منصة المنقذ التعليمية

أهداف الدرس

أميز المعلمة والإحصاءة والتقدير.
أحسب تقديرًا بنقطة وفترة ثقة بطريقة الكتاب.
أحدد القيمة الحرجة وهامش الخطأ في الحالات الثلاث.

الشرح خطوة بخطوة

1 / 1180:00

الموضع محفوظ على هذا الجهاز.

المقطع 1 من 19التقدير واختبارات الفروض Estimation and Hypotheses Testing0:03

مقاطع الدرس

0 من 19 مكتمل

التقدير واختبارات الفروض Estimation and Hypotheses Testing(ص 11)

مشروع الوحدة: ما هي أفضل طريقة لإيجاد وظيفة؟(ص 11)

١ مقدمة المشروع: بعد التخرج يواجه الحاصلون على الإجازات والشهادات الجامعية تحدٍّ جديد هو الانخراط في سوق العمل.
٢ الهدف: هو البحث عن فرص عمل من خلال القيام بعدة خطوات ومحاولات متنوعة واستخدام العديد من الوسائل.
٣ اللوازم: حاسوب - شبكة الإنترنت.

من خلال الأصدقاء والمعارف.
من خلال الإعلانات في الصحف والمجلات.
من خلال الوكالات المختصة في الربط بين سوق العمل وطالبي الوظائف.
من خلال البحث عبر شبكة الإنترنت.
من خلال التقدم مباشرة لطلب وظيفة من الشركة المختصة أو اعتماد وسيلة أخرى (اذكرها...).

تعلمت مقاييس النزعة المركزية: المتوسط الحسابي - الوسيط - المنوال.
تعلمت المجتمع الإحصائي.
تعلمت العينة واستخداماتها.

يُعرِّف المعلمة والإحصاءة.
إيجاد التقدير بنقطة.
إيجاد التقدير بفترة ثقة.
استكشاف الفروض الإحصائية.
يُعرِّف الاختبارات الإحصائية.
اتخاذ القرار المناسب.

المصطلحات الأساسية: المعلمة - الإحصاءة - التقدير - التقدير بنقطة - فترة الثقة - الفروض الإحصائية - المقياس الإحصائي - فرض العدم - فرض البديل - القرار - مستوى المعنوية - درجات الحرية.(ص 12)

في الوسائل الإعلامية المرئية والمسموعة والمكتوبة تطالعك نتائج إحصائية تتحدث عن توقعات أحداث معينة تتناول انتخابات نيابية أو رئاسية أو مبيعات أو مباريات... وأكثر ما يستوقفك هو نسبة مئوية معينة مع هامش خطأ محدد والسؤال المهم هو: كيف يتم التقدير وكيف يُحتسب هامش الخطأ؟ توفر دروس هذه الوحدة فرصة أمام الطلاب للتعرف على التقدير وهامش الخطأ والفروض الإحصائية وكيفية احتسابها.(ص 12)

التقدير Estimation(ص 13)

سبق لنا في الصف الحادي عشر تعريف المجتمع الإحصائي والعينة العشوائية والأسباب التي تؤدي إلى أخذ العينات لدراسة المجتمع بدلاً من الحصر الشامل، وذلك لتقدير الوسط الحسابي للمجتمع μ أو الانحراف المعياري له σ.(ص 13)

ويعتبر الوسط الحسابي للمجتمع μ والانحراف المعياري للمجتمع σ من معالم المجتمع، وعادة ما تكون هذه المعالم مجهولة.(ص 13)

ولتقدير هذه المعالم نلجأ إلى سحب عينة عشوائية منه، ثم نحسب المتوسط الحسابي للعينة س̄ أو الانحراف المعياري ع والذي يعتمد على قيم العينة ولا يعتمد على معالم المجتمع.(ص 13)

انتبه

ملاحظة: سنعتبر أن المجتمع الذي أخذت منه العينة يتبع التوزيع الطبيعي المعياري.(ص 13)

تعريف

«المعلمة» (Parameter): هي ثابت يصف المجتمع أو يصف توزيع المجتمع كالمتوسط الحسابي μ أو الانحراف المعياري σ.(ص 13)

تعريف

«الإحصاءة» (Statistic Function): هو اقتران تتعين قيمته من العينة كالمتوسط الحسابي س̄ أو الانحراف المعياري ع.(ص 13)

تعريف

«تقدير المعلمة» (Parameter Estimate): هو إحصاءة تعتمد على قيم العينة وتعكس قيمة قريبة لمعلمة المجتمع ككلّ وتوزيعه.(ص 13)

طريقة أولى: التقدير بنقطة.
طريقة ثانية: التقدير بفترة الثقة.

