (x²−4)/(x²−5x+6) عند2؟

متوسط
سؤال 3
3

في الإثراء7 ما a وb؟

متوسط

مصطلحات الدرس

فترة مغلقة
فترة تشمل طرفيها.
مقارب رأسي
مستقيم رأسي تقترب منه الدالة بلا حد.
انفصال قابل للإزالة
يعالج بتعيين قيمة النقطة بالنهاية المحدودة.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 68 تمرينًا.

A (1)في التمارين (1–5)، ادرس اتصال كل دالة مما يلي على الفترة المبينة. f(x) = x² + 2x − 3 ، [−2 ، 5](ص 27)

حل تعليمي: متصلة على الفترة لأنها كثيرة حدود.

A (2)في التمارين (1–5)، ادرس اتصال كل دالة مما يلي على الفترة المبينة. f(x) = 7x/(x² + 5) ، [1 ، 3](ص 27)

حل تعليمي: متصلة لأن المقام موجب.

A (3)في التمارين (1–5)، ادرس اتصال كل دالة مما يلي على الفترة المبينة. f(x) = (2x +1)/(x −3) ، [0 ، 5](ص 27)

حل تعليمي: غير متصلة؛ المقام ينعدم عند 3 داخل الفترة.

A (4)في التمارين (1–5)، ادرس اتصال كل دالة مما يلي على الفترة المبينة. f(x) = (−x +3)/(x² − 5x +4) ، [−2 ، 6](ص 27)

حل تعليمي: غير متصلة عند 1 و4.

A (5)في التمارين (1–5)، ادرس اتصال كل دالة مما يلي على الفترة المبينة. f(x) = { −5 : x = −3 ، −x² + 4 : −3 < x < 4 ، −10 : x = 4 } ، [−3 ، 4](ص 27)

حل تعليمي: متصلة يمينًا عند −3، لكنها غير متصلة يسارًا عند 4: النهاية−12 والقيمة−10.

A (6)الدالة f معرفة كما يلي: f(x) = { −x + 4 : x ≤ 7 ، 9/(−x + 4) : x > 7 }، ادرس اتصال الدالة على مجالها.(ص 27)

حل تعليمي: المجال ℝ، متصلة؛ الفرعان عند 7 يعطيان −3.

A (7)الدالة f معرفة كما يلي: f(x) = { √(x² +9) : x ≤ 0 ، 6/(x +3) : x > 0 }، ادرس اتصال الدالة على مجالها.(ص 27)

حل تعليمي: المجال ℝ، غير متصلة عند 0 فقط؛ اليسرى3 واليمنى2.

A (8)الدالة f معرفة كما يلي: f(x) = { x³ − 1 : x ≤ −2 ، x − 7 : −2 < x < 4 ، x² − 7 : x ≥ 4 }، ادرس اتصال الدالة على مجالها.(ص 27)

حل تعليمي: المجال ℝ؛ متصلة عند −2 بالقيمة−9، وغير متصلة عند4: اليسرى−3 واليمنى9.

A (9)الدالة f معرفة كما يلي: f(x) = { 4/(x + 2) : x ≤ −4 ، x² + 3x − 6 : −4 < x ≤ 1 ، x³ − 3x² : x > 1 }، ادرس اتصال الدالة على مجالها.(ص 27)

حل تعليمي: المجال ℝ، متصلة؛ عند−4 الجهتان−2 وعند1 الجهتان−2.

A (10)في التمرينين (10–11)، أوجد قيم a ، b بحيث تكون كل دالة متصلة على مجال تعريفها. f(x) = { x² − √x : x < 1 ، 3x + a : x > 1 ، b : x = 1 }(ص 28)

حل تعليمي: a = −3 ، b = 0. المجال [0 ، ∞)، والجهتان عند1 تساويان0.

A (11)في التمرينين (10–11)، أوجد قيم a ، b بحيث تكون كل دالة متصلة على مجال تعريفها. f(x) = { x² : x < −2 ، (x² −a)/(x −b) : −2 ≤ x < 1 ، x : x ≥ 1 }(ص 28)

حل تعليمي: بمساواة الفروع: a=12+4b وa=b، فنحصل a=b=−4. مقام الفرع الأوسط لا ينعدم على فترته.

