نشاط — لنعمل معًا لنستكشف (نظرية 3) · صفحة 109
المعطيات: المثلثان ΔABC، ΔEFG فيهما AC/EG = AB/EF ، m(Â) = m(Ê). المطلوب: إثبات أن ΔABC ~ ΔEFG. العمل: 1. نأخذ النقطة M ∈ EF بحيث EM = AB (فرضًا). 2. نرسم MN ∥ FG. البرهان: هل يمكن إثبات أن ΔEMN ~ ΔEFG؟ وإذا استطعنا ذلك هل يمكن كتابة التناسب EM/EF = ...... = ......؟ وبمقارنة التناسب الموجود داخل المستطيل المتقطع نستنتج أن EN = ......
الإجابة بطريقة الكتاب
نعم؛ لأن MN ∥ FG فإن ΔEMN ~ ΔEFG (بالتوازي والتناظر ونظرية 1)، ويكون EM/EF = EN/EG = MN/FG. وحيث إن AB = EM (فرضًا) فإن AB/EF = EN/EG، وبمقارنته بالمعطى AB/EF = AC/EG نستنتج أن EN = AC. والآن في ΔABC، ΔEMN: AB = EM، و m(Â) = m(Ê)، و AC = EN، فيتطابق المثلثان (ض ز ض) ⇒ ΔABC ≅ ΔEMN ومنه ΔABC ~ ΔEMN ⇒ (3). وقد ثبت في بداية البرهان أن ΔEMN ~ ΔEFG ⇒ (4). من (3)، (4) ينتج أن ΔABC ~ ΔEFG.