(١–١–أ) التقدير بنقطة Point Estimate(ص 14)

«التقدير بنقطة» هي قيمة وحيدة محسوبة من العينة تستخدم لتقدير معلمة مجهولة من معالم المجتمع.(ص 14)

فمثلاً المتوسط الحسابي للعينة العشوائية س̄ يستخدم كتقدير بنقطة للمتوسط الحسابي للمجتمع μ، وكذلك الانحراف المعياري للعينة ع يستخدم كتقدير بنقطة للانحراف المعياري للمجتمع σ.(ص 14)

مثال

٣٧,٤	٣٦,٩	٣٦,٩	٣٦,٩	٣٦,٩	٣٧,٢	٣٦,٧	٣٦,٧	٣٧	٣٧
٣٦,٦	٣٦,٦	٣٧,١	٣٦,٥	٣٦,٤	٣٧,١	٣٦,١	٣٦,١	٣٧	٣٧,١
٣٦,٣	٣٦,٤	٣٧,٥	٣٧	٣٧,٢	٣٦,٣	٣٧	٣٦,٤	٣٦,٩	٣٦,٨
٣٦,٢	٣٧	٣٧	٣٦,٧	٣٦,٨	٣٧,٤	٣٧,١	٣٧,٥	٣٦,٨	٣٦,٤

(ص 14)

استخدم هذه العينة لقيم معدل درجة الحرارة لتوجد أفضل تقدير بنقطة للمتوسط الحسابي μ لمعدل درجة حرارة مجتمع أُخذت منه هذه العينة.(ص 14)

نوجد المتوسط الحسابي س̄ لقيم البيانات في العينة التي تمثل معدل درجة الحرارة عند٤٠شخصاً بحالة صحية جيدة.
نوجد المتوسط الحسابي س̄ لقيم البيانات في العينة التي تمثل معدل درجة الحرارة عند٤٠شخصاً بحالة صحية جيدة.
س̄ = (∑ س_ر)/ن
= (١٤٧٢,٨)/(٤٠) = ٣٦,٨٢°
∴ القيمة التقديرية للمتوسط الحسابي μ لمعدل درجة حرارة المجتمع الذي أُخذت منه هذه البيانات هي μ =٣٦,٨٢

(١–١–ب) التقدير بفترة الثقة Confidence Interval Estimation(ص 15)

علمنا مما سبق أن لكل مجتمع معالم منها المتوسط الحسابي μ والانحراف المعياري σ، ودرسنا كيفية إيجاد التقدير بنقطة لتلك المعالم. وعلمنا أن التقدير بنقطة لإحدى معالم المجتمع هو قيمة وحيدة محسوبة من العينة وبالتالي فإن احتمال الخطأ في التقدير بنقطة يكون كبيراً. ولذلك فإنه من الأفضل إيجاد فترة معينة يتوقع أن تقع معلمة المجتمع داخلها بنسبة معينة أو باحتمال معين. إن مثل هذه الفترة تسمى فترة الثقة.(ص 15)

تعريف: «فترة الثقة» هي فترة طرفاها متغيران عشوائيان (أي أنها فترة عشوائية) تستخدم لتقدير إحدى معالم المجتمع.(ص 15)

وهذه الفترة تحوي إحدى معالم المجتمع بنسبة معينة تسمى مستوى الثقة، فمثلاً إذا كان مستوى الثقة٩٥٪فإن نسبة الخطأ في التقدير تكون٥٪.(ص 15)

يرمز لمستوى الثقة بالرمز١٠٠٪(١−α) حيث (١−α) هو معامل مستوى الثقة وα هي نسبة الخطأ في التقدير.(ص 15)

إذا كان مستوى الثقة٩٠٪فإن مستوى المعنويةα =٠,١٠
وإذا كان مستوى الثقة٩٥٪فإن مستوى المعنويةα =٠,٠٥
أيضاً إذا كان مستوى الثقة٩٩٪فإن مستوى المعنويةα =٠,٠١

ومن هذه الخيارات الثلاثة، يعتبر مستوى الثقة٩٥٪هو الأكثر انتشاراً لأنه يؤمن التوازن الأنسب بين الدقة الموضحة من خلال طول فترة الثقة والدقة الموضحة من خلال مستوى الثقة.(ص 15)

منحنى التوزيع الطبيعي Curve of Normal Distribution(ص 15)

المتوسط الحسابي = الوسيط = المنوال.
يكون بيان المنحنى على شكل ناقوس (جرس) متماثل حول محوره .س = μ
يمتد المنحنى من طرفيه إلى+∞وإلى−∞(لا يقطع المحور الأفقي).
المساحة تحت المنحنى تساوي الواحد الصحيح (وحدة مساحة).