A (12)لتكن الدالة f: f(x) = √(−x² + 5x + 6)، أوجد D_f ثم ادرس اتصالها على [0 ، 4].(ص 28)

حل تعليمي: D_f=[−1 ، 6]، ومتّصلة على [0 ، 4].

A (13)في التمرينين (13–14)، ادرس اتصال كل من الدوال التالية على مجالها: f(x) = √(8 − 2x²)(ص 28)

حل تعليمي: متصلة على مجالها [−2 ، 2] مع الاتصال من داخل المجال عند الأطراف.

A (14)في التمرينين (13–14)، ادرس اتصال كل من الدوال التالية على مجالها: f(x) = √(x² − 1)(ص 28)

حل تعليمي: متصلة على مجالها (−∞ ، −1] ∪ [1 ، ∞) مع الاتصال من داخل المجال عند الأطراف.

A (15)في التمرينين (15–16)، ادرس اتصال كل من الدوال التالية على ℝ. f(x) = ∛(x² + 3x − 2)(ص 28)

حل تعليمي: متصلة على ℝ بتركيب دوال متصلة.

A (16)في التمرينين (15–16)، ادرس اتصال كل من الدوال التالية على ℝ. f(x) = |3x² + 4x − 1|(ص 28)

حل تعليمي: متصلة على ℝ بتركيب دوال متصلة.

B (1)في التمارين (1–5)، ظلّل a إذا كانت العبارة صحيحة و b إذا كانت العبارة خاطئة. إذا كانت f دالة متصلة على كل من [3 ، 5] ، [1 ، 3) فإن f متصلة على [1 ، 5].(ص 28)

حل تعليمي: خاطئة (b)، لا يضمن الشرط اتصالًا يساريًا عند3.

B (2)في التمارين (1–5)، ظلّل a إذا كانت العبارة صحيحة و b إذا كانت العبارة خاطئة. الدالة f: f(x) = x² − |x| متصلة لكل قيم x ∈ ℝ.(ص 28)

حل تعليمي: صحيحة (a).

B (3)في التمارين (1–5)، ظلّل a إذا كانت العبارة صحيحة و b إذا كانت العبارة خاطئة. الدالة f: f(x) = √(x² − 4) متصلة على [−2 ، 2].(ص 28)

حل تعليمي: خاطئة (b)، ليست معرفة في داخل الفترة.

B (4)في التمارين (1–5)، ظلّل a إذا كانت العبارة صحيحة و b إذا كانت العبارة خاطئة. الدالة f: f(x) = (2x −3)/(x +2) متصلة على (−∞ ، 0).(ص 28)

حل تعليمي: خاطئة (b)، تنفصل عند−2.

B (5)في التمارين (1–5)، ظلّل a إذا كانت العبارة صحيحة و b إذا كانت العبارة خاطئة. الدالة f: f(x) = (x +1)/(x −2) متصلة على (−∞ ،2) فقط.(ص 28)

حل تعليمي: خاطئة (b)، متصلة أيضًا على (2 ، ∞).

B (6)لتكن الدالة f: f(x) = (x +1)/(x −4) فإن الدالة f:(a) لها نقطتي انفصال عند كل من x=4 ، x=−1(b) متصلة على (−∞ ، 4](c) متصلة على كل من (−∞ ،4) ، (4 ، ∞)(d) ليس أي مما سبق(ص 28)

حل تعليمي: (c).

B (7)إذا كانت f دالة متصلة على [−2 ، 3] فإن:(a) lim_{x→−2⁺} f(x) = lim_{x→3⁻} f(x)(b) lim_{x→−2⁺} f(x) = f(3)(c) lim_{x→−2⁺} f(x) = f(−2)(d) lim_{x→3⁻} f(x) = f(−2)(ص 29)

حل تعليمي: (c)، الاتصال اليميني عند الطرف الأيسر.

