في الشكل المقابل: ABCD متوازي أضلاع، CB⃗ ∩ DE⃗ = {H} ، AE/EB = 3/2 ، E ∈ (AB). a) أثبت أن ΔEAD ~ ΔDCH. b) أوجد: مساحة ΔDCH ÷ مساحة ΔEAD.
الإجابة بطريقة الكتاب
a) في ΔEAD، ΔDCH: (1) بما أن AB ∥ DC (ضلعان متقابلان في متوازي الأضلاع) و AD ∥ CH (لأن AD ∥ BC و H على الشعاع CB⃗)، فإن الزاويتين EÂD و DĈH زاويتان ضلعا إحداهما موازيان لضلعي الأخرى فهما متطابقتان. (2) بما أن AD ∥ CH و DH قاطع لهما فإن m(AD̂E) = m(CĤD) (بالتبادل). فتطابقت زاويتان ⇒ ΔEAD ~ ΔDCH (نظرية 1). b) نسبة التشابه (EAD : DCH) = EA/DC. وبما أن AE/EB = 3/2 فإن AE = 3k و EB = 2k و AB = 5k، و DC = AB = 5k (ضلعان متقابلان)، إذن EA/DC = 3k/5k = 3/5. والنسبة بين المساحتين = مربع نسبة التشابه، فتكون مساحة ΔDCH ÷ مساحة ΔEAD = (5/3)² = 25/9.
في الشكل المقابل: BE⃗ منصف ABD، مساحة المثلث ABC = 48 cm². أوجد مساحة ΔEBD. [من الشكل: النقاط B، C، E على استقامة واحدة حيث BC = 12 و CE = 3، و AB = 8 و BD = 10]
الإجابة بطريقة الكتاب
بما أن BE⃗ ينصّف الزاوية ABD والنقطة C على هذا الشعاع، فإن m(AB̂C) = m(CB̂D). ونستعمل أن مساحة المثلث = ½ × حاصل ضرب ضلعين × جيب الزاوية المحصورة بينهما: مساحة ABC ÷ مساحة DBC = (½ × BA × BC × جا(AB̂C)) ÷ (½ × BD × BC × جا(CB̂D)) = BA/BD = 8/10. إذن 48 ÷ مساحة DBC = 8/10 ⇒ مساحة DBC = (48 × 10) ÷ 8 = 60 cm². والمثلثان DBC و DBE لهما الرأس D نفسه وقاعدتاهما BC و BE على استقامة واحدة، فتكون النسبة بين مساحتيهما = BE/BC = (12 + 3)/12 = 15/12. إذن مساحة ΔEBD = 60 × 15 ÷ 12 = 75 cm².
في الشكل المقابل إذا كان مساحة المثلث EFG تساوي 6 cm² فإن مساحة المنطقة المظللة بالشكل تساوي بالسنتيمتر المربع: a) 27 b) 36 c) 48 d) 54 . [BF = 1 ، FG = 3 ، GC = 5 ، و EF ∥ AB ، EG ∥ AC]
الإجابة بطريقة الكتاب
c) 48. بما أن EF ∥ AB و EG ∥ AC فإن ΔEFG ~ ΔABC (بالتوازي والتناظر ونظرية 1). و BC = 1 + 3 + 5 = 9، فنسبة التشابه = FG/BC = 3/9 = 1/3، والنسبة بين المساحتين = (1/3)² = 1/9. إذن مساحة ΔABC = 9 × 6 = 54 cm²، ومساحة المنطقة المظللة = 54 − 6 = 48 cm².
في الشكل المرسوم قيمة x بوحدات الطول تساوي: a) 3 b) 2 c) 4/3 d) 3/4 . [مستقيمان متوازيان، A و B على المستقيم العلوي، والقطعتان AP و BP تلتقيان في P بزاوية قائمة حيث AP = 3 و BP = 2، و PQ عمودية على المستقيم السفلي وطولها 2، و F على المستقيم السفلي و FQ = x مع F و P و B على استقامة واحدة]
الإجابة بطريقة الكتاب
c) 4/3. بما أن المستقيمين متوازيان و FB قاطع لهما فإن الزاوية عند F بين المستقيم السفلي و FB تساوي الزاوية عند B بين المستقيم العلوي و BF (بالتوازي والتناظر). وكذلك m(FQ̂P) = m(BP̂A) = 90°. فتطابقت زاويتان ⇒ ΔFQP ~ ΔBPA (نظرية 1). إذن FQ/BP = QP/PA ⇒ x/2 = 2/3 ⇒ x = 4/3.
في المثلث ABC إذا كانت E متنصف AB ، G متنصف AC ، D متنصف BC ، استخدم تشابه المثلثات في إثبات: a) كل من ΔAGE ، ΔBGD ، ΔEDC ، ΔGED متطابقة. b) ΔGED ~ ΔCBA. (ملحوظة: في شكل الكتاب رُسمت G على الضلع AB و E على الضلع AC.)
الإجابة بطريقة الكتاب
a) القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث وتساوي نصفه، إذن: GE = ½BC ، ED = ½AB ، GD = ½AC، وكذلك AG = GB = ½AB ، AE = EC = ½AC ، BD = DC = ½BC. وبمقارنة أضلاع المثلثات الأربعة نجد أن أضلاع كل منها هي ½AB و ½AC و ½BC، فتكون المثلثات الأربعة ΔAGE ، ΔBGD ، ΔEDC ، ΔGED متطابقة (بتطابق الأضلاع الثلاثة). b) GE/CB = ED/BA = GD/AC = 1/2، فتناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة، وينتج من نظرية (2) أن ΔGED ~ ΔCBA ونسبة التشابه 1 : 2.