المستقيم الرأسي س = μ يقسم المساحة تحت المنحنى إلى منطقتين متماثلتين مساحة كل منهما تساوي نصف وحدة مساحة كما في الشكل.(ص 15)

منحنى التوزيع الطبيعي المعياري Curve of Standard Normal Distribution(ص 16)

إذا كان المتوسط الحسابي للتوزيع الطبيعي μ =صفر والانحراف المعياري σ =١يسمى التوزيع الطبيعي «بالتوزيع الطبيعي المعياري».(ص 16)

الشكل المرسوم يمثّل بيان منحنى التوزيع الطبيعي المعياري.(ص 16)

المستقيم 𞸝 =صفر هو محور التماثل للمنحنى.(ص 16)

تأخذ 𞸝 قيم موجبة وتزداد جهة اليمين بينما تأخذ 𞸝 قيماً سالبة وتنقص جهة اليسار.(ص 16)

القيمة الحرجة Critical Value(ص 16)

الشكل المرسوم يبيّن منحنى التوزيع الطبيعي المعياري.(ص 16)

المساحة الوسطى وطرفاها في التوزيع الطبيعي المعياري.(ص 16)

نعلم أن المساحة تحت المنحنى الطبيعي تساوي الواحد (وحدة المساحة) ولتمثيل (١−α) من المساحة الكلية تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري نحصر هذه المساحة بين حدين رأسيين متساويي البعد عن المحور الرأسي كما هو موضّح في الشكل.(ص 16)

نلاحظ أن المحور الرأسي يقسم المساحة (١−α) إلى نصفين كل منهما يساوي (١−α)/٢.(ص 16)

تكون المساحة المتبقية من المساحة الكلية هي α موزعة على طرفي المنحنى بالتساوي كل منها يساوي α/٢.(ص 16)

نعبر عن الحدين الرأسيين بالرمز 𞸝_{α/٢} = 𞸝_{(١−α)/٢} وبالرمز −𞸝_{α/٢} = −𞸝_{(١−α)/٢}، حيث 𞸝_{α/٢} يفصل مساحة α/٢ من ذيل الطرف الأيمن ومساحة (١−α)/٢ من المستقيم 𞸝 = صفر، بينما −𞸝_{α/٢} يفصل مساحة α/٢ من ذيل الطرف الأيسر ومساحة (١−α)/٢ من المستقيم 𞸝 = صفر.(ص 16)

تسمى القيمة الموجبة 𞸝_{α/٢} «بالقيمة الحرجة» (Critical Value).(ص 16)

إيجاد القيمة الحرجة من جدول التوزيع الطبيعي المعياري:(ص 16)

إيجاد القيمة الحرجة من المساحة بين الصفر والحد الموجب.(ص 16)

لإيجاد القيمة 𞸝_{α/٢} المناظرة للمساحة تحت المنحنى نحسب المساحة (١−α)/٢التي تقع على يسار 𞸝_{α/٢} ويمين الصفر أي في الفترة [٠،𞸝_{α/٢}] ثم نكشف عنها في الجدول المرفق في نهاية الوحدة حيث العمود الأول قيم 𞸝 ابتداءً من٠,٠وحتى٣,١٠وأكثر. والصف الأول يمثل الأجزاء من المئة لقيم 𞸝، ومنه يمكن تحديد قيمة 𞸝_{α/٢}.(ص 16)

مثالمثال (٢): أوجد القيمة الحرجة المناظرة لمستوى ثقة٩٥٪باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري.(ص 17)

∵ مستوى الثقة هو٩٥٪
∴ ١−α =٠,٩٥
∴ (١−α)/٢ =٠,٩٥/٢ =٠,٤٧٥
نبحث في جدول التوزيع الطبيعي المعياري عن قيمة 𞸝 المناظرة للعدد٠,٤٧٥٠
𞸝_{α/٢} =𞸝_{٠,٤٧٥٠} =١,٩٦

مثالمثال (٣): أوجد القيمة الحرجة المناظرة لمستوى ثقة٩٠٪باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري.(ص 17)

∵ مستوى الثقة هو٩٠٪
∴ ١−α =٠,٩٠
∴ (١−α)/٢ =٠,٩٠/٢
=٠,٤٥
نبحث في الجدول عن القيمة٠,٤٥٠٠فنجدها تقع بين القيمتين٠,٤٤٩٥،٠,٤٥٠٥
أي أن القيمة الحرجة تقع بين١,٦٤،١,٦٥
لذا نأخذ المتوسط الحسابي للقيمتين١,٦٤،١,٦٥كتقدير لقيمة 𞸝
𞸝_{α/٢} =(١,٦٤+١,٦٥)/٢ =٣,٢٩/٢
∴ 𞸝_{α/٢} =١,٦٤٥

هامش الخطأ Margin of Error(ص 18)

أولاً: الخطأ بالتقدير بنقطة Point Estimation Error(ص 18)

علمنا فيما سبق أنه يمكن استخدام المتوسط الحسابي للعينة س̄ كتقدير بنقطة للمتوسط الحسابي للمجتمع μ.(ص 18)

ومن المتوقع أن تكون قيمة المتوسط الحسابي للعينة س̄ غير مساوية لقيمة المتوسط الحسابي للمجتمع μ.(ص 18)

σ/√ن
حيث σ الانحراف المعياري للمجتمع، ن عدد قيم العينة (أو حجم العينة).

