أهداف الدرس
- أفحص شروط الاتصال عند نقطة.
- أميز الانفصال القابل للإزالة.
- أعيد تعريف الدالة وأحدد معاملات الاتصال.
الشرح خطوة بخطوة
الموضع محفوظ على هذا الجهاز.
المقطع 1 من 1تمرّن 1–5 — الاتّصال — Continuity1:23
مقاطع الدرس
0 من 1 مكتملتمرّن 1–5 — الاتّصال — Continuity(ص 20)
- المجموعة A — الرسم المشترك
- عند0: غير معرفة والجهتان مختلفتان.
- عند1: النهاية2 والقيمة1، فهي غير متصلة.
- عند2: الجهتان والقيمة0، فهي متصلة.
- لا يمكن إزالة الانفصال عند0 بإعادة التعريف.
- A (5) — رسم تعليمي ممكن
- نرسم خطًا أفقيًا عند0 لليسار من−2 مع دائرة مفتوحة، وخطًا عند1 من−2 يمينًا مع نقطة مصمتة.
- القيمة والنهاية اليمنى1، والنهاية اليسرى0؛ لذلك لا توجد النهاية الكلية.
- الرسم حل تعليمي ممكن للسؤال، وليس صورة أصلية من الكتاب.
- A (6–9) — الاتصال من القاعدة
- 6 متصلة، والقيمة والنهاية5.
- 7 غير متصلة؛ النهاية−5 والقيمة−1.
- 8 غير متصلة؛ اليسرى3 واليمنى−3.
- 9 متصلة؛ بالمرافق النهاية1/2 وتساوي القيمة.
- A (10) — المعامل
limx→3⁻ f(x) = 8f(3) = limx→3⁺ f(x) = 6a6a = 8 ⇒ a = 4/3
- A (11–13) — نوع الانفصال
- 11 عند1 قابل للإزالة، وعند3 غير محدود لا يزال بإعادة التعريف.
- 12 متصلة على الأعداد الحقيقية.
- 13 عند−1 قابل للإزالة بتعيين القيمة0.
- A (14–16) — إعادة التعريف
- نبقي القاعدة الأصلية في بقية مجالها ونضيف قيمة النقطة.
- 14 نعطي القيمة−6 عند−3.
- 15 نعطي القيمة4 عند0.
- 16 نعطي القيمة4 عند4.
- المجموعة B — العبارات
- الأجوبة1–4:b،a،a،a.
- الدالة الأولى غير معرفة عند−2؛ والبقية تحقق الاتصال أو نتيجة الاتصال المطبوعة.
- B (5–9) — الاختيارات
- 5:c؛6:a؛7:d؛8:d للاتصال من الجهتين؛9:b.
- في9 النهاية اليسرى4 واليمنى5، ولذلك لا توجد النهاية الكلية.
- B (10) — ملاحظة مصدر
- الخيارات الأصلية محفوظة في الصورة.
- ملاحظة مراجعة منفصلة: الخيارa يطبع مقامًا تكعيبيًا بدل المقام التربيعي للسؤال؛b يحذف الجانب الأيسر.
- إعادة التعريف على المجال الأصلي تتطلب القيمة3/2 عند1 مع إبقاء القاعدة الأصلية خارجها.
- B (11–12) — استخدام الاتصال
4 + f(−2) = 7 ⇒ f(−2) = 3limx→1 (g(x))² = (−3)² = 9
- B (13–15) — المطابقة
- نستخدم شرط أنa عدد صحيح.
- 13:
a = 1- 14:
a = 2- 15:
a = 0- الجذران الآخران في14 و15 ليسا عددين صحيحين.
حل المسائل على السبورة
شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.
المسألة · الكتاب ص 21
أوجدa لاتصال فرعيx²−1 و2ax عند3.
المعطيات
- أوجدa لاتصال فرعيx²−1 و2ax عند3.من هنا
- lim_{x→3⁻} (x² − 1) = 8
المعلم: نَحْسِبُ النِّهَايَةَ مِنَ الْفَرْعِ الْأَيْسَرِ بِالتَّعْوِيضِ.
الخطوة 1 من 3
الملخص
- الاتصال يتطلب قيمة ونهاية متساويتين.
- اختلاف الجهتين يمنع النهاية.
- الانفصال القابل للإزالة يعالج بقيمة النهاية.
- نبقي القاعدة والمجال خارج نقطة إعادة التعريف.
- نراعي شرط العدد الصحيح في المعاملات.
الأفكار الرئيسية
- القيمة ليست النهاية دائمًا.
- لا تزول القفزة بقيمة واحدة.
- المجال جزء من تعريف الدالة.
الأسئلة المهمة
ما شروط الاتصال؟
وجود القيمة والنهاية وتساويهما.
الكتاب صفحة 20
متى يمكن إزالة الانفصال؟
عندما توجد نهاية محدودة ونستطيع تعيين القيمة بها.
