أهداف الدرس
- أحسب النهايات المثلثية الأساسية.
- أستخدم المتطابقات والإحاطة في حساب النهاية.
الشرح خطوة بخطوة
الموضع محفوظ على هذا الجهاز.
المقطع 1 من 1تمرّن 1–4 — نهايات بعض الدوال المثلثية — Limits of Some Trigonometric Functions1:02
مقاطع الدرس
0 من 1 مكتملتمرّن 1–4 — نهايات بعض الدوال المثلثية — Limits of Some Trigonometric Functions(ص 18)
- المجموعة A تمارين مقالية
- الحلول الآتية تعليمية منفصلة، والأسئلة المطبوعة كاملة في تمارين الكتاب.
- A (1) — النهاية الأساسية
(sin 5x)/(3x) = (5/3)((sin 5x)/(5x))limx→0 (sin 5x)/(3x) = 5/3
- A (2–5) — متطابقات وتعويض
1 − cos 2x = 2 sin² x- نتيجة2:0؛3:1/2؛4:0؛5:−1.
- في4 و5 يكفي التعويض المباشر لأن المقام لا يؤول إلى صفر.
- A (6–7) — دالة محدودة على مقام متزايد
- الجيب محصور بين−1 و1؛ لذا نسبته إلىx أوx² تؤول إلى صفر عند اللانهاية.
- نتيجة6:−2؛7:5.
- A (8–9) — فرق المربعين
sin² x = (1 − cos x)(1 + cos x)(1 − cos x)/(sin² x) = 1/(1 + cos x)- النتيجتان1/2 ثم2.
- A (10–12) — النسب
- نتيجة10:4/7؛11:3/2؛12:1.
- نقسم البسط والمقام علىx عندما يلزم، كما يرشد السؤال.
- A (13–15) — الإحاطة
−x² ≤ x² cos(1/x²) ≤ x²- نتيجة13:3؛14:3/2؛15:2.
- المجموعة B تمارين موضوعية
- الأجوبة1–5:b،b،b،a،b.
- النهايات الفعلية بالتتابع:0،0،1،1/2،5/4.
- B (6–10) — الاختيار الصحيح
- الأجوبة:a،c،d،a،b.
- القيم بالتتابع:2،3،2،3،−1/2.
حل المسائل على السبورة
شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.
المسألة · الكتاب ص 18
احسب نهايةsin(5x)/(3x) عند0.
المعطيات
- احسب نهايةsin(5x)/(3x) عند0.من هنا
- (sin 5x)/(3x) = (5/3)((sin 5x)/(5x))
المعلم: نَضْرِبُ وَنَقْسِمُ لِجَعْلِ الْمَقَامِ مُسَاوِيًا لِلزَّاوِيَةِ دَاخِلَ الْجَيْبِ.
الخطوة 1 من 3
الملخص
- الزوايا بالراديان في النهايات الأساسية.
- نهايةsin(ax)/(bx) عند0 تساويa/b.
- نستخدم المتطابقات قبل التعويض عند الحاجة.
- الإحاطة تعالج الحدود المتذبذبة المحدودة.
- نفحص جهة اللانهاية عند القيمة المطلقة.
الأفكار الرئيسية
- لا نخلط النهاية عند0 وعند∞.
- المتطابقة تكشف العامل المشترك.
- الحد المحدود على مقام متزايد يؤول إلى صفر.
الأسئلة المهمة
متى نستخدم النهاية المثلثية الأساسية؟
عند اقتراب الزاوية من الصفر بالراديان.
الكتاب صفحة 18
كيف نعالج1−cos(2x)؟
نستبدل به2sin²x.
الكتاب صفحة 18
كيف نعالجsin²x/(1−cosx)؟
نستخدم فرق المربعين ثم نختصر.
الكتاب صفحة 18
لماذاsinx/x يؤول إلى0 عند∞؟
لأن الجيب محدود والمقام يتزايد بلا حدود.
الكتاب صفحة 19
كيف نثبت نهايةx²cos(1/x²) عند0؟
نحصره بين−x² وx² ثم نستخدم الإحاطة.
الكتاب صفحة 18
اختبار الدرس
أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.
الواجب
أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.
مصطلحات الدرس
- الراديان
- وحدة الزاوية المستخدمة في النهاية المثلثية الأساسية.