ثانياً: الخطأ بالتقدير بفترة Interval Estimation Error(ص 18)

والآن نتعرض للخطأ بالتقدير بفترة فعندما نستخدم عينة لتقدير المتوسط الحسابي للمجتمع μ، يكون الخطأ في التقدير هو القيمة المطلقة للفرق بين المتوسط الحسابي للعينة س̄، والمتوسط الحسابي للمجتمع μ ويعرف هامش الخطأ هـ:(ص 18)

هـ =𞸝_{α/٢} × (σ/√ن)
باحتمال (١−α)، حيث α تعبر عن نسبة الخطأ في التقدير.

|س̄−μ| < هـ
أي أن:|μ−س̄| < هـ
−هـ < μ−س̄ < هـ
س̄−هـ < μ < س̄+هـ

وعليه تكون فترة الثقة هي (س̄−هـ، س̄+هـ).(ص 18)

التقدير بفترة الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع الإحصائي μ Confidence Interval Estimation for the Mean Value μ of Statistical Population(ص 19)

أولاً: إذا كان التباين للمجتمع σ²معلوم(ص 19)

إذا أخذت عينة عشوائية حجمها ن من مجتمع طبيعي ط(μ،σ²) وتباينه σ²معلوم فإن تقدير فترة الثقة١٠٠٪(١−α) للمتوسط الحسابي μ هي:(ص 19)

(س̄−هـ، س̄+هـ)
حيث س̄ المتوسط الحسابي للعينة، هـ هامش الخطأ.
وتسمى القيمتان س̄−هـ، س̄+هـ طرفي فترة الثقة.

ملاحظة: عند إيجاد فترة الثقة١٠٠٪(١−α) سنكتفي بمستوى الثقة٩٥٪ والتي تناظرها القيمة الحرجة 𞸝_{α/٢} =١,٩٦ (من جدول التوزيع الطبيعي المعياري).(ص 19)

تفسير فترة الثقة(ص 19)

عند اختيار عينات عشوائية مختلفة متساوية في الحجم (ن) وحساب حدود فترة الثقة لكل عينة فإننا نتوقع أن٩٥٪من فترات الثقة هذه تحوي القيمة الحقيقية للمتوسط الحسابي للمجتمع (μ).(ص 19)

فمثلاً عند اختيار١٠٠عينة عشوائية ذات الحجم نفسه (ن) وفي كل مرة نحسب س̄ وفترة الثقة فإننا نتوقع أن٩٥فترة تحوي μ الحقيقية و٥فترات لا تحويها.(ص 19)

إذا كانت σ²معلومة حيث ن >٣٠أو ن ≤٣٠
نوجد القيمة الحرجة المناظرة لمستوى ثقة٩٥٪وهي١,٩٦.
نوجد هامش الخطأهـ =𞸝_{α/٢} × (σ/√ن)
نوجد فترة الثقة(س̄−هـ،س̄+هـ)

مثالمثال (4): أجريت دراسة لعينة من الإناث حول معدل النبض لديهن فإذا كان حجم عينة الإناث ن =٤٠والانحراف المعياري لمجتمع الإناث σ =١٢,٥والمتوسط الحسابي للعينة س̄ =٧٦,٣. باستخدام مستوى ثقة٩٥٪.(ص 20)

أوجد هامش الخطأ.
أوجد فترة الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع الإحصائي μ.
فسّر فترة الثقة.

ن =٤٠
σ =١٢,٥
س̄ =٧٦,٣

مستوى الثقة٩٥٪𞸝_{α/٢} =١,٩٦
بما أن σمعلومةهـ =𞸝_{α/٢} × (σ/√ن)
هـ =١,٩٦ × (١٢,٥/√٤٠)
هـ ≈٣,٨٧٣٨
فترة الثقة هي(س̄−هـ،س̄+هـ)
=(٧٦,٣−٣,٨٧٣٨،٧٦,٣+٣,٨٧٣٨)
=(٧٢,٤٢٦٢،٨٠,١٧٣٨)

عند اختيار١٠٠عينة عشوائية ذات الحجم نفسه (ن =40) وحساب حدود فترة الثقة لكل عينة فإننا نتوقّع أن٩٥فترة تحوي القيمة الحقيقية للمتوسط الحسابي للمجتمع μ.(ص 20)

مثالمثال (5): أجريت دراسة لعينة من١٨طالباً حول متوسط عدد ساعات استخدام الألواح الذكية (TABLETS) أسبوعياً. فإذا كان الانحراف المعياري σ =١,٨والمتوسط الحسابي للعينة س̄ =١٥، باستخدام مستوى ثقة٩٥٪.(ص 21)

أوجد هامش الخطأ.
أوجد فترة الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع الإحصائي μ.
فسّر فترة الثقة.