الكتاب صفحة 21
كيف نحسب معامل الاتصال؟
نساوي نهايات الفروع وقيمة نقطة الالتقاء.
الكتاب صفحة 21
هل نغير القاعدة خارج النقطة؟
لا، نبقيها في بقية المجال.
الكتاب صفحة 21
كيف نعالج سؤالًا فيه خيار مطبوع غير متسق؟
نحفظ نصه ونوثق الملاحظة ولا نصححه صامتًا.
الكتاب صفحة 23
اختبار الدرس
أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.
الواجب
أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.
مصطلحات الدرس
- اتصال
- تساوي النهاية وقيمة الدالة عند النقطة.
- انفصال قابل للإزالة
- انفصال يمكن علاجه بتعيين قيمة النقطة بنهايتها.
- قفزة
- اختلاف نهايتين جانبيتين محدودتين.
تمارين الكتاب كاملة
كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 29 تمرينًا.
A (1)في التمارين (1–4)، استخدم الدالة f المعرفة بأكثر من قاعدة ورسمها البياني للإجابة عن الأسئلة مع ذكر السبب. f(x) = { x² − 1 : −1 ≤ x < 0 ، 2x : 0 < x < 1 ، 1 : x = 1 ، −2x + 4 : 1 < x < 2 ، 0 : 2 ≤ x < 3 } ابحث اتصال الدالة f عند x = 0.(ص 20)
حل تعليمي: غير متصلة؛ غير معرفة عند0، واليسرى−1 واليمنى0.
A (2)ابحث اتصال الدالة f عند x = 1.(ص 20)
حل تعليمي: غير متصلة؛ النهاية2 بينما القيمة1.
A (3)ابحث اتصال الدالة f عند x = 2.(ص 20)
حل تعليمي: متصلة؛ نهايتا الجهتين والقيمة0.
A (4)تفكير ناقد. هل من الممكن إعادة تعريف الدالة f لتكون متصلة عندx = 0؟ فسّر إجابتك.(ص 20)
حل تعليمي: لا، لأن نهايتي الجهتين مختلفتان.
A (5)ارسم شكلًا ممكنًا يمثّل دالّة f بحيث تحقق الشروط التالية: f(−2) موجودة، lim_{x→−2⁺} f(x)=f(−2) ولكن lim_{x→−2} f(x) غير موجودة.(ص 20)
حل تعليمي: رسم تعليمي ممكن: خط أفقيy=0 لليسارx<−2 بدائرة مفتوحة عند(−2,0)، وخطy=1 لليمينx≥−2 بنقطة مصمتة عند(−2,1).
A (6)في التمارين (6–9)، ابحث اتصال كل من الدوال التالية عندx = c: f(x) = { x + 5 : x ≥ 0 ، 5 − x : x < 0 } ، x = 0(ص 20)
حل تعليمي: متصلة؛ الجهتان والقيمة5.
A (7)h(x) = { (x² − 3x −4)/(x +1) : x ≠ −1 ، −1 : x = −1 } ، x = −1(ص 20)
حل تعليمي: غير متصلة؛ النهاية−5 والقيمة−1.
A (8)f(x) = { (x² − 3x)/|x| : x ≠ 0 ، −3 : x = 0 } ، x = 0(ص 20)
حل تعليمي: غير متصلة؛ اليسرى3 واليمنى−3.
A (9)g(x) = { (√(x² +3) −2)/(x −1) : x ≠ 1 ، 1/2 : x = 1 } ، x = 1(ص 20)
حل تعليمي: متصلة؛ بالمرافق النهاية1/2 وتساوي القيمة.
A (10)أوجد قيمةa بحيث تصبح الدالة التالية متصلة عندx = 3: f(x) = { x² − 1 : x < 3 ، 2ax : x ≥ 3 }(ص 21)
حل تعليمي: 6a=8،a=4/3.
A (11)في التمارين (11–13)، أوجد قيمx التي تكون عندها الدالة منفصلة. ثم حدّد نوع الانفصال وإمكانية التخلص منه مع ذكر السبب. y=(x−1)/(x²−4x+3)(ص 21)
حل تعليمي: عند1 قابل للإزالة بقيمة−1/2؛ عند3 غير محدود غير قابل للإزالة.
A (12)y=2x−1(ص 21)
حل تعليمي: متصلة علىℝ؛ لا نقاط انفصال.
A (13)f(x) = { 1 − x² : x ≠ −1 ، 2 : x = −1 }(ص 21)
حل تعليمي: عند−1 انفصال قابل للإزالة بتعيين القيمة0.
A (14)في التمارين (14–16)، أعد تعريف الدالة بحيث تكون متصلة عند قيمx المشار إليها. f(x)=(x²−9)/(x+3) ، x = −3(ص 21)
حل تعليمي: نبقي القاعدة الأصلية خارج−3،ونعين f(−3)=−6.
