الرياضيات

الوحدة 1: الوحدة الأولى: النهايات والاتصال

الدرس 1النهايات

من كتاب التمارينالرياضيات — الصف الثاني عشر (علمي) — الفصل الدراسي الأول — كرّاسة التمارين · من صفحة 10

أهداف الدرس

  • أقرأ النهايات من الرسم البياني.
  • أحسب النهايات باستخدام التحليل والمرافق والنهايات الجانبية.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 150:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 1تمرّن 1–1 — النهايات — Limits1:48

مقاطع الدرس

0 من 1 مكتمل

تمرّن 1–1 — النهايات — Limits(ص 10)

  1. قراءة الرسم — A (1)
  2. limt→−4⁻ g(t) = 5
  3. limt→−4⁺ g(t) = 2
  4. النهاية غير موجودة لاختلاف الجهتين.
  5. g(−4) = 2
قراءة الرسم — A (1)
قراءة الرسم — A (1)
  1. قراءة الرسم — A (2)
  2. limh→0⁻ f(h) = −4
  3. limh→0⁺ f(h) = −4
  4. limh→0 f(h) = f(0) = −4
قراءة الرسم — A (2)
قراءة الرسم — A (2)
  1. قواعد النهايات — A (3)
  2. 3 + 3 = 6
  3. 4 × 0 = 0
  4. 3 × 3 = 9
  5. 3/(0 − 1) = −3
  1. التعويض المباشر — A (4–7)
  2. 3(−1/2)²(2(−1/2) − 1) = −3/2
  3. (9 − 12 + 3)/(9 − 3) = 0
  4. (−4 + 3)¹⁹⁹⁸ = 1
  5. √(3 − 2) = 1
  1. الفروع — A (8–10)
  2. في8 النهاية1 من الجهتين، ولا نستخدم قيمة الدالة عند2 لحساب النهاية.
  3. في9 النهاية عند1 غير موجودة، والنهاية اليسرى عند2 تساوي1.
  4. في10 النهاية عند1 غير موجودة، والنهاية عند2 تساوي2.
  1. التوسيع والتحليل — A (11–13)
  2. ((4 + x)² − 16)/x = 8 + x
  3. (t² − 3t + 2)/(t² − 4) = (t − 1)/(t + 2)
  4. ((3 + x)³ − 27)/x = 27 + 9x + x²
  5. النتائج:8، ثم1/4، ثم27.
  1. القيمة المطلقة — A (14)
  2. x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
  3. يسار−2 تكون القيمة المطلقة سالبة التعبير، ويمينه تكون مساوية للتعبير.
  4. اليسرى1 واليمنى−1؛ فلا توجد نهاية.
  1. الجذور — A (15–16)
  2. (√(x² + 7) − 4)/(x² − 4x + 3) = (x + 3)/((x − 1)(√(x² + 7) + 4))
  3. limx→3 (x + 3)/((x − 1)(√(x² + 7) + 4)) = 3/8
  4. في16 نستخدم مجموع المكعبين؛ حاصل ضرب المقام في العامل التربيعي يساوي9(x+3)، فتكون النهاية3.
  1. التحليل — A (17–19)
  2. x³ − 3x² − 7x + 6 = (x + 2)(x² − 5x + 3)
  3. x⁴ − 7x² − 18 = (x − 3)(x + 3)(x² + 2)
  4. 4x³ − 5x² − 12 = (x − 2)(4x² + 3x + 6)
  5. بعد الاختصار والتعويض تكون النتائج17،66،28.
  1. توحيد المقامات — A (20–22)
  2. 1/(x − 1) − 2/(x² − 1) = 1/(x + 1)
  3. 1/(x − 1) − 3/(x³ − 1) = (x + 2)/(x² + x + 1)
  4. x/(x − 2) − 4x/(x² − 4) = x/(x + 2)
  5. النهايات بالتتابع1/2،1،1/2.
  1. المجموعة B تمارين موضوعية
  2. في التمارين (1–5)، ظلّل a إذا كانت العبارة صحيحة وb إذا كانت العبارة خاطئة.
  3. الأجوبة التعليمية:1b،2a،3b،4a،5a.
  1. الرسم — B (1)
  2. limx→3⁻ f(x) = 3
  3. العبارة المطبوعة−2 خاطئة؛−2 هي النهاية من اليمين.
الرسم — B (1)
الرسم — B (1)
  1. الرسم — B (6)
  2. limx→0⁻ f(x) = 4
  3. limx→0⁺ f(x) = −3
  4. الاختيار الصحيحa.
الرسم — B (6)
الرسم — B (6)
  1. الاختيار المتعدد — B (7–14)
  2. النتائج التعليمية بالتتابع: d،c،d،c،c،d،a،a.
  3. استخدم التحليل، والمرافق، ومجموع المكعبين، مع مراعاة جهة الاقتراب في القيمة المطلقة.