ن =١٨
σ =١,٨
س̄ =١٥

مستوى الثقة٩٥٪𞸝_{α/٢} =١,٩٦
بما أن σمعلومةهـ =𞸝_{α/٢} × (σ/√ن)
هـ =١,٩٦ × (١,٨/√١٨)
هـ ≈٠,٨٣١٦
فترة الثقة هي(س̄−هـ،س̄+هـ)
=(١٥−٠,٨٣١٦،١٥+٠,٨٣١٦)
=(١٤,١٦٨٤،١٥,٨٣١٦)

عند اختيار١٠٠عينة عشوائية ذات الحجم نفسه (ن =18) وحساب حدود فترة الثقة لكل عينة فإننا نتوقّع أن٩٥فترة تحوي القيمة الحقيقية للمتوسط الحسابي للمجتمع μ.(ص 21)

ثانياً: إذا كان التباين للمجتمع σ²غير معلوم وحجم العينة ن >٣٠(ص 22)

إذا كانت σ²غير معلومة حيث ن >٣٠
نوجد القيمة الحرجة المناظرة لمستوى ثقة٩٥٪وهي١,٩٦.
نوجد هامش الخطأهـ =𞸝_{α/٢} × (ع/√ن)
نوجد فترة الثقة(س̄−هـ،س̄+هـ)

مثالمثال (6): عينة عشوائية حجمها٣٦، فإذا كان المتوسط الحسابي للعينة٦٠وتباينها١٦، باستخدام مستوى ثقة٩٥٪.(ص 22)

أوجد هامش الخطأ.
أوجد فترة الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع الإحصائي μ.
فسّر فترة الثقة.

ع² =١٦
ع =٤
س̄ =٦٠
ن =٣٦

مستوى الثقة٩٥٪𞸝_{α/٢} =١,٩٦
σغير معلوم، ن >٣٠هـ =𞸝_{α/٢} × (ع/√ن)
هـ =١,٩٦ × (٤/√٣٦)
هـ ≈١,٣٠٦٦
فترة الثقة هي(س̄−هـ،س̄+هـ)
=(٦٠−١,٣٠٦٦،٦٠+١,٣٠٦٦)
=(٥٨,٦٩٣٤،٦١,٣٠٦٦)

عند اختيار١٠٠عينة عشوائية ذات الحجم نفسه (ن =36) وحساب حدود فترة الثقة لكل عينة فإننا نتوقّع أن٩٥فترة تحوي القيمة الحقيقية للمتوسط الحسابي للمجتمع μ.(ص 22)

ثالثاً: إذا كان التباين للمجتمع σ²غير معلوم وحجم العينة ن ≤٣٠.(ص 23)

إذا أخذت عينة عشوائية حجمها ن من مجتمع طبيعي تباينه σ²غير معلوم وحجم العينة ن ≤٣٠فإن توزيع العينة لا يؤول إلى التوزيع الطبيعي وفي هذه الحالة يلزمنا استخدام توزيع آخر هو توزيع ت للعينات الصغيرة التي حجمها ن ≤٣٠ويكون تقدير فترة الثقة١٠٠٪(١−α) للمتوسط الحسابي μ هي (س̄−هـ، س̄+هـ) حيث س̄ المتوسط الحسابي للعينة، هـ هامش الخطأ.(ص 23)

خواص التوزيع ت Properties of t Distribution(ص 23)

توزيع متماثل حول متوسطه الحسابي والذي يساوي صفراً، ويمتد إلى∞من جهة اليمين وإلى−∞من جهة اليسار ويزداد قرباً من الصفر في الجهتين.
انحرافه المعياري أكبر من الواحد.
يعتمد هذا التوزيع على درجات الحرية والتي تساوي (حجم العينة−١) أي (ن−١).
التوزيع ت يشبه التوزيع الطبيعي إلا أن قمته أكثر انخفاضاً من التوزيع الطبيعي.
كلما زادت درجات الحرية اقترب هذا التوزيع من التوزيع الطبيعي ويقترب انحرافه المعياري إلى الواحد الصحيح.