A (15)f(x)=(sin4x)/x ، x = 0(ص 21)
حل تعليمي: نعينf(0)=4 ونبقي القاعدة خارج0.
A (16)f(x)=(x−4)/(√x−2) ، x = 4(ص 21)
حل تعليمي: نعينf(4)=4 ونبقي القاعدة في مجالها خارج4.
B (1)في التمارين (1–4)، ظلّلa إذا كانت العبارة صحيحة وb إذا كانت العبارة خاطئة. الدالة f: f(x)=1/(x+2)²+1 متصلة عندx = −2(ص 22)
حل تعليمي: b،خاطئة؛ غير معرفة.
B (2)الدالة:y=1/(x²+1) متصلة عند كلx∈ℝ(ص 22)
حل تعليمي: a،صحيحة
B (3)الدالة:y=1/√(x+2) متصلة عندx = −1(ص 22)
حل تعليمي: a،صحيحة
B (4)إذا كانت الدالة f متصلة عندx = −1 وكانlim_{x→−1}(f(x)−2)=−1 فإنf(−1)=1(ص 22)
حل تعليمي: a،صحيحة
B (5)في التمارين (5–12)، ظلّل رمز الدائرة الدالّ على الإجابة الصحيحة. نقاط انفصال الدالة f: f(x)=cotx هي:(a) 0 ، π(b) 2kπ ، k∈ℤ(c) kπ ، k∈ℤ(d) π/2+kπ ، k∈ℤ(ص 22)
حل تعليمي: c
B (6)نقاط الدالة f: f(x)=(x²+x−6)/(x²−4) التي يمكن التخلص من الانفصال عندها هي:(a) 2(b) −2 ، 2(c) −2(d) −5 ، 2(ص 22)
حل تعليمي: a
B (7)نقاط الدالة f: f(x)=(2x³+16)/(x²+x−2) التي لا يمكن التخلص من الانفصال عندها هي:(a) −1 ، 2(b) −2(c) 1 ، −2(d) 1(ص 22)
حل تعليمي: d
B (8)إذا كانت الدالة f متصلة عندx = 2 فإنf(x) يمكن أن تكون:(a) 1/|x−2|(b) √(x−2)(c) |x−2|/(x−2)(d) { √(x²−3) : x>2 ، 3x−5 : x≤2 }(ص 22)
حل تعليمي: d،للاتصال من الجهتين.
B (9)إذا كانت الدالة f: f(x)={ x²+1 : x≥2 ، (x²−4)/(x−2) : x<2 } فإن:(a) lim_{x→2⁺}f(x)=4(b) lim_{x→2⁻}f(x)=4(c) lim_{x→2}f(x) موجودة(d) f متصلة عندx = 2(ص 22)
حل تعليمي: b
B (10)لتصبح الدالة f: f(x)=(x³−1)/(x²−1) متصلة عندx = 1، يجب إعادة تعريفها على الشكل التالي: الخيارات الأصلية في الصورة، بما فيها المقام المطبوعx³−1 في(a).(ص 23)
حل تعليمي: ملاحظة مراجعة: الإعادة الثنائية الصحيحة تعينf(1)=3/2 مع إبقاء(x³−1)/(x²−1) لبقية المجال. لا خيار مطبوع يطابقها؛(a) مقامه مختلف و(b) يحذف الجانب الأيسر.
B (11)إذا كانت الدالة f متصلة عندx = −2 وكانتlim_{x→−2}(x²+f(x))=7 فإنf(−2) تساوي:(a)3(b)5(c)9(d)11(ص 23)
حل تعليمي: a،3
B (12)إذا كانت الدالة g متصلة عندx = 1 وكانت النقطة(1,−3) تقع على منحنى الدالة g فإنlim_{x→1}(g(x))² تساوي:(a)−6(b)−3(c)1(d)9(ص 23)
حل تعليمي: d،9
B (13–15)في التمارين (13–15)، توجد قائمتان. اختر لكل سؤال من القائمة(1) ما يناسبه من القائمة(2) لتحصل على عبارة صحيحة: إذا كانتg دالة متصلة عندx = a ، a∈ℤ وكانت: (13)g(x)={ x+1 : x>a ، 3−x : x≤a } ⇒a= (14)g(x)={ 2ax−2 : x≠a ، 3a : x = a } ⇒a= (15)g(x)={ 3x² : x>a ، 2x : x≤a } ⇒a= القائمة(2):(a)−1؛(b)2؛(c)0؛(d)1؛(e)2/3(ص 23)
حل تعليمي: 13:d،1؛14:b،2 لأن الجذر الآخر−1/2 ليس صحيحًا؛15:c،0 لأن2/3 ليس عددًا صحيحًا.
صفحات الكتاب
صفحات هذا الدرس من كتاب التمارين الرسمي كما هي، صفحات 20 إلى 23.