B (8)الدالة f: f(x) = (2x −1)/√(x² − 25) متصلة على:(a) (−∞ ، 1/2](b) (5 ، ∞)(c) ℝ(d) (−5 ،5)(ص 29)

حل تعليمي: (b)، والمجال الكامل (−∞،−5)∪(5،∞).

B (9)لتكن f(x) = { 5/2 : x ≤ −3 ، √(x² + 16)/2 : −3 < x < 0 ، (4 − x²)/(x −2) : x ≥ 0 و x ≠ 2 } فإن f دالة متصلة على:(a) (−∞ ، ∞)(b) (−∞ ،2)(c) (−∞ ، 0](d) (−∞ ، −3](ص 29)

حل تعليمي: (d). عند0 اليسرى2 والقيمة−2 فلا تشمل الخيارات الممتدة إلى0 اتصالًا.

B (10)الدالة f(x) = { (3x + m)/(x −2) : x < 1 ، x + n : x > 1 ، 2m : x = 1 } متصلة على ℝ إذا كان:(a) m=−1 ، n=3(b) m=1 ، n=−3(c) m=−1 ، n=−3(d) m=1 ، n=3(ص 29)

حل تعليمي: (c)، من −3−m=2m=1+n.

B (11)الدالة g(x) = { (x² −1)/(x −1) : x > 1 ، 3x : x ≤ 1 } متصلة على:(a) (−∞ ، 1] ، (1 ، ∞)(b) (−∞ ،1) ، [1 ، ∞)(c) (−∞ ، ∞)(d) (−∞ ، 3](ص 29)

حل تعليمي: (a)، عند1 الاتصال يساري فقط والقيمة3، بينما اليمنى2.

اختبار الوحدة (1)في التمارين (1–11)، أوجد النهايات. lim_{x→2} x³ − 2x² + 1(ص 30)

حل تعليمي: 1.

اختبار الوحدة (2)في التمارين (1–11)، أوجد النهايات. lim_{x→−∞} (x² +1)/(3x² − 2x +5)(ص 30)

حل تعليمي: 1/3.

اختبار الوحدة (3)في التمارين (1–11)، أوجد النهايات. lim_{x→−4} √(1 − 2x)(ص 30)

حل تعليمي: 3.

اختبار الوحدة (4)في التمارين (1–11)، أوجد النهايات. lim_{x→0} (1/(2 + x) − 1/2)/x(ص 30)

حل تعليمي: −1/4.

اختبار الوحدة (5)في التمارين (1–11)، أوجد النهايات. lim_{x→0} sin(2x)/(4x)(ص 30)

حل تعليمي: 1/2.

اختبار الوحدة (6)في التمارين (1–11)، أوجد النهايات. lim_{x→0} (x csc x + 1)/(x csc x)(ص 30)

حل تعليمي: 2.

اختبار الوحدة (7)في التمارين (1–11)، أوجد النهايات. lim_{x→1} |x − 2| + 2x(ص 30)

حل تعليمي: 3.

اختبار الوحدة (8)في التمارين (1–11)، أوجد النهايات. lim_{x→5} (√(9 − x) −2)/(x −5)(ص 30)

حل تعليمي: −1/4.

اختبار الوحدة (9)في التمارين (1–11)، أوجد النهايات. lim_{x→−1} (∛x +1)/(x +1)(ص 30)

حل تعليمي: 1/3.

اختبار الوحدة (10)في التمارين (1–11)، أوجد النهايات. lim_{x→3} (x² − 8x + 15)/(x² − 7x + 12)(ص 30)

حل تعليمي: 2.

اختبار الوحدة (11)في التمارين (1–11)، أوجد النهايات. lim_{x→∞} (x + sin x)/(x + cos x)(ص 30)

حل تعليمي: 1.