المساحة المحددة بالقيمة الحرجة لتوزيع ت.(ص 24)

إيجاد القيمة الحرجة من جدول توزيع ت.(ص 24)

لإيجاد القيمة الحرجة من جدول توزيع ت حيث يبيّن العمود الأول قيم درجات الحرية (ن−١) وتبدأ من١إلى٣٠وأكثر والصف الأول يمثل قيم α/٢ومنه يمكن تحديد ت_{α/٢} =ت_{١−α/٢}.(ص 24)

مثالمثال (٧): أُخذت عينة عشوائية بسيطة حجمها ن =٢٣من مجتمع طبيعي. أوجد القيمة الحرجة ت_{α/٢} المناظرة لمستوى الثقة٩٥٪باستخدام جدول التوزيع ت.(ص 24)

∵ ن =٢٣
∴ (ن−١) =٢٣−١
=٢٢
∵ مستوى الثقة هو٩٥٪
∴ ١−α =٠,٩٥
α =٠,٠٥
α/٢ =٠,٠٢٥
ومن جدول التوزيع ت
ت_{α/٢} =ت_{٠,٠٢٥} =٢,٠٧٤

والآن، بعد أن علمنا كيف نوجد القيم الحرجة ت_{α/٢}، يمكننا أن نوجد هامش الخطأ هـ وفترة الثقة.(ص 25)

هـ =ت_{α/٢} × (ع/√ن)
حيث ع الانحراف المعياري للعينة

Margin of Error for Mean Value of Statistical Population Where σ² is not known and n ≥30(ص 25)

(س̄−هـ، س̄+هـ)

Confidence Interval for Mean Value of Statistical Population where σ² is not known and n ≤30(ص 25)

إذا كانت σ²غير معلومة، ن ≤٣٠
نوجد درجات الحرية (ن−١).
نوجد القيمة الحرجة ت_{α/٢} المناظرة لدرجة ثقة٩٥٪من جدول توزيع ت.
نوجد هامش الخطأهـ =ت_{α/٢} × (ع/√ن)
نوجد فترة الثقة(س̄−هـ، س̄+هـ)

مثالمثال(٨): أخذت عينة عشوائية من مجتمع طبيعي حجمها ن =٢٥، فإذا كان الانحراف المعياري للعينة(ع) يساوي١٠ومتوسطها الحسابي (س̄) يساوي١٥، استخدم مستوى ثقة٩٥٪لإيجاد: ١ هامش الخطأ. ٢ فترة الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع الإحصائي μ.(ص 26)

∵ σ²غير معلوم، ن ≤٣٠
∴ نستخدم توزيع ت.
∵ ن =٢٥
∴ (ن−١) =٢٥−١ =٢٤
∵ ١−α =٩٥٪
∴ ١−α =٠,٩٥ ⇒ α =٠,٠٥٠
α/٢ =٠,٠٢٥
من جدول توزيع ت تكون قيمة
ت_{α/٢} =ت_{٠,٠٢٥} =٢,٠٦٤
هامش الخطأهـ =ت_{α/٢} × (ع/√ن)
هـ =٢,٠٦٤ × (١٠/√٢٥)
=٤,١٢٨
فترة الثقة(س̄−هـ، س̄+هـ)
=(١٥−٤,١٢٨،١٥+٤,١٢٨)
=(١٠,٨٧٢،١٩,١٢٨)

ويمكن تلخيص الحالات الثلاث السابقة كما في الجدول التالي:(ص 27)

تلخيص حالات فترة الثقة الثلاث كما في الجدول.(ص 27)

مثالمثال(٩): أخذت عينة عشوائية حجمها ن =٦٠، فإذا كان الانحراف المعياري للعينة(ع) يساوي١٨ومتوسطها الحسابي (س̄) يساوي٣٦، استخدم مستوى ثقة٩٥٪لإيجاد: ١ هامش الخطأ. ٢ فترة الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع الإحصائي μ.(ص 27)

σ²غير معلوم، ن ≥٣٠
القيمة الحرجة المناظرة لمستوى ثقة٩٥٪𞸝_{α/٢} =١,٩٦
ع =١٨
ن =٦٠
هـ =𞸝_{α/٢} × (ع/√ن)
هـ =١,٩٦ × (١٨/√٦٠)
≈٤,٥٥٤٦
فترة الثقة(س̄−هـ، س̄+هـ)
=(٣٦−٤,٥٥٤٦،٣٦+٤,٥٥٤٦)
=(٣١,٤٤٥٤،٤٠,٥٥٤٦)

حل المسائل على السبورة

شاهد المعلم يكتب الحل سطرًا سطرًا، أوقفه، أعد الخطوة، واسأل «لماذا؟» — ثم حُلّ مسألة مشابهة بنفسك لتكسب نجمة.

2 مسائل تُحل أمامك خطوة خطوة، وبعد كل مسألة سؤال قصير تكسب به نجمة.0 من 2

المسألة · الكتاب ص 24
حدد درجات الحرية لعينة23.
المعطيات
1. ن =٢٣
1. درجات الحرية
المعلم: نَسْتَخْدِمُ حَجْمَ الْعَيِّنَةِ ثَلَاثَةً وَعِشْرِينَ، وَنَطْرَحُ مِنْهُ وَاحِدًا لِحِسَابِ دَرَجَاتِ الْحُرِّيَّةِ.
الخطوة 1 من 2

الملخص

المعلمة تصف المجتمع والإحصاءة تحسب من العينة.
التقدير بنقطة قيمة واحدة، والتقدير بفترة يعطي طرفين.
القيمة الحرجة تحدد من جدول التوزيع المناسب.
تختلف صيغة هامش الخطأ باختلاف معرفة التباين وحجم العينة.

