أهداف الدرس
- أحسب النهايات عند اللانهاية.
- أحدد إشارة النهاية غير المحدودة.
- أوجد المقاربات الرأسية والأفقية.
الشرح خطوة بخطوة
الموضع محفوظ على هذا الجهاز.
المقطع 1 من 1تمرّن 1–2 — نهايات تشتمل على −∞، ∞ — Limits Involving −∞, ∞1:13
مقاطع الدرس
0 من 1 مكتملتمرّن 1–2 — نهايات تشتمل على −∞، ∞ — Limits Involving −∞, ∞(ص 14)
- المجموعة A تمارين مقالية — حلول تعليمية
- الأسئلة الأصلية كاملة في تمارين الكتاب؛ الحلول الآتية شرح تعليمي منفصل.
- A (1–2) — حدودهما صفر
limx→−∞ 1/(x − 2) = 0(x² + 1)/x³ = 1/x + 1/x³limx→∞ (1/x + 1/x³) = 0
- A (3–4) — نسبة المعاملين
(x − 1)/(2x + 3) = (1 − 1/x)/(2 + 3/x)limx→∞ (x − 1)/(2x + 3) = 1/2limx→−∞ ((2 − x/(x + 1))(x²/(5 + x²))) = (2 − 1) × 1 = 1
- A (5–7) — إشارة المقام
√(4x²) = 2|x|- المقامات موجبة وتقترب من الصفر، فتحدد إشارة البسط جهة اللانهاية.
- النهايات:5 موجب∞؛6 موجب∞؛7 سالب∞.
- A (8) — قوة داخل الجذر
√((2x − 1)⁸) = (2x − 1)⁴(2x − 1)/√((2x − 1)⁸) = 1/(2x − 1)³- عند الاقتراب من1/2 من اليمين تكون النهاية+∞.
- A (9–12) — المقاربات
- نحلل المقام ونستبعد أي عامل مختصر قبل تحديد المقارب الرأسي.
- 9: الرأسيان0 و−5/2، والأفقي3/2.
- 10: الرأسيان1 و−5/2، والأفقي0.
- 11: الرأسيان0 و−1، والأفقي4.
- 12: الرأسيان2 و1/2، والأفقي0.
- المجموعة B تمارين موضوعية
- الأجوبة التعليمية للعبارات1–5: a،a،a،b،b.
- في4 النهاية0؛ في5 النهاية−1/2.
- B (6–9) — الاختيار الصحيح
- 6:b؛7:c؛8:b؛9:b.
- تؤول نسبة مقدارين من الدرجة نفسها إلى نسبة المعاملين الرئيسيين بعد معالجة القيمة المطلقة.
- B (10–11) — القوى الفردية
- 10:d، النهاية−∞.
- 11:a، النهاية+∞.
- B (12–13) — خطوط التقارب
f(x) = (2x − 3)/(2x + 1)y = 1 ، x = −1/2f(x) = (3x − 5)/(x² − 9)y = 0 ، x = 3 ، x = −3- الاختيارانc ثمd.
حل المسائل على السبورة
شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.
المسألة · الكتاب ص 14
احسب نهاية(x−1)/(2x+3) عند∞.
المعطيات
- احسب نهاية(x−1)/(2x+3) عند∞.من هنا
- (x − 1)/(2x + 3) = (1 − 1/x)/(2 + 3/x)
المعلم: نَقْسِمُ الْبَسْطَ وَالْمَقَامَ عَلَى الْمُتَغَيِّرِ لِإِظْهَارِ الْحُدُودِ الَّتِي تَؤُولُ إِلَى الصِّفْرِ.
الخطوة 1 من 3
الملخص
- نستخدم أعلى قوة لتحديد النهاية عند اللانهاية.
- مقام موجب يقترب من الصفر يعطي إشارة البسط.
- القيمة المطلقة تتغير بحسب إشارة المتغيرة.
- صفر المقام غير المختصر مرشح لمقارب رأسي.
- المقارب الأفقي يحدده حد الدالة عند اللانهاية.
الأفكار الرئيسية
- إشارة المقام مهمة.
- النهاية عند اللانهاية غير النهاية اللانهائية.
- تحليل المقام يحدد المقاربات.
الأسئلة المهمة
كيف نحسب نهاية نسبة عند اللانهاية؟
نقسم على أعلى قوة ونحسب نهايات الحدود.
الكتاب صفحة 14
كيف تحدد إشارة النهاية اللانهائية؟
نفحص إشارة البسط والمقام وجهة الاقتراب.
الكتاب صفحة 14
كيف نفك القيمة المطلقة عند−∞؟
نحدد إشارة التعبير داخلها في هذا الاتجاه ثم نعكسه إن كان سالبًا.
الكتاب صفحة 14
كيف نجد المقارب الرأسي؟
نفحص أصفار المقام بعد الاختصار ونهايات الدالة عندها.
الكتاب صفحة 15
كيف نجد المقارب الأفقي؟
نحسب نهاية الدالة عند اللانهاية الموجبة أو السالبة.
الكتاب صفحة 15
اختبار الدرس
أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.
الواجب
أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.
