هل يمكن الحل بطريقة أخرى؟ (في مسألة العددين الفرديين المتتاليين اللذين مجموع مربعيهما 34)
الإجابة بطريقة الكتاب
نعم؛ فبعد الوصول إلى المعادلة x² + 2x − 15 = 0 يمكن حلها بالقانون العام بدلًا من التحليل: a = 1 ، b = 2 ، c = −15، فيكون Δ = (2)² − 4(1)(−15) = 4 + 60 = 64، و x = (−2 ± 8) / 2، أي x = 3 أو x = −5، وهو نفس ناتج التحليل. ويمكن كذلك إكمال المربع: x² + 2x + 1 = 15 + 1 ⇒ (x + 1)² = 16 ⇒ |x + 1| = 4 ⇒ x + 1 = 4 أو x + 1 = −4 ⇒ x = 3 أو x = −5. فالعددان 3 و5 أو −5 و−3.
a) أوجد عددين زوجيين متتاليين مجموع مربعيهما 100. b) مستطيل يزيد طوله عن عرضه بمقدار 3cm ومساحته 40cm²، أوجد بُعدي المستطيل.
الإجابة بطريقة الكتاب
a) بفرض العدد الأول x والثاني x+2: x²+(x+2)²=100 ⇒ x²+2x−48=0 ⇒ (x+8)(x−6)=0 ⇒ x=6 أو x=−8. العددان 6,8 أو −8,−6. b) بفرض العرض x فالطول x+3: x(x+3)=40 ⇒ x²+3x−40=0 ⇒ (x+8)(x−5)=0 ⇒ x=5 (نرفض x=−8 لأنه سالب). العرض 5cm والطول 8cm.
ملعب كرة القدم في استاد جابر الدولي في الكويت مستطيل الشكل، إذا كان عرض الملعب x مترًا، وكان طوله يزيد عن عرضه بمقدار 37 مترًا، فإذا علمت أن مساحة الملعب 7140 مترًا مربعًا: أوجد عرض الملعب و طوله ؟
الإجابة بطريقة الكتاب
مساحة المنطقة المستطيلة = الطول × العرض، فمساحة الملعب: x(x + 37) = 7140، وبتحويل المساحة إلى الصورة العامة للدالة التربيعية: x² + 37x − 7140 = 0. نستخدم القانون العام x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a حيث a = 1 ، b = 37 ، c = −7140، فيكون x = (−37 ± √((37)² − 4(1)(−7140))) / 2(1) = (−37 ± √29929) / 2 = (−37 ± 173) / 2، أي x = 68 (مقبولة) أو x = −105 (مرفوضة لأن أبعاد الملعب لا تكون سالبة). ∴ عرض الملعب هو 68 مترًا، وطول الملعب يساوي 68 + 37 = 105 مترًا.