اختبار الوحدة (12)لتكن الدالة f: f(x) = (x² − 5x +6)/(x² −4).(a) بيّن أن f(x) غير متصلة عند x=−2 ، x=2(b) أعد تعريف الدالة f بحيث تصبح متصلة عند x=2.(ص 30)

حل تعليمي:(a) المقام صفر عند±2. عند−2 انفصال غير قابل للإزالة؛ عند2 قابل للإزالة.(b) نضع f(2)=−1/4 ونبقي القاعدة الأصلية خارج2 على مجالها.

اختبار الوحدة (13)في التمرينين (13،14)، أوجد المقاربات الرأسية لمنحنى الدالةf. f(x) = (x +3)/(x +2)(ص 30)

حل تعليمي: x=−2.

اختبار الوحدة (14)في التمرينين (13،14)، أوجد المقاربات الرأسية لمنحنى الدالةf. f(x) = (x −1)/(x²(x + 2))(ص 30)

حل تعليمي: x=0 وx=−2.

اختبار الوحدة (15)لتكن الدالة f: f(x) = { 1 : x ≤ −1 ، −x : −1 < x < 0 ، 1 : x = 0 ، −x : 0 < x < 1 ، 1 : x ≥ 1 }.(a) أوجد إن أمكن: lim_{x→1} f(x)، lim_{x→0} f(x)، lim_{x→−1} f(x)(b) هل f متصلة عند كل من x=−1 ، x=0 ، x=1؟ فسّر إجابتك.(ص 30)

حل تعليمي:(a) عند1 غير موجودة لاختلاف الجهتين، وعند0 تساوي0، وعند−1 تساوي1.(b) متصلة عند−1 فقط؛ عند0 القيمة1 تخالف النهاية0؛ وعند1 الجهتان−1 و1.

اختبار الوحدة (16)في التمرينين (16،17)، أوجد جميع نقاط عدم الاتصال للدالة إن وجدت: f(x) = (x + 1)/(4 − x²)(ص 31)

حل تعليمي: x=−2 ، x=2.

اختبار الوحدة (17)في التمرينين (16،17)، أوجد جميع نقاط عدم الاتصال للدالة إن وجدت: g(x) = ∛(3x + 2)(ص 31)

حل تعليمي: لا توجد؛ متصلة على ℝ.

اختبار الوحدة (18)في التمرينين (18،19)، أوجد المقارب الأفقي والمقاربات الرأسية. f(x) = (2x +1)/(x² − 2x +1)(ص 31)

حل تعليمي: الأفقي y=0، والرأسي x=1.

اختبار الوحدة (19)في التمرينين (18،19)، أوجد المقارب الأفقي والمقاربات الرأسية. f(x) = (2x² + 5x − 1)/(x² + 2x)(ص 31)

حل تعليمي: الأفقي y=2، والرأسيان x=0 وx=−2.

اختبار الوحدة (20)في التمرينين (20،21)، أوجد قيمة k التي تجعل الدالة f متصلة. f(x) = { (x² + 2x − 15)/(x − 3) : x ≠ 3 ، k : x = 3 }(ص 31)

حل تعليمي: k=8.

اختبار الوحدة (21)في التمرينين (20،21)، أوجد قيمة k التي تجعل الدالة f متصلة. f(x) = { sin x/(2x) : x ≠ 0 ، k : x = 0 }(ص 31)

حل تعليمي: k=1/2.

اختبار الوحدة (22)لتكن f: f(x)=√(x²+5)، g: g(x)=x²−5 أوجد:(a) (g∘f)(x)(b) (g∘f)(0)(c) (f∘g)(x)(d) (f∘g)(0)(ص 31)

حل تعليمي:(a) x²(b) 0(c) √((x²−5)²+5)(d) √30.

اختبار الوحدة (23)لتكن f: f(x) = { 1 : x ≤ 2 ، √(x² + 21)/5 : 2 < x < 15 ، (225 − x²)/(x − 15) : x > 15 }، ادرس اتصال الدالة على مجالها.(ص 31)

حل تعليمي: المجال ℝ عدا15. متصلة عند2 لأن الطرفين1، ومتصلة في باقي مجالها؛ عند15 غير معرفة ولا تشملها عبارة على مجالها.