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

3 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 3

  1. المسألة · الكتاب ص 11

    احسب نهاية ((4+x)²−16)/x عندماx→0.

    المعطيات

    1. ((4+x)²−16)/xمن هنا
    1. (4 + x)² − 16 = 8x + x²

    المعلم: نُوَسِّعُ الْمُرَبَّعَ وَنَجْمَعُ الْحُدُودَ الْمُتَشَابِهَةَ فِي الْبَسْطِ.

    الخطوة 1 من 3

الملخص

  • نقرأ النهاية من الجهة المطلوبة في الرسم.
  • توجد النهاية إذا اتفقت نهايتا الجهتين.
  • نحلل قبل التعويض عند الصورة غير المعينة.
  • نستخدم المرافق للجذر التربيعي ومجموع المكعبين للجذر التكعيبي.
  • نفك القيمة المطلقة بحسب جهة الاقتراب.

الأفكار الرئيسية

  1. النهاية ليست قيمة الدالة بالضرورة.
  2. الاختصار يقع في جوار النقطة.
  3. الجهة تحدد إشارة القيمة المطلقة.

الأسئلة المهمة

كيف نحسب نهاية من الرسم؟

نتبع المنحنى من جهة الاقتراب، ولا نخلط النهاية بقيمة النقطة المصمتة.

الكتاب صفحة 10

كيف نعالج الصورة0/0؟

نحلل أو نوحد المقام أو نستخدم المرافق قبل التعويض.

الكتاب صفحة 11

لماذا نفصل جهتي القيمة المطلقة؟

لأن إشارة التعبير داخلها تتغير بين الجهتين.

الكتاب صفحة 11

متى نستخدم المرافق؟

عندما يساعد ضربه في إزالة الجذر وإظهار العامل المشترك.

الكتاب صفحة 11

كيف نتحقق من التحليل؟

نضرب العوامل ونقارنها بالبسط الأصلي قبل الاختصار.

الكتاب صفحة 11

اختبار الدرس

أجب ثم اضغط «صحّح» لترى درجتك وتفسير كل إجابة.

سؤال 1
1

نهاية (x−1)/(x²−1) عندماx→1 هي:

متوسط
سؤال 2
2

نهاية (√x−1)/(x−1) عندماx→1 هي:

متوسط
سؤال 3
3

نهاية (x+8)/(∛x+2) عندماx→−8 هي:

متوسط
سؤال 4
4

نهاية (x⁴−7x²−18)/(x−3) عندماx→3 هي:

متوسط
سؤال 5
5

إذا اختلفت النهايتان الجانبيتان فلا توجد نهاية كلية.

متوسط
سؤال 6
6

قيمة الدالة عند النقطة تحدد النهاية دائمًا.

متوسط
سؤال 7
7

احسب نهاية ((4+x)²−16)/x عندماx→0.

متوسط
سؤال 8
8

احسب نهاية (1/(x−1)−2/(x²−1)) عندماx→1.

متوسط

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

سؤال 1
1

احسب نهاية ((3+x)³−27)/x عندماx→0.

متوسط
سؤال 2
2

احسب نهاية (t²−3t+2)/(t²−4) عندماt→2.

متوسط
سؤال 3
3

احسب نهاية (4x³−5x²−12)/(x−2) عندماx→2.

متوسط

مصطلحات الدرس

النهاية اليسرى
القيمة التي تقترب منها الدالة عندما تقترب المتغيرة من اليسار.
المرافق
تعبير يختلف في إشارة الحد بين جزأيه ويساعد على إزالة الجذر.
النهاية اليمنى
القيمة التي تقترب منها الدالة من جهة اليمين.

