استخدام النماذج — استخدام المرايا في حساب ارتفاع مبنى · صفحة 112
أراد فهد قياس ارتفاع مبنى فوضع مرآة على الرصيف عند النقطة A على مسافة 24 m، ثم تراجع فهد مسافة 2.7 m من المرآة عندما شاهد قمة المبنى في المرآة، هل يستطيع فهد حساب ارتفاع المبنى؟ علمًا بأن طول فهد 1.8 m. (بفرض أن ارتفاع المبنى BC = x، ومن خلال دراستك لتشابه المثلثات أثبت أن ΔBCA ~ ΔDEA ثم اكتب التناسب.)
الإجابة بطريقة الكتاب
نعم يستطيع. قياس زاوية السقوط يساوي قياس زاوية الانعكاس عند المرآة، والزاويتان القائمتان عند قدم المبنى وعند قدمي فهد متطابقتان، فتطابقت زاويتان ⇒ ΔBCA ~ ΔDEA (نظرية 1). التناسب: ED/BC = EA/CA، أي 1.8/x = 2.7/24، وبالضرب التقاطعي: 2.7x = 1.8 × 24 = 43.2 ⇒ x = 16. إذن ارتفاع المبنى = 16 m.
أتدرب وأحل المسائل — أولًا: البنود الموضوعية (1-3): اختر (a) إذا كانت الإجابة صحيحة أو (b) إذا كانت الإجابة خاطئة · صفحة 112
(1) في الشكل المقابل: طول (BD) يساوي 6. [مثلث رأسه A، على ضلعه الأيسر النقطة F حيث AF = 5 و FC = 3، وعلى ضلعه الأيمن النقطة D حيث AD = 4، ورُسمت FD، والزاويتان المؤشّرتان بالنجمة هما ∠ADF و ∠ACB]. (2) في الشكل المقابل: x يساوي 2. [مثلث رأسه العلوي، عليه من الرأس 3 ثم 3 على الضلع الأيسر، و2 ثم 7 على الضلع الأيمن، والقاعدة 9، وx هو القطعة الواصلة بين النقطتين]. (3) في الشكل المقابل: x يساوي 24. [مثلث ضلعه الأيسر 18 من الرأس إلى القاعدة، وقطعة طولها 12 من الرأس إلى نقطة على القاعدة تبعد 9 عن الطرف الأيسر، والضلع الأيمن x، والنجمتان عند الزاوية بين 18 و12 وعند الزاوية اليمنى للقاعدة]
الإجابة بطريقة الكتاب
(1) a (صحيحة): بما أن m(AD̂F) = m(AĈB) والزاوية A مشتركة فإن ΔADF ~ ΔACB (نظرية 1). إذن AD/AC = AF/AB، و AC = 5 + 3 = 8، فيكون 4/8 = 5/AB ⇒ AB = 10 ⇒ BD = AB − AD = 10 − 4 = 6. (2) b (خاطئة): الزاوية عند الرأس مشتركة، والضلعان المحددان لها متناسبان: 3/9 = 1/3 و 2/6 = 1/3 (لأن الضلع الأيسر كله 3 + 3 = 6 والأيمن كله 2 + 7 = 9)، فينتج من نظرية (3) تشابه المثلثين بنسبة 1 : 3، إذن x = 9 × 1/3 = 3 وليس 2. (3) a (صحيحة): بتطابق الزاويتين المؤشّرتين واشتراك الزاوية اليسرى ينتج تشابه المثلث الصغير مع المثلث الكبير، فيكون 18/(الضلع الأيسر الكامل) = 12/x = 9/18 = 1/2 ⇒ x = 24.