- الإحاطة
- حصر الدالة بين دالتين لهما النهاية نفسها.
- متطابقة
- مساواة صحيحة لكل قيمة ضمن مجالها.
تمارين الكتاب كاملة
كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 25 تمرينًا.
A (1)في التمارين (1–9)، أوجد النهاية في كلّ مما يلي: lim_{x→0} (sin 5x)/(3x)(ص 18)
حل تعليمي: 5/3
A (2)lim_{x→0} (1 − cos 2x)/(sin 2x)(ص 18)
حل تعليمي: 0
A (3)lim_{x→0} x²/(1 − cos 2x)(ص 18)
حل تعليمي: 1/2
A (4)lim_{x→0} x²/(1 + cos x)(ص 18)
حل تعليمي: 0
A (5)lim_{x→0} (1 − tan x)/(sin x − cos x)(ص 18)
حل تعليمي: −1
A (6)lim_{x→∞} (−4x + 3 sin x)/(2x)(ص 18)
حل تعليمي: −2
A (7)lim_{x→−∞} (5x² − sin 3x)/x²(ص 18)
حل تعليمي: 5
A (8)lim_{x→0} (1 − cos x)/(sin² x)(ص 18)
حل تعليمي: 1/2
A (9)lim_{x→0} (sin² x)/(1 − cos x)(ص 18)
حل تعليمي: 2
A (10)في التمارين (10–12)، أوجد النهاية في كل مما يلي (إرشاد: اقسم كلًّا من البسط والمقام على x إذا لزم): lim_{x→0} (sin 4x)/(sin 7x)(ص 18)
حل تعليمي: 4/7
A (11)lim_{x→0} (tan 3x)/(tan 2x)(ص 18)
حل تعليمي: 3/2
A (12)lim_{x→0} (cos 5x)/(cos 3x)(ص 18)
حل تعليمي: 1
A (13)في التمارين (13–15)، أوجد النهاية في كل مما يلي: lim_{x→0} (3 + x² cos(1/x²))(ص 18)
حل تعليمي: 3
A (14)lim_{x→∞} (3x² + 5x cos x)/(2x²)(ص 18)
حل تعليمي: 3/2
A (15)lim_{x→∞} (2x + sin x)/x(ص 18)
حل تعليمي: 2
B (1)في التمارين (1–5)، ظلّل a إذا كانت العبارة صحيحة وb إذا كانت العبارة خاطئة. lim_{x→∞} (sin 3x)/(2x) = 3/2(ص 19)
حل تعليمي: b،خاطئة؛0
B (2)lim_{x→∞} (cos 2x)/(4x) = 1/2(ص 19)
حل تعليمي: b،خاطئة؛0
B (3)lim_{x→0} (1 − sin x)/(cos² x) = 0(ص 19)
حل تعليمي: b،خاطئة؛1
B (4)lim_{x→0} (1 + sin 2x)/(2 cos 2x) = 1/2(ص 19)
حل تعليمي: a،صحيحة
B (5)lim_{x→∞} (3x² sin x + 5x³)/(4x³) = 2(ص 19)
حل تعليمي: b،خاطئة؛5/4
B (6)في التمارين (6–10)، ظلّل رمز الدائرة الدالّ على الإجابة الصحيحة. lim_{x→0} (tan 2x)/(sin x)(a) 2(b) −2(c) 0(d) ∞(ص 19)
حل تعليمي: a،2
B (7)lim_{x→0} (3 + x² sin(1/x))(a) 0(b) 4(c) 3(d) ∞(ص 19)
حل تعليمي: c،3
B (8)lim_{x→∞} (4x² − x cos x)/(2x²)(a) ∞(b) −∞(c) −2(d) 2(ص 19)
حل تعليمي: d،2
B (9)lim_{x→0} (4x² + 5 sin² x)/(3x²)(a) 3(b) 9(c) 0(d) ∞(ص 19)
حل تعليمي: a،3
B (10)lim_{x→−∞} (x + cos x)/|2x|(a) 1/2(b) −1/2(c) 0(d) ∞(ص 19)
حل تعليمي: b،−1/2
صفحات الكتاب
صفحات هذا الدرس من كتاب التمارين الرسمي كما هي، صفحات 18 إلى 19.