الأفكار الرئيسية

التقدير
فترة الثقة
القيمة الحرجة
هامش الخطأ
توزيع ت

الأسئلة المهمة

ما المعلمة؟

ثابت يصف المجتمع أو توزيع المجتمع.

الكتاب صفحة 13

ما الإحصاءة؟

اقتران تتعين قيمته من العينة.

الكتاب صفحة 13

ما التقدير بنقطة؟

قيمة وحيدة محسوبة من العينة لتقدير معلمة مجهولة.

الكتاب صفحة 14

ما مستوى الثقة الأكثر شيوعًا المذكور؟

95%.

الكتاب صفحة 15

ما متوسط التوزيع الطبيعي المعياري؟

صفر.

الكتاب صفحة 16

الواجب

أسئلة تطبيقية لتحلها في البيت. يمكنك طباعتها من الأعلى.

ما تقدير المتوسط في مثال درجات الحرارة؟

متوسط

ما هامش الخطأ في مثال العينة36؟

متوسط

ما درجات الحرية للعينة25؟

متوسط

مصطلحات الدرس

المعلمة
الإحصاءة
التقدير بنقطة

تمارين الكتاب كاملة

كل سؤال ونشاط وتمرين ورد في صفحات هذا الدرس، بنصه وإجابته النموذجية. 23 تمرينًا.

مشروع-أكيف ستختار عينة عشوائية من الموظفين للاستفسار عن الوسيلة التي استخدموها في إيجاد وظيفتهم؟(ص 11)

نشاط ميداني: تسجل طريقة اختيار العينة الفعلية، ولا تختلق استجابات موظفين.

مشروع-بما الخيارات التي اكتشفتها؟ نظمها في استمارة.(ص 11)

تنظم النتائج الفعلية وفق خيارات الإرشاد المطبوعة، مع إضافة الوسيلة الأخرى إن وجدت.

مشروع-جحدّد النسب المئوية لكل خيار ممّا سبق.(ص 11)

تحسب من بيانات العينة التي يجمعها الطالب؛ لا توجد بيانات عددية معطاة في السؤال.

مشروع-التقريراكتب تقريراً مفصلاً يحدّد النسب التي حصلت عليها من خلال العينة العشوائيّة التي اعتمدتها مكوناً جدولاً بالنسب المئوية عن كل وسيلة تمّ استخدامها لإيجاد وظيفة.(ص 11)

يبنى التقرير والجدول على بيانات الطالب الفعلية.

مشروع-القرارضمّن تقريرك بعض الاقتراحات والنصائح والاستنتاجات التي نتجت عن تلك الدراسة.(ص 11)

استنتاجات الدراسة الميدانية التي أجراها الطالب، دون نتائج مختلقة.

ناقش-أمتوسط درجات طلاب الصف الثاني عشر في مادة الرياضيات (حيث النهاية العظمى١٠٠درجة) في٥مدارس بالكويت س̄ =٨١. هل يمكن استخدام هذه العينة لتقدير متوسط الدرجات في كافة مدارس الكويت؟(ص 13)

نستخدم إحصاءة العينة لتقدير معلمة المجتمع، على أن تؤخذ العينة عشوائيًا كما يشرح الدرس.

ناقش-بما هي أفضل وسيلة للتقدير لنقترب من الحقيقة؟(ص 13)

يعرض الدرس التقدير بنقطة والتقدير بفترة الثقة؛ تراجع طريقة فترة الثقة وحدودها في الصفحات التالية.

حاول1تبيّن البيانات التالية درجات٤٠طالباً في مادة الرياضيات حيث النهاية العظمى٢٠درجة. ١٦،١٥،١٤،١٧،١٨،١٩،١٧،١٥،١٤،١٣،١٢،١٣،٩،١٠،١٢،١٤،٨،١٦،١٩،٧، ١٤،١٥،١٦،١٨،١٠،١١،٩،٨،١٥،١٢،١٩،١٤،١٠،١١،١٥،١٦،١٤،١٧،١٨،١٦. استخدم هذه العينة لقيم الدرجات لتوجد التقدير بنقطة للمتوسط الحسابي للمجتمع μ الذي أُخذت منه هذه العينة.(ص 14)

س̄ = (مجموع الدرجات)/٤٠ =٥٥٦/٤٠ =١٣,٩. التقدير بنقطة للمتوسط الحسابي μ هو١٣,٩درجة.