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 36 تمرينًا.

A (1)الشكل المقابل، يمثّل بيان الدالةg. أوجد إن أمكن:(a) lim_{t→−4⁻} g(t)(b) lim_{t→−4⁺} g(t)(c) lim_{t→−4} g(t)(d) g(−4)(ص 10)شكل التمرين من الكتاب

حل تعليمي من الرسم:(a) 5؛(b) 2؛(c) غير موجودة لاختلاف الجهتين؛(d) 2.

A (2)الشكل المقابل، يمثّل بيان الدالةf. أوجد إن أمكن:(a) lim_{h→0⁻} f(h)(b) lim_{h→0⁺} f(h)(c) lim_{h→0} f(h)(d) f(0)(ص 10)شكل التمرين من الكتاب

حل تعليمي من الرسم: الفروع الأربعة تساوي −4.

A (3)بفرض أن: lim_{x→4} f(x) = 0 ، lim_{x→4} g(x) = 3 ، أوجد:(a) lim_{x→4} (g(x) +3)(b) lim_{x→4} x f(x)(c) lim_{x→4} (g(x) · g(x))(d) lim_{x→4} g(x)/(f(x) −1)(ص 10)

حل تعليمي:(a) 6؛(b) 0؛(c) 9؛(d) −3.

A (4)في التمارين (4–7)، أوجد: lim_{x→−1/2} (3x²(2x − 1))(ص 10)

حل تعليمي: −3/2

A (5)lim_{y→−3} (y² + 4y +3)/(y² −3)(ص 10)

حل تعليمي: 0

A (6)lim_{x→−4} (x + 3)¹⁹⁹⁸(ص 10)

حل تعليمي: 1

A (7)lim_{x→3} √(x − 2)(ص 10)

حل تعليمي: 1

A (8)لتكن الدالة f: f(x) = { 3 − x : x < 2 ، 2 : x = 2 ، x/2 : x > 2 } أوجد: lim_{x→2} f(x)(ص 11)

حل تعليمي: 1؛ النهاية اليسرى واليمنى تساويان1، رغم أن f(2)=2.

A (9)لتكن الدالة f: f(x) = { ∛(1 − x²) : 0 ≤ x < 1 ، 1 : 1 ≤ x < 2 ، 2 : x = 2 } أوجد إن أمكن:(a) lim_{x→1} f(x)(b) lim_{x→2⁻} f(x)(ص 11)

حل تعليمي:(a) غير موجودة: اليسرى0 واليمنى1؛(b) 1.

A (10)لتكن الدالة f: f(x) = { −x² + 4 : −1 ≤ x < 1 ، 2 : 1 ≤ x < 2 ، x : 2 ≤ x < 4 } أوجد إن أمكن:(a) lim_{x→1} f(x)(b) lim_{x→2} f(x)(ص 11)

حل تعليمي:(a) غير موجودة: اليسرى3 واليمنى2؛(b) 2.

A (11)في التمارين (11–16)، أوجد: lim_{x→0} ((4 + x)² − 16)/x(ص 11)

حل تعليمي: 8

A (12)lim_{t→2} (t² − 3t +2)/(t² −4)(ص 11)

حل تعليمي: 1/4

A (13)lim_{x→0} ((3 + x)³ − 27)/x(ص 11)

حل تعليمي: 27

A (14)lim_{x→−2} |x + 2|/(x² + 3x + 2)(ص 11)

حل تعليمي: غير موجودة: اليسرى1 واليمنى−1.