مصطلحات الدرس
- المقارب الرأسي
- خط رأسي تقترب منه الدالة بنهاية غير محدودة.
- المقارب الأفقي
- خط تحدده نهاية الدالة المحدودة عند اللانهاية.
- نهاية غير محدودة
- قيم تتزايد أو تتناقص بلا حدود.
تمارين الكتاب كاملة
كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 25 تمرينًا.
A (1)في التمارين (1–4)، أوجد: lim_{x→−∞} 1/(x − 2)(ص 14)
حل تعليمي: 0
A (2)lim_{x→∞} (x² + 1)/x³(ص 14)
حل تعليمي: 0
A (3)lim_{x→∞} (x −1)/(2x +3)(ص 14)
حل تعليمي: 1/2
A (4)lim_{x→−∞} ((2 − x/(x + 1))(x²/(5 + x²)))(ص 14)
حل تعليمي: 1
A (5)في التمارين (5–8)، أوجد إن أمكن: lim_{x→0} 1/√(4x²)(ص 14)
حل تعليمي: +∞
A (6)lim_{x→5} 3/|x − 5|(ص 14)
حل تعليمي: +∞
A (7)lim_{x→−2} −7/|x + 2|(ص 14)
حل تعليمي: −∞
A (8)lim_{x→(1/2)⁺} (2x −1)/√((2x −1)⁸)(ص 14)
حل تعليمي: +∞
A (9)في التمارين (9–12)، أوجد إن أمكن معادلات الخطوط المقاربة الرأسية والأفقية لكل مما يلي: f(x) = (3x² − 2x + 1)/(2x² + 5x)(ص 14)
حل تعليمي: الرأسيانx=0 وx=−5/2؛ الأفقيy=3/2.
A (10)f(x) = (x −2)/(2x² + 3x −5)(ص 14)
حل تعليمي: الرأسيانx=1 وx=−5/2؛ الأفقيy=0.
A (11)f(x) = (4x³ − 2x + 1)/(x³ + x²)(ص 14)
حل تعليمي: الرأسيانx=0 وx=−1؛ الأفقيy=4.
A (12)f(x) = 4x/(2x² − 5x + 2)(ص 14)
حل تعليمي: الرأسيانx=2 وx=1/2؛ الأفقيy=0.
B (1)في التمارين (1–5)، ظلّل a إذا كانت العبارة صحيحة وb إذا كانت العبارة خاطئة. lim_{x→−4⁻} 1/(x + 4)⁹ = −∞(ص 14)
حل تعليمي: a، صحيحة.
B (2)lim_{x→∞} (2x −1)/(|x| −3) = 2(ص 14)
حل تعليمي: a، صحيحة.
B (3)lim_{x→−∞} (|x| −3)/(x +3) = −1(ص 14)
حل تعليمي: a، صحيحة.
B (4)lim_{x→∞} (1 − x)/(2x² − 5x − 3) = −∞(ص 14)
حل تعليمي: b، خاطئة؛ النهاية0.
B (5)lim_{x→−∞} x/|2x − 3| = 1/2(ص 14)
حل تعليمي: b، خاطئة؛ النهاية−1/2.
B (6)في التمارين (6–13)، ظلّل رمز الدائرة الدالّ على الإجابة الصحيحة. lim_{x→∞} |x|/(|x| +1)(a) 0(b) 1(c) ∞(d) 1/2(ص 15)
حل تعليمي: b،1
B (7)lim_{x→∞} x/(x +3)(a) ∞(b) −∞(c) 1(d) 0(ص 15)
حل تعليمي: c،1
B (8)lim_{x→−∞} ((2/x +1)((5x² −1)/x²))(a) 0(b) 5(c) 1(d) −∞(ص 15)
حل تعليمي: b،5
B (9)lim_{x→∞} −|x + 3|/(2x)(a) 1/2(b) −1/2(c) ∞(d) −∞(ص 15)
حل تعليمي: b،−1/2
B (10)lim_{x→2⁻} (3/(x − 2))⁵(a) 0(b) 2(c) ∞(d) −∞(ص 15)
حل تعليمي: d،−∞
B (11)lim_{x→4⁺} 2/(x −4)³(a) ∞(b) 2(c) −∞(d) 0(ص 15)
حل تعليمي: a،∞
B (12)المقارب الأفقي والمقارب الرأسي لمنحنى الدالة f: f(x)=(2x−3)/(2x+1) هما:(a) y=2 ، x=1/2(b) y=2 ، x=−1/2(c) y=1 ، x=−1/2(d) y=1 ، x=1/2(ص 15)
حل تعليمي: c
B (13)المقارب الأفقي والمقاربات الرأسية لمنحنى الدالة f: f(x)=(3x−5)/(x²−9) هي:(a) y=3 ، x=3 ، x=−3(b) y=3 ، x=9 ، x=−9(c) y=−3 ، x=3 ، x=−3(d) y=0 ، x=3 ، x=−3(ص 15)
حل تعليمي: d
صفحات الكتاب
صفحات هذا الدرس من كتاب التمارين الرسمي كما هي، صفحات 14 إلى 15.