حاول2أوجد القيمة الحرجة المناظرة لمستوى ثقة٩٧٪باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري.(ص 17)

١−α =٠,٩٧؛ (١−α)/٢ =٠,٤٨٥٠. في جدول الكتابPDF37تقابل٠,٤٨٥٠القيمة٢,١٧؛ فهي القيمة الحرجة المطلوبة.

حاول3أوجد القيمة الحرجة المناظرة لمستوى ثقة٩٩٪باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري.(ص 17)

(١−α)/٢ =٠,٩٩/٢ =٠,٤٩٥٠. تقع بين٠,٤٩٤٩و٠,٤٩٥١المناظرتين٢,٥٧و٢,٥٨في جدولPDF37. بطريقة المثال٣نأخذ المتوسط: (٢,٥٧+٢,٥٨)/٢ =٢,٥٧٥.

حاول4-1من المثال(٤)، إذا أجريت الدراسة على عينة أخرى من الإناث حجمها١٠٠والانحراف المعياري لمجتمع الإناث σ =٣,٦والمتوسط الحسابي للعينة س̄ =١٨,٤باستخدام مستوى ثقة٩٥٪. أوجد هامش الخطأ.(ص 20)

باستخدام طريقة الكتاب: هـ =١,٩٦ × (3.6/√100) ≈0.7056.

حاول4-2أوجد فترة الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع الإحصائي μ.(ص 20)

(س̄−هـ، س̄+هـ) ≈(17.6944،19.1056).

حاول4-3فسّر فترة الثقة.(ص 20)

عند تكرار اختيار١٠٠عينة من الحجم نفسه وحساب فتراتها، نتوقع أن٩٥فترة تحوي متوسط المجتمع الحقيقي.

حاول5-1أجريت دراسة لعينة من٢٤طالباً حول متوسط عدد ساعات مشاهدة التلفزيون أسبوعياً. فإذا كان الانحراف المعياري σ =٢,٥والمتوسط الحسابي للعينة س̄ =٢١، باستخدام مستوى ثقة٩٥٪. أوجد هامش الخطأ.(ص 21)

باستخدام طريقة الكتاب: هـ =١,٩٦ × (2.5/√24) ≈1.0002.

حاول5-2أوجد فترة الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع الإحصائي μ.(ص 21)

(س̄−هـ، س̄+هـ) ≈(19.9998،22.0002).

حاول5-3فسّر فترة الثقة.(ص 21)

عند تكرار اختيار١٠٠عينة من الحجم نفسه وحساب فتراتها، نتوقع أن٩٥فترة تحوي متوسط المجتمع الحقيقي.

حاول6-1أخذت عينة عشوائية من مجتمع طبيعي حجمها ن =٨١ومتوسطها الحسابي س̄ =٥٠وانحرافها المعياري ع =٩، باستخدام مستوى ثقة٩٥٪. أوجد هامش الخطأ.(ص 23)

باستخدام طريقة الكتاب: هـ =١,٩٦ × (9/√81) ≈1.9600.

حاول6-2أوجد فترة الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع الإحصائي μ.(ص 23)

(س̄−هـ، س̄+هـ) ≈(48.0400،51.9600).

حاول6-3فسّر فترة الثقة.(ص 23)

عند تكرار اختيار١٠٠عينة من الحجم نفسه وحساب فتراتها، نتوقع أن٩٥فترة تحوي متوسط المجتمع الحقيقي.

حاول7أخذت عينة عشوائية بسيطة حجمها ن =٢٠من مجتمع طبيعي. أوجد القيمة الحرجة ت_{α/٢} المناظرة لمستوى الثقة٩٥٪باستخدام جدول التوزيع ت.(ص 24)

درجات الحرية ن−١ =٢٠−١ =١٩. α/٢ =٠,٠٢٥. من صف١٩وعمود٠,٠٢٥في جدولPDF38: ت_{٠,٠٢٥} =٢,٠٩٣.

حاول8أوجد فترة ثقة٩٥٪للمتوسط الحسابي للمجتمع الإحصائي μ علماً أن العينة أخذت من مجتمع طبيعي. إذا كان لدينا س̄ =٨,٤، ع =٢,٣، ن =١٣(ص 26)

درجات الحرية١٢؛ من جدولPDF38عندα/٢ =٠,٠٢٥نجدت =٢,١٧٩. هـ =٢,١٧٩×(٢,٣/√١٣) ≈1.3900؛ فترة الثقة≈(7.0100،9.7900).

حاول9-1أخذت عينة عشوائية من٢٠نبتة لدراسة نموها. فإذا كان متوسط النمو =٣٦سم خلال عام والانحراف المعياري للعينة٤,٦سم، استخدم مستوى ثقة٩٥٪لإيجاد: هامش الخطأ.(ص 27)

ن−١ =١٩؛ ت_{٠,٠٢٥} =٢,٠٩٣من جدولPDF38. هـ =٢,٠٩٣×(٤,٦/√٢٠) ≈2.1528سم.