A (15)lim_{x→3} (√(x² +7) −4)/(x² − 4x +3)(ص 11)

حل تعليمي: 3/8

A (16)lim_{x→−3} (x +3)/(∛(9x) +3)(ص 11)

حل تعليمي: 3

A (17)في التمارين (17–19)، أوجد النهايات التالية: lim_{x→−2} (x³ − 3x² − 7x +6)/(x +2)(ص 11)

حل تعليمي: 17

A (18)lim_{x→3} (x⁴ − 7x² − 18)/(x − 3)(ص 11)

حل تعليمي: 66

A (19)lim_{x→2} (4x³ − 5x² − 12)/(x − 2)(ص 11)

حل تعليمي: 28

A (20)في التمارين (20–22)، أوجد كلًّا مما يلي: lim_{x→1} (1/(x − 1) − 2/(x² − 1))(ص 11)

حل تعليمي: 1/2

A (21)lim_{x→1} (1/(x − 1) − 3/(x³ − 1))(ص 11)

حل تعليمي: 1

A (22)lim_{x→2} (x/(x − 2) − 4x/(x² − 4))(ص 11)

حل تعليمي: 1/2

B (1)في التمارين (1–5)، ظلّل a إذا كانت العبارة صحيحة وb إذا كانت العبارة خاطئة. lim_{x→3⁻} f(x) = −2 (في الرسم البياني أدناه)(ص 12)شكل التمرين من الكتاب

حل تعليمي: b، خاطئة؛ اليسرى3.

B (2)lim_{y→2} (y² + 5y +6)/(y +2) = 5(ص 12)

حل تعليمي: a، صحيحة؛20/4=5.

B (3)lim_{x→0} (5x³ + 8x²)/(3x⁴ − 16x²) = 0(ص 12)

حل تعليمي: b، خاطئة؛ النهاية−1/2.

B (4)lim_{x→0⁻} (√(x²) − x)/x = −2(ص 12)

حل تعليمي: a، صحيحة؛ √(x²)=−x عندماx<0.

B (5)lim_{x→1⁺} (2x − |x| + 2) = 3(ص 12)

حل تعليمي: a، صحيحة.

B (6)في التمارين (6–14)، ظلّل رمز الدائرة الدالّ على الإجابة الصحيحة. الشكل المقابل هو بيان دالةf. العبارة الصحيحة في ما يلي هي:(a) lim_{x→0⁻} f(x) = 4(b) lim_{x→0⁻} f(x) = −3(c) lim_{x→0⁺} f(x) = 4(d) lim_{x→0} f(x) = −3(ص 12)شكل التمرين من الكتاب

حل تعليمي: (a)؛ اليسرى4 واليمنى−3.

B (7)lim_{x→−2} (x³ + 3x² − 2x − 17) =(a) 17(b) −17(c) 9(d) −9(ص 13)

حل تعليمي: d، −9

B (8)lim_{x→1} (x −1)/(x² −1) =(a) 1(b) 0(c) 1/2(d) غير موجودة(ص 13)

حل تعليمي: c، 1/2

B (9)lim_{x→2} (x² − 3x +2)/(2x² − 5x +2) =(a) 1(b) 0(c) 1/2(d) 1/3(ص 13)

حل تعليمي: d، 1/3

B (10)lim_{x→1} (√x −1)/(x −1) =(a) −1(b) 1(c) 1/2(d) 0(ص 13)

حل تعليمي: c، 1/2

B (11)lim_{x→2⁺} |x − 2|/(x² −4) =(a) 1/2(b) −1/2(c) 1/4(d) −1/4(ص 13)

حل تعليمي: c، 1/4

B (12)lim_{x→0} (1/(2 + x) − 1/2)/x =(a) −1/2(b) 1/2(c) 1/4(d) −1/4(ص 13)

حل تعليمي: d، −1/4

B (13)lim_{x→−8} (x +8)/(∛x +2) =(a) 12(b) −12(c) 4(d) −4(ص 13)

حل تعليمي: a، 12

B (14)lim_{x→−3} (2x³ + 9x² + 9x)/(x +3) =(a) 9(b) 0(c) −3(d) −9(ص 13)

حل تعليمي: a، 9

صفحات الكتاب

صفحات هذا الدرس من كتاب التمارين الرسمي كما هي، صفحات 10 إلى 13.

صفحة 10صفحة 10صفحة 11صفحة 11صفحة 12صفحة 12صفحة 13صفحة 13

المصدر: الرياضيات — الصف الثاني عشر (علمي) — الفصل الدراسي الأول — كرّاسة التمارين

  • ص 10: «النهايات»
  • ص 11: «أوجد إن أمكن:»
  • ص 12: «المجموعة B تمارين موضوعية»