إثرائي (1)لتكن f: f(x)=√(3x−2). بيّن أن: lim_{x→2} f(x)=f(2)=2.(ص 32)

حل تعليمي: الدالة متصلة في جوار2؛ بالتعويض الجذر√4=2.

إثرائي (2)في كلّ مما يلي أوجد: lim_{x→b}(f·g)(x)، lim_{x→b}g(x)، lim_{x→b}f(x).(a) f(x)=1/x ، g(x)=x ، b=0(b) f(x)=−2/x³ ، g(x)=4x³ ، b=0(c) f(x)=3/(x−2) ، g(x)=(x−2)³ ، b=2(d) f(x)=5/(3−x)⁴ ، g(x)=(x−3)³ ، b=3(ص 32)

حل تعليمي: بترتيب f ثم g ثم حاصل الضرب:(a) غير موجودة،0،1.(b) غير موجودة،0،−8.(c) غير موجودة،0،0.(d) +∞،0،غير موجودة؛ حاصل الضرب5/(x−3) له جهتان مختلفتان.

إثرائي (3)لتكن f دالة متصلة ولا تساوي الصفر على الفترة [a ، b]. بيّن أن دائمًا f(x)>0 لكل x∈[a،b] أو f(x)<0 لكل x∈[a،b].(ص 32)

حل تعليمي: لو أخذت قيمتين مختلفتي الإشارة لوجد صفر بينهما بنظرية القيمة المتوسطة، خلاف المعطى، فتثبت الإشارة.

إثرائي (4)بيّن أنه إذا كانت الدالة f متصلة على فترة ما فإن الدالة |f| هي كذلك أيضًا.(ص 32)

حل تعليمي: القيمة المطلقة متصلة، وتركيبها مع f متصل على الفترة.

إثرائي (5)لتكن الدالة f: f(x) = { |x³ − 4x| : x < 1 ، x² − 2x − 2 : x ≥ 1 }.(a) أوجد النهاية لجهة اليمين والنهاية لجهة اليسار لـ f عند x=1.(b) هل لـ f نهاية عندما x→1؟ إذا كان كذلك فما هي تلك النهاية؟ وإذا لم يكن كذلك فبيّن السبب.(c) هل f متصلة عند x=1؟(ص 32)

حل تعليمي:(a) اليمنى−3 واليسرى3.(b) لا، لاختلاف الجهتين.(c) غير متصلة.

إثرائي (6)لنأخذ الدالتين f ، g حيث إن: f(x)=√(2x+1)، g(x)=3x−4.(a) حدّد مجال: f∘g ، g∘f(b) أوجد: (f∘g)(x)، (g∘f)(x)(c) أوجد: lim_{x→∞}(f∘g)(x)، lim_{x→−∞}(g∘f)(x)(ص 32)

حل تعليمي:(a) مجال f∘g هو[7/6،∞)، ومجال g∘f هو[−1/2،∞).(b) √(6x−7)، 3√(2x+1)−4.(c) الأولى+∞، والثانية غير معرفة كحد عند−∞ لأن المجال لا يمتد إليه.

إثرائي (7)إذا كانت: lim_{x→−∞}(ax²+bx−5)/√(4x²−5x+8)=−1 فأوجد قيم a ، b.(ص 32)

حل تعليمي: a=0، b=2؛ الجذر يكافئ−2x عند−∞، فيكون الحد−b/2.

إثرائي (8)لتكن f ، g دالتين: f(x)=√(x²−3)، g(x)=1/(x²−1). أوجد نقاط انفصال الدالة g∘f. هل يمكن التخلص من هذا الانفصال؟ اشرح.(ص 33)

حل تعليمي: المركبة1/(x²−4) مع |x|≥√3 وx≠±2. الانفصال عند±2 غير قابل للإزالة، لأن المقام ينعدم والبسط1.

