نشاط — لنعمل معًا لنستكشف (نظرية 2) · صفحة 107
المعطيات: ΔABC، ΔEFG فيهما AC/EG = AB/EF = BC/FG. المطلوب: إثبات أن ΔABC ~ ΔEFG. العمل: 1. نأخذ النقطة M ∈ EF بحيث EM = AB (فرضًا). 2. نرسم MN ∥ FG. البرهان: هل يمكن إثبات أن ΔEMN ~ ΔEFG؟ وإذا استطعنا ذلك هل يمكن كتابة التناسب EM/EF = ...... = ......؟ وحيث إن AB = EM يمكن كتابة التناسب السابق كالآتي: AB/EF = EN/EG = MN/FG. وبمقارنة التناسب الموجود داخل المستطيل المتقطع نستنتج أن: EN = ......، MN = ......
الإجابة بطريقة الكتاب
نعم؛ لأن MN ∥ FG فإن الزوايا المتناظرة متطابقة، فينتج من نظرية (1) أن ΔEMN ~ ΔEFG، ويمكن كتابة التناسب EM/EF = EN/EG = MN/FG. وحيث إن AB = EM فإن AB/EF = EN/EG = MN/FG، وبمقارنته بالمعطى AB/EF = AC/EG = BC/FG نستنتج أن EN = AC و MN = BC. إذن ΔABC ≅ ΔEMN (بتطابق الأضلاع الثلاثة) ومنه ΔABC ~ ΔEMN ⇒ (1)، وفي بداية البرهان ثبت أن ΔEMN ~ ΔEFG ⇒ (2)، فينتج من (1)، (2) بالتعدي أن ΔABC ~ ΔEFG.