إثرائي (9)لتكن g ، f دالتين: f(x)=x²+1 معرفة على ℝ، g(x)=2/√(x²−4) معرفة لكل x∈(−∞،−2)∪(2،∞).(a) أوجد نقاط انفصال f∘g.(b) أوجد المقارب الأفقي والمقاربات الرأسية لمنحنى الدالة f∘g.(ص 33)

حل تعليمي: المركبة4/(x²−4)+1.(a) عند±2.(b) الأفقيy=1 والرأسيانx=±2.

إثرائي (10)لتكن الدالة f: f(x) = { 5 : x ≤ 4 ، (x² + 9)/5 : 4 < x ≤ 18 ، (324 − x²)/(x − 18) : x > 18 }، ادرس اتصال الدالة على مجالها.(ص 33)

حل تعليمي: المجالℝ؛ متصلة عند4 حيث الطرفان5؛ غير متصلة عند18 لأن اليسرى333/5 واليمنى−36.

إثرائي (11)في التمارين (11–16) أوجد النهاية: lim_{x→2} (x²−4)/(x²−5x+6)(ص 33)

حل تعليمي: −4.

إثرائي (12)في التمارين (11–16) أوجد النهاية: lim_{x→2⁺} (x−2)/√(x²−4)(ص 33)

حل تعليمي: 0.

إثرائي (13)في التمارين (11–16) أوجد النهاية: lim_{h→0} ((x+h)³−x³)/h(ص 33)

حل تعليمي: 3x².

إثرائي (14)في التمارين (11–16) أوجد النهاية: lim_{x→−1} (x²+3x+2)/(x²+4x+3)(ص 33)

حل تعليمي: 1/2.

إثرائي (15)في التمارين (11–16) أوجد النهاية: lim_{x→+∞} (14x³−5x+27)/(x⁴+10)(ص 33)

حل تعليمي: 0.

إثرائي (16)في التمارين (11–16) أوجد النهاية: lim_{x→−∞} (2x⁴+12x²+5)/(7x²+6)(ص 33)

حل تعليمي: +∞.

إثرائي (17)لتكن الدالة f: f(x) = { x : x > 0 ، x + 1 : x ≤ 0 }.(a) ارسم منحنى الدالةf. (b) أوجد: lim_{x→0⁻}f(x)، lim_{x→0⁺}f(x)، lim_{x→0}f(x).(ص 33)شكل التمرين من الكتاب

حل تعليمي:(a) فرع المستقيمy=x لليمين مع دائرة مفتوحة عند(0،0)، وفرعy=x+1 لليسار مع نقطة مصمتة عند(0،1).(b) اليسرى1، اليمنى0، والنهاية الثنائية غير موجودة.

إثرائي (18)بيّن في كل دالة مما يلي نقاط الانفصال وابحث إذا كان بالإمكان التخلص منه:(a) f(x)=(x²−3x+10)/(x+2)(b) f(x)={ −x+4 : x>3 ، x−2 : 0<x<3 ، x−1 : x≤0 }(c) f(x)=(x²−4)/(x²−5x+6)(d) f(x)=(x−1)/(√(x²+3)−2)(ص 33)

حل تعليمي:(a) −2 غير قابل للإزالة.(b) عند0 قفزة غير قابلة للإزالة؛ عند3 قابل للإزالة بتعيين1.(c) عند2 قابل للإزالة بتعيين−4، وعند3 غير قابل للإزالة.(d) عند1 قابل للإزالة بتعيين2، وعند−1 غير قابل للإزالة.

صفحات الكتاب

صفحات هذا الدرس من كتاب التمارين الرسمي كما هي، صفحات 27 إلى 33.

صفحة 27صفحة 27صفحة 28صفحة 28صفحة 29صفحة 29صفحة 30صفحة 30صفحة 31صفحة 31صفحة 32صفحة 32صفحة 33صفحة 33

المصدر: الرياضيات — الصف الثاني عشر (علمي) — الفصل الدراسي الأول — كرّاسة التمارين

  • ص 27: «الاتصال على فترة»
  • ص 30: «اختبار الوحدة الأولى»
  • ص 32: «تمارين إثرائية»